(共98张PPT)
初二年级
数学
方差的概念
数据集中趋势
平均数
中位数
众
数
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
探究：下表中记录的是甲、乙两名射击运动
员在一次射击选拔比赛中的成绩，在相同的
条件下，各射击10次（单位：环）．
根据这些数据估计，你选择谁参加比赛呢？
问题1:通常情况下，射击水平的高低可以用什么量来衡量呢？
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
平均数的大小
甲
6
6
6
8
8
9
9
9
9
10
乙
5
6
6
7
8
9
9
10
10
10
甲
6
6
6
8
8
9
9
9
9
10
乙
5
6
6
7
8
9
9
10
10
10
甲
6
6
6
8
8
9
9
9
9
10
乙
5
6
6
7
8
9
9
10
10
10
甲
6
6
6
8
8
9
9
9
9
10
乙
5
6
6
7
8
9
9
10
10
10
甲
6
6
6
8
8
9
9
9
9
10
乙
5
6
6
7
8
9
9
10
10
10
甲
6
6
6
8
8
9
9
9
9
10
乙
5
6
6
7
8
9
9
10
10
10
甲、乙两名运动员的射击平均水平相同．
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
考查运动员的射击水平还需要关注什么因素？
问题2：如何判断两名运动员谁的发挥更稳定？
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
考查运动员的射击水平还需要关注什么因素？
集中趋势
中心值
中心值
波动程度
借助统计图，直观观察
借助统计图，直观观察
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
借助统计图，直观观察
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
稳定
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
借助统计图，直观观察
成绩波动小
成绩波动大
思考
数据的波动
波动的标准？
如何比较？
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
在统计图中分别画出表示平均数的直线
你能描述两名运动员射击成绩波动的差异吗？
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
甲的成绩中偏离平均数较大的数较少
你能描述两名运动员射击成绩波动的差异吗？
波动程度与每一个数据与其平均数的“距离”有关
“距离”越远的数对波动的影响越大
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
如何求每一个数据与平均数的“距离”呢？
做差方法
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
想法：
数据的波动度量
每一个数据
的波动程度
一组数据
的波动程度
平均值
?
计算：
甲
6
6
6
8
8
9
9
9
9
10
乙
5
6
6
7
8
9
9
10
10
10
每一个数据与平均数的差
甲
-2
0
-2
1
-2
2
0
1
1
1
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
每一个数据与平均数的差
甲
-2
0
-2
1
-2
2
0
1
1
1
乙
-2
2
-3
1
2
-1
-2
2
1
0
次数
成绩/环
成绩/环
甲的成绩
次数
乙的成绩
10
9
8
7
6
5
10
9
8
7
6
5
如何修正，来避免正、负偏差抵消？
修正
取绝对值
修正
加上平方
取绝对值
修正
加上平方
取绝对值
非负数
方法1．
先求每一个数据与平均数的差的绝对值，
再算这些差的绝对值的平均数；
方法1．
先求每一个数据与平均数的差的绝对值，
再算这些差的绝对值的平均数；
方法1．
方法2．
先求每一个数据与平均数的差的绝对值，
再算这些差的绝对值的平均数；
先求每一个数据与平均数的差的平方，
再算这些差的平方的平均数．
方法1．
方法2．
设有n个数据
各数据与它们的平均数
的差的平方分别为
这些值的
平均数叫这组数据的方差,记作
方差
总结
数据的波动的度量
总结
数据的波动的度量
每一个数据
的波动程度
总结
数据的波动的度量
每一个数据
的波动程度
一组数据
的波动程度
平均值
思考：
1．当数据分布比较分散时，方差的值会怎样？
2．当数据分布比较集中时，方差的值会怎样？
3．方差大小与数据的波动大小有怎样的关系？
(1)当数据分布比较分散时，
x
y
o
(1)当数据分布比较分散时，
x
y
o
的值就大，
的值就大，
(1)当数据分布比较分散时，
的值就大，
方差就较大；
x
y
o
(2)当数据分布比较集中时，
x
y
o
(2)当数据分布比较集中时，
的值就小，
x
y
o
(2)当数据分布比较集中时，
x
y
o
方差就较小．
的值就小，
x
y
o
反过来
当一组数据的方差较大时，数据的波动就较大；
x
y
o
x
y
o
反过来
当一组数据的方差较大时，数据的波动就较大；
当一组数据的方差较小时，数据的波动就较小．
方差的统计意义：
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
解：甲、乙两名运动员射击成绩的方差分别是
甲
6
8
6
9
6
10
8
9
9
9
乙
6
10
5
9
10
7
6
10
9
8
甲运动员的射击成绩比较稳定．
计算方差的步骤
1．计算数据的平均数
2．
代入方差公式求值
方差的简单应用
例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个
芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》．参加
表演的女演员的身高(单位：cm
)分别是：
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
平均数分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
平均数分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
平均数分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
方差分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
方差分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
方差分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
方差分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
方差分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
方差分别是
解：甲、乙两团演员身高的
甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
解：甲、乙两团演员的身高的平均数分别是
方差分别是
甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐．
应用方差解决实际问题的一般步骤
(1)求每组数据的平均数；
(2)求方差；
(3)比较方差的大小，确定数据的稳定性．
1．已知一组数据的方差是
数字10表示
_______________，
数字70表示
_______________．
巩固练习
1．已知一组数据的方差是
数字10表示
_______________，
数字70表示
_______________．
数据的个数
数据的平均数
巩固练习
2．用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平
均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度．
(1)
6
6
6
6
6
6
6；
(2)
5
5
6
6
6
7
7；
(3)
3
3
4
6
8
9
9；
(4)
3
3
3
6
9
9
9．
巩固练习
(1)
6
6
6
6
6
6
6
解：
(2)
5
5
6
6
6
7
7
解：
(3)
3
3
4
6
8
9
9
解：
(4)
3
3
3
6
9
9
9
解：
(1)
6
6
6
6
6
6
6
(2)
5
5
6
6
6
7
7
(3)
3
3
4
6
8
9
9
(4)
3
3
3
6
9
9
9
3．甲、乙两地9月份上旬的
日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的
方差的大小关系为
巩固练习
（填
>
或
<
)
．
日期
温度/℃
3．甲、乙两地9月份上旬的
日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的
方差的大小关系为
巩固练习
（填
>
或
<
)
．
日期
温度/℃
3．甲、乙两地9月份上旬的
日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的
方差的大小关系为
巩固练习
>
（填
>
或
<
)
．
日期
温度/℃
4．已知甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且成绩稳定的运动
员参加比赛，应该选择(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
甲
乙
丙
丁
平均数
(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
巩固练习
甲
乙
丙
丁
平均数
(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
巩固练习
4．已知甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且成绩稳定的运动
员参加比赛，应该选择(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
甲
乙
丙
丁
平均数
(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
巩固练习
4．已知甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且成绩稳定的运动
员参加比赛，应该选择(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
4．已知甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且成绩稳定的运动
员参加比赛，应该选择(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
甲
乙
丙
丁
平均数
(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
巩固练习
4．已知甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且成绩稳定的运动
员参加比赛，应该选择(
)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
甲
乙
丙
丁
平均数
(cm)
185
180
185
180
方差
3.6
3.6
7.4
8.1
A
巩固练习
课堂小结
课堂小结
1．方差
2．如何理解方差的意义？
3．用方差比较两组数据波动大小的条件是什么？
怎样计算？
课堂小结
公式：
1．方差
2．方差意义：
课堂小结
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
公式：
1．方差
2．方差意义：
3．注意用方差比较两组数据波动大小的条件：
平均数相同或相近
课堂小结
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
公式：
1．方差
数据分析
课堂小结
数据的集中趋势
数据的波动程度
平均数
中位数
众
数
方差
数据分析
课堂小结
课后作业
甲
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
乙
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
甲、乙两台机床同时生产一种零件．在10天中，两台机床每天出的次品的数量分别如下表．
(1)
分别计算两组数据的平均数和方差；
(2)
从计算结果看，在这10天中，哪台机床出次品的平均数较小？哪台机床出次品的波动较小？
再见！教
案
教学基本信息
课题
方差
学科
数学
学段：第三学段
年级
八年级
教材
书名：八年级下册数学
出版社：人民教育出版社
出版日期：2013年9月
教学目标及教学重点、难点
教学目标
理解方差的统计意义，会计算简单数据的方差，会用方差比较两组数据的波动大小
经历画图、观察、探索如何表示一组数据的离散程度，培养分析问题，解决问题的能力，发展合情推理能力，
逐步建立统计观念．
经历方差探索与应用的过程，培养统计意识，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度．
教学重点：方差的统计意义．
教学难点：方差概念的理解．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
情景
引入
探究：表1中记录的是甲乙两名射击运动员在一次射击选拔比赛中的成绩，在相同的条件下，各射击10次（单位：环）．
如果你是教练员，会选谁去参加比赛更合适呢？
甲68696108999乙6104910761098
问题1：
通常比较两组成绩的优劣是比较它们的什么值?请计算平均数，并对这两个平均数进行比较?
分别求两组数据的平均数：
追问：通过计算你发现什么?你对两名运动员的成绩作何评价?
平均数还能作为选择的标准吗？
创设问题情境，
感受到已学统计量(集中趋势)已经不够用，引入方差的必要性
探究
新知
问题2：如何判断两名运动员谁发挥的更稳定呢？
观察统计图，得到如下结论
①借助统计图（图１和图２）直观观察数据的波动情况，发现甲的成绩稳定．
②观察波动情况，必须先确定波动的标准（什么情况下视为无波动）．
③波动程度与每个数据偏离其平均数的“距离”有关．每一个数据的变化都影响着波动的状况，“距离”越远的数对波动的影响越大．
问题3：什么样的量能反映一组数据的波动程度呢？
每一个数据的波动状况：用每一个数据与平均数的差来表示．
那么一组数据的整体的波动情况：各数据波动状况的平均值来表示．
讨论1：一组数据的波动能否用：计算每一个数据与平均数的差的平均数表示？
计算后，发现，此方法的式子的值得零，计算每一个数据与平均数的差的平均数表示数据波动的方法不可行．
讨论2：能否利用数学的方法修改一下，来避免正负偏差的相互抵销的这个缺点呢，从而可以衡量数据的波动情况呢？
探索分析归纳出两种能描述数据波动的方法：
①先求差的绝对值，再算这些
差的绝对值
的平均数；
也就是，
②先求差的平方，再算这些差的平方的平均数
教师说明是在统计中常用第二种方法表示数据的波动情况．
学生明确，当平均数接近时，为更好的做出选择要去了解数据的波动大小，画折线图或散点图是描述波动大小的一种方法，进而引出用数值表示一组数据的波动
概括方差的定义
n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别为
这些值的平均数叫这组数据的方差,记作．
思考．方差的大小与数据的波动程度有什么关系？
1．当数据分布比较分散时，方差值会怎样？
2．当数据分布比较集中时，方差值会怎样？
3．方差大小与数据的波动大小有怎样的关系？
师生行为：从式子的结构和形的角度得出方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
分析方差的概念，便于学生理解和掌握
问题4．利用方差公式分析甲乙两名运动员的成绩的波动程度．
可以选甲运动员参加比赛．
总结计算方差的步骤：
1．计算数据的平均数
2．
代入方差公式求值
学习计算方差，分析数据的波动
运用
新知
例1．
在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》．参加表演的女演员的身高(单位：cm
)分别是：
甲163164164165165166166167乙163165165166166167168168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐（分析略）
师生活动：分析（1）题目中的整齐的含义是什么？
再求方差之前，要先求哪个统计量？（2）求方差之前要先求哪个统计量（3）师生一起计算方差．
解：甲、乙两团演员的身高的平均数分别是
方差分别是
思考：用方差解决实际问题的一般步骤：
(1)求每组数据的平均数；
(2)求方差；
(3)比较方差的大小，确定稳定性．
巩固方差的概念
巩固
练习
1．已知一组数据的方差是
数字10表示
________________,
数字70表示
________________．
2．用条形图表示下列各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度．
(1)
6
6
6
6
6
6
6；
(2)
5
5
6
6
6
7
7；
(3)
3
3
4
6
8
9
9；
(4)
3
3
3
6
9
9
9．
3．
甲、乙两地9月份上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差的大小关系为
（填
>
或
<
)
4．
已知甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且成绩稳定的运动员参加比赛，应该选择(
)
甲乙丙丁平均数(cm)185180185180方差3.63.67.48.1
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
掌握方差的计算方法
用方差解决问题
课堂
小结
1．
方差怎样计算？
2．
如何理解方差的意义的？
3．
用方差来比较两组数据波动大小的条件是？
回顾方差的计算公式及方差如何刻画数据波动情况的。
课后
作业
甲、乙两台机床同时生产一种零件．在10天中，两台机床每天出的次品的数量分别如下表．
甲0102203124乙2311021101
(1)
分别计算两组数据的平均数和方差；
(2)
从计算结果看，在这10天中，哪台机床出次品的平均数较小？哪台机床出次品的波动较小？
