初中数学中考几何模型学案
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中考数学几何模型
1、角平分线模型
基本思路：利用角平分线的性质。
（1）三角形内角、外角平分线
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠O＝90°＋∠A。
BD、CD为△ABC的外角平分线，则∠D＝90°－∠A。
BD平分∠ABC，CD为△ABC的外角平分线，则∠D＝∠A。
（2）三角形内心
对任意三角形，有S△ABC＝（AB＋BC＋AC）·r。
对等边三角形，有＝＝＝。
对直角三角形，有r＝（AB＋BC－AC）。
2、线段和、差最值模型
基本思路：①两点之间线段最短；
②点到直线距离垂线段最短；
③利用了三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三点共线时取等号。
（1）
点A、B为定点，在直线上找一点P，使得AP＋BP的值最小。
（2）
点A、B为定点，在直线上找一点P，使得|AP－BP|的值最大。
（3）
点A、B为定点，在直线上找一点P，使得AP＋BP的值最小。
（4）点A、B为定点，在直线上找一点P，使得|AP－BP|的值最大。
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）费马点：①若△ABC内角都小于120°，则能在△ABC内找一点P，使PA＋PB＋PC的值最小。
②若△ABC有一个内角不小于120°，则△ABC内使PA＋PB＋PC的值最小的点
P就在钝角所在顶点。
（11）
圆所有的弦中，直径最长。
（12）点P为圆外一定点，点Q为圆上一动点，则PB≤PQ≤PA。
3、旋转模型
基本思路：利用旋转图形的性质。
（1）等腰三角形旋转（两个顶角相等的等腰三角形顶角重合，其中一个三角形绕顶点旋转。）
无论什么三角形，均有△ABD≌△ACE。
（2）正方形旋转
4、半角模型
基本思路：旋转后找全等或相似，利用好含特殊角（30°、45°、60°）的直角三角形边之间的关系。
（1）等腰直角三角形半角模型
MN2＝BM2＋CN2
（2）顶角为120°等腰三角形半角模型
BM2＋NC2－MN2＝BM×NC（余弦定理）
一般来说，BM、MN、NC没有特定的关系，当BM:MN:NC＝2::1时，∠BDM＝90°。
（3）等边三角形与顶角为120°等腰三角形半角模型
BE＋CF＝EF
（4）正方形半角模型
本质上和等腰直角三角形半角模型差不多，但因为处于正方形中，所以又有不同。
“K”字形模型
GH2＝BG2＋DH2（同等腰直角三角形半角模型）
BE＋DF＝EF
BE＝NE，DF＝NF，AE平分∠BEF，AF平分∠AFE
（5）矩形半角模型
方法一：补成正方形半角模型，结合相似解答。
方法二：补成“K”字形模型，利用直角三角形全等，结合相似解答。
5、“K”字形模型（一线三等角）
基本思路：利用三个相等的角寻找全等或相似。
（1）全等
△ABC≌△DCE
（2）相似
△ABC∽△DCE→AC·CD＝AB·DE
6、燕尾模型
基本思路：将面积与边联系起来。
7、四点共圆模型
基本思路：利用圆的性质转换相等的角。
（1）定长对定角型（蝴蝶型（反“8”型）相似）
以定长为弦，定角为圆周角作圆（三点共圆，由于定角的顶点为动点，由三点共圆引出四点共圆、多点共圆）
锐角
相交弦定理：AE·DE＝BE·CE（△ACE∽△BDE可证）
钝角
直角
当定角分别为一些特殊角时，如30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°时，可以求出定圆半径与定长的数量关系。不难发现30°和150°、45°和135°、60°和120°，数量关系是一样的。
r＝AB
r＝AB
r＝AB
r＝AB
（2）对角互补型
四点共圆?对角互补
托勒密定理：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC
△ABC∽△AED→＝
，AC·ED＝AD·BC①
△ABE∽△ACD→＝
，AC·BE＝AB·CD②
①＋②即可证。
若AB∥CD，则△ABE∽△DCE（“A”型相似）
若AD∥BC，则△ADE∽△CBE（“8”型相似）
AE·DE＝BE·CE（反“A”型相似，△ABE∽△CDE）
若BC为切线，则BC2＝AC·CD（母子型相似，△ABC∽△BDC）
（3）特殊型
邻边相等
AB＝AC，I为△BCD内心，则有AI＝AB＝AC。
邻边相等且夹角为60°（等边三角形）
共斜边的等腰直角三角形和普通直角三角形
1、角平分线模型
基本思路：利用角平分线的性质。
（1）三角形内角、外角平分线
OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠O＝90°＋∠A。
BD、CD为△ABC的外角平分线，则∠D＝90°－∠A。
BD平分∠ABC，CD为△ABC的外角平分线，则∠D＝∠A。
（2）三角形内心
对任意三角形，有S△ABC＝（AB＋BC＋AC）·r。
对等边三角形，有＝＝＝。
对直角三角形，有r＝（AB＋BC－AC）。
2、线段和、差最值模型
基本思路：①两点之间线段最短；
②点到直线距离垂线段最短；
③利用了三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，三点共线时取等号。
（1）
点A、B为定点，在直线上找一点P，使得AP＋BP的值最小。
（2）
点A、B为定点，在直线上找一点P，使得|AP－BP|的值最大。
（3）
点A、B为定点，在直线上找一点P，使得AP＋BP的值最小。
（4）点A、B为定点，在直线上找一点P，使得|AP－BP|的值最大。
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）费马点：①若△ABC内角都小于120°，则能在△ABC内找一点P，使PA＋PB＋PC的值最小。
②若△ABC有一个内角不小于120°，则△ABC内使PA＋PB＋PC的值最小的点
P就在钝角所在顶点。
（11）
圆所有的弦中，直径最长。
（12）点P为圆外一定点，点Q为圆上一动点，则PB≤PQ≤PA。
3、旋转模型
基本思路：利用旋转图形的性质。
（1）等腰三角形旋转（两个顶角相等的等腰三角形顶角重合，其中一个三角形绕顶点旋转。）
无论什么三角形，均有△ABD≌△ACE。
（2）正方形旋转
4、半角模型
基本思路：旋转后找全等或相似，利用好含特殊角（30°、45°、60°）的直角三角形边之间的关系。
（1）等腰直角三角形半角模型
MN2＝BM2＋CN2
（2）顶角为120°等腰三角形半角模型
BM2＋NC2－MN2＝BM×NC（余弦定理）
一般来说，BM、MN、NC没有特定的关系，当BM:MN:NC＝2::1时，∠BDM＝90°。
（3）等边三角形与顶角为120°等腰三角形半角模型
BE＋CF＝EF
（4）正方形半角模型
本质上和等腰直角三角形半角模型差不多，但因为处于正方形中，所以又有不同。
“K”字形模型
GH2＝BG2＋DH2（同等腰直角三角形半角模型）
BE＋DF＝EF
BE＝NE，DF＝NF，AE平分∠BEF，AF平分∠AFE
（5）矩形半角模型
方法一：补成正方形半角模型，结合相似解答。
方法二：补成“K”字形模型，利用直角三角形全等，结合相似解答。
5、“K”字形模型（一线三等角）
基本思路：利用三个相等的角寻找全等或相似。
（1）全等
△ABC≌△DCE
（2）相似
△ABC∽△DCE→AC·CD＝AB·DE
6、燕尾模型
基本思路：将面积与边联系起来。
7、四点共圆模型
基本思路：利用圆的性质转换相等的角。
（1）定长对定角型（蝴蝶型（反“8”型）相似）
以定长为弦，定角为圆周角作圆（三点共圆，由于定角的顶点为动点，由三点共圆引出四点共圆、多点共圆）
锐角
相交弦定理：AE·DE＝BE·CE（△ACE∽△BDE可证）
钝角
直角
当定角分别为一些特殊角时，如30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°时，可以求出定圆半径与定长的数量关系。不难发现30°和150°、45°和135°、60°和120°，数量关系是一样的。
r＝AB
r＝AB
r＝AB
r＝AB
（2）对角互补型
四点共圆?对角互补
托勒密定理：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC
△ABC∽△AED→＝
，AC·ED＝AD·BC①
△ABE∽△ACD→＝
，AC·BE＝AB·CD②
①＋②即可证。
若AB∥CD，则△ABE∽△DCE（“A”型相似）
若AD∥BC，则△ADE∽△CBE（“8”型相似）
AE·DE＝BE·CE（反“A”型相似，△ABE∽△CDE）
若BC为切线，则BC2＝AC·CD（母子型相似，△ABC∽△BDC）
（3）特殊型
邻边相等
AB＝AC，I为△BCD内心，则有AI＝AB＝AC。
邻边相等且夹角为60°（等边三角形）
共斜边的等腰直角三角形和普通直角三角形
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