教
案
教学基本信息
课题
利用提公因式法和公式法因式分解
学科
数学
学段：
七年级---九年级
年级
七年级
教材
书名：义务教育教科书
数学
七年级下册
出版社：北京出版社
出版日期：2013
年12月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
本节课主要内容是会用提公因式法，平方差公式、完全平方公式进行因式分解。发展学生的观察问题、分析问题和逆向思维的能力，渗透数学的整体的思想，感受数学知识的完整性。
重点：能利用因式分解的常用方法进行因式分解。
难点：观察多项式的特点，恰当安排步骤，灵活地应用因式分解的常用方法分解因式。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
本节课我们将从“主要的概念和原理、例题解析、典型失误分析、总结和梳理”四部分对此问题进行研究.
本章内容是在整式运算的基础上学习的，因式分解与整式的乘法为互逆的恒等变形，与整式的乘法运算有密切的联系，因式分解为今后学习分式化简、分式的运算、解一元二次方程以及二次函数等知识有着广泛的作用.
一主要的概念和原理
因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的乘积形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做将多项式分解因式.
因式分解的基本方法---提公因式法
提公因式法中多项式的各项的公因式是怎样组成的？（1）公因式的系数，是多项式中各项系数的最大公约数；（2）公因式中字母的指系数，是各项中都含有的字母的指数中次数最低的；（3）遇到多项式的首项系数为负时，要把负号提取出来，并把括号内各项都改变符号；（4）因式分解后要注意检查提取公因式后的另一个因式的项数与分解前是否一致，不要丟项.
提公因式法因式分解的步骤，主要有两步：（1)找到多项式中各项的公因式，（2)提公因式，（3）三利用多项式除法写出另一个因式.
因式分解的基本方法---平方差公式
平方差公式的由来，把乘法公式的平方差反过来就得到因式分解的平方差公式.也就是两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
什么情况下适用平方差公式进行因式分解？一个多项式如果是由两项组成，两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异号.
因式分解的基本方法---完全平方公式
完全平方公式的由来，（1）完全平方式的结构特征是什么？（2）两个平方项的符号有什么特点？
（3）中间的一项是什么形式？
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项底数的乘积的二倍，符号不限．
如何综合的利用提取公因式法和公式法进行因式分解呢？
我们一起来看一道题，分解因式：
观察多项式的结构特征，确定公因式，
提出公因式得c乘以a、b平方差的积的形式，再观察我们得到的式子的形式特点，发现它还可以用公式法分解，
继续分解得
复习前几节课的知识，为本节课的顺利进行提供保障。
加深学生的理解
新课
因式分解的一般步骤：
因式分解的一般步骤：（1）首先看被分解的多项式的各项有没有公因式，若有公因式，应先_提取公因式_；而且要提取彻底；（2）即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解.若为二项式，考虑用＿平方差＿
公式；若为三项式，考虑用_完全平方_公式；（3）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都
不能分解为止，分解结果若出现相同的因式，应写成幂的形式.
激发学生探究学习兴趣，吸引学生注意力
引出本节课的重点
例题
二例题解析
例
把下列各式分解因式：
；
（2）；
（3）
；（4）.
解：(1)
=
=；
分析：本题应首先将式子变形为的形式，再用平方差公式进行分解，得到后，还要再观察检查每一个因式能否再分解因式。
=
=
=；
(3)
=
=
=
=；
(4)
=
=
=
=.
小结：
1、观察分析多项式的结构，有公因式的要先提公因式；2、要分解到每一个因式不能再因式分解为止；3、注意过程中的换元思想
例
把下列各式分解因式：
(1);
(2).
解：(1)
=
=
=;
(2)
=
=
=
=
=.
小结：
1、观察分析多项式的结构，有公因式的要先提公因式；2、要分解到每一个因式不能再因式分解为止；3、注意过程中的换元思想
三
典型失误分析
解说词：1.判断下列各式分解因式是否正确：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
.
(1)；不对
(
解题过程
解：
=
=
涉及知识要素
1
.
因式分解概念
2
.
因式分解方法
3
.
公因式概念
4
.
多项式除以单项式的运算法则
5.
单项式除以单项式的运算法则
6.
同底数幂除法的运算性质
7.平方差公式
解题思路
找公因式
提公因式
平方差
公式
用多项式的除法写出另一个因式
)
这道题题涉及的主要知识点有：因式分解概念、因式分解的方法、公因式概念、多项式除以单项式的运算法则、单项式除以单项式的运算法则、同底数幂除法的运算性质、平方差公式.
本题的失误就是另一因式
没有分解完，
还能继续分解.
解题的思路是，我们先要确定多项式各项的因式有哪些，从而找出多项式各项的公因式，再提取公因式，然后利用多项式的除法写出另一个因式.然后观察另一因式的结构特征，是否还能继续用公式法分解，正确做法是还可以继续利用平方差公式进行分解，得到
的结果.
因此我们在今后做题中要注意：分解因式必须分解彻底，分解到不能再分解为止.
(2)；不对
(
涉及知识要素
1
.
因式分解概念
2
.
因式分解方法
3
.
公因式概念
4
.
多项式除以单项式的运算法则
5.
单项式除以单项式的运算法则
6.
同底数幂除法的运算性质
7.完全平方公式
)
(
解题过程
解：
=
=
=
)
(
解题思路
)
这道题题涉及的主要知识点有：因式分解概念、因式分解的方法、公因式概念、多项式除以单项式的运算法则、单项式除以单项式的运算法则、同底数幂除法的运算性质、完全平方公式.
本题由于多项式除以单项式的运算法则应用错误，造成了提取公因式后的另一个因式不正确，也间接导致另一个因式的完全平方公式没有被发现.
解题的思路是，我们先要确定多项式各项的因式有哪些，从而找出多项式各项的公因式，再提取公因式，然后利用多项式的除法写出另一个因式.然后观察另一因式的结构特征，是否还能继续用公式法分解，正确做法是还可以继续利用完全平方差公式进行分解，得到的结果.
因此我们在今后做题中要注意：
找准公因式，提公因式后，另一因式的项数与原项数一致，不能丢项.
(3)
.不对，分解不完全
这道题题涉及的主要知识点有：因式分解概念、因式分解的方法、公因式概念、多项式除以单项式的运算法则、单项式除以单项式的运算法则、同底数幂除法的运算性质、完全平方公式、换元思想、整体思想、幂的乘方.
本题的失误就是另一因式
没有分解完，
还能继续分解.
解题的思路是，我们先要确定多项式各项的因式有哪些，从没有公因式，观察多项式的结构特征，运用完全平方公式，但是一定要再对括号中的因式观察，是否还能继续用公式法分解，正确做法是还可以继续利用完全平方公式进行分解，得到的结果.
因此我们在今后做题中要注意：
分解要彻底，分解结果若出现相同的因式，应写成幂的形式.注意换元思想、整体思想.
(4)
.不对，分解不完全
(
解题思路
运用公式法
去括号
合并同类项
提公因式法
解题思路
解题思路
解题过程
解：
=
=
=
.
解题过程
解：
=
=
=
=
解题过程
解：
=
=
=
=
涉及知识要素
1
.
因式分解概念
2
.
因式分解方法
3
.
公因式概念
4
.去括号
法则
5.合并同类项
法则
6.提公因式法
7.换元思想，整体思想
涉及知识要素
1
.
因式分解概念
2
.
因式分解方法
3
.
公因式概念
4
.
多项式除以单项式的运算法则
5.
单项式除以单项式的运算法则
6.
同底数幂除法的运算性质
7.完全平方公式
8.换元思想，整体思想
9.
幂的乘方
涉及知识要素
1
.
因式分解概念
2
.
因式分解方法
3
.
公因式概念
4
.
多项式除以单项式的运算法则
5.
单项式除以单项式的运算法则
6.
同底数幂除法的运算性质
7.完全平方公式
8.换元思想，整体思想
9.
幂的乘方
)
这道题题涉及的主要知识点有：因式分解概念、因式分解的方法、公因式概念、去括号法则、合并同类项法则、提公因式法、换元思想、整体思想.
本题的失误就是因式
没有分解完，
还能继续分解.
解题的思路是，我们先要确定多项式各项的因式有哪些，从没有公因式，观察多项式的结构特征，运用平方差公式，去括号，合并同类项后观察，是否还能继续分解，正确做法是还可以继续提公因式法继续分解，得到分解的结果.
因此我们在今后做题中要注意：
分解要彻底，注意换元思想、整体思想.
2问题呈现、已知
，，求的值.有学生观察认定，所以
的值为.
这种判断正确吗？
(
解题过程
解：
∵
，
∴
涉及知识要素
1
.
因式分解概念
2
.
因式分解方法
3
.
公因式概念
4
.
多项式除以单项式的运算法则
5.
单项式除以单项式的运算法则
6.
同底数幂除法的运算性质
7.整体思想
解题思路
找公因式
提公因式
整体代入求值
用多项式的除法写出另一个因式
)
解说词：答案：尽管最终结果数值正确，但是解题思路、方法不合适，如果遇到其他数据如
，；，就不好解决了.问题分析：解决需要将，作为整体处理，将因式分解.解：∵，∴
.
因此我们在今后做题中要注意：
灵活运用所学知识和方法，注意整体思想.
相对较为复杂的题型，利用提公因式法和公式法因式分解，依据多项式的意义和特点，灵活地应用提取公因式法，运用公式法进行分解因式，注意因式分解的彻底性，发展学生的观察问题、分析问题和逆向思维的能力，培养学生的判断能力。
引导学生善于归纳总结，发展能力，提升思维品质
研究相对较为复杂的题型，利用提公因式法和公式法因式分解依据多项式的意义和特点，灵活地应用提取公因式法，运用平方差公式、完全平方公式进行分解因式，注意因式分解的彻底性，发展学生的观察问题、分析问题和逆向思维的能力，培养学生的判断能力。
发展学生的观察问题、分析问题和逆向思维的能力，通过成功解决问题，提升获得成功喜悦。
通过错解发现不足，提升，养成良好习惯
落实反馈，回应课前情景引入问题，解决悬疑。学以致用
发展学生初步逻辑思维能力
拓展思维，体会因式分解的作用，树立学习信心
引起学生思考，
通过对典型失误分析，总结常见问题，引起重视，强化落实常用方法，
查缺补漏，落实重点，突破难点，提升学生能力
因此我们在今后做题中要注意：
分解要彻底，分解结果若出现相同的因式，应写成幂的形式.注意换元思想、整体思想.
查缺补漏，落实重点，突破难点，提升学生能力
因此我们在今后做题中要注意：
方法的选择注意换元思想、整体思想.
总结
(
多项式
有无公因式
有
提公因式
是否公式法
否
平方差
完全平方公式
最后结果
是否再分解
否
是
是
无
)
(
通过本节课的学习
1
、理解掌握因式分解和因式分解的方法，复习了提公因式法和公式法。
2
、应充分感受到因式分解的过程与整式乘法恰好相反，
因式分解的概念因式分解是整式中的一种恒等变形
，
因式分解的思维过程实际也是整式乘法的逆向思维的过程.
掌握检验因式分解的正确性的方法.
3
、灵活地应用乘法公式进行因式分解，注意解题的完整性及因式分解的要求.体会
教学中渗透对立统一，以不变应万变的辩证唯物主义的思想方法.
)
引导学生对知识的概括，总结，引起学生思考，完善和提升数学能力和数学思想
作业
课后作业：把下列各多项式分解因式:
--
---
--
解说词：课后作业：把下列各多项式分解因式:(1)；（2）；
；（4）.
课后作业答案提示：------
解说词：课后作业答案提示：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
为进一步落实和巩固所学知识掌握情况，能力落实情况的补充《利用提公因式法和公式法因式分解》学习任务单
【学习目标】
本节课主要内容是会用提公因式法，平方差公式、完全平方公式进行因式分解。发展学生的观察问题、分析问题和逆向思维的能力，渗透数学的整体的思想，感受数学知识的完整性。
1、理解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，是整式乘法的逆变形。
2、依据多项式的意义和特点，灵活地应用提取公因式法，运用平方差公式、完全平方公式进行分解因式，注意因式分解的彻底性，发展学生的观察问题、分析问题和逆向思维的能力，培养学生的判断能力。
3、体会用符号表示公式的意义，形成初步的符号感，培养应用意识，发展推理能力，提高运算能力，渗透数学的整体的思想，感受数学知识的完整性。
【课上任务】
1．因式分解的怎样定义的？因式分解有什么特点？
2．因式分解的常用方法有哪些？应注意些什么？
3．怎样用提取公因式法进行因式分解？
4．怎样运用公式法进行因式分解？
5．运用公式法因式分解涉及到哪几种公式？都是什么？
6．整式的乘法与因式分解有什么区别？
7．多项式因式分解的一般步骤及注意事项
8．这些多项式结构上有什么特点？针对这些特点如何选择因式分解的方法？
8．怎样将这些不同结构特征的多项式转化成我们熟悉的公式形式？
9．是否因式分解完毕
，还能继续分解吗？
10．如何利用因式分解的知识解决相应问题？
11．这道题涉及的主要知识点有什么？
12．这道题的分解思路是什么？
13．这道题，提醒我们需要注意什么？
【学习疑问】（可选）
14．哪个多项式没看明白因式分解的思路？
15．哪个环节没弄清楚？
16．有什么困惑？
17．您想向老师提出什么问题？
18．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？
【课后作业】
作业1（本节例题相似题目，从教科书选取）
把下列各多项式分解因式:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
20．作业2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）
【课后作业参考答案】
课后作业答案提示：------
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.(共65张PPT)
初一年级
数学
利用提公因式法和公式法因式分解
本节课涉及的内容主要有：
一、主要的概念和原理
二、例题解析
三、典型失误分析
四、总结和梳理
本节课涉及的内容主要有：
一、主要的概念和原理
二、例题解析
三、典型失误分析
四、总结和梳理
—、主要的概念和原理
1.本章的主要内容
分式化简
因式分解
整式乘法
相反变形
分式运算
解一元二次方程
二次函数等
整式运算
—、主要的概念和原理
2.因式分解的概念
因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做将多项式分解因式.
—、主要的概念和原理
2.因式分解的概念
例如：
整式乘法
因式分解
—、主要的概念和原理
3.因式分解的基本方法
因式分解的概念
因式分解的基本方法
提公因式法
公式法
（1）到目前为止，我们学过了哪几种因式分解的方法？
---提公因式法
公式法
—、主要的概念和原理
（2）提公因式法进行因式分解时，如何确定公因式？
3.因式分解的基本方法
---提公因式法
如
公因式的系数
—、主要的概念和原理
公因式的系数
公因式的字母及指数
如
（2）提公因式法进行因式分解时，如何确定公因式？
3.因式分解的基本方法
---提公因式法
—、主要的概念和原理
（3）提公因式法进行因式分解时，还需注意什么？
多项式首项系数为负时
提公因式后的注意事项
3.因式分解的基本方法
---提公因式法
如
—、主要的概念和原理
（4）运用提公因式法因式分解的步骤
关键是找准各项的公因式
一找公因式
二提公因式
三利用多项式除法写出另一个因式
3.因式分解的基本方法
---提公因式法
—、主要的概念和原理
（1）我们学过了哪些因式分解的公式？
平方差公式
完全平方公式
因式分解的概念
因式分解的基本方法
提公因式法
公式法
公式法
4.因式分解的基本方法---公式法
—、主要的概念和原理
4.因式分解的基本方法---公式法
（2）平方差公式的结构特征.
因式分解的概念
因式分解的基本方法
提公因式法
公式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
—、主要的概念和原理
4.因式分解的基本方法---公式法
（3）完全平方公式的结构特征.
因式分解的概念
因式分解的基本方法
提公因式法
公式法
公式法
平方差公式
完全平方公式
—、主要的概念和原理
5.
因式分解的一般步骤
确定公因式
提出公因式
平方差公式
例
分解因式：
—、主要的概念和原理
多项式
有公因式
书写格式规范
平方差公式
完全平方公式
分解是否彻底
无公因式
还能再分解
提公因式
分解的结果
考虑
公式法
5.
因式分解的一般步骤
一、主要的概念和原理
二、例题解析
三、典型失误分析
四、总结和梳理
本节课涉及的内容主要有：
二、例题解析
例
把下列各式分解因式：
(4)
.
(1)
;
(2)
;
(3)
;
解：
将公因式“2”提出
二、例题解析
确定公因式“2”
例
分解因式：
(1)
解：
再用平方差公式分解
例
分解因式：
；
将公因式“2”提出
确定公因式“2”
(1)
二、例题解析
解：
例
分解因式：
构造平方差形式
(2)
二、例题解析
解：
二、例题解析
构造平方差形式
运用平方差公式
例
分解因式：
(2)
解：
二、例题解析
构造平方差形式
运用平方差公式
再用平方差公式
例
分解因式：
(2)
；
解：
二、例题解析
(3)
构造平方差形式
构造平方差形式
运用平方差公式
二、例题解析
(3)
解：
二、例题解析
构造平方差形式
运用平方差公式
(3)
解：
去掉多重括号
整理、提出负号
构造平方差形式
运用平方差公式
二、例题解析
去掉多重括号
(3)
解：
二、例题解析
运用完全平方公式
构造平方差形式
运用平方差公式
(3)
去掉多重括号
整理、提出负号
；
解：
构造公式形式
二、例题解析
(4)
解：
二、例题解析
运用完全平方差公式
(4)
解：
构造公式形式
二、例题解析
运用平方差公式
积的乘方
运用完全平方差公式
(4)
解：
构造公式形式
你注意到了吗？
多项式
有公因式
书写格式规范
完全平方公式
分解是否彻底
无公因式
还能再分解
提公因式
分解的结果
考虑
公式法
有公因式
提公因式
无公因式
考虑
公式法
平方差公式
平方差公式
完全平方公式
分解是否彻底
还能再分解
书写格式规范
分解的结果
例2
把下列各式分解因式：
(1)
;
(2)
.
提取公因式
提出负号
解（1）
构造公式形式
解（1）
提取公因式
提出负号
运用完全平方公式
；
解（1）
提取公因式
提出负号
构造公式形式
构造公式形式
解（2）
构造公式形式
运用完全平方差公式
整理
解（2）
运用完全平方差公式
幂的乘方
构造公式形式
运用完全平方差公式
整理
.
解（2）
一、主要的概念和原理
二、例题解析
三、典型失误分析
四、总结和梳理
本节课涉及的内容主要有：
三、典型失误分析
1.判断下列各式分解因式是否正确：
（2)
；
（4)
.
（1)
；
（3)
；
1.因式分解概念、方法
2.公因式概念
3.多项式除以单项式的运算法则
4.单项式除以单项式的运算法则
5.同底数幂除法的运算性质
6.平方差公式
本题失误
分解不彻底
涉
及
主
要
知
识
点
（1)
；
三、典型失误分析
三、典型失误分析
1.
确定公因式
2.
提公因式
3.
观察多项式形式特点
4.
运用平方差公式
5.
检查，书写分解结果
分
解
思
路
（1)
；
三、典型失误分析
解：
注意
正
确
分
解
过
程
分解到不能再分解为止
（1)
；
；
1.因式分解概念、方法
2.公因式概念
3.多项式除以单项式的运算法则
4.单项式除以单项式的运算法则
5.完全平方公式
公因式不对；多项式除以公因式所得因式的项数不对.
涉
及
主
要
知
识
点
本题失误
（2)
；
三、典型失误分析
1.
确定公因式，并提出公因式
2.
观察多项式形式特点
3.
运用完全平方差公式
4.
检查，不能再分解
5.
书写分解结果
分
解
思
路
（2)
；
三、典型失误分析
注意
找准公因式；注意多项式除以公因式所得因式的项数等.
正
确
分
解
过
程
（2)
；
解：
；
三、典型失误分析
（3)
；
三、典型失误分析
涉
及
主
要
知
识
点
1.因式分解概念、方法
2.公因式概念
3.完全平方公式
4.幂的乘方
5.换元思想、整体思想
本题失误
分解不彻底
1.
发现没有公因式
2.
符合完全平方公式形式
3.
运用完全平方和公式
4.
注意分解彻底
5.
利用幂的乘方
6.
书写最后结果
分
解
思
路
（3)
；
三、典型失误分析
正
确
分
解
过
程
注意
分解到不能再分解为止
换元思想
（3)
；
解：
;
三、典型失误分析
1.因式分解概念、方法
2.去括号法则
3.合并同类项法则
4.平方差公式
5.公因式的概念
6.换元思想，整体思想等
涉
及
主
要
知
识
点
本题失误
分解不彻底
三、典型失误分析
（4)
.
1.
运用平方差公式
2.
整体换元思想
3.
去括号法则
4.
合并同类项法则
5.
提取公因式
6.
分解到不能再分解为止
分
解
思
路
三、典型失误分析
（4)
.
正
确
分
解
过
程
注意
分解的彻底性
换元思想
三、典型失误分析
（4)
.
有学生观察认定
，
，所以
的值
为
.
这种判断正确吗？
三、典型失误分析
2.已知
，
，求
的值.
1.因式分解概念、方法
2.公因式概念
3.多项式除以单项式的运算法则
4.单项式除以单项式的运算法则
5.同底数幂除法的运算性质
6.整体思想、代入求值
涉
及
主
要
知
识
点
本题失误
方法不对
三、典型失误分析
2.已知
，
，求
的值.
变式问题又该如何处理？
本题的关键不是具体求每一个未知量的值！
问题的本质是因式分解和整体代入求值！
若已知
，
求
的值.
若已知
，
求
的值.
三、典型失误分析
2.已知
，
，求
的值.
1.
确定公因式
2.
提公因式
3.
分解到不能分解为止
4.
整体代入求值
5.
计算得结果
解
题
思
路
三、典型失误分析
2.已知
，
，求
的值.
正
确
解
题
过
程
当
,
时
原式
三、典型失误分析
解：
2.已知
，
，求
的值.
解
题
过
程
变式1.已知
，
，求
的值.
原式
三、典型失误分析
解：
当
,
时
注意
解
题
过
程
方法的灵活性，
整体代入.
变式2.已知
，
，求
的值.
当
，
时
原式
三、典型失误分析
解：
一、主要的概念和原理
二、例题解析
三、典型失误分析
四、总结和梳理
本节课涉及的内容主要有：
四、总结和梳理
因式分解的一般步骤及注意事项
1.首先观察多项式的结构，确定有无公因式；
3.注意分解的彻底性；
2.其次，尝试公式法；
4.格式的规范性；
5.注意过程中的符号、项数以及换元思想.
课堂小结
1.复习提公因式法和公式法因式分解；
2.感受因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形；
3.灵活进行因式分解，注意完整性和分解的彻底性；
4.体会换元思想和整体代入.
课后作业
把下列各多项式分解因式:
（1）
（2）
（3）
（4）
.
；
；
；
感谢大家的观看，祝大家学习进步，
再见！
