北师大版八年级数学下册《第5章 分式与分式方程 》 单元练习（含答案）

第5章
分式与分式方程
一．选择题（共8小题）
1．下列分式是最简分式的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．分式，，的最简公分母是（　　）
A．3xy2
B．6x2y
C．36x2y2
D．6x2y2
3．若的值为，则的值是（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣
D．
4．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{3，6}＝6，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝的解为（　　）
A．2
B．﹣1﹣
C．2+2或2﹣2
D．2或﹣2﹣2
5．一个圆柱形容器的容积为Vm3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t分钟．设小水管的注水速度为x立方米/分钟，则下列方程正确的是（　　）
A．+＝t
B．+＝t
C．?+?＝t
D．+＝t
6．如果a﹣b＝5，那么代数式（﹣2）?的值是（　　）
A．﹣
B．
C．﹣5
D．5
7．若关于x的分式方程＝有增根，则m的值是（　　）
A．m＝﹣1
B．m＝1
C．m＝﹣2
D．m＝2
8．定义运算“※”：a※b＝．若5※x＝2，则x的值为（　　）
A．
B．或10
C．10
D．或
二．填空题（共7小题）
9．要使分式有意义，x的取值应满足　
　．
10．如果x+＝3，则的值等于　
　
11．分式化为最简分式的结果是　
　．
12．要使关于x的方程的解是正数，a的取值范围是　
　．
13．观察下列等式：
＝1﹣，＝﹣，＝﹣
将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣+﹣+﹣＝
（1）猜想并写出：＝　
　
（2）分式方程++＝1的解是　
　．
14．若分式方程有增根，则m的值是　
　．
15．某商店以定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销售，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．设该商店3月份这种商品的售价是x元，则根据题意所列方程为　
　．
三．解答题（共7小题）
16．解下列方程：
（1）
（2）
17．如果分式的值为0，求x的值是多少？
18．（1）当a为何值时，方程有増根？
（2）当a为何值时，方程无解？
19．（换元法）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8＝0
解：设x2﹣3x＝y则原方程可化为y2﹣2y﹣8＝0
解得：y1＝﹣2，y2＝4
当y＝﹣2时，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1
当y＝4时，x2﹣3x＝4，解得x1＝4，x2＝﹣1
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝4，x4＝﹣1，
根据以上材料，请解方程：
（1）（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4＝0．
（2）x2﹣3x+5+＝0
20．仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：＝＝2+＝2，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：＝＝1+．
（1）将分式化为带分式；
（2）当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？
21．“六一”儿童节前，玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．第一、二批玩具每套的进价分别是多少元？
22．购买甲、乙两种商品，甲商品单价比乙商品单价少20元，甲商品件数是乙商品件数的2倍，甲商品总价2000元，乙商品总价1400元．
（1）求这两种商品的单价；
（2）若甲商品单价调高10%，乙商品单价调低10%，购买这两种商品共50件，总价不超过3000元，则最多可购买多少件乙商品？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．
D．
2．
D．
3．
A．
4．
D．
5．
C．
6．
D．
7．
C．
8．
B．
二．填空题（共7小题）
9．x≠﹣5
10．
．
11．
．
12．
a＜﹣1且a≠﹣3．
13．（1）﹣；（2）x＝5
14．﹣1．
15．
＝﹣30．
三．解答题（共7小题）
16．解：（1）去分母得x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x﹣3）（x﹣1）≠0，
∴原方程的解为x＝﹣3；
（2）去分母得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣1）＝3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+2）（x﹣1）＝0，
∴x＝1不是原方程的解，
∴原方程无解．
17．解：依题意得：x2﹣1＝0且2x+2≠0，
解得x＝1，
即分式的值为0时，x的值是1．
18．解：（1）分式方程去分母得：x﹣2＝2x﹣6+a，
由分式方程有增根得到x﹣3＝0，即x＝3，代入整式方程得：3﹣2＝6﹣6+a，即a＝1；
（2）去分母得：3a+1＝ax+a，
当a＝0时，原分式方程无解；
当其有增根时，原分式方程无解，即x+1＝0，即x＝﹣1，
代入整式方程得：3a+1＝﹣a+a，即a＝﹣．
故a＝0或a＝﹣．
19．解：（1）设2x2﹣3x＝y，则原方程可化为y2+5y+4＝0
解得：y1＝﹣1，y2＝﹣4
当y＝﹣1时，2x2﹣3x＝﹣1，解得x1＝，x2＝1
当y＝﹣4时，2x2﹣3x＝﹣4，方程无解
∴原方程的根是x1＝，x2＝1；
（2）设x2﹣3x＝y，则原方程可化为y+5+＝0
去分母，可得y2+5y+6＝0
解得y1＝﹣2，y2＝﹣3
当y＝﹣2时，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1
当y＝﹣3时，x2﹣3x＝﹣3，方程无解
经检验：x1＝2，x2＝1都是原方程的解
∴原方程的根是x1＝2，x2＝1．
20．解：（1）原式＝
＝2+；
（2）∵原式＝2+，
∵x为整数时，
∴x﹣1＝±1，x﹣1＝±3时，分式的值为整数．
所以x的值可以为：2，0，4，﹣2．
21．解：设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元，
由题意，×1.5＝，
解得x＝50，
经检验x＝50是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是50元，第二批玩具每套的进价是60元．
22．解：（1）设：乙的单价为x元，则甲的单价为（x﹣20）元，
由题意得：，
解得：x＝70，
经检验x＝70是方程的根，
故x＝70；
答：甲、乙两种商品的单价分别为：50，70；
（2）设购买乙m件，则购买甲（50﹣m）件，
由题意得：50×（1+10%）×（50﹣x）+70×（1﹣10%）m≤3000，
解得：m≤31.25，m为整数，故最大为31；
答：最多可购买31件乙商品．