北师大版八年级数学下册 第4章 因式分解 单元练习(含答案)

第4章
因式分解
一．选择题（共10小题）
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A．y2﹣2y+4＝（y﹣2）2
B．10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）
C．a（x+y）＝ax+ay
D．t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t
2．多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（　　）
A．4ab2
B．4abc
C．2ab2
D．4ab
3．多项式a2﹣25与a2﹣5a的公因式是（　　）
A．a+5
B．a﹣5
C．a+25
D．a﹣25
4．把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（　　）
A．（a﹣2）（2x+y）
B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y）
D．（2﹣a）（2x﹣y）
5．下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+2x﹣1
B．x2﹣x+
C．x2+xy+y2
D．9+x2﹣3x
6．下列多项式，不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2b2﹣1
B．4﹣0.25a2
C．﹣x2+1
D．﹣a2﹣b2
7．已知多项式x2+bx+c因式分解的结果为（x﹣1）（x+2），则b+c的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣2
C．2
D．0
8．把多项式x2+mx﹣35分解因式为（x﹣5）（x+7），则m的值是（　　）
A．2
B．﹣2
C．12
D．﹣12
9．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：益，爱，我，数，学，广，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱学
B．爱广益
C．我爱广益
D．广益数学
10．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）＝，例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝，则F（36）的值是（　　）
A．
B．
C．1
D．
二．填空题（共6小题）
11．多项式m2﹣4，m2+m﹣6的公因式是　
　．
12．在实数范围内，把多项式3x2﹣9因式分解的结果是　
　．
13．在实数范围内分解因式：x4﹣5x2﹣6＝　
　．
14．已知x2﹣x﹣1＝0，则2018+2x﹣x3的值是　
　．
15．若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为　
　．
16．若a﹣b＝，ab＝﹣2，则代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值为　
　．
三．解答题（共6小题）
17．分解因式：6k2+9km﹣6mn﹣4kn．
18．如图（1），有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．
（1）若用A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片1张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为　
　，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式：　
　．
（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝　
　．
（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．
19．一个正整数m能写成m＝（a﹣b）（a+b）（a、b均为正整数，且a≠b），则称m为“美满数”，a、b为m的一个完美变形，在m的所有完美变形中，若a2+b2最大，则称a、b为m的最佳完美变形，此时F（m）＝a2+b2．例如：12＝（4+2）（4﹣2），12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32＝（9+7）（9﹣7）＝（6+2）（6﹣2），因为92+72＞62+22，所以9和7是32的最佳完美变形，所以F（32）＝130．
（1）8　
　（填“是”或“不是”）完美数；
10　
　（填“是”或“不是”）完美数；
13　
　（填“是”或“不是”）完美数；
（2）求F（48）；
（3）若一个两位数n的十位数字和个位数字分别为x，y（1≤x≤y≤9），n为“完美数”且x+y能被8整除，求F（n）的最小值．
20．大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简：…
（1）从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子．
（2）根据以上规律，计算．
21．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式　
　；
（2）利用（1）所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．
（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．
①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．
②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝　
　．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．B．
2．
D．
3．
B．
4．
A．
5．
B．
6．
D．
7．
A．
8．
A．
9．
C．
10．
C．
二．填空题（共6小题）
11．
m﹣2．
12．
3（x+）（x﹣）．
13．（x+）（x﹣）（x+）（x﹣）．
14．
2017．
15．﹣2．
16．﹣10．
三．解答题（共6小题）
17．解：6k2+9km﹣6mn﹣4kn
＝3k（2k+3m）﹣2n（3m+2k）
＝（2k+3m）（3k﹣2n）．
18．解：（1）由图（1）和图（2）可得正方形的边长为
a+b，
由图（2）可得因式分解的等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．
故答案为a+b，a2+2ab+b2＝（a+b）2；
（2）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴需要用A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张，
∴x+y+z＝2+5+2＝9；
故答案为9；
（3）三种拼法：
?第一种：A型卡片拿掉1张，B型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为5A+11b，宽为b，
∴b（5a+11b）＝5ab+11b2；
?第二种：A型卡片拿掉1张，C型卡片拿掉1张，则能拼出一个长方形，即长方形的长为3A+5b，宽为2b，
∴2b（3a+5b）＝6ab+10b2；或者长为6A+10b，宽为b，∴（6a+10b）b＝6ab+10b2；此种情况共2种拼法；
?第三种：C型卡片拿掉2张，则能拼出一个正方形方形，即正方形边长为A+3b，
?∴（a+3b）2＝a2+6ab+9b2．
19．解：（1）∵8＝（3﹣1）×（3+1），
∴8是完美数；
∵10不能写成两个正整数和与差乘积的形式，
∴10不是完美数；
∵13＝（7﹣6）×（7+6），
∴13是（填“是”或“不是”）完美数．
故答案为：是，不是，是；
（2）a+b，a﹣b同为奇数或同为偶数，所以48＝24×2
或
48＝12×4
或48＝8×6，
，
解得：，
∵132+112＞82+42＞72+12
∴F（n）＝132+112＝290
（3）由题可知：n＝10x+y＝（a+b）（a﹣b）．
∵x+y能够被8整除且1≤x≤y≤9，
∴x+y＝8或x+y＝16
①当x+y＝8时，1≤x≤y≤9，∴x＝1或2或3或4，
即n＝17或26或35或44，而26不是“完美数”
或，
解得：或．
F（17）＝92+82＝145，F（35）＝182+172＝613，F（44）＝122+102＝244
②当x+y＝16时，1≤x≤y≤9，∴x＝7或8，
∴n＝79或88
∴或或，
解得或或，
∴F（79）＝402+392＝3121，F（88）＝232+212＝970，
∴F（n）的最小值为145．
20．解：（1）；
（2）原式＝
＝．
21．解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20；
（4）①根据题意，作出图形如下：
②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．
故答案为（a+2b）（2a+b）．