1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t2+2. 则v(t)= S (t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=- t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=- t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车进似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s的近似值，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是吗？
练习：P45面练习第2题.
思考：怎样求上式中汽车在2≤t≤4这段时间行驶的路程？1.2．1 几种常见函数的导数
一、教学目标：熟记公式(C )＝0 (C为常数)， (x)＝1， ( x2 )＝2x，
．
二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础.
教学难点：灵活运用五种常见函数的导数.
三、教学过程：
（一）公式1：(C )＝0 (C为常数)．
证明：y＝f(x)＝C, Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝C－C＝0,
也就是说，常数函数的导数等于0．
公式2： 函数的导数
证明：（略）
公式3： 函数的导数
公式4： 函数的导数
公式5： 函数的导数
（二）举例分析
例1. 求下列函数的导数．
⑴ ⑵ ⑶
解：⑴
⑵
⑶
练习
求下列函数的导数：
⑴ y＝x5； ⑵ y＝x6； （3） （4） （5）
例2．求曲线和在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积。
例3．已知曲线上有两点A（1，1），B（2，2）。
求：（1）割线AB的斜率； （2）在[1，1+△x]内的平均变化率；
（3）点A处的切线的斜率； （4）点A处的切线方程
例4．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0 的最短距离．
（三）课堂小结
几种常见函数的导数公式
(C )＝0 (C为常数)， (x)＝1， ( x2 )＝2x， ．
（四）课后作业1．5.1 曲边梯形的面积
教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
复习引入
问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是怎样求得的？
问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段.我们吧由直线x=a，x=b
(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？
问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？
问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？
问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲”
问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？
问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九：
练习：P42面练习
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？
作业《习案》作业十四.1.5.3 定积分的概念
教学目标：
了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
理解定积分及几何意义.
掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算
教学过程：
定积分的定义：
怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？
你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0，x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分 推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分．3．2 函数的极值与导数(1)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.
教学难点：严格套用求极值的步骤.
三、教学过程：
（一）函数的极值与导数的关系
1、观察下图中的曲线
a点的函数值f(a)比它临近点的函数值都大．b点的函数值f(b)比它临近点的函数值都小．
2、观察函数 f(x)＝2x3－6x2＋7的图象，
思考：函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的函数值，与它们附近所有各点
处的函数值，比较有什么特点
（1）函数在x＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，
我们说 f(0) 是函数的一个极大值；
（2）函数在x＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，
则f(2)是函数的一个极小值．
函数y＝2x3－6x2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．
函数y＝2x3－6x2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )．
3、极值的概念：
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜ f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值＝f(x0)；
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)
我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．
极大值与极小值统称为极值．
4、观察下图中的曲线
考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．
上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，
极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．
函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点不能成为极值点．
函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
5、利用导数判别函数的极大（小）值：
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，判别f(x0)是极大（小）值的方法是：
⑴如果在x0附近的左侧f '(x)＞0，右侧f '(x)＜0，那么，f(x0)是极大值；
⑵如果在x0附近的左侧f '(x)＜0，右侧f '(x)＞0，那么，f(x0)是极小值；
思考：导数为0的点是否一定是极值点？
导数为0的点不一定是极值点．
如函数f(x)＝x3，x＝0点处的导数是0，但它不是极值点．
例1求函数
解：y＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令 y＝0，解得 x1＝－2，x2＝2．
当x变化时，y，y的变化情况如下表．
因此，当x＝－2时， y极大值＝ ，当x＝2时，y极小值＝－．
求可导函数f (x)的极值的步骤：
⑴ 求导函数f (x)； ⑵ 求方程 f (x)＝0的根；
⑶ 检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值．
例2．求函数的极值
例3 求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．
解：定义域为R，y＝6x(x2－1)2.由y＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1
当x变化时，y，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
例4．的极值 例5．的极值
思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？
练习：求函数的极值
（三）课堂小结1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤.
（四）课后作业1．4 生活中的优化问题（三）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1 。教材P35面的例3
例2．某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤a≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).
例3．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（单位：）
故底面正六边形的面积为：
=，（单位：）
帐篷的体积为：
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
例4．水库的需水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系为：
（1）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
课后作业
阅读教科书P.34-----P35
《学案》P32面双基训练
O
O11．3．3 函数的最大值与最小值(一)
一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.
二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.
教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.
三、教学过程：
（一）复习引入
1、问题1：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
2、问题2：观察函数f(x)在区间[a，b]上的图象，找出函数在此区间上
的极大值、极小值和最大值、最小值．
（见教材P30面图1．3－14与１．３－15）
3、思考：⑴ 极值与最值有何关系？
⑵ 最大值与最小值可能在何处取得？
⑶ 怎样求最大值与最小值？
4、求函数y＝在区间[0, 3]上的最大值与最小值．
（二）讲授新课
1、函数的最大值与最小值
一般地，设y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，在[a，b]上y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值。
函数的极值是从局部考察的，函数的最大值与最小值是从整体考察的。
2、求y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分为两步进行：
⑴ 求y＝f(x)在(a，b)内的极值；
⑵ 将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
例1．求函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2, 2]上的最大值与最小值．
解： y'＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)令y'＝0，即 4x(x＋1)(x－1)＝0，
解得x＝－1，0，1．当x变化时，y'，y的变化情况如下表：
故 当x＝±2时，函数有最大值13，当x＝±1时，函数有最小值4．
例2．求函数y＝在区间[-2, ]上的最大值与最小值．
例3. 求函数的最大值和最小值.
例4. 求函数的最大值和最小值.
（三）课堂小结
已知函数解析式，确定可导函数在区间[a, b]上最值的方法；
（四）课后作业1.7.2 定积分在物理中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）．
A． B．2 C． D．
2．曲线y = cos x与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）
A．4 B．2 C． D．3
3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．
解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．
选择x作积分变量，则所求面积为
=
=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 ．
例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功
1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2
2．一物体在力F (x) =（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B ）
A．44J B．46J C．48J D．50J
3．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmd (k + 1) = GMm
=．
（三）、作业《习案》1．4 生活中的优化问题（一）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大（最小）问题
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解：设箱底边长为xcm，则箱高
箱子容积(0＜x＜60)．
解得 (不合题意，舍去) 并求得
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．
答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．
在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．
这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．
求最大（最小）值应用题的一般方法：
⑴ 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；
⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；
⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点．
练习
1．把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？
2．把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？
练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
例2．教材P34面的例1。
课后作业
阅读教科书P.34
《习案》作业十一§1.1.1变化率问题
教学目标
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么
直线AB的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
求在附近的平均变化率。
解：，所以
所以在附近的平均变化率为
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
h
t
o
f(x2)
y=f(x)
y
△y =f(x2)-f(x1)
f(x1)
△x= x2-x1
x2
x1
x
O§1.2.1几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用
教学难点： 四种常见函数、、、的导数公式
教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课讲授
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数 导数
表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数的导数
因为
所以
函数 导数
表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为
所以
函数 导数
（2）推广：若，则
三．课堂练习
1．课本P13探究1
2．课本P13探究2
4．求函数的导数
四．回顾总结
函数 导数
五．布置作业
1.7.1 定积分在几何中的应用
一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求曲边图形的面积
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．若dx = 3 + ln 2，则a的值为（ D ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．设，则dx等于（ C ）
A． B． C． D．不存在
3．求函数的最小值
解：∵．
∴． ∴当a = – 1时f (a)有最小值1．
4．求定分dx．
5．怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么
表示轴，曲线及直线，之间的各部分面积的代数和，
在轴上方的面积取正，在轴下方的面积取负
二、新课
例1．教材P56面的例1
例2．教材P57面的例2。
练习：P58面
例3．求曲线y=sinx ,x与直线x=0 ,,x轴所围成图形的面积。
练习：
1．如右图，阴影部分面积为（ B ）
A．dx
B．dx
C．dx
D．dx
2．求抛物线y = – x2 + 4x – 3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成的面积．
四、作业：《习案》1.3.1函数的单调性与导数（一）
一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.
教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.
三、教学过程
（一）复习引入
1．增函数、减函数的定义
一般地，设函数 f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．
2．函数的单调性
如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
例1讨论函数y＝x2－4x＋3的单调性．
解：取x1＜x2，x1、x2∈R， 取值
f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差
＝(x1－x2)(x1＋x2－4) 变形
当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号
∴y＝f(x)在(－, 2)单调递减． 判断
当2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，
∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y＝f(x)在(－, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。
能否利用导数的符号来判断函数单调性？
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内可导，
如果f(x)'＞0，则f(x)为增函数； 如果f(x)'＜0，则f(x)为减函数．
例2．教材P24面的例1。
例3．确定函数f(x)＝x2－2x＋4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解： f(x)'＝2x－2． 令2x－2＞0，解得x＞1．
因此，当x∈(1, +∞)时，f(x)是增函数．
令2x－2＜0，解得x＜1．
因此，当x∈(－∞, 1)时，f(x)是减函数．
例4．确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解：f(x)'＝6x2－12x．
令6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2．
因此，当x∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，
当x∈(2, ＋∞)时， f(x)也是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
因此，当x∈(0, 2)时，f(x)是减函数．
利用导数确定函数的单调性的步骤：
(1) 确定函数f(x)的定义域；
(2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f (x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
练习1：教材P24面的例2
利用导数的符号来判断函数单调性:
设函数y＝f(x)在某个区间内可导
(1)如果f '(x)＞0 ，则f(x)为严格增函数； (2)如果f '(x)＜0 ，则f(x)为严格减函数．
思考：（1）若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的什么条件？
若f '(x)＞0是f(x)在此区间上为增函数的充分而非必要条件．
例如 f(x)＝x3，当x=0，f '(x)=0，x≠0时，f '(x)>0，函数 f(x)＝x3在(－∞,＋∞)上是增函数．
（2）若f '(x) ＝0在某个区间内恒成立，f(x)是什么函数 ？
若某个区间内恒有f '(x)＝0，则f (x)为常数函数．
练习2. 教科书P.26练习(1)
（三）课堂小结
1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法.
（四）作业1．2．2基本初等函数的导数及导数的运算法则(1)
一、教学目标：掌握八个函数求导法则及导数的运算法则并能简单运用.
二、教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数..
教学难点：商求导法则的理解与应用.
三、教学过程：
（一）新课
1．P14面基本初等函数的导数公式（见教材）
2．导数运算法则：
（1）．和（或差）的导数
法则1 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即
(u±v)＝u±v．
例1 求y＝x3＋sinx的导数．
解：y'＝(x3)'＋(sinx)' ＝3x2＋cosx．
例2 求y＝x4－x2－x＋3的导数．
解：y'＝4x3 －2x－1．
（2）．积的导数
法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 (uv)＝uv＋uv．
由此可以得出 (Cu)＝C u＋Cu＝0＋Cu＝Cu ．
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 (Cu)＝Cu ．
例3 求y＝2x3－3x2＋5x－4的导数．
解：y'＝6x2－6x＋5．
例4 求y＝(2x2＋3) (3x－2) 的导数．
解：y'＝(2x2＋3)'(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)'＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9．
或：，
练习
1．填空：
⑴ [(3x2＋1)(4x2－3)]'＝( 6x )(4x2－3)＋ (3x2＋1)( 8x )；
⑵ (x3sinx)'＝( 3 )x2·sinx＋x3· ( cosx )．
2．判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：
[(3＋x2)(2－x3)]'＝2x(2－x3)＋3x2(3＋x2)．
[(3＋x2)(2－x3)]'＝2x(2－x3)－3x2(3＋x2)．
3．求下列函数的导数：
⑴ y＝2x3＋3x2－5x＋4； ⑵ y＝ax3－bx＋c； ⑶ y＝sinx－x＋1；
（4） y＝(3x2＋1)(2－x)； （5） y＝(1＋x2)cosx； （6）
例5． 已知函数f(x)＝x2(x－1)，若f ' (x0)＝f(x0)，求x0的值．
（3）商的导数
例6．求下列函数的导数
（1） （2） （3）
练习：求下列函数的导数
（1） （2）
例7．求函数的导数
思考：设 f(x)＝x(x＋1) (x＋2) … (x＋n)，求f '(0)．
练习. 函数f(x)＝x(x－1) (x－2)(x－3) …(x－100)在x＝0处的导数值为( )
A. 0 B. 1002 C. 200 D. 100!
（三）课 堂 小 结
1．和（或差）的导数 (u±v)＝u±v．
2．积的导数 (uv)＝uv＋uv．
（四）课 后 作 业1.6 微积分基本定理
一、教学目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点
重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三、教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）因为，
所以。
（2））因为，
所以
。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四、课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练。1．4 生活中的优化问题（二）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S＝2Rh＋2R2．
则
从而 即h＝2R．
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
例2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的
函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大．
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：
求得唯一的极值点 q＝84．
因为L只有一个极值，所以它是最大值．
答：产量为84时，利润L最大．
练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？
例3．教材P34面的例2
课后作业§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 ( http: / / www. / / )。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
函数 导数
四种常见函数、、、的导数公式及应用
二．新课讲授
（一）基本初等函数的导数公式表
函数 导数
（二）导数的运算法则
导数运算法则
1．2．3．
（2）推论：
（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有
所以（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）
（2）y ＝；
（3）y ＝x · sin x · ln x；
（4）y ＝；
（5）y ＝．
（6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex
（7） y ＝
【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．
例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．
四．课堂练习
1．课本P92练习
2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（y ＝－12 x ＋8）
五．回顾总结
（1）基本初等函数的导数公式表
（2）导数的运算法则
六．布置作业§1.1.2导数的概念
教学目标
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
教学过程：
一．创设情景
（一）平均变化率
（二）探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
二．新课讲授
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：
思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
2 导数的概念
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
我们称它为函数在出的导数，记作或，即
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（2），当时，，所以
三．典例分析
例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2
再求再求
解：法一（略）
法二：
（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
四．课堂练习
1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．
2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．
3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
五．回顾总结
1．瞬时速度、瞬时变化率的概念
2．导数的概念
六．布置作业
h
t
o
