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第12章 统计学初步
第12章 统计学初步
总体
个体
样本
观测数据
样本容量
抽样
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A
第12章
DI
SHI
ER
ZHANG
统计学初步
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破12．1.1 总体、个体和总体均值
12．1.2 样本与样本均值
12．1.3 方差和标准差
1.通过实例了解总体、个体、总体均值与样本均值． 2.理解样本数据标准差的意义和作用．
3．掌握标准差的计算．
1．相关概念
(1)总体：我们所要调查对象的全体叫作总体．
(2)个体：总体中的每个成员叫作个体．
(3)样本：从总体中抽取一部分个体，称这些个体为样本，也称为观测数据．
(4)样本容量：样本中个体的数目叫作样本容量，简称样本量．
(5)抽样：从总体中抽取样本的工作称为抽样．
(6)样本均值：是样本的平均值，用表示．
2．方差和标准差
(1)总体方差：当y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值时，称σ2＝
是总体的平均平方误差，简称为总体方差或方差．
(2)样本方差：给定n个观测数据x1，x2，…，xn，用x表示这n个数据的均值．称为这n个数据的样本方差，简称为方差．
(3)标准差：
方差的算术平方根．
如果s2是样本方差，就称s＝是样本标准差．
如果σ2是总体方差，就称σ＝是总体标准差．
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)数据5，4，4，3，5，2的众数为4.( )
(2)数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半．( )
(3)方差与标准差具有相同的单位．( )
(4)如果一组数据中每个数据减去同一个非零常数，则这组数据的平均数改变，方差不变．( )
解析：(1)中的众数应为4和5；(2)正确；(3)二者单位不一致；(4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．众数＝中位数＝平均数
解析：选D.平均数、中位数、众数皆为50，故选D.
3．已知五个数据3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________．
解析：因为＝×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，
所以s＝＝.
答案：
众数、中位数、平均数的综合应用[学生用书P29]
高一(3)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．
(1)求这次测验全班平均分(结果保留两位小数)；
(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？
(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么？
【解】 (1)利用平均数计算公式得x＝(82×27＋80×21)≈81.13(分)．
(2)因为男同学的中位数是75，
所以至少有14人得分不超过75分．
又因为女同学的中位数是80，
所以至少有11人得分不超过80分．
所以全班至少有25人得分低于80分(含80分)．
(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大．
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
[注意] 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值．
1.在一次数学测验中，某小组14名学生的成绩与全班的平均分85分的差分别是(单位：分)：2，3，－3，－5，12，12，8，－2，－1，4，－10，－2，5，5，那么这个小组的平均分是( )
A．88分
B．87分
C．86分
D．85分
解析：选B.2＋3＋(－3)＋(－5)＋12＋12＋8＋(－2)＋(－1)＋4＋(－10)＋(－2)＋5＋5＝28(分).
85＋＝87(分).
方差及标准差的应用[学生用书P29]
甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．
【解】 (1)
甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)
＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s＞s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
(1)用样本的标准差、方差估计总体的方法
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．
(2)标准差(方差)的作用
在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策．在平均数相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．
2.从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
解：(1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)
＝×310＝31(cm)．
所以甲＜乙．
即乙种玉米苗长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]
＝(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)
＝×1
042＝104.2(cm2)，
s＝[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]
＝×1
288＝128.8(cm2)．
所以s＜s.
即甲种玉米苗长得齐．
有关统计的探究性问题[学生用书P30]
在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数(分)
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
【解】 (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)因为2＋5＋10＋13＋14＋6
＝4＋4＋16＋2＋12＋12＝50，
所以s＝[2(50－80)2＋5(60－80)2＋10(70－80)2＋13(80－80)2＋14(90－80)2＋6(100－80)2]＝(2×900＋5×400＋10×100＋13×0＋14×100＋6×400)＝172，
s＝[4(50－80)2＋4(60－80)2＋16(70－80)2＋2(80－80)2＋12(90－80)2＋12(100－80)2]＝(4×900＋4×400＋16×100＋2×0＋12×100＋12×400)＝256.
因为s所以甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组成绩好些．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩在80分以上(包含80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包含80分)的有26人，从这一角度看，甲组的成绩较好．
要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．
3.已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是________，________．
解析：这10个数的中位数为＝10.5.
这10个数的平均数为10.
要使总体方差最小，即(a－10)2＋(b－10)2最小．
由＝10.5得a＋b＝21，b＝21－a，
所以(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(11－a)2＝2a2－42a＋221.
当a＝－＝10.5时，2a2－42a＋221最小，此时b＝10.5.
答案：10.5 10.5
1．如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策．
2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现的次数最多的数据，而不是该数据出现的次数．一组数据的中位数是唯一的．
1．样本101，98，102，100，99的标准差为( )
A.
B．0
C．1
D．2
解析：选A.样本平均数＝100，方差为s2＝2，
所以标准差s＝，故选A.
2．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．
解析：设40个数据为xi(i＝1，2，…，40)，平均数为x.
则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]
＝(x＋x＋…＋x－402)
＝×(56－40×)
＝0.9.
所以s＝.
答案：0.9
3．某工厂人员及工资构成如下表：
人员
经理
管理人员
高级技工
工人
学徒
合计
周工资
2
200
250
220
200
100
人数
1
6
5
10
1
23
合计
2
200
1
500
1
100
2
000
100
6
900
(1)指出这个工厂人员周工资的众数、中位数、平均数．
(2)这个问题中，平均数能客观地反映该工厂人员的工资水平吗？为什么？
解：(1)由表格可知：众数为200，中位数为220.
平均数为6
900÷23＝300.
(2)虽然平均数为300，但由表格中所列出的数据可知，只有经理在平均数以上，其余人员的工资都在平均数以下，故用平均数不能客观地反映该工厂人员的工资水平．
[A 基础达标]
1．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，94，93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值为( )
A．92
B．92.2
C．93.2
D．93
解析：选A.＝＝92.
2．设x是x1，x2，x3，…，xn的平均数，是x1＋，x2＋，x3＋，…，xn＋的平均数，则与的关系式是( )
A．＝
B．＝＋
C．＝
D．＝(＋)
解析：选B.
＝
＝·＋
＝＋.
3．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每个数据都扩大3倍，所得的新数据的方差为( )
A.s2
B．s2
C．3s2
D．9s2
解析：选D.每个数据都扩大3倍，
则这组数据的平均数也扩大3倍，
由s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－n)2]知方差扩大9倍．
4．对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列结论：
①这组数据的众数是3；
②这组数据的众数与中位数的数值不相等；
③这组数据的中位数与平均数的数值相等；
④这组数据的平均数与众数的数值相等．
其中正确的结论的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A.在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数＝＝4.故只有①正确．
5．如图是某市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图(温度为整数)，则甲、乙两地这十天的日平均气温甲，乙，和日平均气温的标准差s甲，s乙的大小关系应为( )
A．甲＝乙，s甲＜s乙
B．甲＝乙，s甲＞s乙
C．甲＞乙，s甲＜s乙
D．甲＞乙，s甲＞s乙
解析：选B.由折线统计图可得甲、乙两地五月上旬10天的日平均气温，从方差的统计意义是各数据浮动的大小可得乙的标准差比较小．则只需要计算均值即可．
甲＝＝26，
乙＝＝26.
故选B.
6．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分、0分的学生所占比例分别为30%、40%、20%、10%.若全班共有30人，则全班同学的平均得分是________分．
解析：全班得3分，2分，1分，0分的学生数分别是30×30%＝9，30×40%＝12，30×20%＝6，30×10%＝3，则全班同学的平均分是＝1.9.
答案：1.9
7．已知样本数据9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝________．
解析：因为9＋10＋11＋x＋y＝50.
1＋1＋(x－10)2＋(y－10)2＝10，
所以x＋y＝20.
x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
所以(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，
所以xy＝96.
答案：96
8．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．
解析：这组数据的平均数＝＝5.1，则方差s2＝
＝＝0.1
答案：0.1
9．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数．
甲：10，9，10，10，11，11，9，11，10，10；
乙：8，10，14，7，10，11，10，8，15，12.
估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间较具有一致性与可靠性．
解：甲＝(10＋9＋10＋10＋11＋11＋9＋11＋10＋10)＝10.1(天)，
s＝[(10－10.1)2＋(9－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2＋(11－10.1)2＋(11－10.1)2＋(9－10.1)2＋(11－10.1)2＋(10－10.1)2＋(10－10.1)2]＝0.49；
乙＝(8＋10＋14＋7＋10＋11＋10＋8＋15＋12)
＝10.5(天)，
s＝[(8－10.5)2＋(10－10.5)2＋(14－10.5)2＋(7－10.5)2＋(10－10.5)2＋(11－10.5)2＋(10－10.5)2＋(8－10.5)2＋(15－10.5)2＋(12－10.5)2]＝6.05.
从交货天数的平均数来看，甲供货商的供货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲供货商的交货时间较具有一致性与可靠性．
10．某车间20名工人年龄数据如表所示：
年龄(岁)
工人数(人)
19
1
28
3
29
3
30
5
31
4
32
3
40
1
合计
20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)求这20名工人年龄的方差．
解：(1)这20名工人年龄的众数为30，这20名工人年龄的极差为40－19＝21.
(2)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30，
所以这20名工人年龄的方差为：
s2＝[(30－19)2＋3(30－28)2＋3(30－29)2＋5(30－30)2＋4(30－31)2＋3(30－32)2＋(30－40)2]＝12.6.
[B 能力提升]
11．一个样本a，3，5，7的平均数是b，且a、b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选C.x2－5x＋4＝0的两根是1，4.
当a＝1时，a，3，5，7的平均数是4；当a＝4时，a，3，5，7的平均数不是1.所以a＝1，b＝4.则方差s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
12．若执行如图所示的程序框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2则输出的数等于________．
解析：通过程序框图可以看出本题的实质是求数据x1，x2，x3的方差，根据方差公式，得S＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝.
答案：
13．为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A、B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20
mm的零件的测试，他俩各加工的10个零件的相关数据如图所示．(单位：mm)
平均数
方差
完全符合要求个数
A
20
0.026
2
B
20
s
5
根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：
(1)考虑平均数与完全符合要求的个数，你认为谁的成绩好些；
(2)计算出s的大小，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；
(3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况，你认为派谁去参赛较合适？说明你的理由．
解：(1)因为A、B两位同学成绩的平均数相同，同学B加工零件的完全符合要求个数较多，由此认为B的成绩好些．
(2)因为s＝×[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋(20.1－20)2＋(20.2－20)2]＝0.008，
且s＝0.026，
所以s>s.在平均数相同的情况下，B的波动性小，
所以B的成绩好些．
(3)从图中折线图走势可知，尽管A的成绩前面起伏较大，但后来逐渐稳定，误差逐渐减小，而B的稳定性变得越来越差，从竞赛的角度考虑，可选派A去参赛．
14．(选做题)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．
(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；
(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．
解：(1)
环数
6
7
8
9
10
甲命中次数
2
2
2
乙命中次数
1
3
2
(2)
甲＝9环，乙＝9环，s＝，s＝1，
因为甲＝乙，s＜s，
所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．
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A
开始
输入x1,x2,x3,x
i=1.S=0
S=S+(x-x)2L=计+
是
i<3
否
S=S
输出S
结束
零件直径:mm
20.3
20.2
20.1
20.0
199
19.8
19.7
二三四五六七八九十件数
B
6|789
6|7879
甲射击的靶
乙射击的靶
