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第12章 统计学初步
第12章 统计学初步
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A
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破12．2.1 随机抽样
12．2.2 调查问卷的设计
1.理解并掌握简单随机抽样的概念、特点和步骤． 2.掌握简单随机抽样的两种常用方法．
1．简单随机抽样的定义
如果总体中的每个个体都有相同的机会被抽中，就称这样的抽样为随机抽样，简单随机抽样指无放回地随机抽样．
2．简单随机抽样的分类
简单随机抽样
其中，随机数法即利用随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)有放回地抽样也可能是简单随机抽样．( )
(2)在简单随机抽样中，一次可以抽取多个个体．( )
(3)抽签法和随机数法都是简单随机抽样．( )
(4)无论是抽签法还是随机数法，每一个个体被抽到的机会都是均等的．( )
(5)抽签法和随机数法都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．抽签法中确保样本代表性的关键是( )
A．制签
B．搅拌均匀
C．逐一抽取
D．抽取不放回
解析：选B.逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性，制签也一样．
3．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．从100个学生家长中一次性随机抽取10人做家访
B．从38本教辅参考资料中有放回地随机抽取3本作为教学参考
C．从偶数集中一次性抽取20个进行奇偶性分析
D．某参会人员从最后一排20个座位中随机选择一个坐下
解析：选D.A选项错在“一次性”抽取；B选项错在“有放回”抽取；C选项错在“一次性”“总体容量无限”．故正确选项为D.
简单随机抽样的概念[学生用书P31]
下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；
(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵参加抗震救灾工作；
(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．
【解】 (1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．
(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．
(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．
(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．
判定简单随机抽样的方法
判断一个抽样方法是否属于简单随机抽样，只需要对简单随机抽样的4个特征(有限性、逐一性、不放回性、等可能性)进行验证，若全部满足，则该抽样方法为简单随机抽样，若有其中一条不满足，则不是简单随机抽样．
1.下列抽样方式是否是简单随机抽样？
(1)某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格；
(2)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
(3)人们打桥牌时，将洗好的牌随机确定一张起始牌，按次序发牌时，对任何一家来说，都是从52张牌中抽取13张．
解：由简单随机抽样的特点可知，(1)(2)均不是简单随机抽样．
(3)简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始牌，其他各张牌虽然是逐张发牌，但是各张在谁手里已被确定，所以不是简单随机抽样．
随机数法的应用[学生用书P32]
有一批机器编号为1，2，3，…，112，请用随机数法抽取10台入样，写出抽样过程．
【解】 用计算机在1至112中随机产生10个随机数，例如这10个数为74，100，94，52，80，3，105，107，83，92，这10个数对应的机器便是要抽取的对象．
随机数法抽样的步骤
(1)编号：将总体中的每个个体进行编号．
(2)产生随机数：用计算机或随机数骰子产生n(样本容量)个随机数．
(3)获取样本：从总体中抽取与随机数编号对应的个体作为样本．
2.设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤．
解：步骤如下：
第一步：将100名教师编号1，2，…，100.
第二步：用计算机产生12个随机数，例如这12个随机数为75，84，16，7，44，99，83，11，46，32，24，20，则与这12个编号对应的教师组成样本．
这样我们就得到一个容量为12的样本．
调查问卷的设计[学生用书P32]
某地区公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查，请设计一个调查方案和一个调查问卷．
【解】 调查方案：
设计了一个随机化装置，这是一个装有大小，形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球(摸出的球再放回袋中)，摸到白球的学生回答后面调查问卷的第一个问题，摸到红球的学生如实回答调查问卷的第二个问题．回答“是”的人往一个盒子中放一个石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”．而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的回答．
在问卷的设计中不但要考虑“难以启齿”问题本身对调查结果的影响，而且还要考虑其他因素，在随机抽样的前提下，具体抽样调查的实施方式也会影响调查的结果．
简单随机抽样的四个特点
(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．
(2)它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．
(3)它是一种不放回抽样，抽样实践中多采用不放回抽样，由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，因此便于进行有关的分析和计算．
(4)它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
(1)运用随机数法进行抽样，在编号时，对于两位数的编号，一般是将起始号编为00，而不是01，它的好处在于它可使100个个体都可用两位数字号码表示，否则将会出现三位数字号码100，这样确定的起始号便于我们使用随机数表．
(2)调查问卷为确保结果的准确性，一定要考虑方式方法，注意影响结果的因素．
1．下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表
B．从实数集中逐个抽取10个数分析能否被2整除
C．福利彩票用摇奖机摇奖
D．规定凡买到明信片的最后几位号码是“6637”的人获三等奖
解析：选C.简单随机抽样要求总体个数有限，从总体中逐个进行不放回抽样，每个个体有相同的可能性被抽到．分析可知选C.
2．从某批零件中抽取50个，然后再从这50个中抽取40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该产品的合格率为( )
A．36%
B．72%
C．90%
D．25%
解析：选C.×100%＝90%.
3．下列调查中属于抽样调查的是________．
①每隔5年进行一次人口普查；②某商品的质量优劣；
③某报社对某个事件进行舆论调查；④高考考生的身体检查．
解析：①④都是普查，不是抽样调查，②③是抽样调查．
答案：②③
4．某工厂共有n名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为，则n＝________．
解析：由于简单随机抽样为机会均等抽样．
因此由＝得n＝100.
答案：100
5．要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．
解：抽样方法是抽签法，抽样过程如下：
(1)将30辆汽车编号，号码是01，02，…，30.
(2)将号码分别写在相同纸上，揉成大小、形状都相同的团，制成号签．
(3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并搅拌均匀．
(4)从袋子中依次抽取3个号签，并记录上面的编号．
(5)所得号码对应的3辆汽车就是所要抽取的对象．
[A 基础达标]
1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )
A．与第几次抽样有关，第一次被抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次被抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次被抽中的可能性要大些
D．与第几次抽样无关，最后一次被抽中的可能性要大些
解析：选B.简单随机抽样是一种等可能性抽样，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
2．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N为( )
A．200
B．150
C．120
D．100
解析：选C.由＝25%，得N＝120，故选C.
3．下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
A．从某厂生产的3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
解析：选B.A、D中个体总数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B中个体数和样本容量均较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看成是搅拌均匀了．
4．为了了解参加运动会的2
000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的为( )
①2
000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤这个抽样方法可采用随机数法抽样；
⑥每个运动员被抽到的机会相等．
A．①⑤⑥
B．④⑤⑥
C．③④⑤
D．①②③
解析：选B.①2
000名运动员不是总体，2
000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本．
5．用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.，
B．，
C.，
D．，
解析：选A.简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等，都为.
6．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球入样的可能性估计是________；第三次抽取时，每个小球入样的可能性估计是________．
解析：因为简单随机抽样时每个个体入样的可能性均为，所以某一特定小球入样的可能性是.此抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球入样的可能性均为；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球入样的可能性均为；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球入样的可能性均为.
答案：
7．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的机率是________．
解析：简单随机抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的机率都是＝.
答案：
8．从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，每个个体被抽到的可能性是，则N的值是________．
解析：从个体数为N的总体中抽出一个样本容量是20的样本，
所以每个个体被抽取的可能性是.
因为每个个体被抽取的可能性是，
所以＝，所以N＝100.
答案：100
9．某电视台举行颁奖典礼邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中抽取10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用简单随机抽样确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．
解：第一步先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个大小、形状都相同的号签．在号签上写上这些编号，然后投入一个不透明的袋子中摇匀，从中抽出10个号签．则相应编号的艺人参加演出；
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中随机挑选6人．
第二步确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签．上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，各人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序．再汇总即可．
10．某校2017级高一年级有50位任课教师，为了调查老师的业余兴趣情况打算抽取一个容量为5的样本，问此样本若采用抽签法将如何获得？
解：首先，把50位任课教师编上号码：1，2，3，…50.制作50个形状、大小相同的号签(号签可以用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在一个不透明的箱子里，进行均匀搅拌．抽签时，每次从中抽出1个号签，不放回，连续抽取5次，就得到一个容量为5的样本．
[B 能力提升]
11．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样的方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为( )
A.
B．
C.
D．N
解析：选A.总体中带有标记的比例是，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为.
12．从一群玩游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏．过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为( )
A.
B．k＋m－n
C.
D．不能估计
解析：选C.设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
13．某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
解：最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法．
法一：(抽签法)将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，搅拌均匀，接着连续抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．
法二：(随机数法)将100件轴编号为1，2，…，100，用计算机在1至100中随机抽取10个随机数，例如：这10个数为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10个号签对应的轴即为所要测量直径的轴．
14．(选做题)假设要从高三年级全体学生450人中随机抽出20人参加一项活动，请分别用抽签法和随机数法抽出人选，写出抽取过程．
解：抽签法：先把450名同学的学号写在相同小纸片上，揉成大小相同的小球，放在一个不透明的袋子中，充分搅拌后，再从中逐个抽出20个小球，这样就抽出20人参加活动．
随机数法：将450名同学编号，用计算机产生20个随机数，例如这20个随机数为65、34、128、8、164、185、203、268、234、303、324、403、425、272、99、83、10、41、97、327，则这20个编号对应的同学组成样本．
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第12章 统计学初步
第12章 统计学初步
代表性
准确度
实施简单
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预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破12．2.3 分层抽样和系统抽样
1.通过实例了解分层抽样、系统抽样的方法． 2.理解分层抽样、系统抽样的适用范围．
3．掌握三种抽样的步骤及之间的关系．
1．分层抽样
(1)定义：分层抽样就是把总体A分成L个互不相交的子总体：A＝A1＋A2＋…＋AL．称这些子总体为层，称Ai为第i层，然后在每层中独立地进行简单随机抽样．
(2)N表示总体A的个体总数，用Ni表示第i层的个体总数时，有N＝N1＋N2＋…＋NL，则称：Wi＝(i＝1，2，…，L)为第i层的层权．
(3)用μ表示A的总体均值，对i＝1，2，…，L，用i表示从第i层抽出样本的样本均值，称＝W11＋W22＋…＋WLL是总体均值μ的简单估计．
(4)分层抽样的特点
①分层抽样在获得总体均值估计的同时，也得到各层的均值估计．
②将差别不大的个体分在同一层，使得分层抽样得到的样本更具有代表性，从而提高估计的准确度．
③抽样调查的实施更加方便，调查数据的收集，处理也更加方便．
2．系统抽样方法
(1)定义：如果总体中的个体按一定的方式排列，在规定的范围内随机抽取一个个体，然后按照制定好的规则确定其他个体的抽样方法．
(2)常用方式：取得一个个体后，按相同的间隔抽取其他个体．
(3)优点：实施简单．
1．下列抽样问题中，最适合用系统抽样的是( )
A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动
B．一个城市有210家百货商店，其中有大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本
C．从参加考试的1
200名考生中随机抽取100人分析试题作答情况
D．从参加模拟考试的1
200名高中生中随机抽取10人了解情况
解析：选C.A中总体、样本容量都较小，可用抽签法或随机数法；B中总体不均匀，不易用系统抽样；D中样本容量较小，可用随机数法；只有C中总体与样本容量都较大．
2．为了了解1
500名学生对食堂饭菜的满意情况，打算从中抽取一个样本容量为50的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A．50
B．30
C．20
D．100
解析：选B.k＝＝30.
3．一个班共有54人，其中男同学、女同学的人数比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为________，每个女同学被抽取的可能性为________．
解析：男、女每人被抽取的可能是相同的，因为男同学共有54×＝30(人)，女同学共有54×＝24(人)，
所以每个男同学被抽取的可能性为＝，每个女同学被抽取的可能性为＝.
答案：
分层抽样[学生用书P34]
某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12
000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2
435
4
567
3
926
1
072
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
【解】 采用分层抽样的方法，抽样比为.
“很喜爱”的有2
435人，应抽取2
435×≈12(人)；
“喜爱”的有4
567人，应抽取4
567×≈23(人)；
“一般”的有3
926人，应抽取3
926×≈20(人)；
“不喜爱”的有1
072人，应抽取1
072×≈5(人)．
因此，采用分层抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的人中分别抽取12人、23人、20人和5人．
各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据，至于各层内用什么方法抽样是灵活的，可用简单随机抽样，也可采用系统抽样．分层抽样中，无论哪一层的个体，被抽中的机会都均等，体现了抽样的公平性．
1.某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，职员20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
解：采用分层抽样方法．
抽取比例为：＝，
故10×＝2；70×＝14；20×＝4.
所以从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从职员中抽取4人．
因副处级以上干部与职员人数都较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00，01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．
系统抽样[学生用书P34]
为了调查某路口一个月的车流量情况，交警采用系统抽样的方法，样本距为7，从每周中随机抽取一天，他正好抽取的是星期日，经过调查后做出报告．你认为交警这样的抽样方法有什么问题？应当怎样改进？如果是调查一年的车流量情况呢？
【解】 交警所统计的数据以及由此所推断出来的结论，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息时间，很多人不上班，不能代表其他几天的情况．
改进方法可以将所要调查的时间段的每一天先随机地编号，再用系统抽样方法来抽样，或者使用简单随机抽样来抽样亦可．
如果是调查一年的交通流量，使用简单随机抽样法显然已不合适，比较简单可行的方法是把样本距改为8(方法不唯一).
系统抽样的样本距相等，若第一次抽取的是星期日，则以后抽取的都应是星期日，这可能会使样本产生误差．
2.某单位有职工200名，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．
解析：由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
答案：37
系统抽样与简单随机抽样的综合应用[学生用书P35]
某工厂有工人1
021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高级工程师4人组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？
【解】 (1)将1
001名普通工人用随机方式编号．
(2)从总体中剔除1人(剔除方法可用随机数法)，将剩下的1
000名职工重新编号(分别为0001，0002，…，1000)，并平均分成40段，其中每一段包含＝25个个体．
(3)在第一段0001，0002，…，0025这25个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如0003)作为起始号码．
(4)将编号为0003，0028，0053，…，0978的个体抽出．
(5)将20名高级工程师用随机方式编号为1，2，…，20.
(6)将这20个号码分别写在大小、形状相同的小纸条上，揉成小球，制成号签．
(7)将得到的号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀．
(8)从容器中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．
(9)从总体中将与所抽号签的编号相一致的个体取出．
以上得到的个体便是代表队成员．
当问题比较复杂时，可以考虑在一个问题中交叉使用多种抽样方法，对于实际问题，准确合理地选择抽样方法，对初学者来说是至关重要的．
3.某学校有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本．以下的抽样方法中，依次为简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是( )
①将140人从1～140编号，然后制作出编号为1～140的形状、大小相同的号签，并将号签放入一个不透明的箱子里搅拌均匀，然后从中抽取20个号签，编号与号签相同的20个人被选出；
②将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1～7编号，在第一组采用抽签法抽出k号(1≤k≤7)，其余各组k号也被抽出，20个人被选出；
③按20∶140＝1∶7的比例，从教师中抽出13人，从教辅行政人员中抽出4人，从总务后勤人员中抽出3人．从各类人员中抽取所需人员时，均采用随机数法，可抽到20人．
A．②①③
B．②③①
C．①②③
D．③①②
解析：选C.结合简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的含义判断①是简单随机抽样，②是系统抽样，③是分层抽样．
三种抽样方法的异同点
(1)用分层抽样进行抽样时需注意的问题
①必须先判断所考察的总体中的个体是否具有明显的差异，若是，则用分层抽样；若不是，应用简单随机抽样或系统抽样．
②为获取各层入样数目，需先正确计算出抽样比k＝.若k与某层个体数的积不是整数，可四舍五入取整(或先将该层等可能性剔除多余个体)．
(2)系统抽样应注意的问题
如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，可在允许的条件下，从不同的编号开始等距抽样，多得几个不同的样本再进行分析．
1．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2
000家，其中农民家庭1
800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，用到的抽样方法有( )
①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样
A．②③
B．①③
C．③
D．①②③
解析：选D.因为由于各类家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从三类家庭中抽出若干户．又由于农民家庭户数较多，因此在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样．故整个抽样过程要用到①②③三种抽样方法．
2．系统抽样时，需确定分段间隔k，当(n是样本容量)不是整数时，k应取( )
A.的近似值
B.的近似值加1
C.的近似值减去1
D．以上都不对
解析：选D.k应取的整数部分．
3．一种有奖的明信片，有1
000
000个有机会中奖的号码(编号为000000～999999)，邮政部门按照随机抽取的方式确定后两位是24的作为中奖号码，这是运用了________的抽样方法．
解析：后两位是24的号码间隔都是100.
答案：系统抽样
4．将参加数学竞赛的1
000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为________．
解析：由1
000÷50＝20，在第一部分抽取了0015，则第40个号码为15＋39×20＝795.
答案：0795
5．一批产品中，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，试从这批产品中抽取一个容量为20的样本．
解：法一：系统抽样的方法：
先将200个产品随机编号为：001，002，…，200，再将200个产品按001～010，011～020，…，191～200，分成20组，每组10个产品，按事先确定的规则，从每组中分别抽取样本，这样就得到一个容量为20的样本．
法二：分层抽样的方法：
先将总体按其级别分为三层，一级品有100个，产品按00，01，…，99编号，二级品有60个，产品按00，01，…，59编号，三级品有40个，产品按00，01，…，39编号．因总体个数∶样本容量为10∶1，故用简单随机抽样的方法，在一级品中抽10个，二级品中抽6个，三级品中抽4个．这样就可得到一个容量为20的样本．
[A 基础达标]
1．某商场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是( )
A．抽签法
B．随机数法
C．系统抽样法
D．其他的抽样法
解析：选C.上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组中抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n为自然数)号，符合系统抽样的特点．
2．总体容量为203，若采用系统抽样法抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：选D.因为203＝7×29，即203能被7整除，所以间隔为7时，不需要剔除个体．
3．从1
008名学生中抽取20人参加义务劳动，规定采用下列方法选取：先用简单随机抽样从1
008人中剔除8人，剩下1
000人再按系统抽样的方法抽取，那么在1
008人中每个人入选的概率( )
A．都相等且等于
B．都相等且等于
C．不全相等
D．均不相等
解析：选B.从1
008名学生中抽取20人参加义务劳动，每人入选的概率相等且等于＝，故选B.
4．为了检测125个电子元件的质量，欲利用系统抽样的方法从中抽取容量为1Δ(Δ中的数字被墨水污染，无法分辨)的样本进行检测，若在抽样时首先利用简单随机抽样剔除了5个个体，则Δ中的数字有( )
A．1种可能
B．2种可能
C．3种可能
D．4种可能
解析：选C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3种可能，分别为0，2，5.
5．某中学有高中生3
500人，初中生1
500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100
B．150
C．200
D．250
解析：选A.抽样比为＝，该校总人数为1
500＋3
500＝5
000，则＝，故n＝100.
6．一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号分别为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取号码的个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．
解析：因在第7组抽取的号码个位数字应是3，所以抽取的号码是63.
答案：63
7．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．
解析：由题意知，抽取比例为3∶3∶8∶6，所以应在丙专业抽取的学生人数为40×＝16.
答案：16
8．将参加数学竞赛的1
000名学生编号如下：1，2，3，…，1
000，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50部分，如果第一部分编号为1，2，3，…，20，第一部分随机抽取的一个号码为15，则抽取的第40个号码为________．
解析：抽取的第40个号码为15＋(40－1)×20＝795.
答案：795
9．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有
＝47.5%，＝10%，
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝100%－50%－10%＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人数为200××40%＝60(人)；抽取的中年人数为200××50%＝75(人)；抽取的老年人数为200××10%＝15(人)．
10．从2
005名同学中，抽取一个容量为20的样本，试叙述系统抽样的步骤．
解：(1)先给这2
005名同学编号为1，2，3，4，…，2005.
(2)利用简单随机抽样剔除5个个体，再对剩余的2
000名同学重新编号为1，2，…，2000.
(3)分段，由于20∶2
000＝1∶100，故将总体分为20个部分，其中每一部分有100个个体．
(4)然后在第1部分随机抽取1个号码，例如第1部分的个体编号为1，2，…，100，抽取66号．
(5)从第66号起，每隔100个抽取1个号码，这样得到容量为20的样本：66，166，266，366，466，566，666，766，866，966，1066，1166，1266，1366，1466，1566，1666，1766，1866，1966.
[B 能力提升]
11．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A．12，24，15，9
B．9，12，12，7
C．8，15，12，5
D．8，16，10，6
解析：选D.由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8，40×＝16，40×＝10，40×＝6.
12．某地有居民100
000户，其中普通家庭99
000户，高收入家庭1
000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是__________．
解析：因为990∶99
000＝1∶100，所以低收入家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为50×100＝5
000(户)．
又因为100∶1
000＝1∶10，所以高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为70×10＝700(户)．
所以约有5
000＋700＝5
700(户)．故＝5.7%.
答案：5.7%
13．某桔子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行调查．如果所抽山地是平地的2倍多1亩，求这个桔子园的平地与山地的亩数分别为多少？
解：设所抽平地的亩数为x，则抽取山地的亩数为2x＋1.所以x＋2x＋1＝10，x＝3.
所以3÷(10÷120)＝36，
(10－3)÷(10÷120)＝84.
所以这桔子园的平地为36亩，山地为84亩．
14．(选做题)下面给出某村委会调查本村各户收入情况所作的抽样，阅读并回答问题．
本村人口：1
200人，户数300，每户平均人口数4人．
应抽户数：30户．
抽样间隔＝40.
确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为12.
确定第一样本户：编码为12的户为第一样本户．
确定第二样本户：12＋40＝52，52号为第二样本户．
…
(1)该村委会采用了何种抽样方法？
(2)抽样过程中存在哪些问题，并修改；
(3)何处是用简单随机抽样？
解：(1)系统抽样．
(2)本题是对某村各户收入情况进行抽样，而不是对某村人口抽样，抽样间隔为＝10，其他步骤相应改为
确定随机数字：取一张人民币，编码的最后一位为2(或其他0～9中的一个)．
确定第一样本户：编号为002的户为第一样本户．
确定第二样本户：2＋10＝12，012号为第二样本户．
…
(3)确定随机数字用的是简单随机抽样．即取一张人民币，编码的最后一位为2.
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