(共37张PPT)
第12章 统计学初步
第12章 统计学初步
相关关系
样本
观测数据
高度正相关的
中度正相关
高度负相关的
√
√
√
×
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
A
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破12．4.1 相关性
12．4.2 回归直线
1.理解两个变量的相关关系的概念． 2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．
3．会求回归直线方程．
1．相关关系
变量x、y之间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这时我们称x和y有相关关系．
2．散点图
具有相关关系的两个数据xi和yi成对出现，这时称数据对(xi，yi)，i＝1，2，…，n，为样本或观测数据，在坐标系中用点表示样本得到的图称为观测数据的散点图．
3．正相关、负相关
(1)随x的增加，y有明显的增加趋势，且数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)十分明显地集中在一条上升的直线附近，称x和y是高度正相关的，集中的程度不十分明显时，称x和y是中度正相关．
(2)当数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)十分明显地集中在一条下降的直线附近，称x和y是高度负相关的，集中程度不十分明显时，称x和y中度负相关．
4．回归直线
(1)如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝bx＋a的接近程度：
(y1－a－bx1)2＋(y2－a－bx2)2＋…＋(yn－a－bxn)2，使得上式达到最小值的直线y＝bx＋a就是我们所要求的直线，即回归直线．
(2)b＝eq
\f(sxy,s)，a＝－b，sxy＝－，其中和分别表示{xi}和{yi}的样本均值，s表示{xi}的方差．
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)回归直线必经过点(，)．( )
(2)对于方程y＝bx＋a，x增加一个单位时，y平均增加b个单位．( )
(3)样本数据中x＝0时，可能有y＝a.( )
(4)样本数据中x＝0时，一定有y＝a.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( )
A．点从左下角到右上角区域散布
B．点散布在某带形区域内
C．点散布在某圆形区域内
D．点从左上角到右下角区域散布
答案：D
3．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是( )
解析：选C.A、B为函数关系，D无相关关系．
相关关系的判断[学生用书P40]
以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：
房屋面积x(m2)
115
110
80
135
105
销售价格y(万元)
24.8
21.6
19.4
29.2
22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？
【解】 (1)数据对应的散点图如图所示．
(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关．
两个随机变量x和y相关关系的确定方法
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．
1.下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重表：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
165
157
155
175
168
157
178
160
163
体重/kg
52
44
45
55
54
47
62
50
53
判断所给的两个变量是否存在相关关系．
解：法一：根据经验可知，人的身高和体重之间存在相关关系．
法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增加而增加，因此人的身高和体重之间存在相关关系．
求回归直线的方程[学生用书P41]
随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查10个家庭，得数据如下表：
家庭编号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi(收入)/千元
0.8
1.1
1.3
1.5
1.5
1.8
2.0
2.2
2.4
2.8
yi(支出)/千元
0.7
1.0
1.2
1.0
1.3
1.5
1.3
1.7
2.0
2.5
(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关；
(2)若二者线性相关，求回归直线方程．
【解】 (1)作出散点图：
观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者有线性相关关系．
(2)＝(0.8＋1.1＋1.3＋1.5＋1.5＋1.8＋2.0＋2.2＋2.4＋2.8)＝1.74，＝(0.7＋1.0＋1.2＋1.0＋1.3＋1.5＋1.3＋1.7＋2.0＋2.5)＝1.42，b＝eq
\f(sxy,s)≈0.813
6，
a＝1.42－1.74×0.813
6≈0.004
3，
所以回归方程为y＝0.813
6x＋0.004
3.
求回归直线的方程的步骤
(1)计算平均数，.
(2)计算sxy.
(3)计算s.
(4)将结果代入公式b＝eq
\f(sxy,s).
(5)用a＝－b，求a.
(6)写出回归直线的方程．
2.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
解析：选B.因为＝＝，
＝＝42.
又y＝bx＋a必过(，)，
所以42＝×9.4＋a，所以a＝9.1.
所以线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
所以当x＝6时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
利用回归方程估计整体[学生用书P41]
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y关于t的回归方程y＝bt＋a.
(2)用所求回归方程预测该地区2017年(t＝6)的人民币储蓄存款．
【解】 (1)列表如下：
i
1
2
3
4
5
ti
1
2
3
4
5
yi
5
6
7
8
10
n＝5，＝3，
＝7.2，b＝1.2，a＝3.6，
故所求回归方程为y＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2017年的人民币储蓄存款为y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
回归分析的三个步骤
(1)判断两个变量是否线性相关：可利用经验，也可以画散点图．
(2)求回归直线方程，注意运算的准确性．
(3)根据回归直线进行预测：估计值不是实际值，两者会有一定的误差．
3.某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x(件)之间有一组数据如表：
每天销售服装件数x(件)
3
4
5
6
7
8
9
该周内所获纯利y(元)
66
69
73
81
89
90
91
(1)求，；
(2)若纯利y与每天销售这种服装的件数x之间是线性相关的，求回归方程；
(3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
解：(1)＝＝6，
＝≈79.86.
(2)因为b≈4.75，a＝79.86－4.75×6＝51.36，
所以纯利与每天销售件数x之间的回归方程为y＝51.36＋4.75x.
(3)当y＝200时，200＝4.75x＋51.36，所以x≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元，
则该店每天至少要销售这种服装32件．
1．两个变量x和y相关关系的确定方法
(1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；
(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；
(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．
2．回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．
(1)利用散点图判定两个变量是否具有相关关系，注意不要受个别点的位置的影响．
(2)求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a，b，由于a，b的计算量大，计算时要仔细，避免计算失误．
1．我们常说“吸烟有害健康”，吸烟与健康之间的关系是( )
A．正相关
B．负相关
C．无相关
D．不确定
解析：选B.烟吸得越多，则健康程度越差．
2．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为( )
A．83%
B．72%
C．67%
D．66%
解析：选A.由y＝0.66x＋1.562知，
当y＝7.675时，x＝，
所以所求百分比为＝≈83%.
3．工人月工资y(元)与劳动生产率x(千元)的回归方程为y＝82＋75x，当劳动生产率提高1
000元时，月工资平均提高________元．
解析：由b的意义可知．
答案：75
4．已知回归方程y＝4.4x＋383.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________．
解析：回归直线y＝bx＋a中b的几何意义是回归直线的斜率，所以x与y的增长速度之比为1∶4.4＝5∶22.
答案：5∶22
5．某地农业技术指导站的技术员，经过在7块并排大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据：(单位：千克)
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
施化肥量x和水稻产量y是否具有相关关系？
解：作出散点图进行分析．散点图如下：
从散点图可以看出施化肥量x和水稻产量y的确存在一定相关关系，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加．
[A 基础达标]
1．下列变量之间的关系不具有相关关系的是( )
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a、b是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数对应方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树每公顷产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每公顷用肥料量和粮食每公顷产量
解析：选A.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系，从而易知B、C、D表示的关系均为相关关系，故选A.
2．如图所示是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图，去掉哪个点后，两个变量的相关关系更明显( )
A．D
B．E
C．F
D．A
解析：选C.A、B、C、D、E五点分布在一条直线附近且贴近该直线，而F点离得远，故去掉点F.
3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：选D.①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．
4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
A．y＝－10x＋200
B．y＝10x＋200
C．y＝－10x－200
D．y＝10x－200
解析：选A.可判断B、D正相关，C不合实际意义．
5．已知x，y的几组对应数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
2
3
6
9
10
根据上表利用最小二乘法求得回归方程y＝bx＋a中的b＝2.2，那么a＝( )
A．2
B．1.6
C．1.2
D．－11.2
解析：选B.易得＝2，＝6，则a＝－b＝1.6.
6．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254
x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析：由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254
x＋0.321)＝0.254.
答案：0.254
7．某市物价部门曾对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商品的售价x元与销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是：y＝－3.2x＋a，则a＝________．
解析：易求＝＝10，
＝＝8，
所以y＝－3.2x＋a一定过(10，8)，
所以8＝－3.2×10＋a，所以a＝40.
答案：40
8．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为y＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．
解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即y≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．
答案：8
9．改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2012到2016年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，2012年编号为1，2013年编号为2，……，2016年编号为5，数据如下：
年份(x)
1
2
3
4
5
人数(y)
3
5
8
11
13
根据这5年的数据，利用最小二乘法求出y关于x的回归方程y＝bx＋a，并计算2019年的估计值．
解：由已知数据得＝3，＝8，
则b＝2.6，a＝8－2.6×3＝0.2，
则回归直线的方程为y＝2.6x＋0.2，
则2019年的估计值为2.6×8＋0.2＝21.
10．某调查机构为了了解某地区的家庭收入水平与消费支出的相关情况，抽查了多个家庭，根据调查资料得到以下数据：每户平均年收入为88
000元，每户平均年消费支出为50
000元，支出对于收入的回归系数为0.6.
(1)求支出对于收入的回归方程；
(2)平均年收入每增加100元，平均年消费支出约增加多少元？
(3)若某家庭年消费支出为80
000元，试估计该家庭的年收入为多少元？
解：(1)设年收入为x元，年支出为y元，知＝88
000元，＝50
000元，b＝0.6，
则a＝－b＝50
000－0.6×88
000＝－2
800.
故支出对于收入的回归方程为y＝0.6x－2
800.
(2)平均年收入每增加100元，平均年消费支出约增加60元．
(3)某家庭年消费支出为80
000元，
根据回归方程y＝0.6x－2
800，可得80
000＝0.6x－2
800，
解得x＝138
000，
即估计该家庭的年收入为138
000元．
[B 能力提升]
11．工人工资y(元)与劳动生产率x(千元)的相关关系的回归直线方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是( )
A．劳动生产率为1
000元时，工人工资为130元
B．劳动生产率提高1
000元时，工人工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1
000元时，工人工资平均提高130元
D．当月工资为250元时，劳动生产率为2
000元
解析：选B.回归直线斜率为80，所以x每增加1，y平均增加80，即劳动生产率提高1
000元时，工人工资平均提高80元．
12．在一次试验中，测得(x，y)的四组数据分别为A(1，3)，B(2，3.4)，C(3，5.6)，D(4，6)，假设它们存在线性相关关系，则y与x之间的回归方程为________．
解析：＝＝，
＝＝.
b＝eq
\f(sxy,s)＝1.12.
a＝－b
＝－1.12×＝1.7.
所以y＝1.7＋1.12x.
答案：y＝1.12x＋1.7
13．某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下：
月份
1
2
3
4
5
6
产量(千件)
2
3
4
3
4
5
单位成本(元/件)
73
72
71
73
69
68
(1)试确定回归直线方程；
(2)指出产量每增加1
000件时，单位成本下降多少？
(3)假定产量为6
000件时，单位成本是多少？
解：
(1)设x表示每月产量(单位：千件)，y表示单位成本(单位：元/件)，作散点图．由图知y与x间呈线性相关关系，
设线性回归方程为y＝bx＋a.
由公式可求得b≈－1.818，a＝77.363，
所以回归直线方程为y＝－1.818x＋77.363.
(2)由回归方程知，每增加1
000件产量，单位成本下降1.818元．
(3)当x＝6时，y＝－1.818×6＋77.363＝66.455，
所以产量为6
000件时，单位成本是66.455元/件．
14．(选做题)下面是某市一周申请领结婚证的新郎和新娘的年龄，记为(y，x)，其中新郎年龄为y，新娘年龄为x.
(37，30)，(30，27)，(65，56)，(45，40)，(32，30)，(28，26)，(45，31)，(29，24)，(26，23)，(28，25)，(42，29)，(36，33)，(33，29)，(24，22)，(32，33)，(21，29)，(37，46)，(28，25)，(33，34)，(21，23)，(24，23)，(49，44)，(28，29)，(30，30)，(24，25)，(22，23)，(68，60)，(25，25)，(32，27)，(42，37)，(24，24)，(24，22)，(28，27)，(36，31)，(23，24)，(30，26)．
以下考虑y关于x的回归问题：
(1)如果每个新郎和新娘都同岁，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？
(2)如果每个新郎都比新娘大5岁，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？
(3)如果每个新郎都比新娘大10%，穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么？
(4)对上面的实际年龄求回归方程，你从新郎和新娘的年龄模型中可得出什么结论？
解：(1)当y＝x时，易得b＝1，a＝0.
故回归直线的斜率为1，截距为0.
(2)当y＝x＋5时，易得b＝1，a＝5.
故回归直线的斜率为1，截距为5.
(3)当y＝x(1＋10%)时，
易得b＝1.1，a＝0.
故回归直线的斜率为1.1，截距为0.
(4)回归直线为y＝1.1x－1.1.
从回归方程可以看出，新郎的年龄一般比新娘的年龄大，尤其是在大龄夫妇中．
PAGE
1(共27张PPT)
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
A
