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第13章 概 率
第13章 概 率
元素
ω
全集
Ω
?
必然
对立
互斥
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A
第13章
DI
SHI
SAN
ZHANG
概率
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破13．1.1 事 件
13．1.2 事件的运算
1.通过实例了解随机事件发生的不确定性． 2.理解对立事件和互斥事件． 3.掌握事件的运算．
1．事件的相关概念
(1)对于一个试验，我们将该试验的可能结果称为元素，用ω表示，称所有元素构成的集合为试验的全集，用Ω表示．
(2)当Ω是试验的全集时，我们称Ω的子集A是Ω的事件，简称为事件，当试验的元素(即试验结果)ω属于A时，就称事件A发生，否则称事件A不发生．称?为不可能事件，称全集Ω为必然事件．
2．对立事件与互斥
(1)对于试验的全集Ω和事件A，由于A和Ω\A有且只能有一个发生，所以我们称Ω\A是A的对立事件．
(2)当事件A、B满足A∩B＝?时，我们称A、B互斥．
1．下列事件中，不可能事件为( )
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角之和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
答案：C
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至少有2件正品
解析：选B.至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
3．下列事件中，是随机事件的是( )
A．长度为3，4，5的三条线段可以构成一个三角形
B．长度为2，3，4的三条线段可以构成一直角三角形
C．方程x2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根
D．函数y＝logax(a>0且a≠1)在定义域上为增函数
答案：D
试验的元素和全集[学生用书P47]
先后掷3枚硬币，根据3枚硬币落地后出现正面朝上或反面朝上的情况，写出试验的元素和全集．
【解】 令H表示硬币正面朝上，T表示硬币反面朝上，试验共有8个元素，它们是：
HHH：三个硬币正面朝上；
HHT：前两个硬币正面朝上，第三个反面朝上；
HTH：一、三正面朝上，第二个反面朝上；HTT：第一个正面朝上，第二、三个反面朝上；
THH：第一个反面朝上，第二、三个正面朝上；
THT：第一、三个反面朝上第二个正面朝上；
TTH：前两个反面朝上，第三个正面朝上；
TTT：三个硬币反面朝上．
全集是Ω＝{HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}．
解决书写试验的全集问题的关键是要理清思路，按一定的顺序逐个写出产生的各种结果，不可在书写过程中轻易变换顺序(规则)，否则极可能造成元素的重复或遗漏．
1.指出下列试验的结果：
(1)袋中装有红、白、黑三种颜色的小球各1个，从中任取2个小球．
(2)从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．
解：(1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑球．
(2)结果：
1－3＝－2，3－1＝2，
1－6＝－5，3－6＝－3，
1－10＝－9，3－10＝－7，
6－1＝5，10－1＝9，
6－3＝3，10－3＝7，
6－10＝－4，10－6＝4.
常用的类型[学生用书P48]
判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
(1)抛一石块，下落；
(2)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
(3)某人射击一次，中靶；
(4)掷一枚硬币，出现正面；
(5)导体通电后，发热；
(6)从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
(7)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
(8)没有水分，种子能发芽；
(9)在常温下，焊锡熔化．
【解】 由物理知识知：(1)为必然事件；(2)为不可能事件；(5)为必然事件；(9)为不可能事件；射击一次可能中靶，也可能不中靶，故(3)为随机事件；掷一枚硬币可出现正面或反面两种情况，故(4)为随机事件；从5张标签中任取一张，可得到5种号码的标签，故(6)为随机事件；电话机在1分钟内收到的呼叫，是不确定的，故(7)是随机事件；没有水分，种子不会发芽，故(8)是不可能事件．
综上(1)、(5)是必然事件；(2)、(8)、(9)为不可能事件；(3)、(4)、(6)、(7)是随机事件．
正确理解并掌握必然事件、不可能事件和随机事件的概念是判断事件的关键．
2.指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
(1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；
(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；
(3)如果a>b，那么b
(4)某人的手机一天收到20条短信．
解：(1)可能发生也可能不发生，故(1)是随机事件；
(2)在三角形中，大边对大角，小边对小角，故(2)是不可能事件；
(3)若a>b，则b(4)手机收到20条短信可能发生，也可能不发生，故(4)是随机事件．
综上(1)(4)是随机事件，(2)是不可能事件，(3)是必然事件．
事件的关系[学生用书P48]
判断下列给出的事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的前提条件都是一样的．二是考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
3.判断下列各对事件是否是互斥事件，是否是对立事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加演讲比赛．
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有1名男生和至少有1名女生；
(3)至少有1名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生．
解：(1)是互斥事件，不是对立事件．
理由是：在所选的2名学生中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件．
(2)既不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可同时发生．
(3)既不是互斥事件，也不是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
(4)既是互斥事件，又是对立事件．
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以是对立事件．
1．事件到底属于哪一种类型是相对于一定的条件而言的，当适当改变条件时，三种事件可以互相转化．所以，分析一个事件，首先必须搞清何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果，要注意从题目背景中体会条件的特点．
2．互斥事件与对立事件
(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件．因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．
(2)对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的．
(1)书写元素时，要按一定顺序逐个写出产生的各种结果，不要轻易变换顺序，否则将会出现元素重复或遗漏．
(2)判断事件的关系时，可借助Venn图，更直观明了．
1．下列事件是随机事件的是( )
A．若a、b、c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．地球上没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面朝下
D．在标准大气压下且温度达到70
℃时，水沸腾
解析：选C.A是必然事件，B、D是不可能事件，C是随机事件．
2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的元素有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
解析：选C.用(i，j)表示男、女(注意年龄大小不同)，则会出现(男，男)，(男，女)，(女，女)，(女，男)．
3．从1，2，3，…，9中任取两数，有下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是________．
解析：从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选③.
答案：③
4．袋中有红，白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，A＝“三次抽取的球的颜色恰有两次同色”．
则Ω＝___________________________________，
A＝_________________________________，
Ω\A＝___________________________________________.
解析：设用(x，y，z)表示有放回地抽取三次所得结果．
则Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}，
A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}，
Ω\A＝{(红，红，红)，(白，白，白)}．
答案：{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}
{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}
{(红，红，红)，(白，白，白)}
5．在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
②在标准大气压下，水的温度达到50
℃时沸腾；
③同性电荷，相互排斥；
④掷两枚硬币，均为正面朝上．
解：由实数运算性质知①恒成立是必然事件；③由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，故①③是必然事件．标准大气压下，水的温度达到50
℃时不沸腾，故②是不可能事件；④是随机事件．
[A 基础达标]
1．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是( )
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
解析：选B.“正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件．
2．下列事件在R内是必然事件的是( )
A．|x－1|＝0
B．x2＋1＜0
C.＞0
D．(x＋1)2＝x2＋2x＋1
解析：选D.A、C为随机事件，B为不可能事件．
3．下列命题：①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；②若y＝f(x)是奇函数，则f(x)＝0是随机事件；③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；④对顶角不相等是不可能事件，其中正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：选D.因为|x|≥0恒成立，所以①正确；因为函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时，才有f(0)＝0，所以②正确；因为当底数a与真数x－1在相同区间(0，1)或相同区间(1，＋∞)时，loga(x－1)＞0才成立，所以③是随机事件，即③错误；因为对顶角相等是必然事件，所以④正确．
4．n＋2件同类产品中，有n件正品，2件次品，从中任意抽出3件产品的必然事件是( )
A．3件都是次品
B．3件都是正品
C．至少有1件是次品
D．至少有1件是正品
解析：选D.由于只有2件次品，故抽出的3件产品不可能都是次品，即至少有1件正品．
5．下列事件中是随机事件的是( )
A．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，1)内
B．在数轴上向区间(0，1)内投点，点落在区间(0，2)内
C．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(0，1)内
D．在数轴上向区间(0，2)内投点，点落在区间(－1，0)内
解析：选C.当x∈(0，1)时，必有x∈(0，1)，x∈(0，2)，所以A和B都是必然事件；
当x∈(0，2)时，有x∈(0，1)或x?(0，1)，所以C是随机事件；
当∈(0，2)时，必有x?(－1，0)，
所以D是不可能事件．故选C.
6．下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10
℃；③同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击一次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________(填序号)．
解析：根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义可判断．
答案：③ ⑤ ①②④
7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④ ② ①
8．下列事件：①一个口袋内装有5个红球，从中任取一球是红球；②抛掷两枚骰子，所得点数之和为9；③x2≥0(x∈R)；④方程x2－3x＋5＝0有两个不相等的实数根；⑤巴西足球队会在下届世界杯足球赛中夺得冠军，其中随机事件的个数为________．
解析：在所给条件下，①是必然事件；②是随机事件；③是必然事件；④是不可能事件；⑤是随机事件．
答案：2
9．判断下列说法是否正确，并说明原因：
(1)将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件；
(2)在10件产品中有3件是次品，从中取3件．事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件．
解：(1)正确．因为这两个事件在一次试验中不会同时发生．
(2)不正确，因为事件A包括三种情况：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含两种情况：2件次品1件正品，3件次品．从而事件A、B可以同时发生，故不互斥．
10．某人做试验，从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
解：(1)当x＝1时，y＝2，3，4；
当x＝2时，y＝1，3，4；
当x＝3时，y＝1，2，4；
当x＝4时，y＝1，2，3.
因此，这个试验的所有结果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)}．
[B 能力提升]
11．已知α、β、ν是不重合平面，a、b是不重合直线，下列说法正确的是( )
A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件
B．“若a∥b，a?α，则b∥α”是必然事件
C．“若α⊥ν，β⊥ν，则α⊥β”是必然事件
D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件
解析：选D.a∥b，a⊥α?b⊥α，故A错；a∥b，a?α?b∥α或b?α，故B错；当α⊥ν，β⊥ν时，α与β有可能平行，也可能相交(包括垂直)．故C错；如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线必平行，故D正确．
12．给出关于满足A?B的非空集合A、B的四个命题：
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x?A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x?B，则x?A是必然事件．
其中正确的命题有________．
解析：因为A?B，所以A中的任一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．
答案：①③④
13．某城市有甲、乙两种报可订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C； (2)B与E； (3)B与D；
(4)B与C； (5)C与E.
解：(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．且B和E必有一个发生，故B与E也是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”；事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E
“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
14．(选做题)口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球大小、形状完全相同.4个人按顺序依次从中摸出一球，试求第二人摸到白球的试验中有多少元素．
解：设A＝“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号①，②；2个黑球也编上序号，，于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一球的所有可能结果可用树状图表示出来．
所以事件A共有12个元素．
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