(共38张PPT)
第13章 概 率
第13章 概 率
[0，1]
必然事件
不可能事件
P(A)＋P(B)
P(Ω\B)
1－P(B)
1
0
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
A
试验的全集
每个元素发生
有n个元素的可能性相同
古典概型
当事件A中含有m个元素时,称
P(A)=m为事件A发生的概率
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破13．2.1 古典概率模型
1.通过实例了解概率的意义． 2.理解古典概型及概率计算公式． 3.掌握求实际问题的概率．
1．古典概型的概念及概率公式
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为[0，1]．
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
特例：若A与B为对立事件，则P(A)＝P(Ω\B)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)任意事件A发生的概率P(A)总满足0
(2)若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件．( )
解析：必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，故(1)不正确；当P(A)→0时，事件A发生的可能性很小，故(2)不正确．
答案：(1)× (2)×
2．若书架上放有的数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为，故选B.
3．有下列概率模型：
①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；
②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；
③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；
④一只使用中的灯泡的寿命长短；
⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．
其中属于古典概型的是________．
解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．
答案：③
古典概型的判断[学生用书P50]
下列概率模型中，古典概型的个数为( )
①从1，2，…，9，10中任取一个整数，求取到1的概率；
②在一个正方形ABCD内任意投一点P，求点P刚好与点A重合的概率；
③向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】 ①是古典概型，因为试验所有可能结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性，所以①是古典概型；②不是古典概型；③也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等，所以③不是古典概型．
【答案】 A
有限性与等可能性两个条件是判断是否是古典概型的依据，缺一不可．
1.下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
解析：选B.
选项
分析
结果
A
发芽与不发芽的概率不同
不是
B
摸到白球与黑球的概率都是
是
C
基本事件有无限个
不是
D
命中10环，9环，…，0环的概率不等
不是
古典概型概率的计算[学生用书P51]
袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球中1个是白球，另1个是红球．
【解】 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的取法总数，即是从4个白球中任取两个的取法总数，共有6种，为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．
所以取出的两个球全是白球的概率为P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)共8种．
所以取出的两个球中一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝.
解决本题的关键是通过分析得出公式中的m、n，即某事件所含基本事件数和基本事件的总数，然后代入公式求解．
2.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：为红1、红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝＝.
互斥、对立事件概率的求法[学生用书P51]
现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
(1)求C1被选中的概率；
(2)求A1和B1不全被选中的概率．
【解】 (1)从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
其中C1恰被选中有6个基本事件：
(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，
因而P＝＝.
(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“A1，B1全被选中”这一事件，因为(Ω\N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以事件N由两个基本事件组成，所以P(Ω\N)＝＝，
由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(Ω\N)＝1－＝.
解决本题的关键是通过分析得出公式中某事件所包含基本事件数和事件总数，然后代入公式求解；同时，要结合互斥与对立事件的概率公式．
3.某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：
人数
0
1
2
3
4
大于或等于5
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率．
解：设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.
法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.
1．在古典概型下，当基本事件总数为n时，每个基本事件发生的概率均为.
要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所包含的基本事件数m，再由古典概型概率公式P(A)＝求事件A的概率．
2．互斥事件概率加法公式的应用
(1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果．
(2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏．
(3)常用步骤：①确定各事件彼此互斥；②各事件中有一个发生；③先求各事件分别发生的概率，再求其和．
(1)求基本事件的基本方法是列举法．
对于较复杂问题中基本事件数的求解可应用列表或树形图．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(Ω\A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )
A．0.95
B．0.7
C．0.35
D．0.05
解析：选D.“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.
2．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻排列的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选B.从5张卡片中任取2张共有10个基本事件，即AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，其中按字母顺序相邻排列的情形有4种：为AB，BC，CD，DE，故所求事件的概率P＝＝.
3．三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
解析：三张卡片排成一行共有BEE，EBE，EEB三种情况，故恰好排成BEE的概率为.
答案：
4．高一年级某班有63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的，则这个班的女生人数为________．
解析：设这个班的女生人数为x，则男生人数为(63－x)．根据题意可知：＝，解得：x＝30.
答案：30
5．做投掷2颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数．写出：
(1)事件“出现点数相等”；
(2)事件“出现点数之和等于7”．
解：(1)“出现点数相等”包含以下6个基本事件：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)．
(2)“出现点数之和等于7”包含以下6个基本事件：(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)．
[A 基础达标]
1．抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和不大于4的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.抛掷两个骰子，所得点数的情况共6×6＝36种．其中点数之和不大于4的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6种，故所求概率为＝.
2．从某班学生中任找一人，如果该同学身高小于160
cm的概率为0.2，该同学的身高在[160
cm，175
cm]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175
cm的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
解析：选B.由题意易知所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
3．已知集合A＝{－1，0，1}，点P的坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A.记点P落在第一象限为事件M，则P(M)等于( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.点P的坐标可能为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，－1)，(0，－1)，(1，1)共9种，其中落在第一象限的点的坐标为(1，1)，故选C.
4．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B
B．B与C
C．A与D
D．B与D
解析：选C.A与D互斥，但不对立．故选C.
5．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组只有一个解的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选B.点(a，b)取值的集合共有36个元素．方程组只有一个解等价于直线ax＋by＝3与x＋2y＝2相交，即≠，即b≠2a，而满足b＝2a的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3个，故方程组只有一个解的概率为＝.
6．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
解析：可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为＝.
答案：
7．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝25内的概率为________．
解析：由题意知，满足点P在圆x2＋y2＝25内的坐标为(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)，共13个，而连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标共有36个，故其概率P＝.
答案：
8．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙想的数字记为b，且a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
解析：数字a，b的所有取法有36种，满足|a－b|≤1的取法有16种，所以其概率为P＝＝.
答案：
9．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{－1，1，2，3，4，5}和Q＝{－2，－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即a≥2b且a>0.
若a＝1，则b＝－2，－1；
若a＝2，则b＝－2，－1，1；
若a＝3，则b＝－2，－1，1；
若a＝4，则b＝－2，－1，1，2；
若a＝5，则b＝－2，－1，1，2.
所以事件包含的基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16，
又所有基本事件的个数是6×6＝36，
所以所求事件的概率为＝.
10．某中学在高二年级开设了A、B、C三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A、B、C三个兴趣小组的人员中抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表：(单位：人)
兴趣小组
小组人数
抽取人数
A
24
x
B
36
3
C
48
y
(1)求x，y的值；
(2)若从A、B两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B的概率．
解：(1)由题意可得，＝＝，解得x＝2，y＝4.
(2)记从兴趣小组A中抽取的2人为a1，a2，从兴趣小组B中抽取的3人为b1，b2，b3，则从兴趣小组A，B抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10种．
设选中的2人都来自兴趣小组B的事件为X，则X包含的基本事件有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3种，
所以P(X)＝.
故选中的2人都来自兴趣小组B的概率为.
[B 能力提升]
11．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D.法一：如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A、D，B、E，C、F，共3种，故其概率为＝.
法二：如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，共有15种选法，其中能够构成矩形的有FECB、AFDC、ABDE三种选法，故其概率为＝.
12．从含有2件正品和1件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后再放回，连续取两次，则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是________．
解析：2件正品记为a，b，次品记为c，则有放回地连续取两次的基本事件有(a，b)，(a，c)，(b，c)，(b，a)，(c，a)，(c，b)，(a，a)，(b，b)，(c，c)共9个．记“恰好有一件次品”为事件A，则A含有的基本事件数为4.所以P(A)＝.
答案：
13．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n1－P1＝1－＝.
14．(选做题)对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
[10，15)
10
0.25
[15，20)
24
n
[20，25)
m
p
[25，30)
2
0.05
合计
M
1
(1)求出表中M，p及图中a的值；
(2)若该校高二学生有240人，试估计该校高二学生参加社区服务的次数在区间[10，15)内的人数；
(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30)内的概率．
解：(1)由分组[10，15)内的频数是10，频率是0.25知，＝0.25，
所以M＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4.
p＝＝＝0.10.
因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，
所以a＝＝0.12.
(2)因为该校高二学生有240人，分组[10，15)内的频率是0.25，
所以估计该校高二学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为240×0.25＝60人．
(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m＋2＝6人，
设在区间[20，25)内的人为a1，a2，a3，a4，在区间[25，30)内的人为b1，b2.
则任选2人共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)15种情况，
而两人都在[25，30)内只能是(b1，b2)一种，
所以所求概率为P＝1－＝.
PAGE
1(共29张PPT)
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
A
01015202530(共38张PPT)
第13章 概 率
第13章 概 率
×
√
×
×
×
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
A
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破13．2.2 几何概率
1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型．
2．掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
1．几何概率定义1
设试验的全集Ω是长度为正数的区间，A是Ω的子区间，如果试验的结果随机地落在Ω中，则称P(A)＝为事件A发生的概率，简称A的概率．
2．几何概率定义2
设试验的全集Ω是面积为正数的区域，A是Ω的子区域，如果试验的结果随机地落在Ω中，则称P(A)＝为事件A发生的概率，简称A的概率．
3．几何概率的性质
(1)0≤P(A)≤1(概率总是[0，1]中的数)．
(2)P(Ω)＝1(必然事件的概率是1)．
(3)P(?)＝0(不可能事件的概率为0)．
(4)如果A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)P(A)＋P(Ω\A)＝1(对立事件概率之和等于1)．
1．判断正误．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个．( )
(2)几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个．( )
(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．( )
(4)几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等．( )
(5)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
2．在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.因为正方形面积介于36
cm2与81
cm2之间，
所以正方形的边长应在6
cm与9
cm之间．
所以M应落在如图所示的区域内，
故其概率P＝＝.
3.
如图，转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，则转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选D.转盘停在任何一个位置是等可能的，因为阴影部分对应的扇形面积(或弧长)之和是整个圆的面积(或周长)的，所以所求概率P＝.
几何概率的判断[学生用书P53]
下列概率模型中，几何概率的个数为( )
①从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10，10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10，10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4
cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1
cm的概率．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①不是几何概率，虽然区间[－10，10]内有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；
②是几何概率，因为区间[－10，10]和[－1，1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；
③不是几何概率，因为区间[－10，10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；
④是几何概率，因为在边长为4
cm的正方形和半径为1
cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．
【答案】 B
根据几何概率的定义即可判断．
1.判断下列试验是否为几何概率？并说明理由．
(1)在某月某日，求某个市区降雨的概率；
(2)设A为圆上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．
解：(1)不是几何概率，因为其不具有等可能性；
(2)是几何概率，因为其具有无限性与等可能性，符合几何概率的特征．
与长度有关的几何概率[学生用书P53]
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30
min长的磁带上，从开始30
s处起，有10
s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？
【解】 根据题意，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉就是在40秒以前按错了键，在40秒后按错了键不会被擦掉，所以概率为P＝＝.
与长度有关的几何概率问题，要把握好全集所代表的区域长度以及子区域所代表的区域长度，当子区域被赋予
了一定条件后可能变得较为复杂，因此，要时刻依据条件确定区域长度．
2.某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x米的河流，他不小心把一件物品丢到途中，如果物品掉到河里就找不到，若物品不掉到河里，则能找到，已知该物品被找到的概率是，则河宽为( )
A．80米
B．100米
C．40米
D．50米
解析：选B.该物品能够被找到的路径长为(500－x)米，由几何概型知，＝，解得x＝100，故选B.
与面积有关的几何概率[学生用书P54]
设点M(x，y)在|x|≤1，|y|≤1时按均匀分布出现，试求满足：
(1)x＋y≥0的概率；(2)x＋y＜1的概率；(3)x2＋y2≥1的概率．
【解】 满足|x|≤1，|y|≤1的点组成一个边长为2的正方形ABCD，则S正方形ABCD＝4.
(1)方程x＋y＝0的图象是直线AC，满足x＋y≥0的点在AC的右上方，即在△ACD内(含边界)，而S△ACD＝S正方形ABCD＝2，
所以P(x＋y≥0)＝＝.
(2)设E(0，1)、F(1，0)，则x＋y＝1的图象是EF所在的直线，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方，即在五边形ABCFE内(不含边界EF)，如图所示
而S五边形ABCFE＝S四边形ABCD－S△EDF
＝4－＝，
所以P(x＋y＜1)＝＝＝.
(3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，S⊙O＝π，满足题意的点如图．
所以P(x2＋y2≥1)＝＝.
把满足不等式的点的集合在直角坐标平面上找出来，然后运用几何概率的计算公式．
3.街道旁边有一游戏：在铺有边长为9
cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1
cm的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可免费重掷一次；若小圆板全部落在正方形内可再交5角，再掷一次；若小圆板压在塑料板的顶点上，可获得1元钱．试问：
(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解：
(1)如图①所示，因为小圆板O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形ABCD的边相交是在小圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1
cm时，所以O落在图①中的阴影部分时，小圆板就能与塑料板的边相交．因此，试验全部结果构成的区域是边长为9
cm的正方形，设事件A为“小圆板压在塑料板边上”．S正方形＝9×9＝81(cm2)，S阴影＝9×9－7×7＝32(cm2)．
故所求概率P(A)＝.
(2)小圆板与正方形的顶点相交是在小圆板的中心O到正方形ABCD的顶点的距离不超过小圆板的半径1
cm时，如图②所示的阴影部分．设事件B为“小圆板压在塑料板顶点上”．S正方形＝9×9＝81(cm2)，S阴影＝π×12＝π(cm2)，故所求的概率P(B)＝.
1．在求解与长度有关的几何概率时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生所对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率．
2．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．
另外要特别注意：
几何概率的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验的几何概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
(1)适当选择观察角度，注意区分几何量是长度还是角度或是面积．
(2)几何概率，事件A发生在总区域内也是均匀的，即是等可能的．
1．面积为S的△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
2．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.到达路口看到红灯或黄灯或绿灯亮是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A，构成事件A的测度是5，试验的全部结果构成的区域测度是30＋5＋45＝80，则P(A)＝＝.
3.
如图，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域测度是60°，所有基本事件对应的区域测度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
答案：
4．判断下列试验中事件发生的概率是古典概率还是几何概率．
(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；
(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
解：(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，出现的可能结果有6×6＝36(种)，且它们都是等可能的，因此事件发生的概率属于古典概率．
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概率．
[A 基础达标]
1．已知地铁列车每10
min一班，在车站停1
min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1
min，而整个区域的时间长度为11
min，故由几何概率的概率公式，得P(A)＝.
2．在区间[－1，1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.在区间[－1，1]上随机取一个实数x，cos的值位于[0，1]区间，若使cos的值位于[0，]区间，取到的实数x应在区间[－1，－]∪[，1]内，根据几何概率的计算公式可知P＝＝.
3.
如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A.
B．
C.
D．无法计算
解析：选B.由几何概率的公式知：＝，
又S正方形＝4，所以S阴影＝.
4．已知集合A＝{x|－1A.
B．
C.
D．
解析：选A.A∩B＝{x|2因为集合A表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A∩B表示的区间长度为3－2＝1，
所以事件“x∈A∩B”的概率为，故选A.
5．在区间[0，1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0，1]内的概率是( )
A.
B．
C.
D．
解析：选A.设在[0，1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0，1]内，则有
0≤a2＋b2≤1.
如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0，1]内的点在单位圆内(如图中阴影部分所示)，故所求概率为＝，故选A.
6．向边长为2的正六边形内任意投掷一点，则该点到正六边形的所有顶点的距离均不小于1的概率是________．
解析：如图，根据题意可知，只要点落在图中的空白区域即可，所求的概率是图中空白区域的面积和正六边形的面积之比，故所求的概率为1－＝1－.
答案：1－
7．在区间[－1，2]上随机取一个数x，则x∈[0，1]的概率为________．
解析：因为区间[－1，2]的区间长度为3，随机数x的取值区间[0，1]的区间长度为1.
所以由几何概率知x∈[0，1]的概率为.
答案：
8．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为________．
解析：
长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为1－.
答案：1－
9．已知集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x|<0}．
(1)在区间(－4，5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率．
解：(1)由已知得A＝{x|x2＋3x－4<0}＝{x|－4显然A∩B＝{x|－2设事件“x∈A∩B”的概率为P1，由几何概型的概率公式得P1＝＝.
(2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有以下20种：
(－3，－1)，(－3，0)，(－3，1)，(－3，2)，(－3，3)，(－2，－1)，(－2，0)，(－2，1)，(－2，2)，(－2，3)，(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(－1，3)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)．
又A∪B＝{x|－410．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率．
解：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．
以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积
V半球＝××13＝，则构成事件A“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝，由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
[B 能力提升]
11．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间少于30分钟的概率为( )
A.
B．
C.
D．
解析：选B.整点报时的时间间隔是60分钟，故等待时间少于30分钟的概率P＝＝.
12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：法一：不在家看书的概率＝
＝＝.
法二：不在家看书的概率＝1－在家看书的概率
＝1－＝.
答案：
13．两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
解：如图所示，以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的等价条件是－2≤x－y≤4，在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果由图中的阴影部分来表示，μA＝242－×222－×202＝134，
μΩ＝242＝576，所以P(A)＝＝＝.故有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为.
14．(选做题)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象对称轴为x＝，要使函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为如图阴影部分．
由
得交点坐标为.
所以所求事件的概率为P＝＝.
PAGE
1(共29张PPT)
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放
A