章末复习提升课
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin
αcos
β±cos
αsin
β，
cos(α±β)＝cos
αcos
β?sin
αsin
β，
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin
αcos
α，
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan
2α＝.
3．有关公式的逆用、变形
(1)tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2，1－sin
2α＝(sin
α－cos
α)2.
1．掌握相关公式
本章中的公式较多，又比较相似，在应用过程中，可能因为对公式的记忆不准确或记忆错误导致运算结果出现错误，熟练把握公式是关键．
2．关注角的取值范围
由于三角函数具有有界性，解题时往往会由于忽视角的范围而导致解题过程欠严密，结果不准，这种情况在解给值求角的问题中易出现．
三角函数式的求值
(1)的值为________．
(2)已知tan
α＝4，cos(α＋β)＝－，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.
【解】 (1)原式＝
＝－＝－
＝－tan(45°＋15°)＝－tan
60°＝－.故填－.
(2)因为0°<α<90°，
且tan
α＝＝4，sin2α＋cos2α＝1，
所以cos
α＝，sin
α＝.
因为cos(α＋β)＝－，
0°<α＋β<180°，
所以sin(α＋β)＝
＝.
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
又0°<β<90°，所以β＝60°.
三角恒等式的证明
已知tan2θ＝2tan2φ＋1，求证：cos
2φ＝2cos
2θ＋1.
【证明】 法一：因为tan2θ＝2tan2φ＋1，
所以tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)，
＝2·，
即＝，
所以cos
2φ＝2cos
2θ＋1.
法二：cos
2φ＝2cos
2θ＋1?2cos2φ－1＝2(2cos2θ－1)＋1
?cos2φ＝2cos2θ?＝
?＝
?tan2θ＋1＝2(tan2φ＋1)?tan2θ＝2tan2φ＋1.
而由已知，tan2θ＝2tan2φ＋1成立，
所以cos
2φ＝2cos
2θ＋1.
三角恒等变换与三角函数的性质
已知函数f(x)＝cos
x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
【解】 (1)由已知，
有f(x)＝cos
x·－cos2x＋
＝sin
xcos
x－cos2x＋
＝sin
2x－(1＋cos
2x)＋
＝sin
2x－cos
2x
＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，
f＝－，f＝，
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
1．已知sin
α＝，则cos(π＋2α)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D．法一：因为sin
α＝，
所以cos
2α＝1－2sin2α＝1－＝，
所以cos(π＋2α)＝
－cos
2α＝－，
故选D．
法二：因为sin
α＝，
所以cos2α＝1－sin2α＝，
所以cos(π＋2α)＝－cos
2α＝1－2cos2α＝－，故选D．
2.cos
15°－4sin215°·cos
15°＝( )
A．
B．
C．1
D．
解析：选D．cos
15°－4sin215°cos
15°＝cos
15°－2sin
15°·2sin
15°cos
15°＝cos
15°－2sin
15°·sin
30°＝cos
15°－sin
15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos
45°＝.故选D．
3．已知tan
α＝－，则tan的值是________．
解析：tan＝＝
＝－.
答案：－
4．已知函数f(x)＝sin
2x＋sin2x－cos2x.
(1)求f(x)的最大值及相应的x的值；
(2)若f(θ)＝，求cos
的值．
解：(1)f(x)＝sin
2x＋sin2x－cos2x＝sin
2x－cos
2x＝sin
，
所以当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋π(k∈Z)时，
f(x)取得最大值
.
(2)由f(θ)＝sin
2θ－cos
2θ，及f(θ)＝得：
sin
2θ－cos
2θ＝，
两边平方得1－sin
4θ＝，
即sin
4θ＝，
所以cos
＝cos＝sin
4θ＝.
5．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos
2α，求cos
α－sin
α的值．
解：(1)由－＋2kπ≤3x＋≤2kπ＋，
k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)由f＝coscos
2α，
得sin＝coscos
2α.
因为cos
2α＝sin
＝sin
＝2sincos，
所以sin
＝cos2sin.
又α是第二象限角，则得sin＝0或
cos2＝.
①由sin＝0，
得α＋＝2kπ＋π?α＝2kπ＋π(k∈Z)，
所以cos
α－sin
α＝cos
－sin
＝－.
②由cos2＝?cos＝
－?(cos
α－sin
α)＝－，
所以cos
α－sin
α＝－.
综上可知cos
α－sin
α＝－
或cos
α－sin
α＝－.
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第3章 三角恒等变换
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