3．3 几个三角恒等式
1.了解积化和差、和差化积公式． 2.理解降幂公式． 3.灵活运用两角和差公式、倍角公式、半角公式进行恒等变换．
1．降幂公式
cos2α＝(1＋cos
2α)；sin2α＝(1－cos
2α)．
2．半角公式
S：sin＝±
，C：cos＝±
，
T：tan＝±
，tan＝＝.
3．万能代换公式
sin
α＝，cos
α＝，
tan
α＝.
利用万能代换公式，可以用tan的有理式统一表示角α的任何三角函数值，要注意使用条件．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos
＝
.( )
(2)存在α∈R，使得cos
＝cos
α.( )
(3)对于任意α∈R，sin
＝sin
α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan
＝
.( )
解析：(1)错误．只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos
＝
.
(2)正确．当cos
α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)错误．当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
(4)正确．若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan
＝
成立．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若cos
α＝，且α∈(0，π)，则cos
的值为( )
A．
B．－
C．±
D．±
答案：A
3．已知cos
θ＝－，且180°＜θ＜270°，则tan
＝________．
解析：因为180°＜θ＜270°，
所以90°＜＜135°，
即是第二象限角，所以tan
＜0.
所以tan
＝－
＝－＝－2.
答案：－2
4．sin
cos
的值为________．
解析：sin
cos
＝sin
sin
＝sin2
＝＝＝－.
答案：
－
利用公式化简
化简：.
【解】 原式
＝
＝
＝
＝
＝1.
对于三角函数式化简的要求
(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
1.化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)cos(θ－180°)．
解：原式＝＋＋sin
2θ
＝1＋[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋sin
2θ
＝1＋[cos
2θcos
30°－sin
2θsin
30°－(cos
2θ·cos
30°＋sin
2θsin
30°)]＋sin
2θ
＝1＋(－sin
2θsin
30°)＋sin
2θ＝1.
利用公式求值
已知α为钝角，β为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，求cos.
【解】 因为α为钝角，β为锐角，sin
α＝，
sin
β＝，所以cos
α＝－，cos
β＝.
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝－×＋×＝.
又因为＜α＜π，0＜β＜，
所以0＜α－β＜π，0＜＜.
所以cos＝
＝
＝.
二倍角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的两倍，不一定是单角的形式，其变形可得半角公式，注意半角公式根号前面的符号由所在的象限来决定，如果没有给出限定符号的条件，根号前面应保留正负两个符号．
2.(1)已知sin＝，0
(2)化简sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos
2αcos
2β.
解：(1)原式＝
＝
＝2sin.
因为sin＝cos＝，
且0所以＋x∈，
所以sin＝＝.
所以原式＝2×＝.
(2)原式＝·＋·－cos
2αcos
2β
＝(1＋cos
2αcos
2β－cos
2α－cos
2β)＋(1＋cos
2α·cos
2β＋cos
2α＋cos
2β)－cos
2αcos
2β＝.
三角恒等变换的综合应用
求函数f(x)＝的最小正周期、最大值和最小值．
【解】 f(x)＝
＝＝(1＋sin
xcos
x)
＝＋sin
xcos
x
＝sin
2x＋，
所以函数的最小正周期T＝＝＝π.
当sin
2x＝1，即2x＝2kπ＋，k∈Z，亦即x＝kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝＋＝.
当sin
2x＝－1，即2x＝2kπ－，亦即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)min＝－＋＝.
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
↓
↓
3.设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos
B＝，f＝－，求sin
A．
解：(1)f(x)＝cos＋sin2x
＝cos
2xcos－sin
2xsin＋
＝－sin
2x.
所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.
(2)结合(1)知f＝－sin＝－，
所以sin＝.
因为C为三角形内角，所以＝.
所以C＝.
所以sin
A＝cos
B＝.
1．半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．
2．半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos
α的值及相应α的条件，sin
，cos
，tan
便可求出．
3．由于tan
＝及tan
＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
4．涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2
＝，cos2
＝.
设5π<θ<6π，cos＝a，那么sin等于________．
【解析】 由cos＝1－2sin2，得
sin2＝，
又5π<θ<6π，
所以<<.所以sin<0.
所以sin＝－.
【答案】 －
(1)错因：将正弦的降幂公式错记为余弦的降幂公式，而忽略角的范围的讨论，想当然认为是正值而直接将根式开方得解而致错．
(2)防范：①熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提．
②应用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角三角函数值的符号．
1．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A．－
B．－
C．
D．
解析：选B．由题意知sin
α＝－，α∈，所以cos
α＝－.
因为∈，
所以sin＝cos
＝－
＝－.故选B．
2．函数y＝的最小正周期是__________．
解析：由万能公式，得y＝cos
4x，所以T＝＝＝.
答案：
3．已知tan
α＝，tan
β＝，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.
解析：由tan
α＝，tan
β＝，且α，β∈(0，π)，得α，β∈，且tan(α＋β)＝＝<，故0<α＋β<.
又tan
β＝<，且β∈(0，π)，
故0<β<.
所以0<α＋2β<.
又tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
＝＝1，所以α＋2β＝.
答案：
[学生用书P124(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知sin
2α＝，则cos2＝( )
A．－
B．－
C．
D．
解析：选D．cos2＝＝＝.
2．若cos
2α＝－，且α∈，则sin
α＝( )
A．
B．
C．
D．－
解析：选A．因为α∈，所以sin
α≥0，由半角公式可得sin
α＝＝.
3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos
α＝.又β＝－，所以cos
β＝cos＝sin＝＝，故选B．
4．若α∈，则
－
等于( )
A．cos
α－sin
α
B．cos
α＋sin
α
C．－cos
α＋sin
α
D．－cos
α－sin
α
解析：选B．因为α∈，
所以sin
α≤0，cos
α＞0，
则
－
＝－
＝|cos
α|－|sin
α|＝cos
α－(－sin
α)＝cos
α＋sin
α.
5．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为( )
A．1
B．－1
C．
D．－
解析：选D．由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cos
x)＝cos2x－cos
x－1，设t＝cos
x(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值，为－，所以函数f(x)的最小值为－，故选D．
6．函数f(x)＝sin－2·sin2x的最小正周期是________．
解析：f(x)＝sin
2x－cos
2x－2·
＝sin
2x＋cos
2x－
＝sin－.
故最小正周期为π.
答案：π
7．设sin
α＝，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)的值等于________．
解析：因为sin
α＝，
所以cos
α＝－，tan
α＝－.
因为tan(π－β)＝，所以tan
β＝－，
tan
2β＝－，所以tan(α－2β)＝
＝＝.
答案：
8．已知sin
2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．
解析：
＝
＝＝＝.
因为sin
2θ＝，0＜2θ＜，
所以cos
2θ＝，
所以tan
θ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
9．求值：sin
40°(tan
10°－)．
解：原式＝sin
40°·
＝sin
40°·＝＝－1.
10．已知函数f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)因为f(x)＝2sin
ωxcos
ωx＋cos
2ωx
＝sin
2ωx＋cos
2ωx
＝sin(2ωx＋)，
所以f(x)的最小正周期T＝＝.
依题意，得＝π，
解得ω＝1.
(2)由第一问知f(x)＝sin(2x＋)．
函数y＝sin
x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
[B 能力提升]
1．已知cos·cos＝，θ∈，则sin
θ＋cos
θ的值是( )
A．
B．－
C．－
D．
解析：选C．cos·cos
＝sincos
＝sin
＝cos
2θ＝.
所以cos
2θ＝.
因为θ∈，
所以2θ∈，
所以sin
2θ＝－，
且sin
θ＋cos
θ＜0.
所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋sin
2θ＝1－＝.
所以sin
θ＋cos
θ＝－.
2．设p＝cos
αcos
β，q＝cos2，则p与q的大小关系是________．
解析：因为p－q＝
＝
＝≤0，
所以p≤q.
答案：p≤q
3．已知cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－，求sin(α＋β)的值．
解：因为cos
α－cos
β＝，
所以－2sinsin＝.①
因为sin
α－sin
β＝－，
所以2cossin＝－.②
①÷②，得－tan＝－.
所以tan＝.
所以sin(α＋β)＝＝＝.
4．(选做题)点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝，又AB＝1，
所以PA＝cos
α，PB＝sin
α.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin
α＝sin
αcos
α＋sin2α＝sin
2α＋(1－cos
2α)＝sin＋.
因为0＜α＜，
所以－＜2α－＜，
所以当2α－＝，
即α＝时，
S四边形ABTP取得最大值＋.
PAGE
1(共41张PPT)
第3章 三角恒等变换
第3章 三角恒等变换
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
》预习菜·自生学
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破3．2 二倍角的三角函数
1.了解二倍角公式的推导过程． 2.理解二倍角公式的意义及变形形式．
3．掌握二倍角公式进行化简、求值及证明．
1．倍角(二倍角)公式
(1)二倍角的正弦公式S2α：sin
2α＝2sin
αcos
α．
(2)二倍角的余弦公式C2α：cos
2α＝cos2α－sin2α．
(3)二倍角的正切公式T2α：tan
2α＝．
2．倍角公式常用的几个变形
S2α：sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2－1＝1－(sin
α－cos
α)2．
C2α：cos
2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin
2α＝2sin
α成立．( )
(3)对于任意的角α，cos
2α＝2cos
α都不成立．( )
解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠±＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．
(2)正确．当α＝kπ(k∈Z)时，sin
2α＝2sin
α.
(3)错误．当cos
α＝时，cos
2α＝2cos
α.
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．已知sin
α＝，cos
α＝，则sin
2α等于( )
A．
B．
C．
D．
答案：D
3．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A．
B．
C．
D．
答案：B
4.＝________．
解析：＝tan(2×150°)＝tan
300°＝－tan
60°＝－.
答案：－
二倍角公式的应用
求下列各式的值：
(1)sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)－；
(4)cos
20°cos
40°cos
80°.
【解】 (1)原式＝＝＝.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos
60°＝.
(3)原式＝
＝
＝＝＝4.
(4)原式＝
＝
＝
＝＝.
注意观察式子的特点及角之间的特殊关系，灵活运用二倍角公式解题，创造条件利用二倍角公式，使问题得解．
1.求下列各式的值．
(1)cos
36°·cos
72°；
(2)sin
6°·sin
42°·cos
24°·cos
12°.
解：(1)原式＝
＝＝
＝
＝＝.
(2)原式＝sin
6°·cos
48°·cos
24°·cos
12°
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝.
给值求值问题
已知α∈，sin
α＝，则sin
2α＝________，cos
2α＝________，tan
2α＝________．
【解】 因为α∈，sin
α＝，
所以cos
α＝－，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，
tan
2α＝＝－.
答案：－ －
若把本例中的条件“sin
α＝”改为“sin
α＋cos
α＝”，求sin
2α，cos
2α，tan
2α的值．
解：因为sin
α＋cos
α＝，
所以(sin
α＋cos
α)2＝，
即1＋2sin
αcos
α＝，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝－.
因为α∈，所以cos
α＜0，
所以sin
α－cos
α＞0，
所以sin
α－cos
α＝
＝＝，
所以cos
2α＝cos2α－sin2α
＝(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)
＝×＝－，
所以tan
2α＝＝.
(1)三角函数求值问题常有两种方法一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos
2x＝sin＝sin
＝2sincos.
2.已知sinsin＝，且α∈，求tan
4α的值．
解：因为sin＝
sin＝cos，
则已知条件可化为
sincos＝，
即sin＝，
所以sin＝，
所以cos
2α＝.
因为α∈，
所以2α∈(π，2π)，
从而sin
2α＝－＝－，
所以tan
2α＝＝－2，
故tan
4α＝＝－＝.
二倍角公式的综合应用
(1)化简：sin2＋sin2－sin2α.
(2)求证：＝tan
θ.
【解】 (1)由倍角公式cos
2α＝1－2sin2α，得sin2α＝.
于是，原式＝＋
－＝
－
＝－
＝.
(2)证明：左边＝
＝
＝＝tan
θ
＝右边，
所以原式成立．
(1)三角函数式化简的基本原则是化到最简，一般来说，在最后的结果中函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．余弦的二倍角公式能起到升幂作用，即1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α，正弦的二倍角公式也能起到升幂的作用，
即1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2.
(2)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②证左边、右边都等于同一个中间结果；③比较法(作差、作商法)．
常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)．解决此类问题要有整体代换思想．
3.(1)若α为第三象限角，则－＝________．
(2)求证：·＝tan
2α.
解：(1)因为α为第三象限角，
所以cos
α＜0，sin
α＜0，
所以－＝－＝－＝0.故填0.
(2)证明：左边＝·＝tan
2α＝右边．
1．公式的应用条件
(1)公式S2α，C2α中的α∈R.
(2)公式T2α中的α≠kπ＋，α≠kπ±，k∈Z.
2．“二倍”的含义
倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
3．倍角公式的常见变形
1±sin
2α＝(sin
α±cos
α)2；cos
α＝(α≠kπ，k∈Z)；1＋cos
2α＝2cos2α；1－cos
2α＝2sin2α.
已知α是第二象限的角，化简＋.
【解】 原式＝
＋
＝＋.
因为2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)．当kπ＋＜＜kπ＋(k＝2n，n∈Z)时，原式＝2sin；当kπ＋＜＜kπ＋(k＝2n＋1，n∈Z)时，原式＝－2sin.
(1)错因：在去根号时，对sin＋cos，sin－cos的符号没有讨论，导致化简错误．
(2)防范：由化简对象，可考虑先用升幂公式将根号里面的式子开出来，去绝对值时必须对角α展开讨论．
1．已知sin
α＝3cos
α，那么tan
2α的值为( )
A．2
B．－2
C．
D．－
解析：选D．因为sin
α＝3cos
α，
所以tan
α＝3，
所以tan
2α＝＝＝－.
2．已知sin
α＝－，则cos(π－2α)＝________．
解析：cos(π－2α)＝－cos
2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
答案：
－
3．计算：sin
10°cos
20°sin
30°cos
40°＝________.
解析：原式＝
＝＝
＝＝.
答案：
4．已知tan
θ＝－2，则的值为________．
解析：因为tan
2θ＝＝＝，
所以＝＝＝7.
答案：7
[学生用书P123(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知sin＝，则cos的值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D．因为sin＝，
所以cos＝cos
＝1－2sin2＝.
2．已知sin
α＝，则cos4α－sin4α的值为( )
A．－
B．－
C．
D．
解析：选D．cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos
2α＝1－2sin2α＝1－＝.
3．设－3π<α<－，化简
的结果是( )
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
解析：选C．因为－3π<α<－，－<<－，所以＝＝＝－cos.
4．已知cos＝－，则sin(－3π＋2α)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选A．易得cos＝
2cos2－1＝2×－1＝
－.又cos＝cos＝sin
2α，
所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin
2α＝－＝.故选A．
5．化简·cos
28°的结果为( )
A．
B．sin
28°
C．2sin
28°
D．sin
14°cos
28°
解析：选A．·cos
28°＝×·cos
28°＝tan
28°·cos
28°＝，故选A．
6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan
α＝__________．
解析：由tan(π＋2α)＝－得tan
2α＝－，又tan
2α＝＝－，解得tan
α＝－或tan
α＝2，又α是第二象限的角，所以tan
α＝－.
答案：－
7．已知tan
α＝－，则＝________．
解析：
＝＝
＝tan
α－＝－.
答案：－
8．已知sin＝，则cos的值等于________．
解析：因为cos
＝sin
＝sin＝，
所以cos
＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
答案：－
9．已知0lg
＋lg
－lg
(1＋sin
2x)．
解：原式＝lg(sin
x＋cos
x)＋lg(sin
x＋cos
x)－lg(1＋sin
2x)
＝lg
＝lg＝0.
10．已知sin22α＋sin
2αcos
α－cos
2α＝1，α∈，求sin
α及tan
α的值．
解：由题意得sin22α＋sin
2αcos
α＝1＋cos
2α＝2cos2α，
所以2sin2αcos2α＋sin
αcos2α－cos2α＝0.
因为α∈，所以cos
α≠0，
所以2sin2α＋sin
α－1＝0，即(2sin
α－1)·
(sin
α＋1)＝0.
因为sin
α＋1≠0，所以2sin
α－1＝0，
所以sin
α＝.
因为0＜α＜，所以α＝，
所以tan
α＝.
[B 能力提升]
1．已知tan
x＝2，则tan等于( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选C．tan
＝tan＝
＝＝－
＝－＝＝.
2．设a＝cos
6°－sin
6°，b＝，c＝，将a，b，c用“＜”号连接起来为________．
解析：a＝cos
6°－·sin
6°＝sin
30°cos
6°－cos
30°·sin
6°＝sin
24°，
b＝＝tan
26°，
c＝
＝＝sin
25°.
因为tan
26°＝，
cos
26°＜1，所以tan
26°＞sin
26°.
又因为y＝sin
x在(0°，90°)上为增函数，
所以a＜c＜b.
答案：a＜c＜b
3．求函数y＝sin4x＋2sin
xcos
x－cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
解：y＝sin4x＋2·sin
xcos
x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＋sin
2x
＝sin
2x－cos
2x
＝2
＝2sin.
故函数的最小正周期T＝＝π；
当且仅当2x－＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z时，y有最小值－2；
函数在[0，π]上的单调增区间为
和.
4．(选做题)已知cos＝，＜x＜，求的值．
解：法一：因为
＝
＝
＝
＝sin
2x·＝sin
2xtan.
又因为＜x＜，
所以＜x＋＜2π.
而cos＝＞0，
所以＜x＋＜2π，
所以sin＝－，
所以tan＝－.
又因为sin
2x＝－cos
＝－cos
＝－2cos2＋1
＝－＋1＝.
所以原式＝sin
2xtan
＝×＝－.
法二：因为＜x＜，
所以＜x＋＜2π.
又因为cos＝＞0，
所以＜x＋＜2π，
所以sin＝－，
所以
所以
所以
所以tan
x＝7，sin
2x＝2sin
xcos
x＝2××＝.
由法一知，原式＝sin
2x·
＝×＝－.
PAGE
1(共41张PPT)
第3章 三角恒等变换
第3章 三角恒等变换
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
》预习菜·自生学
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破3．1.3 两角和与差的正切
1.了解两角和与差的正切公式的推导． 2.理解两角和与差的正切公式的意义及结构特征．
3．掌握运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
1．两角差的正切公式
T(α－β)：tan(α－β)＝
.(α、β∈R且α、β、α－β
2．两角和的正切公式
T(α＋β)：tan(α＋β)＝
.(α、β∈R且α、β、α＋β
3．两角和的正切公式的常见变形
(1)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；
(2)1－tan
αtan
β＝；
(3)tan
α·tan
β＝1－.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
解析：(1)正确．当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝
tan＝tan
0＋tan
，但一般情况下不成立．
(2)错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
答案：(1)√ (2)×
2．已知tan
α＝2，则tan＝( )
A．－3
B．3
C．－4
D．4
答案：A
3.＝( )
A．
B．－
C．
D．－
答案：A
4．已知tan
α＝，tan(β－α)＝，那么tan(β－2α)的值为________．
解析：因为β－2α＝(β－α)－α，
所以tan(β－2α)＝
＝＝－.
答案：－
公式的正用和逆用
计算下列各式的值：
(1)tan
15°＋tan
75°；
(2).
【解】 (1)tan
15°＋tan
75°
＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝2－＋2＋
＝4.
(2)原式＝
＝tan(45°－15°)
＝tan
30°＝.
公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan
来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan；
＝tan.
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan
α±tan
β”及“tan
α·tan
β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
1.求下列各式的值：
(1)；
(2).
解：(1)原式＝tan(41°＋19°)＝tan
60°＝.
(2)原式＝tan
＝
tan＝.
公式的变形使用
求值：(1)tan
70°－tan
10°－tan
70°tan
10°；
(2)tan＋tan＋tantan.
【解】 (1)原式＝tan(70°－10°)(1＋tan
70°·tan
10°)－tan
70°·tan
10°＝(1＋tan
70°·tan
10°)－tan
70°·tan
10°＝.
(2)原式＝tan··＋tantan
＝tan＋
tan·tan＝－tan·
tan＋·tantan＝.
公式tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝可去分母变形为tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan
αtan
β)，tan
α－tan
β＝tan(α－β)·(1＋tan
α·tan
β)，本题就是应用此变形公式求解的．
2.(1)tan
19°＋tan
26°＋tan
19°tan
26°＝________．
(2)△ABC不是直角三角形，求证：
tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
A·tan
B·tan
C．
解：(1)因为tan
45°＝tan(19°＋26°)
＝＝1，
所以tan
19°＋tan
26°＝1－tan
19°tan
26°，
则tan
19°＋tan
26°＋tan
19°tan
26°
＝1－tan
19°tan
26°＋tan
19°tan
26°
＝1.
故填1.
(2)证明：由题意得A＋B＋C＝π，
所以tan
A＝tan(π－B－C)
＝－tan(B＋C)
＝－，
所以－tan
A(1－tan
Btan
C)＝tan
B＋tan
C，
所以－tan
A＋tan
Atan
Btan
C＝tan
B＋tan
C，
所以tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C．
两角和与差的正切公式的综合应用
(1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan
C＝________．
(2)在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，试判断△ABC的形状．
【解】 (1)因为tan
A，tan
B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，所以tan
A＋tan
B＝－，tan
Atan
B＝－，所以tan(A＋B)＝＝＝－2.
又A＋B＋C＝π，
所以tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.
故填2.
(2)由tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，
得tan
B＋tan
C＝(1－tan
Btan
C)．
因为A，B，C为△ABC的内角，
所以1－tan
Btan
C≠0，
所以＝，
即tan(B＋C)＝.
因为0＜B＋C＜π，
所以B＋C＝.
由tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，
得(tan
A＋tan
B)＝－(1－tan
Atan
B)．
因为A，B，C为△ABC的内角，
所以1－tan
Atan
B≠0，
所以＝－，
即tan(A＋B)＝－.
因为0＜A＋B＜π，所以A＋B＝.
又A＋B＋C＝π，所以A＝，B＝C＝，
所以△ABC为等腰三角形．
两角和与差的正切公式应用的
常见问题类型及处理策略
(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和、差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题．
(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系．
3.已知tan
α，tan
β是关于x的方程x2－4px－3＝0(p∈R)的两个实数根，且α＋β≠kπ＋(k∈Z)，求cos2(α＋β)＋psin(α＋β)cos(α＋β)的值．
解：因为tan
α，tan
β是方程x2－4px－3＝0的两实根，
所以根据根与系数关系，得
tan
α＋tan
β＝4p，
tan
αtan
β＝－3，
所以tan(α＋β)＝
＝＝p，
即sin(α＋β)＝pcos(α＋β)．
原式＝(1＋p2)cos2(α＋β)
＝
＝
＝1.
1．公式T(α±β)的结构特征
公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan
α与tan
β的和或差，分母为1与tan
αtan
β的差或和．
2．两角和与差的正切公式的变形
变形公式：tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)；
tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)；
tan
αtan
β＝1－.
已知tan2α＋6tan
α＋7＝0，tan2β＋6tan
β＋7＝0，
α，β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．
【解】 由
易知tan
α<0，tan
β<0.
因为α、β∈(0，π)，所以<α<π，<β<π.
所以π<α＋β<2π.又因为tan(α＋β)＝1，
所以α＋β＝π.
(1)本题常见以下错解：由题意知tan
α、tan
β是方程x2＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为0<α<π，0<β<π，所以0<α＋β<2π，
所以α＋β＝或α＋β＝π.
(2)错因：由函数值求角时，应先确定角的范围，上述错解忽视了tan
α<0，tan
β<0，角α、β都是钝角这一隐含条件．
(3)防范：在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．
1．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝( )
A．－4
B．4
C．－
D．
解析：选C．因为cos＝2cos(π－α)，
所以－sin
α＝－2cos
α?tan
α＝2，
所以tan＝＝－.
2．已知sin
α＝－，α是第四象限角，则tan的值为________．
解析：由已知sin
α＝－，α是第四象限角，
得cos
α＝＝，
所以tan
α＝＝－.
则tan＝
＝＝－7.
答案：－7
3.的值为________．
解析：原式＝
＝tan(60°－15°)＝tan
45°＝1.
答案：1
4．tan
27°＋tan
33°＋tan
27°tan
33°＝________．
解析：tan
27°＋tan
33°
＝tan(27°＋33°)(1－tan
27°tan
33°)
＝tan
60°(1－tan
27°tan
33°)
＝－tan
27°tan
33°，
所以tan
27°＋tan
33°＋tan
27°tan
33°
＝－tan
27°tan
33°＋tan
27°tan
33°＝.
答案：
[学生用书P122(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α－β)等于( )
A．3
B．－3
C．
D．－
解析：选C．tan(α－β)＝＝＝.
2．计算等于( )
A．
B．
C．1
D．
解析：选A．＝＝
tan
30°＝.
3．若＝，则tan＝( )
A．－2
B．2
C．－
D．
解析：选C．因为＝，
所以＝，所以tan
α＝－3.
所以tan＝＝＝－.
4．已知tan
α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－
B．－
C．－
D．
解析：选B．tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－
＝－＝－.
5．若α＋β＝，则(1－tan
α)(1－tan
β)等于( )
A．
B．2
C．1＋
D．2(tan
A＋tan
B)
解析：选B．由题可得tan(α＋β)＝＝－1，所以tan
α＋tan
β＝－1＋tan
αtan
β，即2＝1－tan
α－tan
β＋tan
αtan
β＝(1－tan
α)(1－tan
β)．
6．若tan
A·tan
B＝tan
A＋tan
B＋1，则cos(A＋B)＝________．
解析：由tan
A·tan
B＝tan
A＋tan
B＋1，
得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
所以A＋B＝kπ＋π，k∈Z，
所以cos(A＋B)＝±.
答案：±
7．tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°＝________．
解析：原式＝tan
10°·tan
20°＋tan
60°(tan
20°＋tan
10°)＝tan
10°·tan
20°＋×(1－tan
10°tan
20°)＝1.
答案：1
8．化简的结果为________．
解析：原式＝
＝＝tan
β.
答案：tan
β
9．已知tan＝，tan＝2.求：
(1)tan；(2)tan(α＋β)．
解：(1)tan
＝tan
＝
＝＝－.
(2)tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
10．已知A＋B＝45°，求证：(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝2，并应用此结论求(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)…(1＋tan
43°)·(1＋tan
44°)的值．
解：因为tan
A＋tan
B＝tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)
且A＋B＝45°，
即tan
A＋tan
B＝1－tan
Atan
B，
所以(1＋tan
A)(1＋tan
B)
＝tan
A＋tan
B＋1＋tan
Atan
B
＝1－tan
Atan
B＋1＋tan
Atan
B＝2，
即(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝2.
因为1°＋44°＝45°，2°＋43°＝45°，…，22°＋23°＝45°，
所以(1＋tan
1°)(1＋tan
44°)＝2，
(1＋tan
2°)(1＋tan
43°)＝2，…，
(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)＝2，
所以原式＝＝222.
[B 能力提升]
1．如图，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为________．
解析：设正方形边长为1，
则tan
α＝，tan
β＝.
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
又0<α＋β<π，
所以α＋β＝.
答案：
2．已知tan＝2，则的值为________．
解析：由tan
＝＝2，得tan
α＝，
所以
＝
＝＝
＝.
答案：
3．已知tan
A与tan是关于x的方程x2＋px＋q＝0的解，若3tan
A＝2tan，求p和q的值．
解：设t＝tan
A，
则tan＝＝，
由3tan
A＝2tan，得3t＝，
解得t＝或t＝－2.
当t＝时，tan＝＝，
p＝－＝－，
q＝tan
Atan＝×＝；
当t＝－2时，tan＝＝－3，
p＝－＝5，
q＝tan
Atan＝6.
所以p，q的值为或
4．(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：(1)由单位圆中三角函数的定义，
可得cos
α＝，cos
β＝.
由于α，β为锐角，
所以sin
α＝＝，sin
β＝
＝.
从而tan
α＝7，tan
β＝，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
又0＜α＜，0＜β＜，
所以0＜α＋2β＜，
从而α＋2β＝.
PAGE
1(共35张PPT)
第3章 三角恒等变换
第3章 三角恒等变换
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
》预习菜·自生学
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破3．1.2 两角和与差的正弦
1.了解两角和与差的正弦公式的推导． 2.理解运用两角和与差的正弦公式的意义及结构特征．
3．掌握运用两角和与差的正弦公式进行化简、求值与证明．
1．两角和与差的正弦公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
S(α＋β)
α，β∈R
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
S(α－β)
2.两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别与联系
(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反．
(2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．
(3)S(α±β)
C(α±β)．
(4)S(α－β)S(α＋β)．
3．辅助角公式
asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)，其中tan
φ＝.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin
α－sin
β成立．( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β都不成立．( )
(4)sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
30°.( )
解析：(1)正确．根据公式的推导过程可得．
(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin
α－sin
β.
(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．
(4)正确．因为sin
54°cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
54°cos
24°－cos
54°sin
24°＝sin(54°－24°)＝sin
30°，故原式正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．设α∈，若sin
α＝，则2sin等于( )
A．
B．
C．
D．
答案：A
3．sin
15°cos
15°－sin
75°sin
15°的值为________．
解析：逆用两角差的正弦公式可得sin
15°·cos
15°－cos
15°sin
15°＝sin(15°－15°)＝0.
答案：0
4．sin
15°＋cos
15°＝________．
解析：sin
15°＋cos
15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＋cos
45°·cos
30°＋sin
45°·sin
30°＝×－×＋×＋×＝.
答案：
公式的运用
已知cos
φ＝，当(1)φ∈；(2)φ∈时，分别求sin.
【解】 (1)因为cos
φ＝，φ∈，
所以sin
φ＝＝，
sin＝sincos
φ－cossin
φ
＝×－×＝.
(2)因为cos
φ＝，φ∈，
所以sin
φ＝－＝－，
sin＝sincos
φ－cossin
φ
＝×－×＝.
在cos
φ已知的前提下，sin
φ要根据φ的取值范围才能唯一确定．如果φ的范围不能确定，则一定要分情况讨论．
1.求下列各式的值．
(1)sin
105°
(2)sin
165°
(3).
解：(1)sin
105°＝sin(45°＋60°)＝sin
45°cos
60°＋cos
45°·sin
60°＝×＋×＝.
(2)sin
165°＝sin(180°－15°)＝sin
15°＝sin(45°－30°)＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＝×－×＝.
(3)
＝
＝
＝
＝sin
30°＝.
给值求值问题
已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，求sin的值．
【解】 因为sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，
所以sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α＝.
即sin
[(α－β)－α]＝.所以sin(－β)＝，
所以sin
β＝－.
又因为β为第三象限角，所以cos
β＝－.
所以sin＝sin＝－sin
＝－sin
βcos－cos
βsin
＝－×－×＝.
解给值求值问题的关键点
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方法.
2.已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin
β＝－，求sin
α.
解：因为α∈，
β∈，所以α－β∈(0，π)．
因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin
β＝－，
所以cos
β＝.
所以sin
α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×＝.
给值求角问题
已知cos
α＝，sin(α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值．
【解】 因为0＜α＜，cos
α＝，
所以sin
α＝.
又因为0＜β＜，所以0＜α＋β＜π.
因为sin(α＋β)＝＜sin
α，
所以cos(α＋β)＝－，
所以sin
β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)·sin
α＝×－＝.
又因为0＜β＜，所以β＝.
若把本例中的“0＜β＜”改为“＜β＜π”，求角β的值．
解：因为0＜α＜，cos
α＝，所以sin
α＝.
又因为＜β＜π，所以＜α＋β＜.
因为sin(α＋β)＝，所以cos(α＋β)＝－，
所以sin
β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－＝.
又因为＜β＜π，所以β＝.
解决给值求角问题的关键、思路及步骤
(1)解答此类问题的关键是找出已知角和所求角之间的联系，解答此类问题最容易出错的地方是求角的范围．
(2)此类问题的解题思路是找出已知角与未知角的联系．
(3)此类问题的解题步骤：①讨论角的范围；②求出指定范围内的三角函数值；③根据已知角与未知角的关系拆分角，进一步利用公式求解．
3.已知sin＝－，sin＝，其中＜α＜，＜β＜，求角α＋β的值．
解：因为＜α＜，
所以－＜－α＜0.
因为＜β＜，所以＜＋β＜.
由已知可得cos＝，
cos＝－，
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝×＋×＝－.
因为＜α＋β＜π，所以α＋β＝.
1．公式sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β的推导及记忆
(1)推导：运用差角的余弦公式C(α－β)和诱导公式，考虑到sin(α＋β)＝cos，且cos＝sin
α，
sin＝cos
α，于是，
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos
β＋sinsin
β
＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.
(2)记忆：对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“正余余正，符号相同”．
2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
在△ABC中，sin
A＝，cos
B＝，求cos
C的值．
【解】 因为cos
B＝，
所以B为锐角，
所以sin
B＝＝.
因为sin
A＝，0所以当A为锐角时，
cos
A＝＝，
cos
C＝cos
[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)
＝sin
Asin
B－cos
Acos
B
＝.
当A为钝角时，
cos
A＝－＝－，
cos
C＝－cos(A＋B)＝sin
Asin
B－cos
Acos
B＝.
此时sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B
＝×＋×<0，
这与0故此种情况不成立．
综上，cos
C＝.
(1)常见错误：没有结合题中隐含的角的范围，判断出A为钝角时不成立．
(2)在三角形中，一定要重视角的取值范围和题目中隐含的信息．本题中，已知sin
A，cos
B，在求出cos
A，sin
B后，要想到用sin(A＋B)或A，B的范围进行验证和选择．
1．sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选D．sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin
30°＝，故选D．
2.的值为__________．
解析：原式＝
＝＝2sin
30°＝1.
答案：1
3．函数y＝sin
x＋cos
x的最大值为________．
解析：y＝sin
x＋cos
x
＝(sin
x＋cos
x)
＝2
＝2
＝2sin，
所以y的最大值为2.
答案：2
[学生用书P121(单独成册)])
[A 基础达标]
1．cos
24°cos
36°－cos
66°cos
54°的值等于( )
A．0
B．
C．
D．－
解析：选B．因为cos
24°cos
36°－cos
66°cos
54°＝cos
24°cos
36°－sin
24°sin
36°＝cos(24°＋36°)＝cos
60°＝.故选B．
2．若cos
α＝－，α是第三象限角，则sin＝( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选A．因为cos
α＝－，α是第三象限角，
所以sin
α＝－，由两角和的正弦公式可得sin＝sin
αcos
＋cos
αsin
＝×＋×＝－.
3．已知cos＝(α为锐角)，则sin
α＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D．因为α∈，
所以α＋∈.
所以sin＝＝＝.
所以sin
α＝sin＝
sincos－cossin＝×－×＝.
4．在△ABC中，cos
A＝，cos
B＝，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
解析：选B．由题意得sin
A＝，sin
B＝，所以cos
C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos
A
cos
B＋sin
Asin
B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．
5．函数f(x)＝sin
2x＋cos
2x的最小正周期是________．
解析：f(x)＝sin
2x＋cos
2x
＝2
＝2sin.
所以最小正周期T＝＝π.
答案：π
6．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，则sin＝________．
解析：因为sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin
β＝.
所以sin
β＝－，
又β是第三象限角，
所以cos
β＝－＝－，
所以sin＝sin
βcos
＋cos
βsin
＝×＋×
＝－.
答案：－
7．函数y＝sin＋sin的最小值为________．
解析：y＝sin＋sin
＝sin
2xcos＋cos
2x·sin＋
sin
2xcos－cos
2xsin＝
sin
2x，所以y的最小值为－.
答案：－
8．已知sin
α＝，α∈，cos
β＝－，β∈，求sin(α＋β)、sin(α－β)的值．
解：由sin
α＝，α∈，得cos
α＝
－＝－.
又由cos
β＝－，β∈，得
sin
β＝－＝－.
所以sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋×
＝.
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×
＝－.
9．已知＜α＜，且cos＝，求cos
α，sin
α的值．
解：因为＜α＜，
所以0＜α－＜.
因为cos＝，
所以sin＝
＝.
所以sin
α＝sin
＝sincos＋cos·sin＝，
cos
α＝cos
＝coscos－sinsin
＝.
[B 能力提升]
1．形如的式子叫作行列式，其运算法则为＝ad－bc，若行列式＝，则x＝________．
解析：因为＝ad－bc，
＝sin
xcos－cos
xsin＝sin＝，所以x－＝＋2kπ或x－＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝＋2kπ或x＝(2k＋1)π，k∈Z.
答案：＋2kπ，k∈Z或(2k＋1)π，k∈Z
2．求函数f(x)＝sin(x＋20°)＋sin(x＋80°)的最值．
解：f(x)＝sin(x＋20°)＋sin
[(x＋20°)＋60°]＝sin(x＋20°)＋sin(x＋20°)cos
60°＋cos(x＋20°)sin
60°
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝
＝sin(x＋50°)．
所以当sin(x＋50°)＝1时，
f(x)max＝，
当sin(x＋50°)＝－1时，
f(x)min＝－.
3．(选做题)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)由f＝Asin
＝Asin
＝＝，
可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
3－
3＝，sin
θ＝.
因为θ∈，
所以cos
θ＝，
f＝3sin
＝3sin＝3cos
θ＝.
PAGE
1(共38张PPT)
第3章 三角恒等变换
第3章 三角恒等变换
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
》预习菜·自生学
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破3．1.1 两角和与差的余弦
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程． 2.理解两角和与差的余弦公式的意义与公式结构特征．
3．掌握运用两角和与差的余弦公式进行三角式的化简、求值与证明．
1．两角和与差的余弦公式
(1)两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β．
(2)两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β．
[注意]
2.±α，±α的诱导公式
(1)cos＝sin
α，sin＝cos
α．
(2)cos＝－sin
α，sin＝cos
α．
(3)cos＝－sin
α，sin＝－cos
α．
(4)cos＝sin
α，sin＝－cos
α．
名称变化：正弦余弦，余弦正弦．
符号变化：公式右边的函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos(60°－30°)＝cos
60°－cos
30°.( )
(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos
α－cos
β都不成立．( )
(3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β都成立．( )
(4)cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝0.( )
解析：(1)错误．cos(60°－30°)＝cos
30°≠cos
60°－cos
30°.
(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos
α－cos
β＝cos(－45°)－cos
45°＝0，此时cos(α－β)＝cos
α－cos
β.
(3)正确．结论为两角和的余弦公式．
(4)正确．cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝cos(120°－30°)＝cos
90°＝0.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．cos
43°cos
13°＋sin
43°sin
13°的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
答案：C
3．已知cos
α＝，α∈，则cos＝________．
解析：因为cos
α＝，α∈，所以
sin
α＝＝
＝.
所以cos＝cos
αcos
－sin
α·sin
＝×－×＝.
答案：
两角和与差的余弦公式的应用
计算下列各式的值：
(1)cos
；
(2)sin
460°sin(－160°)＋cos
560°cos(－280°)；
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．
【解】 (1)cos
＝cos＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
(2)原式＝－sin
100°sin
160°＋cos
200°cos
280°
＝－sin
100°sin
20°－cos
20°cos
80°
＝－(cos
80°cos
20°＋sin
80°sin
20°)
＝－cos
60°＝－.
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α)
＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]
＝cos
60°＝.
两角和与差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和或差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和或差的余弦公式求解．
1.化简下列各式的值．
(1)cos
40°cos
20°－cos
70°cos
50°；
(2)cos
75°＋sin
75°.
解：(1)cos
40°cos
20°－cos
70°·cos
50°＝cos
40°cos
20°－sin
20°sin
40°＝cos(40°＋20°)＝cos
60°＝.
(2)cos
75°＋sin
75°
＝cos
30°cos
75°＋sin
30°sin
75°
＝cos(30°－75°)
＝cos(－45°)
＝.
给值求值问题
设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.
【解】 因为α∈，β∈，
所以α－∈，
－β∈.
所以sin＝
＝
＝.
cos＝
＝
＝.
所以cos
＝cos
＝coscos
－sinsin
＝－×－×＝－.
解答给值求值题目应注意的两点
(1)拆拼角技巧
先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦，认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角等技巧，如α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；
2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；＝＋等．
(2)角的范围问题
许多题都给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
2.(1)已知α，β∈，且sin
α＝，
cos(α＋β)＝－，求cos
β的值．
(2)已知sin
α＝，α∈，cos
β＝－，β∈，求cos(α－β)的值．
解：(1)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，又sin
α＝，所以cos
α＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
(2)因为α∈，sin
α＝，
所以cos
α＝－＝－.
又β∈，cos
β＝－，
所以sin
β＝－＝－.
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×
＝.
给值求角问题
(1)已知α，β均为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，则α－β＝________．
(2)已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值．
【解】 (1)因为α，β均为锐角，
所以sin
α＝，sin
β＝，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
又sin
α＜sin
β，
所以0＜α＜β＜，
所以－＜α－β＜0.
故α－β＝－.
故填－.
(2)由cos
α＝，0＜α＜，
得sin
α＝＝
＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝
＝
＝.
由β＝α－(α－β)，得cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
所以β＝.
求解给值求角的三个步骤
(1)求所求角的一种三角函数值．
(2)确定所求角的范围．
(3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角．
3.(1)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
(2)已知sin
α＋sin
β＝，cos
α＋cos
β＝，0＜α＜β＜π，求α－β
的值．
解：(1)由α－β∈，
且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝.
又由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－1.
又因为α＋β∈，α－β∈，
所以2β∈，所以2β＝π，
所以β＝.
(2)因为(sin
α＋sin
β)2＝，(cos
α＋cos
β)2＝，以上两式展开两边分别相加得
2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.
因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0，
所以α－β＝－.
对公式C(α－β)和C(α＋β)的三点说明
(1)公式的结构特点：公式的左边是差角(和角)的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式(差式)，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“
”相当于公式中的角β.
(3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如
cos(α－β)－cos
αcos
β＝sin
αsin
β.
cos(α＋β)＋sin
αsin
β＝cos
αcos
β.
②角的变用，也称为角的变换，如cos
α＝cos[(α＋β)－β]，cos
α＝cos[(α－β)＋β]，cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．
若α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos的值为________．
【解析】 因为α，β∈，
所以α＋β∈，
β－∈.
由sin(α＋β)＝－，得
cos(α＋β)＝＝
＝，
由sin＝，
得cos＝－
＝－
＝－，
所以cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×
＝－.
【答案】 －
(1)解答本题，易因忽视角α＋β，β－的范围的计算，导致由正弦值计算余弦值时符号选择出错，也容易因不能发现已知角α＋β，β－和所求角α＋之间的关系，导致无法对角α＋进行正确变形，进而计算cos出现错误．
(2)①应用两角差(和)的余弦公式计算三角函数值时，经常由正(余)弦值计算余(正)弦值，此时要特别注意计算角的范围，从而判断终边位置．
②正确分析已知角与所求角的关系是探究解题思路的关键．
1．sin
11°cos
19°＋cos
11°cos
71°的值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．sin
11°cos
19°＋cos
11°cos
71°＝cos
11°·cos
71°＋sin
11°sin
71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝.故选B．
2．cos
45°cos
15°＋sin
15°sin
45°的值为__________．
解析：cos
45°cos
15°＋sin
15°sin
45°＝cos(45°－15°)＝cos
30°＝.
答案：
3．sin
195°＝__________．
解析：sin
195°＝sin(90°＋105°)＝cos
105°＝cos(45°＋60°)＝cos
45°cos
60°－sin
45°sin
60°＝×－×＝.
答案：
4．若α，β均为锐角，sin
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β＝________．
解析：因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)且sin
α＝＞＝sin(α＋β)，
所以cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝.
答案：
[学生用书P120(单独成册)])
[A 基础达标]
1．coscos－sin·sin＝( )
A．
B．
C．
D．1
解析：选B．coscos－sinsin＝
cos＝cos＝，故选B．
2．若cos
5xcos(－2x)－sin(－5x)sin
2x＝0，则x的值可能是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．因为cos
5xcos(－2x)－sin(－5x)·sin
2x＝cos
5xcos
2x＋sin
5xsin
2x＝cos(5x－2x)＝cos
3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以当k＝0时，x＝.
3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos
α＝，sin
β＝－，则cos(α－β)的值为( )
A．－
B．－
C．
D．
解析：选A．因为α为锐角，且cos
α＝，
所以sin
α＝＝.因为β为第三象限角，且sin
β＝－，所以cos
β＝－＝－，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝－.故选A．
4．若sin
αsin
β＝1，则cos(α－β)＝( )
A．0
B．1
C．±1
D．－1
解析：选B．由sin
αsin
β＝1可知，sin
α＝1，sin
β＝1或sin
α＝－1，sin
β＝－1，此时均有cos
α＝cos
β＝0，从而cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0＋1＝1.
5．已知锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选A．因为α，β为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin
α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos(2π－β)＝cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
6．已知cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝－，且180°＜α＜270°，则tan
α等于__________．
解析：由已知知cos[(α＋β)－β]＝－，
即cos
α＝－.
又180°＜α＜270°，
所以sin
α＝－，
所以tan
α＝＝.
答案：
7．若三角形两内角α，β满足tan
α·tan
β＞1，则这个三角形是__________．
解析：因为tan
α·tan
β＞1，所以α，β均为锐角，＞1，所以cos
αcos
β－sin
αsin
β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．
答案：锐角三角形
8．已知x∈R，sin
x－cos
x＝m，则m的取值范围为________．
解析：sin
x－cos
x＝
＝
＝cos，
因为x∈R，所以x－∈R，
所以－1≤cos≤1，
所以－≤m≤.
答案：－≤m≤
9．求下列各式的值：
(1)sin
44°sin
16°－cos
44°cos
16°；
(2)cos
80°cos
35°＋cos
10°cos
55°.
解：(1)原式＝－(cos
44°cos
16°－sin
44°sin
16°)
＝－cos(44°＋16°)
＝－cos
60°＝－.
(2)原式＝cos
80°cos
35°＋sin
80°sin
35°
＝cos(80°－35°)＝cos
45°＝.
10．已知锐角α、β满足sin
α＝，cos
β＝.
(1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．
解：(1)因为sin
α＝，α为锐角．
所以cos
α＝α＝＝；
因为cos
β＝，β为锐角．
所以sin
β＝＝＝，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
(2)cos(α＋β)
＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝.
因为α、β均为锐角，
所以0<α＋β<π，
所以α＋β＝.
[B 能力提升]
1．已知sin＝，A∈，则cos
A＝________．
解析：由A∈，可知A＋∈，则cos＝－，cos
A＝cos[－]＝cos·
cos
＋sinsin
＝×＋×＝.
答案：
2．设a＝2cos
66°，b＝cos
5°－sin
5°，c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：b＝cos
5°－sin
5°＝
2＝2cos
65°，
c＝2(sin
47°sin
66°－sin
24°sin
43°)
＝2(cos
43°cos
24°－sin
24°sin
43°)＝2cos
67°.
因为函数y＝cos
x在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos
67°66°65°，所以b>a>c.
答案：b>a>c
3．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，
f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)由f＝得
Acos＝，
即A·cos＝，所以A＝2.
(2)由(1)知f(x)＝2cos.
由
得
解得
因为α，β∈，
所以cos
α＝＝，
sin
β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝－.
4．(选做题)已知sin
α＋sin
β＝，求(cos
α＋cos
β)2的取值范围．
解：由sin
α＋sin
β＝，平方可知，
sin2α＋2sin
αsin
β＋sin2β＝.①
设cos
α＋cos
β＝m，平方可知，
cos2α＋2cos
αcos
β＋cos2β＝m2.②
①＋②得
sin2α＋2sin
αsin
β＋sin2β＋cos2α＋2cos
αcos
β＋cos2β＝m2＋，
整理得m2＝＋2cos(α－β)．
又由于cos(α－β)∈[－1，1]，
所以m2∈，
即得0≤m2≤.
所以(cos
α＋cos
β)2的取值范围是.
PAGE
1(共45张PPT)
第3章 三角恒等变换
第3章 三角恒等变换
按ESC键退出全屏播放
本部分内容讲解结束
第3章
三角恒等变换
DI
SAN
ZHANG
》预习菜·自生学
研读·导学·尝试
》探究系讲练互动
解惑·探究·突破