章末复习提升课
1．平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
2．平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
3．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，
则cos
θ＝＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
.
1．有关向量的注意点
(1)零向量的方向是任意的．
(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量．
(3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量．
2．向量的运算律中注意点
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．
(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c)．
平面向量的线性运算
(1)已知A，B，C三点在同一条直线l上，O为直线l外一点，若p＋q＋r＝0，其中p，q，r∈R，则p＋q＋r＝________．
(2)设坐标平面上有三点A，B，C，i，j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A，B，C三点共线？
【解】 (1)因为A，B，C三点在同一条直线l上，
所以存在实数λ使＝λ，所以－＝λ(－)，(λ－1)＋－λ＝0.因为p＋q＋r＝0，所以p＝λ－1，q＝1，r＝－λ，p＋q＋r＝0.故填0.
(2)法一：假设满足条件的m存在，由A，B，C三点共线，即∥，
所以存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，
所以解得m＝－2，
所以当m＝－2时，A，B，C三点共线．
法二：假设满足条件的m存在，根据题意，可知i＝(1，0)，j＝(0，1)，所以＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，
＝(1，0)＋m(0，1)＝(1，m)．由A，B，C三点共线，得∥，故1×m－1×(－2)＝0，解得m＝－2，
所以当m＝－2时，A，B，C三点共线．
平面向量的数量积
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
【解】 (1)由题意知＝(3，5)，＝(－1，1)，
则＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线的长分别为2，4.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，即(－2)(3＋2t)＋(－1)(5＋t)＝0.
从而5t＝－11，所以t＝－.
平面向量的实际应用
平面内三个力F1，F2，F3作用于同一点，且处于平衡状态，已知F1，F2的大小分别为1
N，
N，F1与F2的夹角是45°，求F3的大小及F3与F1的夹角．
【解】 如图所示，按向量加法的平行四边形法则作F1，F2的合力F，
则F3＝－F，F＝F1＋F2.
因为F1与F2的夹角是45°，
所以|F|2＝|F1＋F2|2
＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2
＝12＋＋2|F1||F2|cos
45°
＝1＋(2＋)＋2×1××
＝2＋4＝(＋1)2，所以|F|＝＋1，即F3的大小为(＋1)N.设F1与F的夹角为θ，
则F1·F＝|F1||F|cos
θ＝1×(＋1)×cos
θ
＝(＋1)cos
θ.又因为F1·F＝F1·(F1＋F2)＝|F1|2＋|F1||F2|cos
45°＝1＋1××＝，
所以(＋1)cos
θ＝，即cos
θ＝.
又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°，所以F3与F1的夹角为150°.故F3的大小为(＋1)N，F3与F1的夹角为150°.
1．已知a＝(1，2)，2a－b＝(3，1)，则a·b＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选D．由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b＝2×5－a·b＝3＋2，故a·b＝10－5＝5.
2．已知e1，e2是单位向量，m＝e1＋2e2，n＝5e1－4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．因为m⊥n，|e1|＝|e2|＝1，所以m·n＝(e1＋2e2)·(5e1－4e2)＝5e＋6e1·e2－8e＝－3＋6e1·e2＝0.所以e1·e2＝.设e1与e2的夹角为θ，则cos
θ＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
3．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，则实数k等于________．
解析：由已知得(ka－2b)·a＝0，[k(1，1)－2(2，－3)]·(1，1)＝0，
即(k－4，k＋6)·(1，1)＝0，k－4＋k＋6＝0，所以k＝－1.
答案：－1
4.如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，点F在BC上，且BF＝BC．
(1)以a，b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
解：(1)由已知得＝＋＝a＋b.
＝＋＋＝b＋a＋＝a－b.
(2)由已知得a·b＝|a||b|cos
120°＝3×4×＝－6，
从而·＝·＝|a|2＋a·b－|b|2＝×32＋×(－6)－×42＝－.
[学生用书P115(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知向量与向量共线，下列关于向量的说法中，正确的为( )
A．向量与向量一定同向
B．向量，向量，向量一定共线
C．向量与向量一定相等
D．以上说法都不正确
解析：选B．根据共线向量的定义，可知，，这三个向量一定为共线向量，故选B．
2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－
B．－
C．＋
D．＋
解析：选A．法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．
法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A．
3．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
解析：选C．设向量a与b的夹角为θ，因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－(a＋b)，所以c2＝(a＋b)2，
即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos
θ，
所以19＝4＋9＋12cos
θ，所以cos
θ＝，
又0°≤θ≤180°，所以a与b的夹角为60°.
4．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选A．因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
5．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( )
A．
B．
C．
D．3
解析：选A．以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，
D，设C(1，m)，E(x，y)，所以＝，＝，
因为AD⊥CD，所以·＝0，即×＋＝0，
解得m＝，即C(1，)，因为E在CD上，所以≤y≤，由kCE＝kCD，得＝，即x＝y－2，因为＝(x，y)，＝(x－1，y)，所以·＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(y－2)2－y＋2＋y2＝4y2－5y＋6，令f(y)＝4y2－5y＋6，y∈.因为函数f(y)＝4y2－5y＋6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min＝4×－5×＋6＝.
所以·的最小值为，
故选A．
6．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
解析：由已知|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos
60°＋4＝12.
所以|a＋2b|＝2.
答案：2
7．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与方向相同的单位向量的坐标为________．
解析：＝(3，－4)，所以与向量方向相同的单位向量
n＝＝＝.
答案：
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，
所以λ＋μ＝.
答案：
9．已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．
求：(1)a·b和的值；
(2)a与b夹角θ的余弦值．
解：由已知，a＝(3，－2)，b＝(4，1)
(1)a·b＝10；＝|(7，－1)|＝5.
(2)cos
θ＝＝.
10．已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
证明：因为＋＋＝0，
所以＋＝－，
所以(＋)2＝(－)2，所以||2＋||2＋2·＝||2，所以·＝－，
又cos∠P1OP2＝＝－，
所以∠P1OP2＝120°.
所以||＝|－|＝＝
＝.
同理可得||＝||＝.
故△P1P2P3是等边三角形．
[B 能力提升]
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________．
解析：
由于a＋λb＝(1＋λ，2)，
故(a＋λb)∥c?4(1＋λ)－6＝0，
解得λ＝.
答案：
2.如图，正六边形ABCDEF的边长为，则·＝________．
解析：因为＝＝2·
cos
30°＝3，，夹角为120°，
所以·＝3×3×cos
120°＝－.
答案：－
3．如图，在△ABC中，＝2.
(1)若＝x＋y(x、y为实数)，求x、y的值；
(2)若AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，求·的值．
解：(1)因为＝2，
所以－＝2(－)，
所以＝＋.
又因为＝x＋y＝(x－y)＋y，
所以＋＝(x－y)＋y.
因为与不共线，
所以
所以x＝1，y＝.
(2)·＝·(－)＝·－2＋2＝.
4．(选做题)在四边形ABCD中，已知∥，＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)求x与y的关系式；
(2)若⊥，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．
解：(1)因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)，所以＝－＝(－x－4，2－y)．又因为∥，＝(x，y)，所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
(2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．因为⊥，所以·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.当y＝3时，x＝－6，则＝(－6，3)，＝(0，4)，＝(－8，0)．所以||＝4，||＝8，所以S四边形ABCD＝||||＝16.当y＝－1时，x＝2，
则＝(2，－1)，＝(8，0)，＝(0，－4)．
||＝8，||＝4，S四边形ABCD＝16.
综上可知或S四边形ABCD＝16.
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第2章 平面向量
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