2．5 向量的应用
1.了解平面向量在处理数学问题中的工具性作用． 2.理解用向量方法解决有关几何问题、物理问题及实际问题的一般思路． 3.掌握用向量方法解决实际问题的步骤——“三步曲”．
1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”
2．向量在物理学中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos
θ(θ为F与s的夹角)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( )
(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.( )
(3)若向量∥，则AB∥CD．( )
解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解．
(2)错误．因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠C为直角．
(3)错误．向量∥时，直线AB∥CD或AB，CD重合．
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．若向量＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0，5)
B．(4，－1)
C．2
D．5
解析：选D．F1＋F2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，所以|F1＋F2|＝5.
3．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
4．若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＝3e，＝5e，
得∥，≠，
又因为ABCD为四边形，
所以AB∥DC，AB≠DC．
又||＝||，
得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形
向量在几何中的应用
如图所示，点O为△ABC的外心，以、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H.
(1)若＝a，＝b，＝c，＝h，用a、b、c表示h；
(2)证明⊥；
(3)若△ABC中∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|.
【解】 (1)由向量加法的平行四边形法则可得
＝＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b＋c，
所以h＝a＋b＋c.
(2)证明：因为点O是△ABC的外心，
所以||＝||＝||，
即|a|＝|b|＝|c|.
而＝－＝h－a＝b＋c，
＝－＝b－c，
所以·＝(b＋c)·(b－c)＝|b|2－|c|2＝0.
所以⊥.
(3)在△ABC中，O是外心，
∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，所以∠BOC＝120°，∠AOC＝90°.
于是∠AOB＝150°.
|h|2＝h·h＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)
＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c
＝3R2＋2|a||b|cos
150°＋2|a||c|cos
90°＋2|b|·|c|cos
120°＝3R2－R2－R2＝(2－)R2.
所以|h|＝R.
用平面向量法求解几何问题的两种思路
(1)基向量法：选择适当的平面向量为已知向量或基向量，将其他向量用已知向量或基向量表示出来，利用向量运算的几何意义通过运算来解决．
(2)坐标法：建立适当的平面直角坐标系，将所需要的向量用坐标表示，利用向量的坐标运算法则来解决．
1.(1)如图，在?ABCD中，E，F在对角线BD上，且BE＝FD，则四边形AECF的形状是________．
(2)设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，试用向量证明：PQ∥AB．
解：(1)由已知可设＝＝a，＝＝b，故＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a.又a＋b＝b＋a，则＝，即AE，FC平行且相等，故四边形AECF是平行四边形．故填平行四边形．
(2)证明：设＝λ(λ＞0)，
因为＝－＝＋－
＝＋(－)
＝＋[(－)－(＋)]
＝＋(－)
＝(＋)＝(－λ＋1)，
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，
所以PQ∥AB．
向量在物理中的应用
(1)河水从东向西流，流速为2
km/h，一艘船以2
km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是________．
(2)已知两个力f1＝(1，2)，f2＝(4，－5)(单位：牛顿)作用于同一质点，此质点在这两个力的共同作用下，由A(7，0)移动到B(20，15)(单位：米)，试求：
①f1，f2分别对质点所做的功；
②求f1，f2的合力对质点所做的功．
【解】 (1)由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则表示船的实际速度．
则||＝2，||＝2，∠AOB＝90°，
所以||＝4，
所以船实际速度的大小为4
km/h.
故填4
km/h.
(2)①因为A(7，0)，B(20，15)，
所以＝(13，15)，
所以W1＝f1·＝(1，2)·(13，15)＝1×13＋2×15＝43，
W2＝f2·＝(4，－5)·(13，15)＝4×13＋(－5)×15＝－23.
所以f1，f2所做的功分别为43焦和－23焦．
②f＝f1＋f2＝(5，－3)，
W＝f·＝(5，－3)·(13，15)＝5×13＋(－3)×15＝20.
所以f1和f2的合力所做的功为20焦．
用向量方法解决物理问题的“三步曲”
2.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．
解：(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：－G＝F1＋F2，
根据直角三角形可得
|F1|＝，|F2|＝|G|·tan
θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大．
(2)由|F1|＝≤2|G|，
得cos
θ≥，则0°≤θ≤60°.
向量在解析几何中的应用
已知A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)若使四边形ABCD是矩形，试确定点C的坐标，并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值．
【解】 (1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，即AB⊥AD．
(2)设点C的坐标为(x，y)．
因为四边形ABCD为矩形，所以＝，
所以(－3，3)＝(x－3，y－2)，
所以解得
所以点C的坐标为(0，5)，所以＝(－2，4)．
因为＝(－4，2)，
所以·＝(－4)×(－2)＋2×4＝16.
因为||＝2，||＝2，
所以与的夹角θ的余弦值为
＝＝.
故该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值为.
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段用向量表示，再利用向量的运算法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等等．
3.已知直线l过点A(1，1)，且垂直于向量n＝(－2，1)．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2，0)，求l1的一般方程．
解：(1)因为直线l垂直于向量n＝(－2，1)，
所以直线l的一个方向向量为v＝(1，2)，
所以直线l的斜率为2，
所以直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)，
整理得2x－y－1＝0.
故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.
(2)因为直线l1与l垂直，
所以l1的一个方向向量v0＝(－2，1)，
所以直线l1的斜率为－，
所以直线l1的点斜式方程为y－0＝－(x－2)，整理得x＋2y－2＝0.
故直线l1的一般方程为x＋2y－2＝0.
1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面
(1)要证明两线段相等，如AB＝CD，则可转化为证明：2＝2.(2)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只需证明：存在实数λ≠0，使＝λ成立，且AB与CD无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB⊥CD，则可转化为证明数量积·＝0.(4)要证明A，B，C三点共线，只需证明存在一实数λ≠0，使＝λ.(5)要求一个角，如∠ABC，只需求向量与向量的夹角即可．
2．向量在物理中应用时要注意的三个问题
(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型．(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．①力、速度、加速度和位移都是向量；②力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法；③动量mv是数乘向量；④功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积．
一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4
m/s，这时气象台报告实际风速为2
m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．
【解】 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地．风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地，
如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段是平行四边形ACDB的对角线．
因为||＝4，∠ACD＝30°，||＝2，所以∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，||＝||·cos
30°＝2.即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为2
m/s.
(1)因为不能正确地用平面向量把这个物理问题表示出来，造成了对题目束手无策；故我们要掌握相关的物理知识．
(2)用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；②通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；④利用这个结果，对原物理现象作出解释．
1．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
解析：选B．由题意知|v水|＝2
m/s，|v船|＝10
m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2(m/s)．
2．过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线为________．
解析：设P(x，y)为直线上一点，则⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.
答案：2x＋y－7＝0
3．已知作用在点A(1，1)的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是________．
解析：F＝(8，0)，故终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．
答案：(9，1)
4.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(·)min＝________．
解析：取AB的中点D，连结CD、CP(图略)，设、的夹角为θ.所以
·＝(＋)·(＋)
＝·＋·(＋)＋2
＝(2)2×－·2＋1
＝7－6cos
θ，
当cos
θ＝1时，·取得最小值1.
答案：1
[学生用书P113(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形
B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
解析：选D．由题意知a－b＝d－c，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D．
2．如果一架飞机先向东飞行200
km，再向南飞行300
km，设飞机飞行的路程为s
km，位移为a
km，则( )
A．s>|a|
B．s<|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比较大小
解析：选A．物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2
N和4
N，则F3的大小为( )
A．6
N
B．2
N
C．2
N
D．2
N
解析：选D．由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos
60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2
N.
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B．因为＝－＝－，
所以2＝＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
5．在△ABC中，有下列四个命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④
解析：选C．因为－＝＝－≠，所以①错误.＋＋＝＋＝－＝0，所以②正确．由(＋)·(－)＝2－2＝0，得||＝||，所以△ABC为等腰三角形，③正确.·>0?cos
A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C．
6．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|AB|＝，则·＝________．
解析：由已知得△ABC为正三角形，向量与的夹角为120°.
所以·＝·cos
120°＝－.
答案：－
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________．
解析：由题意知，＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案：(10，－5)
8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
解析：如图，向量α与β在单位圆O内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，故以向量α，β为边的三角形的面积为，故β的终点在如图的线段AB上，因此夹角θ取值范围为.
答案：
9．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令||＝1，
则||＝1，||＝2.
因为CE⊥AB，而AD＝DC，
所以四边形AECD为正方形．
所以可求得各点坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，
C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0)．
(1)因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，
所以＝，
所以∥，即DE∥BC．
(2)连接MD，MB，因为M为EC的中点，所以
M，所以＝(－1，1)－
＝，＝(1，0)－
＝.
因为＝－，所以∥.
又MD与MB有公共点M，
所以D，M，B三点共线．
10．已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·＝0，＝－，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解：设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，
则＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，
因为＝－，
所以(x，y－b)＝－(a－x，－y)，
所以a＝，b＝－，
即A，Q，
＝，＝，
因为·＝0，
所以3x－y2＝0，
即所求轨迹方程为y2＝4x(x>0)．
[B 能力提升]
1．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
解析：5＝＋2，
2－2＝－－2，
－2(＋)＝，
如图所示，以PA，PB为邻边作?PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则＝2＝4，
所以＝＝＝.
答案：1∶2
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC．
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解：(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋
(－)＝＋＝a＋b.
所以||2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos
120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，
则θ为向量与的夹角．
因为cos
θ＝＝＝
＝＝0，
所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.
3.(选做题)如图，在直角三角形ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大，并求出这个最大值．
解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB＝c，AC＝b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，
且PQ＝2a，BC＝a.设点P(x，y)，则
Q(－x，－y)，
所以＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，＝(－c，b)，
＝(－2x，－2y)，
所以·＝－x(x－c)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
所以cos
θ＝＝，
所以cx－by＝a2cos
θ，
所以·＝－a2＋a2cos
θ，
故当cos
θ＝1，
即θ＝0(与的方向相同)时，·最大，其最大值为0.
PAGE
1第2课时 向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.了解向量数量积的坐标表示． 2.理解向量数量积的坐标运算．
3．掌握利用向量的数量积求向量的夹角、平行、垂直等问题．
1．向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．求向量模的公式
设a＝(x，y)，则|a|2＝a2＝a·a＝x2＋y2或|a|＝．
3．两点间距离公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．
4．向量的夹角公式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，b≠0，a与b夹角为θ，则cos
θ＝＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))
.特别地，若a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.( )
(2)若两个非零向量的夹角θ满足cos
θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
(3)若A(1，0)，B(0，－1)，则||＝.( )
解析：(1)错误．当a＝0或b＝0时，x1x2＋y1y2＝0.此时a∥b.
(2)错误．如a＝(－1，－1)，b＝(1，1)，则cos
θ＝－1＜0，但a与b的夹角是180°而并不是钝角．
(3)正确．由两点间的距离公式，得
||＝＝.
答案：(1)× (2)× (3)√
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )
A．23
B．7
C．－23
D．－7
答案：D
3．若a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且a⊥b，则k＝________．
解析：a·b＝(4，－2)·(k，－1)＝4k＋2，
因为a⊥b，
所以4k＋2＝0，k＝－.
答案：－
4．已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则向量a，b的夹角θ＝________．
解析：因为a＝(，1)，b＝(－，1)，
所以cos
θ＝＝
－，又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.
答案：120°
向量数量积的坐标运算
已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)．求：
(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；
(3)(a·b)c，a(b·c)．
【解】 (1)a·b＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)因为a＋b＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)，
2a－b＝2(1，3)－(2，5)＝(2，6)－(2，5)＝(0，1)，所以(a＋b)·(2a－b)＝(3，8)·(0，1)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)c＝17c＝17(2，1)＝(34，17)，
a(b·c)＝a((2，5)·(2，1))＝(1，3)·(2×2＋5×1)＝9(1，3)＝(9，27)．
若本例的条件不变，求(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.
解：(1)2a＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，所以2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.
(2)a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，所以(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
向量数量积坐标运算的求法
以坐标形式计算数量积，要找准数量积中各向量的坐标，可一步一步计算每个过程以保证结果正确．
1.设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12)
B．0
C．－3
D．－11
解析：选C．依题意可知，
a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
向量的模与夹角问题
已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为__________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为__________．
【解析】 (1)因为2a＋b＝(3，1)，所以与它同向的单位向量的坐标是.
(2)b－3a＝(－2，1)，
所以(b－3a)·a＝－2，|b－3a|＝，
所以b－3a与a夹角的余弦值为＝＝－.
答案：(1) (2)－
熟练掌握平面向量的夹角公式，两向量的数量积定义及其运算性质是解此类题目的关键，在求解过程中只要明确所求解的量，并逐步求解所求的量即可顺利解题．
2.已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
解：设c＝(x，y)，则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1,
)·(x，y)＝x＋y，由a·c＝b·c及|c|＝，
得
解得
或
所以c＝
或c＝.
向量垂直的坐标表示
已知向量a＝(4，3)，b＝(－1，2)．若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．
【解】 法一：因为a＝(4，3)，b＝(－1，2)，
所以a－λb＝(4，3)－λ(－1，2)＝(4＋λ，3－2λ).2a＋b＝2(4，3)＋(－1，2)＝(7，8)．又a－λb与2a＋b垂直，所以(a－λb)·(2a＋b)＝0，即7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0.所以λ＝.
法二：因为a－λb与2a＋b垂直，
所以(a－λb)·(2a＋b)＝0.
所以2a2－2λa·b＋a·b－λb2＝0.
因为a＝(4，3)，b＝(－1，2)，
所以a2＝25，b2＝5，
a·b＝－4＋6＝2.
所以50－4λ＋2－5λ＝0.所以λ＝.
充分利用向量垂直的条件，将问题转化为实数方程组的求解问题．
3.已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，所以x＝12.
因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3，
所以b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．
设m、n的夹角为θ，则cos
θ＝
＝
＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
即m，n的夹角为.
向量的数量积及模的坐标表示
(1)数量积坐标表示的作用及记忆口诀
①作用：数量积实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化．
②记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．
(2)向量的模的坐标运算的实质
向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，则在平面直角坐标系中，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．
(3)平面向量夹角的余弦公式的应用条件及夹角范围的判断
①应用条件：已知两个非零向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可以利用该公式求得夹角θ的余弦值．
cos
θ＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))
②若判断向量夹角的范围时直接计算a·b的值即可判断
(ⅰ)当a·b＞0时，两向量的夹角0°≤θ＜90°；
(ⅱ)当a·b＝0时，θ＝90°；
(ⅲ)当a·b＜0时，90°＜θ≤180°.
设a＝(2，x)，b＝(－4，5)，若a与b夹角θ为钝角，求x的取值范围．
【解】 由cos
θ<0得x<，
又因为a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－，
当x＝－时，a＝＝－b，
所以a与b反向，θ＝π，故x<且x≠－.
(1)错因：误认为两向量的夹角θ为钝角与cos
θ<0是等价转化，而当θ＝π时，cos
θ＝－1<0.
(2)防范：向量a与b的夹角为钝角(锐角)并不等价于a·b<0(a·b>0)，还应保证两向量不反向(同向)共线，这里易忽略共线的特殊情况，事实上，cos
θ＝<0(>0)包含了cos
θ＝－1(cos
θ＝1)的情况，此时两向量是共线的位置关系，不属于夹角为钝角(锐角)的范围，应该去掉．
1．已知向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝2
B．a∥b
C．b⊥(a＋b)
D．|a|＝|b|
解析：选C．因为向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，设b＝(x，y)，则解得所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．
2．已知a＝(－5，5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为________．
解析：因为cos
θ＝＝＝－.
又因为θ∈[0，π]，
所以θ＝.
答案：π
3．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是__________．
解析：b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0?λ＝－3.
答案：－3
[学生用书P112(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
解析：选D．2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．0
B．1
C．－2
D．2
解析：选D．2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.
3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于( )
A．4
B．2
C．8
D．8
解析：选D．易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝＝8.
4．设向量a＝(，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－)，若b∥c，则a－b与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：选D．因为b∥c，所以－x＝(－3)×1，所以x＝，所以b＝(，－3)，a－b＝(0，4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为＝＝－，所以a－b与b的夹角为150°.
5．已知O为坐标原点，向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3，0)
B．(2，0)
C．(3，0)
D．(4，0)
解析：选C．设点P的坐标为(x，0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
所以当x＝3时，·有最小值1.
此时点P的坐标为(3，0)．
6．设向量a＝(1，2)，b＝(x,
1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于__________．
解析：a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，因为a＋2b与2a－b平行，所以(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，所以x＝，a·b＝(1，2)·＝1×＋2×1＝.
答案：
7．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为________．
解析：·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝·||·||＝××2＝5.
答案：5
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值为________．
解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(，0)，E(，1)，F(x，2)．故＝(，0)，＝(x，2)，＝(，1)，＝(x－，2)，
所以·＝(，0)·(x，2)＝x.
又·＝，所以x＝1.
所以＝(1－，2)．
所以·＝(，1)·(1－，2)
＝－2＋2＝.
答案：
9．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？
解：(1)ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得解得
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
因为λ＜0，所以ka＋b与a－3b反向．
10．已知向量a＝(1，)，b＝(－2，0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1，1]时，求|a－tb|的取值范围．
解：(1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2，0)，
所以a－b＝(1，)－(－2，0)＝(3，)，
所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝4＋3.易知当t∈[－1，1]时，|a－tb|2∈[3，12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．
[B 能力提升]
1．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析：选C．设a与c的夹角为θ，依题意，得
a＋b＝(－1，－2)，|a|＝.
设c＝(x，y)，因为(a＋b)·c＝，
所以x＋2y＝－.又a·c＝x＋2y，
所以cos
θ＝＝＝＝－，
所以a与c的夹角为120°.
2．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sin
θ.如果|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－3，则|a×b|＝________．
解析：由于a·b＝|a||b|·cos
θ＝－3，所以
cos
θ＝－.
又因为θ为向量a与b的夹角，所以sin
θ＝，
所以|a×b|＝|a||b|sin
θ＝4.
答案：4
3．已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：由已知得|a|＝
＝2，
|b|＝＝1，
a·b＝×－1×＝0.因为x⊥y，所以x·y＝0，所以[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
化简得k＝，所以＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－，
即当t＝－2时，有最小值－.
4．(选做题)已知三个点A(2，1)，
B(3，2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值．
解：(1)证明：因为
A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，
所以＝(1，1)，＝(－3，3)．
·＝1×(－3)＋1×3＝0，
所以⊥，所以AB⊥AD．
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝.
设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)．
又因为＝(1，1)，所以
解得
所以点C的坐标为(0，5)．所以＝(－2，4)．
又＝(－4，2)，所以||＝2，||＝
2，·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，则
cos
θ＝＝＝.
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
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1第1课时 向量数量积的物理背景及其含义
1.了解向量的数量积的物理意义． 2.理解向量的数量积的含义． 3.掌握向量的数量积的运算．
1．向量的夹角的定义
(1)定义：对于两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：范围为0°≤θ≤180°或θ∈[0，π]．
2．向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos
θ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0．
(3)特例：①当θ＝0°时，a与b同向，a·b＝|a||b|；特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
②当θ＝180°时，a与b反向，a·b＝－|a||b|．
③当θ＝90°时，称向量a与b垂直，记作a⊥b，a·b＝0．
3．向量的数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λa·b＝λ(a·b)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量的数量积的运算结果是一个向量．( )
(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
解析：(1)错误．向量的数量积是一个数．
(2)错误．向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等．
答案：(1)× (2)×
2．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12
B．12
C．－12
D．－12
答案：B
3．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________．
解析：画图可知向量与夹角为角C的补角(图略)，故·＝BC×ACcos(π－C)＝4×8×＝－16.
答案：－16
4．已知a和b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b
和向量ka－b垂直，则k＝________．
解析：因为a、b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.
又ka－b和a＋b垂直，
所以(a＋b)·(ka－b)＝0，
所以k－1＋ka·b－a·b＝0，
即k－1＋kcos
θ－cos
θ＝0(θ为a、b夹角)，
所以(k－1)(1＋cos
θ)＝0.
又因为a和b不共线，
所以cos
θ≠－1，所以k＝1.
答案：1
数量积的基本运算
(1)已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°
时，分别求a·b.
(2)如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：①·；②·.
【解】 (1)①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
所以a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
所以a·b＝|a||b|cos
180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
所以a·b＝0；
③当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝9.
(2)①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos
0°＝3×3×1＝9.
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos
120°
＝4×3×＝－6.
本例(2)的条件不变，求·.
解：因＝＋，＝－，
·＝(＋)·(－)
＝2－2＝9－16＝－7.
(1)非零向量共线的充要条件是a·b＝±|a||b|，因此，当a∥b时，a与b所成角有0°或180°两种可能．
(2)非零向量a⊥b?a·b＝0.
(3)两个向量的数量积a·b＝|a||b|cos
θ，与它们的夹角有关，夹角范围是[0，π]．
1.已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
解：(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos
θ＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos
60°＋6×42＝192.
向量模的有关计算
已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.
【解】 (1)a·b＝|a||b|cos
θ＝3×4×cos
120°＝－6.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.
(3)|a＋b|＝＝.
(4)|a－b|＝
＝
＝
＝.
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
2.设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝________．
解析：因为a＋b＋c＝0，
所以c＝－(a＋b)．
因为(a－b)⊥c，
所以c·(a－b)＝0，
所以－(a＋b)·(a－b)＝0，
所以a2－b2＝0，
所以|b|＝|a|＝1.
答案：1
与向量夹角有关的问题
若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，试求a，b的夹角θ的余弦值．
【解】 由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，
得
即
①×3＋②，得a2＝b2，
所以|a|2＝|b|2，
即|a|＝|b|.③
由①得a·b＝b2－2a2＝|b|2－2×|b|2＝
－|b|2.④
由③④可得cos
θ＝＝＝－.
所以a，b的夹角θ的余弦值为－.
(1)求向量a，b夹角的流程图
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．
3.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解：由已知得(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，①
(a－4b)·(7a－2b)＝0，
即7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①②两式相减得2a·b＝b2，
所以a·b＝b2，
代入①②中任一式得a2＝b2，
即|a|＝|b|.
设a、b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝60°.
1．向量的数量积的概念
(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角的余弦值．
(2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b，其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，不可省略．
(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握．
2．向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c
向量a，b，c
a≠0，a·b＝0?b＝0
a≠0，a·b＝0b＝0
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
a·b＝b·c(b≠0)a＝c
|a·b|＝|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律
不满足乘法结合律
在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝＋.因为E为CD的中点，
所以＝，
所以＝＋＋
＝－＋＋＝－.
所以·＝(＋)·
＝2＋·－2
＝1＋×1×||cos
60°－||2＝1，
所以||－||2＝0，
解得||＝.
即AB的长为.
【答案】
(1)解答本题常出现的错误是，未能用平行四边形法则、数乘向量的几何意义和向量加法的三角形法则，将，用，表示，或表示不正确，或数量积定义或|a|2＝a2应用不当．
(2)在以几何图形为背景的数量积运算问题中，通常要恰当选择基底，表示有关向量，转化为基向量之间的运算，达到简化运算的目的．向量数量积运算中要特别注意a·b＝|a||b|cos
θ，|a|2＝a2等知识的应用．
1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：
①a·(b－c)＝a·b－a·c；
②(a·b)c＝a(b·c)；
③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.
其中正确的有__________个．
解析：由向量的数量积的性质知①正确；向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos
θ＋|b|2知③不正确；对于④，因为a·b＝|a||b|·cos
θ＝0，所以|a|＝0或|b|＝0或cos
θ＝0.所以a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确．
答案：1
2．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．
解析：a·b＝|a||b|cos
30°＝2××＝3.
答案：3
3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝________．
解析：因为a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，又a·b＝××cos
，所以3＋m＝××cos
，所以m＝.
答案：
4．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．
解析：因为a·b＝0，又因为a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)
＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝k＋(1－2k)×1×1×cos－2＝2k－，所以k＝.
答案：
[学生用书P111(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A．
B．
C．3
D．5
解析：选C．由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
2．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C．因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是( )
A．2
B．4
C．6
D．12
解析：选C．因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos
60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．
故选C．
4．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·等于( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选C．因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝，所以·＝1××cos
150°＝－.
5．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
解析：选D．因为2＝·＋·＋·，所以2－·＝·＋·，
所以·(－)＝·(－)，
所以·＝2，
所以·(＋)＝0，
所以·＝0，
所以AC⊥BC，
所以△ABC是直角三角形．
6．已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝________．
解析：因为·(2a－3b)＝|a|2＋a·b－3|b|2
＝16＋|a||b|cos
60°－3|b|2
＝16＋|b|－3|b|2，
即16＋|b|－3|b|2＝12，
所以3|b|2－|b|－4＝0，
解得|b|＝.
答案：
7．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
解析：由题意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2，
即2＝25－·－×64，
解得·＝22.
答案：22
8．如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是________．(只填序号)
①·；②·；③·；
④·.
解析：根据正六边形的几何性质，得·＝0，·＜0，·＝||·||·cos＝||2，·＝||·2||·cos＝|P1P2|2，经比较可知·的数量积最大．
答案：①
9．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为.
求：(1)(3a－2b)·(a－2b)；(2)|a＋b|.
解：(1)(3a－2b)·(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2＝3×32－8×3×4cos＋4×42＝91＋48.
(2)|a＋b|＝＝
＝
＝
.
10．已知a，b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，求a与b的夹角．
解：因为(a－2b)⊥a，
所以(a－2b)·a＝0，即a2－2a·b＝0.
因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，
即b2－2a·b＝0.
所以a2＝b2，即|a|＝|b|.a·b＝a2，
即a·b＝|a|2.
所以cos
θ＝＝＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
[B 能力提升]
1.如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上一点，DC＝2BD，则·＝________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又因为＝－，2＝1，2＝4，且·＝2×1×cos
120°＝－1，所以·＝·(－)＝2－2＋·＝－.
答案：－
2．已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则·＝________．
解析：因为M是BC的中点，所以＝(＋)，又O是△ABC的外接圆圆心，所以·＝||||·cos
∠BAO＝||2＝8，同理可得·＝||2＝2，所以·＝(＋)·＝·＋·＝4＋1＝5.
答案：5
3．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2.
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以·＝0，
由＝2，
得＝，＝＝－.
所以·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－·－2
＝36－×81＝18.
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18
＝18－·.
又·＝6，
所以18－·＝6，
所以·＝36.
又·＝||·||cos
θ＝9×6×cos
θ＝54cos
θ，
所以54cos
θ＝36，
即cos
θ＝.
所以与夹角的余弦值为.
4．(选做题)已知向量a，b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．
解：法一：因为a2＝9，
所以|a|＝3.又a·b＝－12.
所以|a·b|＝12.
又因为|a·b|≤|a||b|.
所以12≤3|b|，
解得|b|≥4.
故|b|的取值范围是[4，＋∞)．
法二：因为a·b＝|a||b|cos
θ(其中θ为a与b的夹角)．又由a2＝9，得|a|＝3，由a·b＝－12，得θ≠90°.即cos
θ≠0.所以|b|＝＝＝.因为－1≤cos
θ<0，所以|b|≥4.故|b|的取值范围是[4，＋∞)．
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1第2课时 平面向量共线的坐标表示
1.进一步理解平面向量的坐标表示． 2.掌握平面向量共线的坐标表示．
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(a≠0)
(1)如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；
(2)如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )
(2)向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．( )
解析：(1)正确．因为(4，8)＝4(1，2)，所以向量(1，2)与向量(4，8)共线．
(2)正确．因为(－4，－6)＝－2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(－4，－6)反向．
答案：(1)√ (2)√
2．下列各组中的两个向量，共线的序号是( )
A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)
B．a2＝(1，－2)，b2＝(7，14)
C．a3＝(2，3)，b3＝(3，2)
D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，－4)
答案：D
3．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m，2m＋3)，且a∥b，则m＝________．
解析：由已知得－(2m＋3)＋m2＝0，
所以m＝－1或m＝3.
答案：－1或3
4．已知A(1，2)，B(4，5)，若＝2，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，
即
解得
答案：(3，4)
已知向量共线求参数值
(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．
(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，求实数k的值．
【解】 (1)因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，
所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3)．
因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.故填2.
(2)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
所以k＝－.
若本例(2)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？
解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－，
所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，
a＋kb＝a－b＝(1，－2)－(3，4)
＝＝(0，－10)，
所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．
由向量共线求参数的值的方法
1.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，c＝a＋b，d＝a－b，若c∥d，则实数x＝________．
解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，所以c＝a＋b＝(1＋x，3)，d＝a－b＝(1－x，1)．因为c∥d，所以1＋x－3(1－x)＝0.
解得x＝.
答案：
三点共线问题
(1)已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证点A，B，C共线．
(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线？
【解】 (1)证明：由题意知＝－＝(4，8)，
＝－＝(6，12)，所以＝，
即与共线．
又因为与有公共点A，
所以点A，B，C共线．
(2)因为＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，
＝－＝(10，k)－(4，5)＝(6，k－5)，
又A，B，C三点共线，
所以＝λ，
即(4－k，－7)＝λ(6，k－5)＝(6λ，(k－5)λ)．
所以
解得k＝11或k＝－2.
判断向量(或三点)共线的三个步骤
2.已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：因为＝(1－(－1)，
3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2)，
又因为2×2－4×1＝0，
所以∥.
又因为＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2，6)，＝(2，4)，
所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C三点不共线，
所以AB与CD不重合，
所以直线AB∥直线CD．
向量共线的综合应用
如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标．
【解】 设＝t＝t(4，4)＝(4t，4t)，
则＝－
＝(4t，4t)－(4，0)
＝(4t－4，4t)，
＝－
＝(2，6)－(4，0)
＝(－2，6)．
由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝.
所以＝(4t，4t)＝(3，3)．
所以P点坐标为(3，3)．
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
3.已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________．
解析：若点A，B，C不能构成三角形，则只能共线．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，
＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．
假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.
所以若A，B，C三点能构成三角形，则m≠1.
答案：m≠1
1．剖析两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝.
2．三点共线的坐标表示
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则有＝λ，即(x2－x1，y2－y1)＝λ(x3－x2，y3－y2)，所以(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或由＝μ得到(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)，或由＝γ得到(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线．
在△ABC中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD与BC交于点M，求点M的坐标．
【解】 设点C坐标为(xC，yC)，因为点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，所以＝(0，5)，＝(4，3)．因为＝(xC，yC)＝＝，所以点C.同理点D.?
设点M的坐标为(x，y)，则＝(x，y－5)，
而＝.
因为A，M，D三点共线，所以与共线．?
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.?
而＝，＝＝，
因为C，M，B三点共线，所以与共线．?
所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.?
解得
所以点M的坐标为.
(1)在?处，根据向量共线定理正确地得出两点坐标，是解答本题的关键；若不能根据题意得到?处的结论，则造成无法继续求解，造成重大失分；在?处，常因不能正确地运用共线向量的坐标表示形式得到此式而失分，是易失分点．
(2)解题时，准确地计算有关向量的坐标，是正确答题的前提，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键．
在求点或向量的坐标中要注意方程思想的应用．
1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A．(4，0)
B．(0，4)
C．(4，－8)
D．(－4，8)
解析：选C．因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．
2．若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是( )
A．2m－n＝3
B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5
D．m－2n＝3
解析：选A．因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，
所以＝λ，
所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，
所以λ＝，所以m－3＝(n－3)，
即2m－n＝3.
3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．
解析：因为a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
所以a＋b＝(1，m－1)．
因为(a＋b)∥c，c＝(－1，2)，
所以2－(－1)·(m－1)＝0.
所以m＝－1.
答案：－1
[学生用书P110(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10)
B．(－4，－8)
C．(－3，－6)
D．(－2，－4)
解析：选B．因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以1×m－(－2)×2＝0，解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
2．已知a＝(sin
α，1)，b＝(cos
α，2)，若b∥a，则tan
α＝( )
A．
B．2
C．－
D．－2
解析：选A．因为b∥a，所以2sin
α＝cos
α，所以＝，所以tan
α＝.
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：选B．v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
4．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1，2
B．2，2
C．3，2
D．2，4
解析：选B．由题意知，＝(1，2)，＝(3－x，4－y)．因为∥，所以4－y－2(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满足．故选B．
5．已知A(1，－3)，B，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( )
A．(－9，1)
B．(9，－1)
C．(9，1)
D．(－9，－1)
解析：选C．设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
所以∥.
因为＝－(1，－3)＝，
＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，故选C．
6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝×，解得k＝1.
答案：1
7．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则＝(4，6)．
又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，
则λ＝.
答案：
8．已知向量a＝(－2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
解析：由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.
答案：或
9.如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解：由已知可得M(2.5，2.5)，N(1.5，0.5)，
所以＝(2.5，2.5)，＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，
所以，共线．
10．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
[B 能力提升]
1．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC．已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．
解析：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，设D(x，y)，
则(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x，y)，
所以x＝0，y＝－2，即D点的坐标为(0，－2)．
答案：(0，－2)
2．已知点A(－1，6)，B(3，0)，在直线AB上有一点P，且||＝||，则点P的坐标为________．
解析：设P点坐标为(x，y)．当＝时，则(x＋1，y－6)＝(4，－6)，得
解得
所以P点坐标为.
当＝－时，同理可得，P点的坐标为，
所以点P的坐标为或.
答案：或
3．已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．
(1)求实数x，使两向量，共线；
(2)当两向量∥时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？
解：(1)＝(x，1)，＝(4，x)．
因为，共线，所以x2－4＝0，
即x＝±2时，两向量，共线．
(2)当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2，1)，则∥，此时A，B，C三点共线，
又∥，
从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上．
当x＝2时，A，B，C，D四点不共线．
4．(选做题)平面上有A(－2，1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点的坐标．
解：因为＝，
所以2＝，
所以2＋＝＋，
所以＝.设C点坐标为(x，y)，
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，
所以x＝－5，y＝－2，
所以C(－5，－2)．因为＝，
所以4＝，所以4＋4＝5，
所以4＝5.
设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
所以
解得
所以E点坐标为.
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1第1课时 平面向量的坐标运算
1.理解平面向量的坐标表示． 2.掌握平面向量的坐标运算．
1．平面向量的坐标表示
(1)建系选基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．
(2)定义坐标：对于平面上的一个向量a，由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．
(3)特殊向量的坐标：i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0)．
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则：
①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
②a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
③λa＝(λx1，λy1)．
(2)重要结论：已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
解析：(1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．
(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．
(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关．
(4)错误．只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标与点的坐标相同．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知A(3，1)，B(2，－1)，则的坐标是________．
解析：＝(3，1)－(2，－1)＝(3－2，1＋1)＝(1，2)．
答案：(1，2)
3．若a＝(2，1)，b＝(1，0)，则3a＋2b的坐标是________．
解析：3a＋2b＝3(2，1)＋2(1，0)＝(6，3)＋(2，0)＝(8，3)．
答案：(8，3)
4．已知＝(2，－1)，＝(－4，1)，则＝________．
解析：＝－＝(－4，1)－(2，－1)＝(－4－2，1＋1)＝(－6，2)．
答案：(－6，2)
平面向量的坐标表示
(1)已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B、点D、与的坐标．
(2)如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．
(1)题图 (2)题图
【解】 (1)由题意知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos
30°＝，y1＝sin
30°＝，
所以B.
x2＝cos
120°＝－，y2＝sin
120°＝，
所以D.
所以＝，＝.
(2)由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)．
求向量坐标的三个步骤
1.已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐标．
解：设点A(x，y)，则x＝||cos
60°＝4cos
60°＝2，y＝||sin
60°
＝4sin
60°＝6，
即A(2，6)，所以＝(2，6)．
平面向量的坐标运算
已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、B(0，6)、C(－8，10)，求向量＋2－的坐标．
【解】 由A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
得＝(－2，10)，＝(－8，4)，
＝(－10，14)，
所以＋2－
＝(－2，10)＋2(－8，4)－(－10，14)
＝(－2，10)＋(－16，8)－(－5，7)
＝(－18，18)－(－5，7)＝(－13，11)．
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两个端点的坐标，则应先求出相应向量的坐标，解题过程中注意正确使用运算法则．
2.已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x＝________．
解析：易得＝(2，0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，
得
解得x＝－1.
答案：－1
向量坐标运算的综合应用
已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解】 (1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)
＝(1＋3t，2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，
则＝，
所以
该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
向量中含参数问题的求解策略
向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
3.(1)已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD交于点M，则的坐标是( )
A．
B．
C．
D．
(2)已知a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且有c＝pa＋qb，试求实数p，q的值．
解：(1)选A．＝＝
[(5，0)－(2，4)]＝(3，－4)＝.
(2)因为a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，
所以pa＋qb＝p(－1，2)＋q(1，－1)＝(－p＋q，2p－q)．
因为c＝pa＋qb，
所以解得
故p，q的值分别为1，4.
1．对向量正交分解的认识
(1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例．
(2)正交分解的两个基向量互相垂直，构成正交基底．
2．解读平面向量的坐标表示
(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)向量确定后，向量的坐标就被确定了．
(3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示．有了向量的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决．
3．点的坐标与向量的坐标的区别和联系
(1)区别
①意义：点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小和方向，与位置无关；
②表示形式：如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．当平面向量平行移动到时，向量不变，即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
③点的坐标不能直接参与线性运算．
(2)联系
①向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．
②把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量a的坐标．
4．相等向量坐标之间的关系
由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b?x1＝x2且y1＝y2.
已知A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，＝＋λ(λ∈R)，点P在第三象限，则λ的取值范围为________．
【解析】 设P(x，y)，
则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．
又因为＝＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
即解得
因为点P在第三象限，
所以
解得λ＜－1.
【答案】 λ＜－1
(1)解答本题，常因混淆向量的坐标与点P的坐标而导致错误，也容易因弄错点P在第三象限应满足的坐标条件而致误．
(2)当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同．向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键．
1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7)
B．(5，9)
C．(3，7)
D．(3，9)
答案：A
2．已知点A(1，－3)和向量a＝(3，4)，若＝2a，则点B的坐标为__________．
解析：＝2a＝2(3，4)＝(6，8)，所以＝＋＝(1，－3)＋(6，8)＝(7，5)．
答案：(7，5)
3．在平面直角坐标系中，|a|＝2
016，a与x轴非负半轴的夹角为，a始点与原点重合，终点在第一象限，则向量a的坐标是________．
解析：设a＝(x，y)，则x＝2
016cos
＝1
008，y＝
2
016sin
＝1
008.故a＝(1
008，1
008)．
答案：
(1
008，1
008)
[学生用书P108(单独成册)])
[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2)
B．(7，6)
C．(5，0)
D．(11，8)
解析：选D．因为＝(4，2)，＝(3，4)，
所以2＋＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选C．由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得
所以λ＋x＝－，故选C．
3．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于( )
A．(0，5)
B．(0，1)
C．(2，5)
D．(2，1)
解析：选D．＝(－)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A．
B．
C．(3，2)
D．(1，3)
解析：选A．设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故
解得
即点D的坐标为，
故选A．
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：
选C．如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
所以?λ＝.
6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________．
解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|，
所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)．
答案：(－1，1)
7．已知e1＝(1，2)，e2＝(－2，3)，a＝(－1，2)，试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2的形式为__________．
解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，
则(－1，2)＝λ1(1，2)＋λ2(－2，3)
＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
所以解得
所以a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
8．已知向量＝(3，4)，将其向左平移一个单位，再向上平移一个单位后，所得向量的坐标为________．
解析：因为向量的平移不改变向量的大小，故向量的坐标不发生变化．
答案：(3，4)
9．已知a＝(2，－4)，b＝(－1，3)，c＝(6，5)，p＝a＋2b－c.
(1)求p的坐标；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解：(1)p＝(2，－4)＋2(－1，3)－(6，5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)
＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
所以
所以所以p＝－a－15b.
10．已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点．
解：如图，(1)当平行四边形为ABCD1时，设顶点D1的坐标为(x1，y1)，
因为＝(－1－(－2)，3－1)＝(1，2)，
＝(3－x1，4－y1)，
所以由＝，得(1，2)＝(3－x1，4－y1)，
即所以
所以顶点D1的坐标为(2，2)．
(2)当平行四边形为ACD2B时，设顶点D2的坐标为(x2，y2)，
因为＝(5，3)，＝(x2＋1，y2－3)，
由＝，得(5，3)＝(x2＋1，y2－3)，
所以所以
所以顶点D2的坐标为(4，6)．
(3)当平行四边形为D3ACB时，设顶点D3的坐标为(x3，y3)，
因为＝(5，3)，＝(－1－x3，3－y3)，
由＝，得(5，3)＝(－1－x3，3－y3)，
所以
所以
所以顶点D3的坐标为(－6，0)．
综上，D点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0)．
[B 能力提升]
1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A．设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________．
解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，
则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．
由c＝λa＋μb，
即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，
故λ＝－2，μ＝－，
则＝4.
答案：4
3．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值
解：(1)设B(x1，y1)．
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以解得
所以B(3，1)．同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)因为＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
＝λ，所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)，
所以解得
4．(选做题)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若＋＋＝0，求的坐标；
(2)若＝m＋n(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n.
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．
所以
解得
所以点P的坐标为(2，2)，
故＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
所以＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，
因为＝m＋n，
所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
所以
两式相减得m－n＝y0－x0，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y0－x0＝1，
所以m－n＝1.
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12．3.1 平面向量基本定理
1.了解平面内所有向量的一组基底的含义． 2.理解平面向量基本定理． 3.掌握平面向量的正交分解．
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1与e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
2．向量共线定理与平面向量基本定理的关系
(1)由平面向量共线定理知，任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的；
(2)由平面向量基本定理知，任一平面向量可以用不共线的两个非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的；
上述两个定理都可以看成(在一定范围内的)向量分解“唯一性”定理．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.( )
解析：(1)错误．根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底．
(2)正确．根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示．
(3)错误．当e1与e2共线时，结论不一定成立．
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．2e1，3e2
B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2
D．e1，e1＋e2
答案：B
3．如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
解析：＝－＝＋
＝(－)＋＝＋
＝b＋a，＝－＝＋
＝(－)＋＝＋
＝a＋b.
答案：b＋a a＋b
用基底表示向量
如图所示，在?ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
【解】 ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b.
＝＋＋
＝－＋＋＝b－a.
若本例中的基向量“，”换为“，”即若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
解：＝＋＝2＋＝
－2＋＝－2b＋a.
＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2a＋b.
用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
1.如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又＝，＝，试用a，b表示，.
解：由题意，得＋＝，
所以＝a－b，则＝(a－b)，＝＝(a－b)，＝＋＝b＋(a－b)＝
a＋b.
＝＋＝＋＝
＝×(a＋b)＝a＋b.
向量正交分解在物理学中的应用
如图所示，用绳子AC和BC吊一重物，绳子与垂直方向夹角分别为60°和30°，已知绳子AC和BC所能承受的最大拉力分别为80
N和150
N，那么重物的重力的大小应不超过多少？
【解】 设重物的重力为G，如图所示可知方向上的力的大小为|G|cos
30°＝|G|.
方向上的力的大小为|G|cos
60°＝|G|.
根据题意，得，
解得|G|≤160，
所以重物的重力大小应不超过160
N.
物理学中的受力分析、速度分解与合成，特别是作正交分解，充分体现了平面向量基本定理的思想内涵，使复杂的问题简单化、特殊化，从而便于解决．
2.如图所示，质量为m
kg的木块沿倾斜角为α的斜面匀加速下滑，设g＝10
m/s2，摩擦系数为μ，求木块在下滑过程中加速度a的大小．
解：由题意知，对木块进行受力分析，如图可知，||＝mg＝10m，
||＝||sin
α＝10msin
α，
||＝||cos
α＝10mcos
α，
||＝μ||＝10μmcos
α，
所以，加速度大小为
a＝＝10(sin
α－μcos
α)．
平面向量基本定理的综合应用
平面内有一个△ABC和一点O(如图)，线段OA、OB、OC的中点分别为E、F、G，BC、CA、AB的中点分别为L、M、N，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a、b、c表示向量、、；
(2)证明：线段EL、FM、GN交于一点且互相平分．
【解】 连结EL、FM、GN、OL、OM、ON.
(1)因为＝a，＝(b＋c)，
所以＝－＝(b＋c－a)．
同理可得＝(a＋c－b)，
＝(a＋b－c)．
(2)证明：设线段EL的中点为P1，则
＝(＋)＝(a＋b＋c)．
设FM、GN的中点分别为P2、P3，
同理可求得＝(a＋b＋c)，＝(a＋b＋c)．
所以＝＝.即EL、FM、GN交于一点，且互相平分．
用向量法证明三线相交于一点且互相平分常用的方法是：在平面上找一点，证明这点到三条线段中点的向量相等．找点时，要考虑运算的简便性．
3.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．
解：在矩形OACB中，＝＋，＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ＝＋，
所以＝1，
＝1，
所以λ＝μ＝.
1．对平面向量基本定理的理解
(1)实质：平面向量基本定理的实质是向量的分解．
(2)平面向量基本定理中，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．
(3)零向量与任意向量都共线，因此零向量不能作为基底．
(4)这个定理体现了转化与化归的数学思想．
2．对基底的理解
基底具备两个主要特征：(1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
[注意] 零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
3．平面向量基本定理唯一性的应用
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则
4．重要结论
设e1，e2是平面内的一组基底，
当λ1e1＋λ2e2＝0时
恒有λ1＝λ2＝0
a＝λ1e1＋λ2e2
当λ2＝0时，a与e1共线
当λ1＝0时，a与e2共线
当λ1＝λ2＝0时，a＝0
已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为________．
【解析】 若e1，e2共线，则a与b共线．
若e1，e2不共线，则a∥b?(e1＋λe2)与2e1共线?e1＋λe2＝2ke1(k∈R)?，即a与b共线的条件为λ＝0.
【答案】 e1，e2共线或λ＝0
(1)本题常见错解为：由a与b共线知a＝kb，即e1＋λe2＝k·2e1，所以所以λ＝0.此解法由a＝e1＋λe2，直接想到平面向量基本定理，将e1，e2看作基底忽视了e1与e2共线的情况．
(2)防范：在应用平面向量基本定理时，
要注意等式a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，则应对e1，e2分共线与不共线两种情况加以讨论．
1．如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
解析：选A．＝＝(＋)
＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
2.如图，已知＝，用、表示
，则等于________．
解析：因为＝，
所以－＝(－)，
即＝－＋.
答案：－＋
[学生用书P106(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若e1，e2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；
③若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②
B．②③
C．③④
D．②
解析：选B．由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B．
2．e1，e2为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是( )
A．2
B．－3
C．－2
D．3
解析：选A．＝－＝－e1＋2e2＝－(e1－2e2)．又A，B，D三点共线，则和是共线向量，
所以k＝2.
3．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3
，则可表示为( )
A．＝＋
B．＝＋
C．＝－2＋3
D．＝＋
解析：选B．由＝3
，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
解析：选B．设向量a，b的夹角为θ，
作＝a，＝b，则c＝a＋b＝(图略)，
a，b的夹角为180°－∠C．
因为|a|＝|b|＝|c|，所以∠C＝60°，所以θ＝120°.
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C．因为＝4＝r＋s，
所以＝＝(－)＝r＋s，
所以r＝，s＝－.所以3r＋s＝－＝.
6．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，
＝a＋b，又因为＝a＋b，
所以＝(＋)，即λ＝μ＝，
所以λ＋μ＝.
答案：
7．在?ABCD中，＝a，＝b，N是AC上一点且＝3，M是BC的中点，若用a，b表示，则＝________．
解析：如图所示，连结BD交AC于O点，则O为AC，BD的中点，
又因为＝3，
所以AN＝3NC，即N为OC的中点，
又M是BC的中点，所以MNBO，
又＝－＝b－a，
所以＝＝＝(b－a)．
答案：(b－a)
8.如图，在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
解析：因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，又M为AH的中点，BC＝3，所以＝＝(＋)＝(＋)
＝＋，所以λ＋μ＝.
答案：
9．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．
证明：如图所示，设D、E、F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，令＝a，＝b为基底，
则＝a－b，＝a－b，＝－a＋b.
设AD与BE交于点G1，
且＝λ，＝μ，
则有＝λa－b，＝－a＋μb.
又有＝＋＝a＋(μ－1)b，
所以解得λ＝μ＝.
所以＝.
再设AD与CF交于点G2，同理求得＝.
所以点G1、G2重合，即AD、BE、CF交于一点．
所以三角形的三条中线交于一点．
10.如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过△ABC的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝n
b(m>0，n>0)，试问m，n的倒数和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
解：因为＝a，＝b，＝(a＋b)，
所以＝＝(a＋b)，
由于P、G、Q三点共线，则∥?＝λ(λ为正实数)，
因为＝－＝(a＋b)－ma
＝a＋b，
＝－＝n
b－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ，可得
a＋b＝0，由于a，b不共线，
则必有－m＋λ＝－λn＋λ＝0，
消去λ，整理得3mn＝m＋n，所以＋＝3为定值．
[B 能力提升]
1．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________．
解析：因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ，所以
则＝.
答案：
2.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－·－ (λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．
答案：(－1，0)
3.如图所示，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：＝4.
证明：记＝e1，＝e2，所以＝－3e2，＝－e1，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M共线，且B，P，N共线，所以存在实数λ，μ，使＝λ＝－3λe2－λe1；＝μ＝2μe1＋μe2，所以＝＋＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又＝＋＝2e1＋3e2，
所以解之得
所以＝，
所以AP∶PM＝4∶1，即＝4.
4．(选做题)如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面上任意一点，求证：若存在实数p，q，r使得p＋q＋r＝0，且p＋q＋r＝0，则必有p＝q＝r＝0.
证明：由题意可得r＝－(p＋q)．
又因为p＋q＋r＝0，
所以p＋q－(p＋q)＝0，
所以p(－)－q(－)＝0，
即p－q＝0.
所以p＋q＝0＝0·＋0·.
由平面向量基本定理可知，其分解是唯一的，
所以p＝0，q＝0，所以p＋q＝0，所以r＝0.
故p＝q＝r＝0.
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12．2.3 向量的数乘
1.了解向量数乘运算的几何意义． 2.理解向量共线定理． 3.掌握向量数乘运算法则及运算律．
1．向量的数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，长度和方向有如下规定：
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)当λ＞0时，λa与a方向相同；
当λ＜0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝(λμ)a，
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa，
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
3．向量共线定理以及向量的线性运算
(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
(2)向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )
(2)λa的方向与a的方向一致．( )
解析：(1)错误．若条件a≠0去掉，当b≠0，a＝0时，λ不存在．
(2)错误．当λ＞0时，λa的方向与a的方向一致；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．
答案：(1)× (2)×
2．4(a－b)－3(a＋b)－b＝( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析：选D．原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
3．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
解析：因为|a|＝5，|b|＝7，
所以＝，又方向相反，
所以a＝－b.
答案：－
4．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________．
解析：由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，
即y－a－c＋b＝0，
所以y＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
向量的线性运算
化简下列各式：
(1)4(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
【解】 (1)4(a＋b)－3(a－b)＝(4a－3a)＋(4b＋3b)
＝a＋7b.
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)
＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c
＝a－7b＋6c.
(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)
＝a－b－a－b＋a＋b
＝a＋b
＝0a＋0b
＝0＋0
＝0.
向量线性运算的基本方法
关于向量数乘的有关运算，只需把向量符号看做一般字母符号，然后按照实数的运算方法进行计算即可．其中向量的数乘之间的和差运算，相当于合并同类项．
1.化简下列各式．
(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)；
(2).
解：(1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b
＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c
＝－a－b.
(2)原式＝
＝
＝＝a－b.
向量共线定理的应用
已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，
求证：A、B、D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
【解】 (1)证明：因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
所以与共线，且有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，
只能有
所以k＝±1.
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
2.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A，B，C，D中一定共线的三点是________．
解析：因为＝＋＝2a＋4b＝2，所以向量，共线，又它们有公共点B，故A，B，D三点共线．
答案：A，B，D
用已知向量表示其他向量
如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
【解】 因为∥，||＝2||，
所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1
＝e1－e2.
答案：(1)e2＋e1 (2)e1－e2
在本例中，若条件改为＝e1，＝e2，试用e1，e2表示向量.
解：由题意可知＝＋＋，①
＝＋＋，②
①＋②得2＝＋＋＋＋＋＝－－＝－e1－e2，
所以＝－e1－e2.
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
3.如图所示，D，E分别是△ABC中边AB，AC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，.
解：由三角形中位线定理，
知DEBC，故＝，即＝a.
＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b.
1．向量的数乘运算
(1)数乘向量的结果仍是一个向量；
(2)实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a无法运算；
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0，这时就不必讨论方向了；当λ＝－1时，(－1)a＝－a就是a的相反向量．
2．向量共线定理
(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，则a与b共线；反之，若a与b共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b＝λa.
(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不唯一，定理的正反两个方面不等价．
(3)若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.
3．向量的线性运算
向量线性运算法则在形式上与实数加减法、乘法的运算法则类似，但是向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的．由于它们在形式上类似，所以实数运算中的常用变形手段，如去括号、移项、合并同类项等在向量的线性运算中都可以使用．
设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割点A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是________．(填序号)
①C可能是线段AB的中点；②D可能是线段AB的中点；③C，D可能同时在线段AB上；④C，D不可能同时在线段AB的延长线上．
【解析】 依题意，若C，D调和分割点A，B，则有＝λ，＝μ，且＋＝2.若C是线段AB的中点，则有＝，此时λ＝.又＋＝2，所以＝0，不可能成立．因此①不对，同理②不对．
当C，D同时在线段AB上时，由＝λ，＝μ知0<λ<1，0<μ<1，此时＋>2，与已知条件＋＝2矛盾，因此③不对．若C，D同时在线段AB的延长线上，则＝λ时，λ>1，＝μ时，μ>1，此时＋<2，与已知＋＝2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上．
【答案】 ④
(1)①见到调和分割，感到无所适从，对其理解不够．②对λ，μ满足的条件＋＝2，不知如何利用．③只知正向推导，不会逆向思维，造成思维受阻，事倍功半．
(2)①深刻理解题意，尤其新定义题目．
②灵活解题策略，若正向推导不易进行时，可采用逆向思维的方式进行．
③注意分类讨论思想的运用，把握数乘向量的实质．
1.等于( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析：选B．原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b.
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A．＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1.
3．已知＝＋.设＝λ，那么实数λ的值是________．
解析：因为＝λ，所以－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，又因为＝＋，所以λ＝.
答案：
4．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于________．
解析：由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.由于e1，e2不共线，
所以
所以λ＝－4.
答案：－4
[学生用书P105(单独成册)])
[A 基础达标]
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C．当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C．
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3
B．
C．－1或4
D．3或4
解析：选A．因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A．＝2
B．＝
C．＝3
D．2＝
解析：选B．因为D为BC的中点，所以＋＝2，
所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
4．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( )
A．k＝m
B．km－1＝0
C．km＋1＝0
D．k＋m＝0
解析：选B．若A，B，C三点共线，则与共线，
所以存在唯一实数λ，使＝λ，
即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
所以
所以km＝1，即km－1＝0.
5．在△ABC中，若＋＝2，则等于( )
A．－＋
B．－
C．－
D．－＋
解析：选C．由＋＝2得＝(＋)，所以＝＋＝－(＋)＋＝－.
6．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
解析：由原式可得
解得
所以x－y＝3.
答案：3
7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)．
答案：－4
8．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________．
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，＝－＋，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
9．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；
(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.
解：(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.
得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.
所以x＝2b－a.
(2)
由②得y＝x－b，代入①，
得3x＋4＝a.
所以3x＋x－b－a＝0，17x＝4b＋3a.
所以x＝a＋b.
所以y＝－b
＝a＋b－b
＝a－b.
综上可得
10．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线．
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解：(1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由第一问知＝λ，若点B在线段AM上，
则，同向且||>||(如图所示)，
所以λ>1.
[B 能力提升]
1．已知O是△ABC内的一点，且＋＋＝0，则O是△ABC的________．
解析：＋是以、为邻边作平行四边形的对角线，且过AB的中点，设中点为D，则＋＝2，所以2＋＝0，同理设E、F为AC，BC中点，则满足条件的点O为△ABC三边中线的交点，故为重心．
答案：重心
已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________．
解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则
＝＝×(＋)＝(＋)，
所以有＋＝3，
故m＝3.
答案：3
证明：若向量、、的终点A、B、C共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使得：＝λ＋μ；反之，也成立．
证明：①如图所示，若、、的终点A、B、C共线，则∥，故存在实数m，使得＝m，又＝－，＝－，所以－＝m(－)，
即＝－m＋(1＋m).
令λ＝－m，μ＝1＋m，
则存在实数λ、μ且λ＋μ＝1，使得＝λ＋μ.
②若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R且λ＋μ＝1，则μ＝1－λ.故＝λ＋(1－λ)，
即－＝λ(－)，即＝λ.
所以A、B、C三点共线，
即向量、、的终点在一条直线上．
4．(选做题)在△ABC中，点D是边BC的中点，A，D，E三点共线，求证：存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
证明：由向量加法的平行四边形法则可知＝(＋)．
因为A，D，E三点共线，
所以可设＝μ，
则＝(＋)．
令λ＝，可得＝λ(＋)．
所以，存在一个实数λ，使得＝λ(＋)．
PAGE
12．2.2 向量的减法
1.了解向量减法的实际背景． 2.理解向量减法的几何意义． 3.掌握向量减法运算法则．
1．向量减法的定义
向量的减法是向量加法的逆运算．
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记作a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
2．向量a－b的作图方法
根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，可得向量a－b的作图方法．由b＋(a－b)＝a，知：当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b，这是向量减法的几何意义．作两个向量的差向量时，首先考虑两个向量有相同的起点，其次是考虑从减向量的终点指向被减向量的终点．上述是向量减法的三角形法则．
3．向量加减法的关系
(1)a－b＝a＋(－b)；
(2)a＋b＝a－(－b)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线．( )
(2)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．( )
(3)相反向量是共线向量．( )
解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的一向量共线，如果是零向量时与这两向量共线，所以该说法错误．
(2)正确．因为两个向量的差仍然是一个向量，所以向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．
(3)正确．根据相反向量的定义知，该说法正确．
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．－＝0
B．－＝
C．－＝
D．＋＝0
答案：C
3．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法错误的序号是________．
①a∥b ②a≠b ③|a|≠|b| ④b＝－a
解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a|＝|b|.
答案：③
已知向量作差向量
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解】 法一：如图①在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连结OB，则＝a＋b，再作＝c，连结CB，则＝a＋b－c.
法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连结OB，则＝a＋b，再作＝c，连结OC，则＝a＋b－c.
平移作两向量的差的步骤
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．
1.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量a－b＝，再作向量＝c，则向量＝a－b－c.
向量的减法运算
化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
【解】 (1)法一：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
法二：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋
＝＋＋
＝＋0＝.
(2)法一：原式＝－＝.
法二：原式＝－(＋)
＝－＝.
(1)
(2)向量加减法化简的两种形式：①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现．同时注意向量加法、减法法则的逆向运用．
2.在四边形ABCD中，－－＝________．
解析：－－＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
用已知向量表示其他向量
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【解】 因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝＋＝b－a＋c.
用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
例如，在四边形ABCD中，＋＋＋＝0.
3.如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________．
解析：因为＝，＝－，＝－，
所以－＝－，＝－＋，
所以＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
1．相反向量的意义
(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法．
(2)为向量的“移项”提供依据．利用(－a)＋a＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．例如，由a＋b＝c＋d可得a－c＝d－b.
2．对相反向量的三点说明
(1)a与－a互为相反向量．
(2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立．
(3)相反向量与相反数是两个不同的概念，相反数是两个数符号相反，绝对值相等；相反向量是方向相反，模长相等的两个向量．
如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，则b＋c－a＝________．
【解析】 法一：因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，所以b＋c＝＋＝＋＝，
所以b＋c－a＝－＝＋＝.
法二：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以＝，
所以c－a＝－＝－＝＋＝.
因为＝b，所以＝－＝－b，
所以＝＋＝－b.
所以c－a＝－b，即b＋c－a＝.
【答案】
(1)在解答本题的过程中，若只进行了法一中b＋c的运算，而忽视了－a，则会错解成；若只进行了法二中c－a的运算，而忽视了b，则会错解成.
(2)解答以几何图形为背景的向量加减法运算问题，要注意平面几何知识的应用；在理解几何意义的同时，要注意向量加法与减法的转换关系．
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C．在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
2．如图，在四边形ABCD中，设＝a，
＝b，＝c，则＝________．
解析：＝＋＋＝a－b＋c.
答案：
a－b＋c
3．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________．
解析：－＋＝＋＋＝＋＋＝＋，因为＋＝0，所以－＋＝0.
答案：0
[学生用书P104(单独成册)])
[A 基础达标]
1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b
B．b－a
C．a＋b
D．－a－b
解析：选B．＝＋＝＋(－)＝b－a.
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋
B．＝－
C．＝－＋
D．＝－－
解析：选B．＝＋＝－＝－＝－－.故选B．
3．给出下列各式：
①＋＋；
②－＋－；
③－－；
④－＋＋.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：选A．①＋＋＝＋＝0；②－＋－＝＋－(＋)＝－＝0；
③－－＝＋＋＝＋＝0；
④－＋＋＝＋＋－＝＋＝0.
4．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C．由菱形的图形，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C．
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________．
解析：－－＋＋＝(－)－(－)＋
＝－＋＝.
答案：
6．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________．
解析：因为菱形ABCD的边长为2，所以|－＋|＝|＋＋|＝|＋|＝||＝2.
答案：2
7．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，
若|m|＝|n|，则△ABC必为________三角形．
解析：如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.因为|m|＝|n|，所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
答案：直角
8．如图，已知a，b，求作a－b.
解：
9.如图所示，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示：
(1)－；(2)＋；
(3)－.
解：(1)因为＝b，＝d，
所以－＝＝－＝d－b.
(2)因为＝a，＝b，＝c，＝f，
所以＋＝(－)＋(－)＝b＋f－a－c.
(3)－＝＋＝＝－＝c－e.
[B 能力提升]
1．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中正确命题的序号为________．
解析：①因为＋＝，
所以＝－，正确；
②－＝，所以＋＝，正确；
③因为＝－，所以－＝，正确；
④－＝－－，所以＝＋，正确．
答案：①②③④
2．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．
解析：因为|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
所以|－|的取值范围为[3，15]．
答案：[3，15]
3．已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解：(1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，
所以延长AC到E，使||＝||，
则a＋b＋c＝，且||＝2.
所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝，
且||＝2，
所以|a－b＋c|＝2.
4．(选做题)三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，试判断△ABC的形状．
解：由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.
所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．
＝a＋c＝－b，
所以∠APC＝120°，
同理：∠APB＝∠BPC＝120°，
又因为|a|＝|b|＝|c|，
所以△ABC为等边三角形．
PAGE
12．2.1 向量的加法
1.了解向量加法的实际背景． 2.理解向量加法的几何意义． 3.掌握向量加法运算法则．
1．向量加法的定义
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b.即a＋b＝＋＝.求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2．向量加法法则与运算律
加法法则
三角形法则
已知非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则
已知两个不共线的向量a、b，作＝a，＝b，以OA，OC为邻边作?OABC，则以O为起点的对角线就是向量a与b的和
运算律
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
a＋b＋c＝a＋(b＋c)
3.向量加法的运算性质
(1)设a为任一向量，则a＋0＝0＋a＝a．
(2)对于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．
(3)a与b互为相反向量?a＋b＝0?a＝－b?b＝－a．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个向量的和仍然是一个向量．( )
(2)|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a∥b.( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( )
解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确．
(2)错误．条件应为a∥b，且a，b的方向相同．
(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线．
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：D
3．已知向量a表示“向东走3千米”，b表示“向南走3千米”，则a＋b表示________．
解析：由已知可利用向量加法的平行四边形法则，则a＋b表示的方向是东南方向，大小是3
千米．
答案：向东南走3
千米
4．化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解：(1)＋＋＝＋＝＋＝.
(2)＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝.
已知向量作和向量
如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.
【解】 法一：利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作＝a，以A为起点，作＝b，再以B为起点，作＝c，则＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
法二：利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作＝a，＝b，＝c，以，为邻边作?OADB，则＝a＋b，再以，为邻边作?ODEC，则＝＋＝a＋b＋c.
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点．
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
1.如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(1)．
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(2)．
(3)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图(3)．
向量的加法运算
化简：(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
【解】 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋＝(＋)＋
＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋＝＋＝0.
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．
2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
解：(1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
向量加法的应用
(1)如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24
N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12
N，则F1与F2的合力大小为________N；方向为________．
(2)某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【解】 (1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F1＋F2＝.
在△OAC中，||＝24，
||＝12，∠OAC＝60°，所以∠OCA＝90°，||＝12，
所以F1与F2的合力大小为12
N，方向为竖直向上．故填12和竖直向上．
(2)如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作?OACB，则此人的实际速度为＋＝.
由勾股定理知||＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
应用向量加法解题的关键及技巧
(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．
(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
3.一架飞机从A地沿北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地沿南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解：如图所示，设，分别表示飞机从A地沿北偏东35°的方向飞行800
km，从B地沿南偏东55°的方向飞行800
km.
则飞机飞行的路程指的是||＋||；两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1
600(km)．
又α＝35°，β＝55°，
所以∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
＝＝800(km)．
其中∠BAC＝45°，
所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1
600
km，两次飞行的位移和的大小为800
km，方向为北偏东80°.
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则
三角形法则
平行四边形法则
物理模型
位移的合成
力的合成
使用条件
任意两个非零向量
任意两个不共线的向量
简记
首尾相连，始终连线
共起点，为邻边，平行四边形共起点的对角线
2.对||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立的说明
(1)当a，b至少有一个为零向量时，不等式显然成立．
(2)当a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图①所示，根据三角形边长关系，有||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
(3)当a，b非零且同向时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.
(4)当a，b非零且反向时，若|a|＞|b|.作＝a，＝b，则a＋b＝，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.同理可证|a|＜|b|时，|a＋b|＝|b|－|a|；|a|＝|b|时，|a＋b|＝0＝|a|－|b|.
综上分析可知||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
3．向量加法运算律的推广
向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立，恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的．如在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(a＋d)＋(b＋c)．
小船以10
km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10
km/h，则小船实际航行速度的大小为________
km/h.
【解析】 如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10
km/h，河水的流速为|v2|＝10
km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20
km/h，即小船实际航行速度的大小为20
km/h.
【答案】 20
(1)解答本题，易将船的实际速度看成静水速度加河水的流速，得不出正确的实际船速关系式而致误．
(2)①向量的和一般不能直接用模作和，要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和．
②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间，当航行方向与水流方向不共线时不能直接用实际加法求船的实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求船的实际航行速度的大小．
1．化简＋＋＋的结果等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．＋＋＋＝＋0＝.
2．在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________．
解析：如图，因为＋＋＝＋＋＝，
所以|＋＋|＝||＝2||＝2||＝2.
答案：2
3．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过3小时，该船的实际航程为________km.
解析：由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，则表示船的实际速度．
则||＝2，||＝4，∠AOB＝120°，
则∠CBO＝60°，
又因为∠AOC＝∠BCO＝90°，
所以||＝2，
所以船的实际航行速度的大小为2
km/h，
则实际航程为2×3＝6(km)．
答案：6
[学生用书P103(单独成册)])
[A 基础达标]
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A．因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A．
2.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
3．若向量a表示“向东航行1
km”，向量b表示“向北航行
km
”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2
km
B．向北偏东30°方向航行2
km
C．向北偏东60°方向航行2
km
D．向东北方向航行(1＋)km
解析：选B．如图，易知tan
α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2
km，故选B．
4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1
B．2
C．3
D．2
解析：选B．由正六边形知＝，
所以＋＋＝＋＋＝，
所以|＋＋|＝||＝2.
故选B．
5．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
解析：选B．a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
6．化简(＋)＋(＋)＋＝________．
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
7．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________．
解析：因为||＝||
且∠AOB＝90°，
所以|a＋b|为以，为两邻边的正方形的对角线的长，
所以|a＋b|＝3.
答案：3
8．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是________．
解析：由图知|＋|＝||.
|＋|＝|＋|＝||，
所以||＝||.
所以四边形ABCD为矩形．
答案：矩形
9．某飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40
km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40
km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
解：如图所示，设，分别是直升飞机的两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.
在Rt△ABD中，||＝20
km，||＝20
km.
在Rt△ACD中，||＝
＝
40
km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40
km处．
10．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
解：(1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，
所以＋＝＋＝.
[B 能力提升]
1．已知有向线段，不平行，则( )
A．|＋|>||
B．|＋|≥||
C．|＋|≥||＋||
D．|＋|<||＋||
解析：选D．由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，b共线的时候取到，所以本题中，|＋|<||＋||.
2．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作?ABDC，又∠BAC＝90°，
所以?ABDC为矩形，所以AD＝BC，
所以|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
答案：①②③
3.如图，在重300
N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
解：如图，在平行四边形OACB中，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体的重力，且||＝300
N，
所以||＝||cos
30°＝150
N，
||＝||cos
60°＝150
N.
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
4.(选做题)如图，已知向量a，b，c，d，
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，
求|a＋e|的最大值．
解：(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝.因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)．
由图可知当B在点B1时，O，A，B1三点共线，
||即|a＋e|最大，最大值是3.
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12．1 向量的概念及表示
1.理解平面向量的基本概念和几何表示． 2.掌握相等向量、共线向量和相反向量的定义．
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有大小，又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：带有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以A为起点、B为终点的有向线段记为.
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.
(3)向量的表示
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量的大小，记作||．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量(又称共线向量)．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：0与任一向量平行．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
(3)相反向量：把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作－a，其中a与－a互为相反向量，并规定零向量的相反向量仍是零向量，对任一向量a都有－(－a)＝a.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)大小相等的两个向量是共线向量．( )
(2)向量的模是一个正实数．( )
解析：(1)错误．方向相同或相反的非零向量才是共线向量．
(2)错误．零向量的模是零，不是正实数．
答案：(1)× (2)×
2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用表示
B．方向是由M指向N
C．起点是M
D．终点是M
答案：D
3．下列说法正确的序号是________．
①两个单位向量一定相等；
②若a与b不共线，则a与b都是非零向量；
③共线的单位向量必相等；
④两个相等的向量起点、方向、长度都必须相同．
解析：因为零向量与任意向量都共线，又因为a与b不共线，所以a与b都是非零向量．
答案：②
4．与非零向量a平行的单位向量的个数是________．
解析：与非零向量a平行的单位向量只有与a方向相同和方向相反的两个向量．
答案：2
向量的有关概念
如图，O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心．根据图中标出的向量，回答下列问题：
(1)与的长度相等吗？它们是相等向量吗？
(2)与的长度相等吗？它们平行吗？它们是相等向量吗？
【解】 (1)与的长度相等，都是1，
即||＝||，但与不是相等向量．
(2)||＝||，且∥，但与不是相等向量，因为与的方向相反．
对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等向量、共线向量与平行向量之间的区别和联系．
(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．
(2)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．
1.判断下列各命题是否正确．
(1)因为||＝||，所以＝；
(2)因为a＝b，b＝c，所以a＝c；
(3)因为＝，所以与是共线向量，即A、B、C、D四点共线；
(4)因为|0|＝0，所以0＝0.
解：(1)不正确.表示以A为起点，B为终点，方向从A指向B；表示以B为起点，A为终点，方向从B指向A；
虽然||＝||，但与的方向不同．
(2)正确．相等向量是大小相等，方向相同的向量，显然由a＝b，b＝c可知，a、c都与b大小相等，方向相同．
(3)不正确．相等向量一定是共线向量，但共线向量中与所在的直线不一定共线，也可能平行．
(4)不正确．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向，故0≠0.
向量的表示
一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后改变方向向北偏西40°走了200
km到达C点，又改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
(1)作出向量、、；(2)求||.
【解】 (1)向量、、，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线．
又||＝||，所以在四边形ABCD中，ABCD．
所以四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，||＝||＝200
km.
用有向线段表示向量的步骤
(1)运用向量观点将实际问题抽象转化成数学模型．
(2)确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
2.在如图的方格纸中，画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O的正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)求出||的值．
解：取每个方格的单位长度为1，依题意，结合向量的表示可知，
(1)(2)的向量如图所示．
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以||＝
＝3.
相等向量与共线向量
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
【解】 (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，
，，，，，，.
(4)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
相等向量与共线向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.
[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．
3.如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中分别写出：
(1)与，相等的向量；
(2)与共线的向量；
(3)与模相等的向量．
解：(1)＝，＝.
(2)与共线的向量为，，.
(3)与模相等的向量有：，，，，，，.
1．向量与数量的区别和联系
向量
数量
区别
方向
有
无
表示方法
可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示
因为实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示
实例
位移、力、速度、加速度
联系
(1)向量与数量都是有大小的量；(2)向量的模是数量
2.向量与有向线段的区别
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量；
(2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．同一直线上的向量也是平行向量．
4．与非零向量a共线的单位向量是或－.
给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③若a∥b，则|a|＝|b|；
④若a＝0，则－a＝0.
其中的正确命题有________个．
【解析】 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．
【答案】 1
(1)解答本题误认为|a|与|a|是同一问题，把向量的模按实数的绝对值来处理．
(2)注意实数和向量的区别，不能简单地将实数中的性质直接迁移到向量中．
1．如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C．图中与平行的向量为，，共3个．
2．下列结论中正确的是( )
①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；
②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；
③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；
④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|.
A．①③
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．
3．关于零向量，下列说法中错误的是________．
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量的模都相等；
④零向量的方向是任意的．
解析：零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的．
答案：①
4.如图，已知四边形ABCD为?ABCD，则
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)与的模相等，方向相反的向量有哪些？
(3)写出与共线的向量．
解：(1)与的模相等的向量有，，三个向量．
(2)与的模相等且方向相反的向量为，.
(3)与共线的向量有，，.
[学生用书P101(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：选D．根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D．A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
3．设O是△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量
B．模相等的向量
C．平行向量
D．起点相同的向量
解析：选B．因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以，，是模相等的向量．
4．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b，其中正确的有( )
A．①④⑤
B．③
C．①②③⑤
D．②③⑤
解析：选B．①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故④不正确；⑤是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
5.如图所示，四边形ABCD和BCEF都是平行四边形．
(1)写出与相等的向量：________；
(2)写出与共线的向量：________．
解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同．平行向量是指方向相同或相反的向量．这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量．
答案：(1)、 (2)、、、、
6.如图所示，O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有表示正确的序号为________．
解析：因为正方形的对角线互相平分，所以＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
答案：①②③
7.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
解析：因为A，B，C不共线，所以与不共线．
又m与，都共线，
所以m＝0.
答案：0
8.在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解：(1)根据相等向量的定义，
所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．
9．如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从A跳到A1或A2，用向量、表示“马”走了一步．试在图中画出“马”在B、C分别走了一步的所有情况．
解：如图所示，在B处有3种走法；在C处有8种走法．
[B 能力提升]
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是AD与BC的中点，则在以A、B、C、D四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量方向相反的向量为________．
解析：因为AB∥EF，CD∥EF，所以与平行的向量为，，，，其中方向相反的向量为，.
答案：，
2．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为()、()，()，()，()，()，()，
()，，，，，由元素的互异性知T中有12个元素．
答案：12
3．设在平面内给定一个四边形ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：＝.
证明：如图所示，连结AC．在△ABC中，由三角形中位线定理知，EF＝AC，EF∥AC，同理HG＝AC，HG∥AC．
所以||＝||且和同向，
所以＝.
4．(选做题)如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解：(1)画出所有的向量，如图所示．
(2)由第一问所画的图知，①当点C位于点C1和C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5和C6时，
||取得最大值＝.
所以||的最大值为，最小值为.
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