章末综合检测(一)
学生用书P97(单独成册)]
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．与角－的终边相同的角是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C．与角－的终边相同的角的集合为，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C．
2．函数y＝3tan的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C．令2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠π＋，k∈Z，所以函数y＝3tan的定义域是.
3．已知sin(π＋α)＝，则cos＝( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选B．由sin(π＋α)＝－sin
α＝，得
sin
α＝－，则cos＝－sin
α＝，故选B．
4．sin
600°＋tan
240°的值等于( )
A．－
B．
C．－＋
D．＋
解析：选B．sin
600°＝sin(360°＋240°)＝sin
240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－，
tan
240°＝tan(180°＋60°)＝tan
60°＝，
因此sin
600°＋tan
240°＝.
5．已知函数f(x)＝sin
2(x＋φ)，则( )
A．当φ＝－时，f(x)为奇函数
B．当φ＝0时，f(x)为偶函数
C．当φ＝－时，f(x)为奇函数
D．当φ＝－π时，f(x)为偶函数
解析：选C．对于A，f(x)＝sin
2＝
sin＝－cos
2x，则f(x)是偶函数，A错误；对于B，f(x)＝sin
2(x－0)＝sin
2x，则
f(x)是奇函数，B错误；对于C，f(x)＝
sin
2＝sin(2x－π)＝－sin
2x，则
f(x)是奇函数，C正确；对于D，f(x)＝sin
2(x－π)＝
sin(2x－2π)＝sin
2x，则f(x)是奇函数，D错误．故选C．
6．已知＝－3，则tan
θ＝( )
A．－1
B．－1或2
C．1或－2
D．2
解析：选D．由＝－3，
可得＝
＝－3，解得tan
θ＝2.故选D．
7．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
解析：选A．将y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝
sin＝sin的图象，故x＝－是所得图象的一条对称轴方程．
8．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为( )
A．－5
B．－6
C．－7
D．－8
解析：选D．由题意可得(sin
α－cos
α)2＝sin2α＋cos2α－2sin
αcos
α＝1－2sin
αcos
α＝，故sin
αcos
α＝－，切化弦可得tan
α＋＝＋＝＝＝－8.
9．若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：选A．将函数f(x)＝sin图象上的每一点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin(2x＋π)＝－sin
2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选A．
10．函数f(x)＝2sin(2x＋φ)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是( )
A．f(φ)＝2
B．是f(x)图象的一个对称中心
C．φ＝
D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴
解析：选A．由f(0)＝1且0<φ<，可得φ＝，故选项C错误；可得f(x)＝2sin，把x＝φ＝代入f(x)＝2sin，得f(φ)＝2，选项A正确；f＝2，f(x)取得最大值，选项B错误；而f＝－1，非最值，选项D错误，故选A．
11．将函数y＝sin(x＋φ)(0<φ<π)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向左平移个单位，可以得到一个奇函数的图象，则φ的值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A．由图象变换得所得函数为
y＝sin，即y＝sin，
由该函数是奇函数得sin＝0，
所以φ＋＝kπ(k∈Z)，
即φ＝kπ－(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝，故选A．
12．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于( )
A．
B．
C．＋2
D．1
解析：选C．由图象知T＝2×(6－2)＝8，A＝2.
由T＝8＝?ω＝，
又当x＝2时，f(2)＝2，
所以2sin＝2，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝2kπ(k∈Z)，取φ＝0，
因此f(x)＝2sinx.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝f(1)＋f(2)＋2×0＝＋2，
故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20
cm，则扇形的周长为________cm.
解析：因为圆心角α＝54°＝，
所以l＝|α|·r＝6π，
所以周长为(6π＋40)cm.
答案：6π＋40
14．已知函数f(x)＝2sin，x∈，则f(x)的值域为________．
解析：因为x∈，
所以x＋∈，
所以<2sin≤2，
所以f(x)∈(，2]．
答案：(，2]
15．若f(x＋2)＝则f·f(－98)＝________．
解析：f＝tan
＝1，f(－98)＝f(－100＋2)＝lg
100＝2，所以f·f(－98)＝2.
答案：2
16．函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值为________．
解析：因为0≤x≤2，所以≤ωx＋≤2ω＋，要使函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得2ω＋≥π，解得ω≥π，即ω的最小值为π.
答案：π
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知cos＝，且α是第一象限角．
(1)求cos(3π－α)的值；
(2)求tan(α＋π)＋的值．
解：(1)由cos＝，得sin
α＝.
因为α是第一象限角，所以cos
α>0.
因为sin
α＝，所以cos(3π－α)＝－cos
α
＝－＝－.
(2)因为tan
α＝＝，所以tan(α＋π)＋＝tan
α＋＝tan
α＋1＝.
18．(本小题满分12分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线2x＋y＝0(x≥0)上．
(1)求2sin
α＋cos
α的值；
(2)求的值．
解：(1)由于角α终边在射线2x＋y＝0(x≥0)上，可设终边上一点P(a，－2a)(a>0)，则tan
α＝－2，sin
α＝－，cos
α＝，此时2sin
α＋cos
α＝－.
(2)
＝
＝＝，由(1)知tan
α＝－2，所以原式＝＝3.
19．(本小题满分12分)已知f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值，并求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的值域．
解：(1)由f(x)＝2sin的最小正周期为π，得＝π，因为ω>0，所以ω＝1，
因此f(x)＝2sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)由0≤x≤得－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
因此－1≤2sin≤2，
故f(x)在上的值域为[－1，2]．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标差的绝对值是3π，且图象过点(0，1)，求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间上的最值．
解：(1)因为＝3π，所以T＝6π，所以ω＝＝＝.
由题意，知A＝2，则f(x)＝2cos.
又图象过点(0，1)，所以2cos
φ＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝，
所以f(x)＝2cos.
(2)因为－≤x≤0，所以－≤x＋≤，
所以当x＋＝0，即x＝－π时f(x)max＝2；
当x＋＝，即x＝0时，f(x)min＝1.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在[0，π]上取得最小值时对应的角为θ，求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积．
解：(1)因为A>0，所以A＝2，
又周期T满足＝－＝，ω>0，所以T＝π＝，解得ω＝2.
当x＝时，2sin＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
故f(x)＝2sin.
(2)因为函数f(x)的周期为π，所以f(x)在[0，π]上的最小值为－2，
由题意，角θ(0≤θ≤π)满足f(θ)＝－2，即
sin＝－1，解得θ＝，
所以半径为2，圆心角为θ的扇形面积S＝θr2＝××4＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π，
由T＝2π＝，得ω＝1.
又解得
令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
解得φ＝－，所以f(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为.
又k>0，所以k＝3.
令t＝3x－.
因为x∈，
所以t∈.
如图sin
t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，
所以方程f(kx)＝m在x∈上恰好有两个不同的解时，实数m的取值范围是[＋1，3)．
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1章末复习提升课
1．角度制与弧度制的换算
2．弧度制下扇形的弧长和面积公式
(1)弧长公式：l＝|α|r.
(2)面积公式：S＝lr＝|α|r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0)．
(2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，r＝|OP|＝，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝(x≠0)．
4．同角三角函数的基本关系式
平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
商数关系：tan
α＝(α≠kπ＋，k∈Z)．
5．诱导公式
角函数
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos
α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan
α
6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
(下表中k∈Z)．
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
R
R
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
[2kπ－，2kπ＋]为增；[2kπ＋，2kπ＋]为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增
(kπ－，kπ＋)为增
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
无
1．确定角所在象限的关注点
由三角函数值符号确定角α的象限时，不要忽视α的终边可能落在坐标轴上，如sin
α＜0时，α终边在第三、四象限或y轴负半轴上．
2．关注三角函数的定义域、值域
(1)解正弦、余弦函数值问题时，应注意正弦、余弦函数的有界性，即－1≤sin
x≤1，－1≤cos
x≤1.
(2)解正切函数问题时，应注意正切函数的定义域，即.
3．三角函数图象变换的注意点
(1)由y＝sin
ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω＞0，φ＞0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
三角函数的有关概念
已知角α的终边经过点P(3m，－4m)(m≠0)，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
【解】 r＝＝5|m|，
若m＞0，则r＝5m，α为第四象限角．
sin
α＝＝＝－；
cos
α＝＝＝；
tan
α＝＝＝－.
若m＜0，则r＝－5m，α为第二象限角．
sin
α＝＝＝；
cos
α＝＝＝－；
tan
α＝＝＝－.
三角变换中的求值问题
已知sin
α、cos
α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求＋的值．
【解】 因为sin
α、cos
α是方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，所以sin
α＋cos
α＝－，sin
αcos
α＝.
所以－2×＝1，整理得
9m2－8m－20＝0，即(9m＋10)(m－2)＝0.
所以m＝－或m＝2.
又sin
α、cos
α为实根，
所以Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0.
即9m2－16m－8≥0，
所以m＝2不合题意，舍去．
故m＝－.
所以＋＝
＝＝＝
＝－.
三角函数式的化简和证明
化简.
【解】 原式＝
＝
＝
＝sin
α＋cos
α.
三角函数值域与最值
求下列函数的值域．
(1)y＝3－2sin
2x；(2)y＝|sin
x|＋sin
x；
(3)y＝cos2x－sin
x，x∈；(4)y＝.
【解】 (1)因为－1≤sin
2x≤1，所以1≤y≤5，
所以函数的值域为[1，5]．
(2)当sin
x≥0时，y＝2sin
x≤2，这时0≤y≤2；当sin
x＜0时，y＝0.所以函数的值域为[0，2]．
(3)y＝－sin2x－sin
x＋1，令t＝sin
x.
因为x∈，所以t∈.
原函数可化为y＝－t2－t＋1＝－＋.
所以当t＝－时，有ymax＝；当t＝时，
有ymin＝.故原函数值域为.
(4)y＝＝3－，
因为－1≤sin
x≤1，
所以1≤sin
x＋2≤3.
所以≤≤5，
则－5≤－≤－.
所以－2≤3－≤，
即－2≤y≤.
所以函数y＝的值域为.
三角函数的图象及变换
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到．
【解】 (1)由题图，可知A＝2，T＝8.
因为T＝8，所以ω＝＝＝.
法一：由图象过点(1，2)，得2sin＝2，
所以sin＝1.
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
法二：因为点(1，2)对应“五点”中的第二个点．
所以×1＋φ＝，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)先将y＝sin
x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y＝2sin
x的图象；再将y＝2sin
x图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝2sin的图象；最后将y＝2sin图象上各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，即得函数y＝f(x)的图象．
1．函数f(x)＝sin在上的单调递增区间是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C．令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.又0≤x≤，所以f(x)在上的单调递增区间是.
2．函数y＝sin的图象可以由函数y＝cos的图象( )
A．向右平移个单位长度得到
B．向右平移个单位长度得到
C．向左平移个单位长度得到
D．向左平移个单位长度得到
解析：选B．由y＝cos
＝sin，
y＝sin＝
sin，
知函数y＝sin的图象可以由y＝cos
的图象向右平移个单位长度得到．
3．(2018·高考江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．
解析：由函数y＝sin(2x＋φ)
的图象关于直线x＝对称，
得sin＝±1，
因为－<φ<，
所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－.
答案：－
4．如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的函数解析式为____________．
解析：由函数图象可知，A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sin
φ＝，即sin
φ＝，由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin.
答案：f(x)＝2sin
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第1章 三角函数
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