1．3.4 三角函数的应用
1.理解三角函数是描述周期性变化现象的重要函数模型． 2.会用三角函数解决简单的实际问题．
解答与三角函数有关的应用题的步骤
(1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型．有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
(2)建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．
(3)解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决．
(4)还原评价
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝3sin
x＋1的最大值为3.( )
(2)直线x＝π是函数y＝cos
x的一条对称轴．( )
解析：(1)错误．当x＝＋2kπ(k∈Z)时，函数取得最大值为ymax＝3×1＋1＝4.
(2)正确．当x＝π时，y＝cos
π＝－1，说明直线x＝π经过函数y＝cos
x图象的最低点(π，－1)，是其一条对称轴．
答案：(1)× (2)√
2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至________．
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期．
答案：丙
3．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝
s时，电流I为________．
解析：当t＝时，I＝5sin＝(A)．
答案：
A
4．用作调频无线电信号的载波以y＝asin(1.83×108πt)为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为__________，频率为__________．
解析：T＝＝≈1.09×10－8(s)，
f＝＝9.15×107(Hz)．
答案：1.09×10－8
s 9.15×107
Hz
三角函数在实际生活中的应用
如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
【解】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知可设y＝40.5－40cos
ωt，t≥0，由周期为12分钟可知当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，则此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos
t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos
t0，得cos
t0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或8.所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
解三角函数应用问题的基本步骤
1.(1)健康成年人的收缩压和舒张压一般分别为90～120
mmHg和60～90
mmHg，心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80
mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝110＋30sin
(150πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
①求函数p(t)的周期；
②求此人每分钟心跳的次数；
③求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较．
(2)通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2019年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14
℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2
℃.
①求出荆门地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表达式；
②29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10
℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解：(1)①T＝＝＝，
所以函数p(t)的周期为
min.
②f＝＝75，所以此人每分钟心跳75次．
③p(t)max＝110＋30＝140(mmHg)，
p(t)min＝110－30＝80(mmHg)，
即收缩压为140
mmHg，舒张压为80
mmHg，
血压计上的读数为140/80
mmHg.
故此人的血压超出标准值．
(2)①由题意知，
解得
易知＝14－2，所以T＝24，
所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，故·2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0，24))．
②当x＝9时，y＝8sin＋6＝
8sin＋6<8sin＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
三角函数在物理中的应用
如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象．
(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－A，那么正整数ω的最小值是多少？
【解】 (1)由题图知，A＝300.
T＝－＝，
所以ω＝＝100π.
因为是该函数图象的第一个点(五点作图法)，
所以－＝－，所以φ＝＝，
所以I＝300sin(t≥0)．
(2)问题等价于T≤，即≤，
所以ω≥200π，
所以最小的正整数ω为629.
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率，振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
2.如图所示的是弹簧挂着小球作上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sin，t∈[0，＋∞)．
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)小球开始振动的位置在哪里？
(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？
(4)小球经过多长时间往返振动一次？
解：(1)用“五点法”作出图象，如图所示：
(2)当t＝0时，h＝2sin＝，即小球开始振动时的位置为(0，)．
(3)当t＝时，h＝2；t＝
时，h＝－2，即最高点位置，最低点位置.
最高点与最低点各自到平衡位置的距离均为2
cm.
(4)函数周期T＝＝π，所以小球往返一次所用的时间为π
s.
数据拟合问题
受日月引力作用，海水常发生涨落，通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.
某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是该港口在某季节某天水深的数据：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
(1)根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5
m或5
m以上认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5
m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
【解】 (1)根据已知数据作图，如图所示．
根据函数图象，可建立函数模型
y＝Asin
ωt＋b.
由图象易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，所以ω＝＝，所以该函数的近似表达式为y＝3sint＋10.
(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，
所以3sin＋10≥11.5，
所以sin≥，解得2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．
因为是在同一天内，所以取k＝0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17.
所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚应在下午17时出港，在港内最多能停留16个小时．
求解曲线拟合和预测问题的一般步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，以便为决策和管理提供依据．
3.已知某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
(1)根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1
m时才对冲浪爱好者开放，那么一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解：(1)由表中数据描出各点，并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图)，
由图知，可设f(t)＝Acos
ωt＋b，并且周期T＝12，所以ω＝＝＝.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5；
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.
所以A＝0.5，b＝1，所以y＝cos
t＋1.
(2)由题意知当y>1时才可对冲浪者开放，
所以cost＋1>1，
所以cost>0.
所以2kπ－
即12k－3又0≤t≤24，故可令①中k分别为0，1，2.
得0≤t<3或9所以在规定时间上午8：00到晚上20：00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午9：00到下午15：00.
常见的三角函数应用题的三种类型
(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．
(2)给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．
(3)整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．
弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间做简谐振动，B、C相距20
cm，某时刻振子处在B点，经0.5
s振子首次到达C点．求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)振子在5
s内通过的路程及这时位移的大小．
【解】 (1)设振幅为A，则2A＝20
cm，A＝10
cm.
设周期为T，则＝0.5
s，T＝1
s．f＝＝1
Hz.
(2)振子在1个周期内的路程为4A＝40
cm，位移为0，故在5
s末路程为S＝5×4A＝200
cm，5
s末物体在B点，对初始点位移为0.
(1)本题常见错解为：①因为B、C相距20
cm，所以振幅A＝20
cm.因为从B点经0.5
s振子首次到达C点，所以周期T＝0.5
s，频率f＝＝2.
②5
s内的路程＝位移＝5A＝5×20＝100(cm)．
(2)错因：①振子以O为平衡位置，振幅是振子离开平衡位置的最大距离，B、C相距20
cm，说明2A＝20
cm，A＝10
cm.②振子经0.5
s首次到达C点，再返回B点才是一个周期，因此＝0.5
s．③“路程”与“位移”有区别，“位移”不仅有大小，还有方向．
(3)防范：利用三角函数模型解决物理问题时要准确理解物理量的含义，掌握数学模型中相关量的实际意义．
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0，5]
B．[5，10]
C．[10，15]
D．[15，20]
解析：选C．由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π]，故选C．
2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．
解析：单摆来回摆动一次所需的时间即一个周期．T＝＝1
s.
答案：1
s
3．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元.9月份价格最低为5千元，根据以上条件可得f(x)的解析式为________．
解析：作出函数简图如图：
由题意知：A＝2
000，B＝7
000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝，将(3，9
000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，
故f(x)＝2
000sinx＋7
000(1≤x≤12，x∈N
)．
答案：f(x)＝2
000sin
x＋7
000(1≤x≤12，x∈N
)
[学生用书P95(单独成册)])
[A 基础达标]
1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2
s
B．1
s
C．
s
D．
s
解析：选C．由题意，知周期T＝＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为
s.
2．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是( )
解析：选C．由奇偶性的定义可知函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]既不是奇函数也不是偶函数．选项A，D中图象表示的函数为奇函数，B中图象表示的函数为偶函数，C中图象表示的函数既不是奇函数也不是偶函数．
3．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12
h，低潮时水深9
m，高潮时水深15
m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )
A．y＝3sint＋12
B．y＝－3sint＋12
C．y＝3sint＋12
D．y＝3cost＋12
解析：选A．根据题意，由ω＝＝＝，排除选项C，D．当t＝3时，3sint＋12＝
3sin＋12＝15，符合题意，－3sint＋12＝
－3sin＋12＝9.不符合题意，故选项B错误．
4．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度1
rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为( )
A．y＝sin，t≥0
B．y＝sin，t≥0
C．y＝－cos，t≥0
D．y＝－cos，t≥0
解析：选A．由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sin，t≥0，故选A．
5.如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24
h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________．
解析：将题图看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知A＝6，T＝12，所以ω＝＝.将(6，0)看成“五点法”中第一个特殊点，则×6＋φ＝0，所以φ＝－π，
所以函数关系式为y＝6sin
＝－6sinx.
答案：y＝－6sinx
6.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有A＝________，ω＝________．
解析：水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟旋转
π
rad，所以ω＝π.
所以水轮上最高点离水面的距离为r＋2＝5(米)．
即ymax＝A＋2＝5，所以A＝3.
答案：3 π
7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．
解析：秒针1
s转弧度，t
s后秒针转了t弧度，如图所示，sin
＝，所以d＝10sin
.
答案：10sin
8．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积．已知函数y＝sin
nx在上的面积为(n∈N
)，则函数y＝sin
3x
在上的面积为________．
解析：取n＝3，由已知，函数y＝sin
3x在上的面积为.因为函数y＝sin
3x的周期为.所以函数y＝sin
3x在上的面积也是，所以函数y＝sin
3x
在上的面积为.
答案：
9．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，求可近似地描述该物体的位移y(cm)和时间t(s)之间的关系的一个三角函数关系式．
t/s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y/cm
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解：由题中提供的数据作出散点图，再用平滑曲线连接起来(图略)建立函数模型．
设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，
所以ω＝＝＝.
所以y＝4sin.
又由4sin
φ＝－4.0，
得sin
φ＝－1，取φ＝－，
故y＝4sin＝－4cost.
10.如图是某地一天从6时至14时的温度变化曲线，近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)．
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)由题图知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．
(2)题图中从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以T＝2×(14－6)＝16，ω＝＝.
又A＝＝10，b＝＝20，
所以y＝10sin＋20.
当x＝6时，
又由|φ|<π知，×6＋φ＝π，所以φ＝π，
所以所求函数解析式为y＝
10sin＋20，x∈[6，14]．
[B 能力提升]
1.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是________．
解析：选C．由l＝αR，可知α＝，结合圆的几何性质可知＝Rsin
，所以d＝2Rsin
＝2Rsin
，又R＝1，所以d＝2sin
，故结合正弦图象可知③正确．
2．如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边△ABC，设∠AOB＝x时，则S四边形OACB等于________．
解析：如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC．过点B作BD⊥MN于D，
则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sin
x.
所以S△AOB＝×2sin
x＝sin
x.
因为OD＝BOcos(π－x)＝－cos
x，
所以AB2＝BD2＋AD2
＝sin2x＋(－cos
x＋2)2＝5－4cos
x.
所以S△ABC＝AB·ABsin
60°
＝－cos
x.
所以S四边形OACB＝sin
x－cos
x＋.
答案：sin
x－cos
x＋
3．下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏)．
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据．
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin.
解：(1)(2)如图所示．
(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，＝7－1＝6，
所以T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
所以A＝25.8.
(5)因为x＝月份－1，
所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝＞1≠cos，
所以①错误；
代入②，得＝＜0≠cos，
所以②错误；同理④错误，所以四个模型中③最适合这些数据．
4.(选做题)如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为计量单位)
(2)估计当年3月1日动物种群数量．
解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝
Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，
则
解得A＝100，b＝800.
又周期T＝2×(6－0)＝12.
所以ω＝＝，
所以y＝100sin＋800.
又当t＝6时，y＝900.
所以900＝100sin＋800.
所以sin(π＋φ)＝1.
所以sin
φ＝－1.
所以取φ＝－.
所以y＝100sin＋800.
(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，
即当年3月1日种群数量约是750.
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1第2课时 正切函数的图象与性质
1.了解正切函数的图象． 2.理解正切函数在上的性质．
3．掌握函数y＝tan
x的图象、性质及应用．
函数y＝tan
x的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
单调性
在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在整个定义域内是增函数．( )
(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )
(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.( )
(4)函数y＝tan
x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tan
x．( )
解析：(1)错误．如x1＝，x2＝，但
tan
＞tan
，不符合增函数的定义．
(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．
(3)错误．正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的．
(4)错误．当x＝＋kπ(k∈Z)时，tan
x没有意义，此时式子tan(－x)＝－tan
x不成立．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．函数y＝tan的最小正周期为( )
A．
B．π
C．2π
D．3π
答案：A
3．函数f(x)＝tan的定义域是______________，f＝________．
解析：由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.
答案：
4．函数y＝－tan
x的单调递减区间是________．
解析：因为y＝tan
x与y＝－tan
x的单调性相反，所以y＝－tan
x的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
与正切函数有关的定义域问题
求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝lg.
【解】 (1)要使函数y＝有意义，
需使
所以函数的定义域为
.
(2)因为－tan
x＞0，
所以tan
x＜.
又因为tan
x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，
得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是
.
(1)求由三角函数参与构成的函数的定义域，对于自变量必须满足：①使三角函数有意义，例如，若函数含有tan
x，则x≠kπ＋，k∈Z；②分式形式的分母不等于零；③偶次根式的被开方数不小于零．
(2)求三角函数定义域时，常常归结为解三角不等式(组)，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
1.(1)求函数y＝的定义域；
(2)求函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域．
解：(1)由题意得－tan
x≥0，
即tan
x≤，
结合正切函数的图象知kπ－.
(2)由题意得
即－1≤tan
x＜1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan
x的周期为π，
所以所求x的范围是
(k∈Z)，
即函数的定义域是
(k∈Z)．
正切函数的单调性及其应用
(1)求函数y＝tan的单调区间，并求其最小正周期；
(2)比较tan
1，tan
2，tan
3的大小．
【解】 (1)y＝tan
＝－tan，
由kπ－＜x－＜kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－＜x＜2kπ＋π(k∈Z)．
所以函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)．
T＝＝＝2π，所以函数y＝
tan的最小正周期为2π.
(2)因为tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，
又因为＜2＜π，所以－＜2－π＜0.
因为＜3＜π，所以－＜3－π＜0.
显然－＜2－π＜3－π＜1＜，
且y＝tan
x在内是增函数，
所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan
1，
即tan
2＜tan
3＜tan
1.
(1)对于求y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再由kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋(k∈Z)求得x的范围即可．
(2)运用正切函数单调性比较大小的步骤
①运用诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小．
2.求函数y＝，x∈的最大值和最小值．
解：y＝
＝tan2x＋1－tan
x＝＋.
因为x∈，y＝tan
x在上是增函数，tan
0＝0，tan＝1，所以tan
x∈[0，1]，所以当tan
x＝时，ymin＝；
当tan
x＝0或1时，ymax＝1.
即原函数的最大值是1，最小值是.
与正切函数有关的图象问题
画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
【解】 由y＝tan
x得，
y＝
其图象如图，
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，
周期为π.
将本例中的函数y＝|tan
x|改为y＝tan
|x|，回答同样的问题，结果又如何？
解：由y＝tan
|x|得
y＝
根据y＝tan
x的图象，作出y＝tan
|x|的图象如图：
由图象可知，函数y＝tan
|x|是偶函数，单调增区间为，(k＝0，1，2，…)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．
(1)作函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是
①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到整个定义域上即可．
3.求函数y＝tan
2x的定义域、值域和最小正周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解：定义域为；值域为(－∞，＋∞)；最小正周期为；对应图象如图所示：
1．正切函数的性质
(1)正切函数常用的三条性质
①对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
②单调性：正切函数在每个区间(k∈Z)内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
③渐近线：直线x＝kπ＋(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分．正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线．
(2)对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明
①一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
②当ω＞0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
2．“三点两线法”作正切曲线的简图
(1)“三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
求函数y＝的定义域．
【解】 要使函数y＝有意义，
则需
所以函数的定义域为
.
(1)错因：本题易错点为：由y＝有意义，得1－tan
x≠0，即tan
x≠1，即x≠kπ＋，k∈Z；从而所求函数的定义域为.此解法的错误是求定义域时未注意正切函数自身的限制条件．
(2)防范：在与正切函数有关的函数的定义域问题中，除函数的限制条件外，还要注意正切函数y＝tan
x自身的限制条件，即.
1．函数y＝的值域是( )
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
解析：选B．因为－＜x＜，
所以－1＜tan
x＜1，
所以∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B．
2．函数y＝tan满足下列哪些条件________(填序号)．
①在上单调递增；②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为.
解析：①令0＜x＜得0＜＜，所以y＝tan在上单调递增．②tan＝－tan，故为奇函数．③T＝＝2π，故③不正确．④令≠＋kπ(k∈Z)，得x≠π＋2kπ(k∈Z)，所以定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确．
答案：①②
3．比较下列两个正切值的大小：
(1)tan
167°，tan
173°；
(2)tan，tan.
解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y＝tan
x在(90°，180°)上为增函数，
所以tan
167°173°.
(2)因为tan＝tan，tan＝tan，
且0<<<，y＝tan
x在上为增函数，
所以tan即tan[学生用书P91(单独成册)])
[A 基础达标]
1．函数f(x)＝|tan
2x|是( )
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
解析：选D．f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan
2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
2．函数
y＝
的定义域为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
解析：选
C．由
1－tan≥0，得
tan≤1，所以
kπ－kπ－C．
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是下图中的( )
解析：选A．由函数周期T＝＝2π，
排除选项B、D．
将x＝π代入函数解析式中，得
tan＝tan
0＝0，
故函数图象与x轴的一个交点为.
4．与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
解析：选D．当x＝时，y＝tan＝tan
＝1；
当x＝－时，y＝tan＝
tan＝1；
当x＝时，
y＝tan＝tan
＝－1；
当x＝时，
y＝tan＝tan
，不存在．
5．在(0，2π)内，使
tan
x>1
成立的
x
的取值范围为( )
A．
B．
C．∩
D．∪
解析：选
D．因为
x∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使
tan
x>1
成立的
x
的取值范围为∪.
6．函数y＝3tan的对称中心是________．
解析：因为2x＋＝，k∈Z，
所以x＝－.
答案：，(k∈Z)
7．已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则ω的范围为________．
解析：因为y＝tan
ωx在内是减函数，
所以ω＜0且T＝≥π.
所以|ω|≤1，
即－1≤ω＜0.
答案：－1≤ω＜0
8．函数f(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是________．
解析：由题意知，f(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，即T＝.又因为T＝，
所以＝，
所以ω＝4.
所以f(x)＝tan
4x，
所以f＝tan＝tan
π＝0.
答案：0
9．(1)利用正切函数的单调性比较tan与tan的大小；
(2)已知f(x)＝asin
x＋b
tan
x＋1满足f＝7，求f的值．
解：(1)因为tan＝tan
＝tan，tan
＝tan＝tan
.
显然－<－<<，
由于函数y＝tan
x在上是增函数，
所以tan即tan(2)由已知得，f＝asin
＋btan
＋1＝7，
即asin
＋btan
＝6.
于是f＝asin
＋btan
＋1
＝asin＋btan＋1
＝－asin
－btan
＋1＝－6＋1＝－5.
10．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求函数f(x)的周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小．
解：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan在
(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan在(k∈Z)内单调递减．
故原函数的周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，f＝3tan
＝3tan＝－3tan，因为＜，且y＝tan
x在上单调递增，所以tan＜tan，所以－3tan>－3tan，所以f(π)＞f.
[B 能力提升]
1．函数f(x)＝tan2x的单调增区间是________．
解析：f(x)＝(k∈Z)，
作出f(x)的图象如图，由图象可得单调增区间为(k∈Z)．
答案：
2．已知点
M(－3，－1)，若函数
y＝tan
x[x∈(－2，2)]的图象与直线
y＝1
交于点
A，则|MA|＝__________．
解析：令
y＝tan
x＝1，解得
x＝1＋4k，k∈Z，又
x∈(－2，2)，所以
x＝1，所以函数
y＝tan
x
与直线
y＝1
的交点为
A(1，1)，又
M(－3，－1)，
所以|MA|＝＝2.
答案：2
3．已知正切函数y＝Atan(ωx＋φ)
的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，－3)，求函数的表达式．
解：因为和是图象与x轴相交的两相邻点，故这个函数的周期T＝－＝.
因为＝，
所以ω＝.
将点代入y＝Atan得：
0＝Atan，
因为|φ|<，
所以φ＝－，
将点(0，－3)代入y＝Atan得：
－3＝Atan，
所以A＝3，
故所求的函数表达式为y＝3tan
.
4．(选做题)若函数f(x)＝2tan(ωx－)(ω＜0)的最小正周期为2π，求f(x)的单调区间．
解：因为f(x)＝2tan(ωx－)(ω＜0)的最小正周期为2π，
所以＝2π，所以|ω|＝.
又因为ω＜0，
所以ω＝－.
即f(x)＝2tan(－x－)
＝－2tan(x＋)．
由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－π＜x＜2kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调减区间为
(2kπ－π，2kπ＋)(k∈Z)．
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1第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质
1.掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象． 2.了解正弦函数、余弦函数的图象特征．
3．理解正弦函数、余弦函数的性质．
1．正弦、余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象叫做正弦曲线，余弦函数的图象叫做余弦曲线．
(2)函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象上起关键作用的点有以下五个：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
2．正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数
正弦函数y＝sin
x
余弦函数y＝cos
x
图象
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
最值
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
周期函数，T＝2π
奇偶性
奇函数，图象关于原点对称
偶函数，图象关于y轴对称
单调性
在(k∈Z)上是增函数；在(k∈Z)上是减函数
在[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上是增函数；在[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上是减函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝cos
x的图象与y轴只有一个交点．( )
(2)函数y＝cos
x的图象关于x轴对称．( )
(3)函数y＝sin
x的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．( )
解析：(1)正确．观察余弦函数的图象知y＝cos
x的图象与y轴只有一个交点．
(2)错误．由余弦函数的图象知，y＝cos
x的图象关于y轴对称．
(3)正确．观察正弦曲线可知正弦函数的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．用五点法画y＝2sin
x，x∈[0，2π]的图象时，下列点不是关键点的是( )
A．
B．
C．(π，0)
D．(2π，0)
解析：选A．由“五点法”知五个关键点分别为(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
3．用五点法画y＝cos
x，x∈[0，2π]的图象时，这五个点的纵坐标的和为________．
解析：由“五点法”知，五个关键点分别为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)，纵坐标的和为1.
答案：1
4．函数y＝sin
x的图象和y＝的图象交点的个数是________．
解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：
由图可知交点个数是3.
答案：3
用“五点法”作简图
用“五点法”作出y＝1＋cos
x(0≤x≤2π)的简图．
【解】 利用“五点法”作图：
列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1＋cos
x
2
1
0
1
2
描点作图，如图：
正、余弦函数图象的画法
(1)几何法
就是利用单位圆中的正弦线、余弦线来作出正弦函数、余弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但画图时较烦琐．
(2)
五点法
在精确度要求不太高时，我们常常先描出五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应区间的函数图象．
(3)图象变换法
该种方法主要是利用图象的平移(如把y＝sin
x的图象向左平移便可以得到y＝cos
x的图象).通过这种方法作图简便易行，但函数间必须有联系．
1.用“五点法”作出下列函数的简图．
(1)y＝sin
x－1，x∈[0，2π]；
(2)y＝1－cos
x，x∈[0，2π]．
解：(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
sin
x－1
－1
0
－1
－2
－1
描点连线，其图象如图所示：
(2)列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
0
1
2
1
0
描点连线，其图象如图所示：
三角函数的单调性
求函数y＝2sin的单调递增区间．
【解】 y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，则y＝－2sin
z．因为z是x的一次函数，
所以要求y＝－2sin
z的单调递增区间，即求sin
z
的单调递减区间，即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．
所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，
所以函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
2.(1)求y＝cos的单调递减区间．
(2)已知函数f(x)＝sin＋1，求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)y＝cos＝
cos，2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
所以2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
所以kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝cos的单调递减区间是，k∈Z.
(2)令μ＝＋2x，函数y＝sin
μ的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤＋2x≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)＝sin＋1的单调递增区间是，k∈Z.
三角函数的值域、最值问题
求下列函数的最大值和最小值．
(1)y＝
；
(2)y＝3＋2cos；
(3)y＝2sin.
【解】 (1)由题意知
所以－1≤sin
x≤1.
故当sin
x＝－1时，ymax＝；
当sin
x＝1时，ymin＝.
(2)因为－1≤cos≤1，
所以1≤3＋2cos≤5.
故当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(3)因为－≤x≤，
所以0≤2x＋≤.
所以0≤sin≤1.
所以0≤2sin≤2.
故当sin＝1时，ymax＝2.
当sin＝0时，ymin＝0.
求三角函数值域或最值的常用方法
(1)将y表示成以sin
x(或cos
x)为主元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin
x或cos
x用所求变量y来表示，如sin
x＝f(y)，再由|sin
x|≤1构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围．
3.(1)已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________．
(2)求函数y＝cos2x＋4sin
x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．
解：(1)由对称轴完全相同知两函数周期相同，
所以ω＝2，所以f(x)＝3sin.
由x∈，
得－≤2x－≤π，
所以－≤f(x)≤3.
故填
(2)y＝cos2x＋4sin
x
＝1－sin2x＋4sin
x
＝－sin2x＋4sin
x＋1
＝－(sin
x－2)2＋5.
所以当sin
x＝1，
即x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝4；
当sin
x＝－1，
即x＝2kπ－，k∈Z时，ymin＝－4.
所以ymax＝4，此时x的取值集合是
；
ymin＝－4，此时x的取值集合是
.
函数y＝sin
x，x∈[0，2π]与y＝sin
x，x∈R的图象的关系
(1)函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象是函数y＝sin
x，x∈R的图象的一部分．
(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin
x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致，因此将y＝sin
x，x∈[0，2π]的图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就可得到函数y＝sin
x，x∈R的图象．
求函数y＝－3sin2x＋9sin
x＋的最大值．
【解】 令t＝sin
x，则t∈[－1，1]．二次函数y＝－3＋8在t∈[－1，1]上递增．故原函数当sin
x＝1时取最大值，即ymax＝－3×＋8＝.
(1)易忽视－1≤sin
x≤1这一隐含条件，错把题中函数与通常的二次函数等同起来．
(2)正、余弦的值域固定在某一个确定的范围内，在解三角函数题时，一定要深入挖掘条件中由正、余弦函数有界性产生的隐含因素，否则就会扩大解集，造成解题的失误．
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0，2π]的简图是( )
解析：选B．y＝sin(－x)＝－sin
x与y＝sin
x关于x轴对称．
2．函数y＝－2sin
x在[0，2π]上的图象的最高点坐标是________．
解析：函数y＝－2sin
x的图象与函数y＝2sin
x的图象关于x轴对称．
答案：
3．若f(x)＝asin
x＋3cos
x是偶函数，则实数a＝________.
解析：因为y＝sin
x是奇函数，而y＝cos
x是偶函数，所以a＝0.
答案：0
[学生用书P89(单独成册)])
[A 基础达标]
1．用“五点法”作函数y＝cos
2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
解析：选B．令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B．
2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
x|
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：选D．y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sin
x|是偶函数；
y＝sin＝cos
2x是偶函数；y＝cos＝－sin
2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
3．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1
B．－
C．
D．0
解析：选B．由x∈得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.
4．函数y＝sin在区间[0，π]的一个单调递减区间是( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，取k＝0，则一个单调递减区间为.
5．函数y＝3sin＋1取最大值时x的值为________．
解析：因为－1≤sin≤1，
所以当sin＝1，
即2x＋＝＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ(k∈Z)时，有ymax＝3＋1＝4.
答案：＋kπ(k∈Z)
6．已知四个函数的部分图象如图，其中，函数y＝－xcos
x的图象是________．
解析：因为函数y＝－xcos
x是奇函数，图象关于原点对称，所以排除①③，当x∈时，y＝－xcos
x<0，故排除②.
答案：④
7．下列关系式中正确的是________．
①sin
11°＜cos
10°＜sin
168°；
②sin
168°＜sin
11°＜cos
10°；
③sin
11°＜sin
168°＜cos
10°；
④sin
168°＜cos
10°＜sin
11°.
解析：sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，
cos
10°＝sin(90°－10°)＝sin
80°，
又y＝sin
x在[0°，90°]上是增函数，
所以sin
11°＜sin
12°＜sin
80°，
即sin
11°＜sin
168°＜cos
10°.
答案：③
8．在[0，2π]内，不等式sin
x＜－的解集是________．
解析：画出y＝sin
x，x∈[0，2π]的草图如下：
因为sin
＝，所以sin＝－，
sin＝－.
即在[0，2π]内，满足sin
x＝－的是x＝或x＝.
可知不等式sin
x＜－的解集是.
答案：
9．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解：y＝sin＝－cos
x.
列表如下：
x
π
2π
cos
x
0
－1
0
1
0
－cos
x
0
1
0
－1
0
描点连线，如图：
10．已知函数f(x)＝2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值．
解：(1)令2kπ－π≤3x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得－≤x≤－(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)当3x＋＝2kπ－π(k∈Z)时，f(x)取最小值－2，
即x＝－(k∈Z)时，f(x)取得最小值－2.
[B 能力提升]
1．已知ω是正实数，函数f(x)＝2sin
ωx在上是增函数，则ω的取值范围为________．
解析：函数f(x)在上是增函数，则函数f(x)在上应为增函数，所以T≥2×，则T≥.又因为T＝，所以ω≤＝，即ω∈.
答案：
2．函数y＝2sin
x的图象与y＝2围成的封闭的平面图形的面积为________．
解析：如图，图形S1与S2，S3与S4都是对称图形，有S1＝S2，S3＝S4.
因此，函数y＝2sin
x的图象与y＝2围成的图形的面积可以等积转化为矩形ABCD的面积．
因为AD＝2，AB＝2π，所以S矩形＝2×2π＝4π.
答案：4π
3．已知函数y＝a－bcos(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4asin的最小值并求出对应x的集合．
解：(1)cos∈[－1，1]，
因为b>0，
所以－b<0，
所以a＝，b＝1.
(2)由第一问知：g(x)＝－2sin，
因为sin∈[－1，1]，
所以g(x)∈[－2，2]，
所以g(x)的最小值为－2，对应x的集合为.
4．(选做题)用“五点法”作出函数y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y＞1；②y＜1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin
x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围．
解：列表如下：
x
－π
－
0
π
sin
x
0
－1
0
1
0
1－2sin
x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图象可知图象在y＝1上方部分时y＞1，在y＝1下方部分时y＜1，
所以①当x∈(－π，0)时，y＞1；②当x∈(0，π)时，y＜1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin
x有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，所以a的取值范围是{a|1＜a＜3或－1＜a＜1}．
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11．3.1 三角函数的周期性
1.了解三角函数的周期性． 2.理解周期函数的定义．
3．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)的周期T＝.
1．周期函数的概念
(1)周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
2．三角函数的周期
(1)正弦函数y＝sin
x(x∈R)的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π．
(2)余弦函数y＝cos
x(x∈R)的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π．
(3)正切函数y＝tan
x的周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π．
(4)一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝．
温馨提示：三角函数的周期，如没有特别说明，指的是最小正周期．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin(60°＋60°)＝sin
60°，则60°是正弦函数y＝sin
x的一个周期．( )
(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N
也是函数f(x)的周期．( )
(3)函数y＝sin
x＋5，x∈R是周期函数．( )
解析：(1)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin
40°，所以60°不是正弦函数y＝sin
x的一个周期．
(2)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确．
(3)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确．
答案：(1)× (2)√ (3)
√
2．下列函数中，最小正周期为4π的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
D．y＝cos
2x
答案：C
3．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．
解析：因为sin
＝sin＝sin，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.
答案：4π
求三角函数的周期
求下列函数的最小正周期．
(1)y＝sin(x∈R)；
(2)y＝|cos
x|(x∈R)．
【解】 (1)y＝sin
＝－sin，
因为－sin
＝－sin，
即－sin
＝－sin，
所以y＝sin的周期为4π.
(2)令f(x)＝y＝|cos
x|.
f(x＋π)＝|cos(x＋π)|＝|cos
x|，
所以y＝|cos
x|的周期为π.
求三角函数的周期的两种常用方法
(1)定义法．
(2)公式法，对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)
(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝，
如本例(1)可用公式求解如下：T＝＝4π.
两种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.
1.求下列三角函数的最小正周期T：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝cos
2x；
(3)f(x)＝3sin.
解：(1)令z＝x＋，
因为sin(2π＋z)＝sin
z，
所以f(2π＋z)＝f(z)，
f＝f，
所以T＝2π.
(2)令z＝2x，
则cos
z＝cos(z＋2π)，
cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]，
即f(x＋π)＝f(x)，
所以T＝π.
(3)令z＝＋，
则3sin
z＝3sin(z＋2π)，
3sin＝3sin，
即f(x)＝f(x＋4π)，
所以T＝4π.
根据周期函数定义求周期
已知f(x＋1)＝－f(x)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
【解】 因为f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)，所以f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．
(1)若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于x＝a，x＝b(b＞a)都对称，则f(x)是周期函数且2(b－a)是它的一个周期．
(2)已知f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，由定义可证得f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(3)若f(x＋a)＝－(a＞0)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
2.已知函数f(x)(x∈N
)满足f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
解：由f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，①
得f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1)．②
①＋②，得f(n＋3)＝－f(n)．
所以f(n＋6)＝f[(n＋3)＋3]＝－f(n＋3)
＝－[－f(n)]＝f(n)．
所以f(x)是周期函数，
且6为f(x)的一个周期．
利用周期求值
设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，求f的值．
【解】 设k∈Z且k≠0，因为
f(x)是以1为一个周期的函数，所以k也是f(x)的周期．
所以f(x－k)＝f(x)，
故f＝f，
从而f＝f，
又当x∈(－1，0)时，
f(x)＝2x＋1，
所以f＝f＝2×＋1＝0.
如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
3.设函数f(x)是定义在R上的最小正周期为的函数，且在(－π，π]上f(x)＝求f的值．
解：f＝f
＝f，因为－π＜－＜0，所以f＝
cos＝cos＝，所以f＝.
对周期函数的四点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
(3)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(n∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集．
(4)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝c，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
求函数y＝|tan
x|的最小正周期．
【解】 因为|tan(x＋π)|＝|tan
x|，
而0(x＋T)|≠|tan
x|，
故y＝|tan
x|的最小正周期为π.
函数y＝|sin
x|，y＝|cos
x|的周期分别是y＝sin
x，y＝cos
x的周期的一半，但这一规律对y＝|tan
x|来讲是不成立的，应结合周期函数的定义判断．事实上，≠|tan
x|，故不是y＝|tan
x|的周期．
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝cos
4x
解析：选D．y＝sin的周期为4π，
y＝sin
2x的周期为π，
y＝cos的周期为8π，
y＝cos
4x的周期为.
2．函数y＝3sin的最小正周期为________．
答案：π
3．已知函数f(x)＝cos的周期为π，则ω＝________．
解析：因为T＝＝π，
所以|ω|＝2，ω＝±2.
答案：±2
4．函数y＝的最小正周期是________．
解析：y＝＝＝cos
x，所以最小正周期为2π.
答案：2π
[学生用书P87(单独成册)])
[A 基础达标]
1．函数y＝sin
4x的周期是( )
A．4π
B．2π
C．π
D．
解析：选D．T＝＝.
2．已知函数y＝2cos(ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝( )
A．1
B．
C．－1
D．－
解析：选D．因为T＝＝4π，
所以|ω|＝，
因为ω<0，所以ω＝－.
3．函数f(x)＝cos
2x＋|cos
2x|的最小正周期为( )
A．4π
B．2π
C．π
D．
解析：选C．由f(x)＝cos
2x＋|cos
2x|
＝
故所求最小正周期T＝＝π.
4．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝( )
A．2
B．1
C．－2
D．－1
解析：选C．因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，所以f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝2，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋4)＝－f(x)，且f(4)＝5，则f(－20)＝________，f(2
020)＝________．
解析：由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x)＝－f(x＋4)＝－[－f(x＋4＋4)]＝f(x＋8)，所以T＝8，f(－20)＝f(－24＋4)＝f(4)＝5，
f(2
020)＝f(252×8＋4)＝f(4)＝5.
答案：5 5
6．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝，则f＝________．
解析：f＝f
＝f＝sin
＝.
答案：
7．已知函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x＋1)＝－(f(x)≠0)对任意x∈R恒成立，则f(5)＝________．
解析：因为f(x＋1)＝－，
所以f(x＋2)＝－，
所以f(x＋2)＝－＝f(x)，
所以f(x)的周期为2，
所以f(5)＝f(1)＝2.
答案：2
8．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k为________．
解析：由正弦函数的周期公式，得T＝＝，
由题意知0<≤1.解得k≥20π≈62.8.
所以正整数k的最小值为63.
答案：63
9．设f(x)是定义在R上的最小正周期为的函数，且在上f(x)＝
求f的值．
解：因为f(x)的最小正周期为，所以f＝f(x)，f＝f
＝f＝f
＝f＝f＝f，
又－∈，
所以f＝sin＝－sin＝－，
所以f＝－.
10．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，求f的值．
解：由题意，
得f＝f＝f
＝f＝f＝－f.
因为当x∈时，f(x)＝sin
x，
所以f＝－sin＝－.
[B 能力提升]
1．已知函数f(x)＝sin(k为正整数)，要使f(x)的周期在内，则正整数k的最小值为________，最大值为________．
解析：由周期公式，得T＝＝，由题意知＜＜.因为k＞0，所以＜＜，即＜k＜9π，所以kmin＝15，kmax＝28.
答案：15 28
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(x＋2)，f(1)＝2，则f(2)＋f(7)＝________．
解析：由f(x－2)＝f(x＋2)得T＝4，由f(x－2)＝f(x＋2)得f(－2)＝f(2)，即－f(2)＝f(2)，所以f(2)＝0，f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故f(2)＋f(7)＝0＋(－2)＝－2.
答案：－2
3．已知f(k)＝sin，k∈Z.
(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)的值．
解：(1)证明：因为sin＝sin＝
sinπ(k∈Z)，所以f(k)＝f(k＋8)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．
(2)因为f(k)是以8为一个周期的周期函数，
而2
016＝252×8，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝252[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]．
又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)
＝sin＋sin＋…＋sin＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2
015)＋f(2
016)＝0.
4．(选做题)已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．
解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－
＝－＝f(x)．
所以f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)因为4是f(x)的一个周期．
所以f(5)＝f(1)＝－5，
所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)
＝＝＝.
PAGE
1第2课时 诱导公式五、六
1.了解诱导公式五、六的导出过程． 2.理解诱导公式五、六的结构特征． 3.掌握六组诱导公式的灵活应用．
1．诱导公式五、六
2．诱导公式五、六的语言概括
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，公式一～六都叫做诱导公式．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin＝cos
α.( )
(2)若α为第二象限角，则sin＝cos
α.( )
(3)sin＝cos.( )
解析：(1)错误．因为sin
＝－sin＝－cos
α.
所以sin＝cos
α是错误的．
(2)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先假定α为锐角．
(3)正确．因为－α＋＋α＝，所以成立．
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．已知sin
α＝，则cos＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选A．cos＝sin
α＝.
3．已知sin＝，α∈，则tan
α＝________．
解析：sin＝sin＝cos
α＝，又α∈，
所以sin
α＝－＝－.
所以tan
α＝＝－2.
答案：－2
4．若α＋β＝且sin
α＝，则cos
β＝________．
解析：因为α＋β＝，
所以β＝－α，
所以cos
β＝cos＝sin
α＝.
答案：
利用诱导公式求值
(1)已知cos
31°＝m，则sin
239°tan
149°的值是________．
(2)已知sin＝，求cos的值．
【解】 (1)sin
239°tan
149°
＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)
＝－cos
31°(－tan
31°)＝sin
31°＝.
故填
.
(2)cos＝cos
＝sin＝.
若本例(2)题设不变，如何求cos的值呢？
解：cos＝cos
＝－sin＝－.
已知三角函数值求其他三角函数值的解题策略
(1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系；
②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异．
(2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数转化为同名的三角函数．
1.(1)已知角α的终边经过点P(－4，3)，求
的值．
(2)已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P(a，)，求的值．
解：(1)因为角α的终边经过点
P(－4，3)，所以tan
α＝－，
所以
＝
＝tan
α＝－.
(2)因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P(a，)，所以a2＋＝1(a＜0)，所以a＝－，
所以sin
α＝，cos
α＝－，
所以原式＝＝－·
＝(－)×＝2.
利用诱导公式化简三角函数式
化简：(1)＝________；
(2)＋.
【解】 (1)原式＝
＝
＝－cos
α.
故填－cos
α.
(2)tan(3π－α)＝－tan
α，sin(π－α)＝sin
α，
sin＝－cos
α，sin(2π－α)＝－sin
α，
cos＝cos＝－sin
α，
sin＝－cos
α，
cos(2π＋α)＝cos
α，
所以，原式
＝＋
＝－
＝
＝＝1.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这四套诱导公式，切记运用前两套公式不变名，而运用后两套公式必须变名．
2.(1)已知cos＝，求
＋的值．
(2)化简：＋.
解：(1)原式＝＋
＝－sin
α－sin
α＝－2sin
α.
又cos＝，
所以sin
α＝－.
所以原式＝.
(2)因为sin＝cos
α，cos＝sin
α，
cos(π＋α)＝－cos
α，sin(π－α)＝sin
α，
cos＝－sin
α，sin(π＋α)＝－sin
α，
所以原式＝＋
＝－sin
α＋sin
α＝0.
利用诱导公式证明三角恒等式
求证：(1)＝；
(2)＝－tan
α.
【证明】 (1)右边＝
＝
＝
＝
＝＝
＝左边．
所以原等式成立．
(2)左边＝
＝
＝－
＝－tan
α＝右边．
所以原等式成立．
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左、右归一法：即证明左、右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同．
3.求证：＝tan
α.
证明：左边＝
＝
＝
＝＝
＝tan
α＝右边．
1．诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
2．诱导公式一～六
(1)诱导公式一～六揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．
(2)这六组诱导公式可归纳为“±α(k∈Z)”的三角函数值与α的三角函数值之间的关系．当k为偶数时得角α的同名三角函数值，当k为奇数时得角α的异名三角函数值．然后在前面加上一个把角α看成锐角时原三角函数值的符号．可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【解】 (1)f(α)＝
＝?＝－cos
α.
(2)因为cos＝－sin
α，
所以sin
α＝－，
又α是第三象限角，
所以cos
α＝－?
＝－.
所以f(α)＝.
(3)因为－＝－6×2π＋，?
所以f＝－cos＝－cos
＝－cos
＝－cos
＝－，
所以f(α)＝－.
(1)在解答过程中，若诱导公式把握不准，就会在?处出现符号或三角函数名称的错误；若忽略角α是第三象限角，就会在?处求解cos
α的值时出现符号的错误；若对终边相同的角的三角函数值相等理解不够或不会转化，则在?处会出现角的错误．
(2)对于六组诱导公式，要从本质上理解、形式上记忆准确，理解“奇变偶不变，符号看象限”，即掌握好三角函数名称和符号．对于三角函数值的符号的准确判定，一定要记准在四个象限内的不同的三角函数值的符号，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，否则就会在求解时出现符号错误．
1．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－
B．
C．
D．－
解析：选A．因为sin(3π＋α)＝－sin
α＝－，
所以sin
α＝.
所以cos＝cos
＝－cos＝－sin
α＝－.
2．给出的下列式子中：
①cos＝sin；②sin(1＋π)＝sin
1；
③tan＝－tan；④cos＝cos.
其中正确的是________(填序号即可)．
解析：①cos＝cos＝－sin；②sin(1＋π)＝－sin
1；③tan＝－tan；④cos＝cos＝cos＝－cos
.
答案：③
3．已知sin
110°＝a，则cos
20°的值为________．
解析：因为sin
110°＝sin(90°＋20°)＝cos
20°，
所以cos
20°＝sin
110°＝a.
答案：a
4．若sin＞0，cos＞0，则角θ的终边位于第________象限．
解析：因为sin＝－cos
θ＞0，
所以cos
θ＜0，
又cos＝sin
θ＞0，
所以θ为第二象限的角．
答案：二
[学生用书P86(单独成册)])
[A 基础达标]
1．化简：sin＝( )
A．sin
x
B．cos
x
C．－sin
x
D．－cos
x
解析：选B．sin
＝sin
＝sin＝cos
x.
2．若cos＝，则sin＝( )
A．
B．
C．－
D．－
解析：选A．因为cos＝，
所以sin＝sin
＝cos＝.
3．已知α∈，cos＝，则tan(2
018π－α)＝( )
A．
B．－
C．或－
D．或－
解析：选B．由cos＝得sin
α＝－，
又0<α<，
所以π<α<，
所以cos
α＝－＝－，
tan
α＝.
因为tan(2
018π－α)＝tan(－α)＝－tan
α＝－，故选B．
4．已知sin＝，则cos的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选A．cos
＝sin
＝sin＝－sin＝－.
5．已知f(sin
x)＝cos
3x，则f(cos
10°)的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
解析：选A．f(cos
10°)＝f(sin
80°)＝cos
240°＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－.
6．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是________．
①cos(A＋B)＝cos
C;
②sin(A＋B)＝－sin
C；
③sin＝cos.
解析：因为A＋B＋C＝π，
所以A＋B＝π－C，
所以cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C，
所以①②都不正确；同理B＋C＝π－A，
所以sin＝sin＝cos，
所以③是正确的．
答案：③
7．已知cos＝，且－π＜α＜－，
则cos＝________．
解析：因为－π＜α＜－，
所以－＜＋α＜－.
又cos＝＞0，
所以sin＝－＝－.
由＋＝，
得cos＝cos
＝sin＝－.
答案：－
8．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
解析：因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，
sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，
sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，
所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋＝.
答案：
9．化简：.
解：原式＝
＝
＝＝－sin
θ.
10．已知＝3＋2，求cos2(π－α)＋sin·cos＋2sin2(α－π)的值．
解：由已知，得＝3＋2，
所以tan
α＝＝＝.
所以cos2(π－α)＋sincos＋2sin2(α－π)
＝cos2α＋(－cos
α)(－sin
α)＋2sin2α
＝cos2α＋sin
αcos
α＋2sin2α
＝
＝
＝
＝.
[B 能力提升]
1．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于( )
A．－
B．
C．0
D．
解析：选B．设θ的终边上一点为P(x，3x)(x≠0)，
则tan
θ＝＝＝3.
因此
＝＝
＝＝＝，
故选B．
2．已知sin
α是方程5x2－7x－6＝0的根，求
的值．
解：由于方程5x2－7x－6＝0的两根为2和－，
所以sin
α＝－，
再由sin2α＋cos2α＝1，得cos
α＝±＝±，
所以tan
α＝±，
所以原式＝
＝tan
α＝±.
3．(选做题)已知sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－·cos(π＋β)，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．
解：因为sin(3π－α)＝cos，
所以sin
α＝sin
β.①
因为cos(－α)＝－cos(π＋β)，
所以cos
α＝cos
β.②
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)，
所以cos2α＝，cos
α＝±.
又0＜α＜π，
所以α＝或α＝.
当α＝时，β＝；当α＝时，β＝.
即α＝，β＝或α＝，β＝.
PAGE
1第1课时 诱导公式一～四
1.了解诱导公式产生的背景及推导思路． 2.熟记α＋2kπ(k∈Z)，－α，π±α的诱导公式．
3．掌握运用诱导公式进行计算与化简．
1．公式一
sin(α＋2kπ)＝sin
α，cos(α＋2kπ)＝cos
α，
tan(α＋2kπ)＝tan
α，其中k∈Z.
2．公式二
sin(－α)＝－sin
α，cos(－α)＝cos
α，tan(－α)＝－tan
α．
3．公式三
sin(π－α)＝sin
α，cos(π－α)＝－cos
α，tan(π－α)＝－tan
α．
4．公式四
sin(π＋α)＝－sin
α，cos(π＋α)＝－cos
α，tan(π＋α)＝tan
α．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于诱导公式中的角α一定是锐角．( )
(2)由公式二知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( )
(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin
C．( )
解析：(1)错误．诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角．
(2)错误．由公式二知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
(3)正确．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C．
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列式子中正确的是( )
A．sin(π－α)＝－sin
α
B．cos(π＋α)＝cos
α
C．cos
α＝sin
α
D．sin(2π＋α)＝sin
α
答案：D
3．tan
690°的值为________．
解析：tan
690°＝tan(2×360°－30°)＝－tan
30°＝－.
答案：－
4．sin(－30°)＝________；
cos
210°＝________．
解析：sin(－30°)＝－sin
30°＝－，
cos
210°＝cos(180°＋30°)＝－cos
30°＝－.
答案：－ －
给角求值问题
利用公式求下列三角函数值：
(1)cos
225°；
(2)sin；
(3)sin；
(4)cos(－2
040°)．
【解】 (1)cos
225°＝cos(180°＋45°)
＝－cos
45°＝－.
(2)sin
＝sin＝－sin
＝－.
(3)sin＝－sin
＝－sin＝－＝.
(4)cos(－2
040°)＝cos
2
040°
＝cos(6×360°－120°)
＝cos
120°＝cos(180°－60°)
＝－cos
60°＝－.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式二或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“小化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
1.求下列各三角函数值：
(1)sin
1
320°；
(2)cos；
(3)tan(－765°);
(4)sin
·cos
·tan
.
解：(1)sin
1
320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin
240°＝
sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－.
(2)cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－765°)＝－tan
765°＝－tan(45°＋2×360°)＝
－tan
45°＝－1.
(4)sin
·cos
·tan
＝sincostan
＝－sin
cos
tan
＝－××1＝－.
给值(式)求值问题
已知cos(α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
【解】 因为cos(α－75°)＝－＜0，
且α为第四象限角，
所以α－75°是第三象限角，
所以sin(α－75°)
＝－
＝－
＝－.
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝.
若本例条件不变，求cos(105°＋α)＋tan(75°－α)的值．
解：由条件知，sin(α－75°)＝－，
所以tan(75°－α)＝－tan(α－75°)
＝－＝－2，
因为cos(105°＋α)＝cos[180°＋(α－75°)]
＝－cos(α－75°)＝，
所以cos(105°＋α)＋tan(75°－α)＝－2.
本题中角(α－75°)应看作一个整体，而(105°＋α)与(α－75°)之间要结合诱导公式找关系，我们常遇到的关系有“互余”“互补”等关系，两个角的和或差是π或2π的整数倍，就可应用诱导公式转化．
2.(1)已知tan(π＋α)＝3，求
的值．
(2)已知sin(α＋π)＝，且sin
αcos
α<0，求
的值．
解：(1)因为tan(π＋α)＝3，所以
tan
α＝3.
故＝
＝＝＝7.
(2)因为sin(α＋π)＝，所以sin
α＝－，
又因为sin
αcos
α<0，所以cos
α>0，cos
α＝＝，所以tan
α＝－.所以原式＝
＝＝－.
三角函数式的化简问题
化简下列各式：
(1)(n∈Z)；
(2).
【解】 (1)原式
＝
＝
＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝－1.
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan
.
3.(1)化简：＋cos
65°－cos
115°·tan(－65°)．
(2)化简：.
解：(1)原式＝
＋cos
65°＋cos(180°－65°)·tan
65°
＝＋cos
65°－cos
65°·
tan
65°＝|sin
65°－cos
65°|＋cos
65°－sin
65°
＝sin
65°－cos
65°＋cos
65°－sin
65°＝0.
(2)原式＝
＝＝＝－1.
1．记忆诱导公式一～四的方法
记忆诱导公式一～四的口诀是“函数名不变，符号看象限”，含义是公式两边的函数名称不变，符号则是将角α看成锐角时原三角函数值的符号．
2．对诱导公式中“诱”字的三点说明
(1)诱什么？就是诱角，即把α＋k·360°(k∈Z)，－α，180°±α中的任意角α看作锐角．
(2)怎样诱？就是变角，角的变换为使用诱导公式创造了条件．
(3)为什么这么诱？就是为了得到我们所需要的角．
已知sin
α＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(2α＋β)＝________．
【解析】 由cos(α＋β)＝－1，得
α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)，
则2α＋β＝α＋(α＋β)＝α＋2kπ＋π(k∈Z)，
所以sin(2α＋β)＝sin(α＋2kπ＋π)
＝sin(α＋π)＝－sin
α＝－.
【答案】 －
(1)解答本题常因用错诱导公式四，即sin(α＋π)＝－sin
α出现失误，甚至找不到解题思路．
(2)探寻所求的值与已知条件的联系，如本例中2α＋β＝(α＋β)＋α，即可与已知sin
α＝，cos(α＋β)＝－1建立联系．
在运用公式时要特别注意符号，如本例中sin(α＋π)＝－sin
α的转化．
1．计算cos(－600°)＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D．cos(－600°)＝cos
600°＝cos(360°＋240°)＝cos
240°＝cos(180°＋60°)＝－cos
60°＝－.
2．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)等于( )
A．－
B．
C．±
D．
解析：选A．由cos(α－π)＝－.得cos
α＝.又α为第四象限角，所以sin(－2π＋α)＝sin
α＝－＝－.
3．已知sin(α＋π)＝－，则＝________．
解析：由题意可得sin
α＝，则cos
α＝±，
所以cos(α＋7π)＝－cos
α，
所以＝－＝±.
答案：±
4．已知sin(45°＋α)＝，则sin(135°－α)＝________．
解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)]
＝sin(45°＋α)＝.
答案：
[学生用书P84(单独成册)])
[A 基础达标]
1．tan的值为( )
A．
B．
C．
D．1
解析：选B．tan＝tan＝tan＝.
2．sin
600°＋tan(－300°)的值是( )
A．－
B．
C．－＋
D．＋
解析：选B．原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin
60°＋tan
60°＝.
3．若sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)等于( )
A．－m
B．－m
C．m
D．m
解析：选B．因为sin(π＋α)＋sin(－α)＝－2sin
α＝－m，
所以sin
α＝，则sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－m.故选B．
4．设f(α)＝，则f的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D．f(α)＝
＝＝－.
所以f＝－＝－＝－.
5．已知tan＝，则tan＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选B．因为tan＝
tan＝－tan，
所以tan＝－.
6．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．
解析：因为sin(π－α)＝sin
α＝log8＝－，所以tan(2π－α)＝－tan
α＝－＝－＝.
答案：
7．下列三角函数值：
①sin；②sin；
③sin，其中n∈N.
其中与sin数值相同的序号是________．
解析：①sin＝
②sin＝sin；
③sin＝sin.
故②③正确．
答案：②③
8．当θ＝时，(k∈Z)的值等于________．
解析：原式＝＝－.
当θ＝时，原式＝－＝2.
答案：2
9．求下列三角函数式的值：
(1)sin(－330°)·cos
210°；
(2)sin(－1
200°)·tan(－30°)－cos
585°·tan(－1
665°)．
解：(1)sin(－330°)·cos
210°＝sin(30°－360°)·cos(180°＋30°)
＝sin
30°·(－cos
30°)＝×＝－.
(2)sin(－1
200°)·tan(－30°)－cos
585°·tan(－1
665°)
＝－sin
1
200°·－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)
＝sin(1
080°＋120°)－cos
135°·tan(－45°)
＝－×(－1)＝.
10．化简下列各式：
(1)(k∈Z)；
(2).
解：(1)当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
(2)原式＝
＝
＝＝.
[B 能力提升]
1．已知tan(3π－α)＝2，则的值为________．
解析：因为tan(3π－α)＝2，所以tan
α＝－2，原式可化为＝＝＝.
答案：
2．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2
018)＝2，则f(2
019)＝________．
解析：因为f(2
018)＝asin(2
018π＋α)＋
bcos(2
018π＋β)＝2，所以f(2
019)
＝asin(2
019π＋α)＋bcos(2
019π＋β)
＝asin[π＋(2
018π＋α)]＋bcos[π＋(2
018π＋β)]＝
－[asin(2
018π＋α)＋bcos(2
018π＋β)]
＝－2.
答案：－2
3．计算下列各式的值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin
420°cos
330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝
＋
＝
＋
＝
＋＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)
＝sin
60°cos
30°＋sin
30°cos
60°
＝×＋×＝1.
4．(选做题)已知tan＝a.
求证：＝.
证明：＝
＝
＝
＝＝.
PAGE
11．2.2 同角三角函数关系
1.理解同角三角函数的两种基本关系． 2.了解同角三角函数的基本关系的常见变形形式．
3．学会应用同角三角函数的基本关系化简、求值与证明．
同角三角函数的基本关系式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin24α＋cos24α＝1都成立．( )
(2)对任意角α，＝tan
都成立．( )
(3)对任意的角α，β有sin2α＋cos2β＝1.( )
(4)sin2α与sin
α2所表达的意义相同．( )
解析：(1)正确．当角α∈R时，sin24α＋cos24α＝1都成立，所以正确．
(2)错误．当＝kπ＋，k∈Z，即α＝2kπ＋π，k∈Z时，tan
没意义，故＝tan
不成立，所以错误．
(3)错误．当α＝，β＝0时，sin2α＋cos2β≠1，故此说法是错误的．
(4)错误．sin2α是(sin
α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin
α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．已知α∈，sin
α＝，则cos
α等于( )
A．
B．－
C．－
D．
答案：B
3．化简：(1＋tan2
α)·cos2
α等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：C
4．已知tan
α＝1，则＝________．
解析：原式＝＝＝.
答案：
已知一个三角函数值求其他三角函数值
已知cos
α＝－，求sin
α，tan
α的值．
【解】 因为cos
α<0且cos
α≠－1，
所以α是第二或第三象限角．
所以当α为第二象限角时，
sin
α＝＝＝，
tan
α＝＝－.
当α为第三象限角时，
sin
α＝－＝－＝
－，tan
α＝＝.
已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论．
1.(1)已知α是第二象限角，且tan
α＝－，则cos
α＝________．
(2)已知sin
θ＝a(a≠0)，且tan
θ>0，求cos
θ、tan
θ.
解：(1)因为α是第二象限角，
故sin
α＞0，cos
α＜0，
又tan
α＝－，
所以＝－，
又sin2α＋cos2α＝1，解得cos
α＝－.故填－.
(2)因为tan
θ＞0，则θ在第一、三象限，所以a≠±1.
①若θ在第一象限，sin
θ＝a＞0，且a≠1时，
cos
θ＝＝
.
所以tan
θ＝＝
.
②若θ在第三象限，sin
θ＝a＜0，且a≠－1时，
cos
θ＝－＝－.
所以tan
θ＝＝－
.
利用同角三角函数关系化简
化简下列各式：
(1)；
(2)
＋
，其中sin
αtan
α＜0.
【解】 (1)
＝
＝＝＝－1.
(2)由于sin
αtan
α＜0，则sin
α，tan
α异号，
所以α是第二、三象限角，所以cos
α＜0.
所以
＋
＝
＋
＝＋
＝＝－.
(1)三角函数式的化简过程中常用的方法
①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
②对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
(2)对三角函数式化简的原则
①使三角函数式的次数尽量低．
②使式中的项数尽量少．
③使三角函数的种类尽量少．
④使式中的分母尽量不含有三角函数．
⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号．
⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.
2.化简：.
解：原式＝
＝
＝＝.
利用同角三角函数关系式证明
求证：(1)1＋tan2α＝；
(2)＝.
【证明】 证明：(1)因为1＋tan2α＝1＋＝
＝，
所以原式成立．
(2)法一：由sin
α≠0知，cos
α≠－1，
所以1＋cos
α≠0.
于是左边＝
＝
＝＝＝右边．
所以原式成立．
法二：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α，
即sin2α＝(1－cos
α)(1＋cos
α)．
因为1－cos
α≠0，sin
α≠0，
所以＝.
证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
3.(1)求证：＝.
(2)求证：＝.
证明：(1)左边＝
＝
＝＝＝右边．
所以原式成立．
(2)因为右边＝
＝
＝
＝
＝
＝左边，
所以原等式成立．
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.
2．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan
90°＝不成立．
3．注意公式的变形，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin
α＝cos
αtan
α，cos
α＝等．
4．在应用平方关系式求sin
α或cos
α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．
已知sin
α＋cos
α＝，其中0＜α＜π，求sin
α－cos
α的值．
【解】 因为sin
α＋cos
α＝，所以(sin
α＋cos
α)2＝，
可得：sin
α·cos
α＝－.
因为0＜α＜π，且sin
α·cos
α＜0，?
所以sin
α＞0，cos
α＜0.所以sin
α－cos
α＞0，?
又(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，
所以sin
α－cos
α＝.?
(1)在?处得到sin
α·cos
α＜0，为判断sin
α，cos
α的具体符号提供了条件，是解答本题的关键；若没有判断出?处的关系式，则下一步利用平方关系求解sin
α－cos
α的值时，可能会出现两个，是解答本题的易失分点；若前边的符号问题都正确，但在?处书写不正确，没有考虑前面的符号而出现sin
α－cos
α＝±，则是解答本题的又一易失分点．
(2)在解题过程中要充分利用题中的条件，判断出所求的三角函数式的符号．
1．已知sin
α＝，tan
α＝，则cos
α＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．因为tan
α＝，
所以cos
α＝＝＝.
2．化简：(1－cos
α)＝( )
A．sin
α
B．cos
α
C．1＋sin
α
D．1＋cos
α
解析：选A．(1－cos
α)＝
(1－cos
α)＝＝sin
α.
3．已知cos
θ＝，且＜θ＜2π，那么tan
θ的值为________．
解析：因为θ为第四象限角，
所以tan
θ＜0，
sin
θ＜0，sin
θ＝－＝－，
所以tan
θ＝＝－.
答案：－
4．已知tan
α＝，且α是第三象限角，求sin
α，cos
α的值．
解：由tan
α＝＝，得sin
α＝cos
α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，
即cos2α＝.
又α是第三象限角，
所以cos
α＝－，sin
α＝－.
[学生用书P83(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若cos
α＝，则(1＋sin
α)(1－sin
α)等于( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．原式＝1－sin2α＝cos2α＝，故选B．
2．若α是第四象限角，tan
α＝－，则sin
α＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D．因为tan
α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sin
α＝±.
因为α是第四象限角，所以sin
α＝－.
3．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sin
θcos
θ的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选A．由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，所以sin2θcos2θ＝.因为θ是第三象限角，所以sin
θ<0，cos
θ<0，所以sin
θcos
θ＝.
4．如果tan
θ＝2，那么1＋sin
θcos
θ＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选B．法一：1＋sin
θcos
θ＝
＝
＝，
又tan
θ＝2，
所以1＋sin
θcos
θ＝＝.
法二：tan
θ＝2，即sin
θ＝2cos
θ，
又sin2θ＋cos2θ＝1，
所以(2cos
θ)2＋cos2θ＝1，
所以cos2
θ＝.
又tan
θ＝2>0，所以θ为第一或第三象限角．
当θ为第一象限角时，cos
θ＝，
此时sin
θ＝＝，
则1＋sin
θcos
θ＝1＋×＝；
当θ为第三象限角时，cos
θ＝－，
此时sin
θ＝－＝－，
则1＋sin
θcos
θ＝1＋(－)×(－)＝.
5．若cos
α＋2sin
α＝－，则tan
α＝( )
A．
B．2
C．－
D．－2
解析：选B．由得(sin
α＋2)2＝0.
所以sin
α＝－，cos
α＝－.
所以tan
α＝2.
6．已知tan
α＝m，则sin
α＝________．
解析：因为tan
α＝m，所以＝m2，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝.
又因为π＜α＜，所以tan
α＞0，即m＞0.
因而sin
α＝－
.
答案：－
7．已知＝2，则sin
αcos
α的值为________．
解析：由＝2，等式左边的分子分母同除以cos
α，得＝2，所以tan
α＝－3，所以sin
αcos
α＝＝＝－.
答案：－
8．已知α是第二象限角，则＋＝________．
解析：因为α是第二象限角，
所以sin
α＞0，cos
α＜0，
所以＋＝＋＝－1.
答案：－1
9．化简：－.
解：原式＝－
＝－
＝＝sin
x＋cos
x.
10．已知tan
α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α－3sin
αcos
α＋1.
解：(1)因为tan
α＝2，
所以cos
α≠0.
所以＝
＝＝.
(2)因为tan
α＝2，所以cos
α≠0.
所以sin2α－3sin
αcos
α＋1
＝sin2α－3sin
αcos
α＋(sin2α＋cos2α)
＝2sin2α－3sin
αcos
α＋cos2α
＝
＝
＝＝.
[B 能力提升]
1．若△ABC的内角A满足sin
Acos
A＝，则sin
A＋cos
A的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选A．因为A为△ABC的内角，且sin
Acos
A＝＞0，所以A为锐角，所以sin
A＋cos
A＞0.又1＋2sin
Acos
A＝1＋，即(sin
A＋cos
A)2＝，
所以sin
A＋cos
A＝.
2．已知tan
θ＝2，则sin2θ＋sin
θcos
θ－2cos2θ＝________．
解析：因为tan
θ＝2，
所以cos
θ≠0，
则原式可化为
＝
＝＝＝.
答案：
3．已知2sin
θ－cos
θ＝1，3cos
θ－2sin
θ＝a，记数a形成的集合为A，若x∈A，y∈A，则以点P(x，y)为顶点的平面图形是什么图形？
解：联立
解得
或
所以a＝3cos
θ－2sin
θ＝－3或，
即A＝.
因此，点P(x，y)可以是P1(－3，－3)，
P2，P3，
P4.
经分析知，这四个点构成一个正方形．
4．(选做题)已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别为sin
θ和cos
θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：由根与系数的关系，可得
(1)＋＝
＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.
(2)由①平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝.
又由②，得＝，所以m＝，
由③，得m≤，
所以m＝符合题意；
(3)当m＝时，原方程变为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝或.
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11．2.1 任意角的三角函数
1.理解任意角的三角函数的定义． 2.了解三角函数线的意义． 3.熟记一些特殊角的三角函数值及各象限角的三角函数值的符号，掌握用定义求角的三角函数值的方法．
1．任意角的三角函数定义
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝＞0)，则
(1)比值叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝.
(2)比值叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝.
(3)比值(x≠0)叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝.
sin
α，cos
α，tan
α分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
即第一象限的三角函数值的符号全为正，第二象限正弦值为正，其余为负，第三象限正切值为正，其余为负，第四象限余弦值为正，其余为负．简记为：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．一些特殊角的三角函数值需要记住，这对平时的学习很有帮助．如下表：
α的角度数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
270°
360°
角α的弧度数
0
π
2π
sin
α
0
1
0
－1
0
cos
α
1
0
－
－
－1
0
1
tan
α
0
1
不存在
－
－
0
不存在
0
4.有向线段与三角函数线
(1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段．
(2)有向直线：规定了正方向的直线．
(3)有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行．根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB．
(4)三角函数线：
温馨提示：三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin
α＞0，则角α的终边在第一或第二象限．( )
(2)若sin
α＝sin
β，则α＝β.( )
(3)若α是三角形的内角，则sin
α＞0.( )
(4)具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．( )
解析：(1)错误．因为sin
α＞0，所以角α的终边还有可能在y轴的非负半轴上．
(2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，
如sin
60°＝sin
120°，但60°≠120°.
(3)正确．因为三角形的内角在(0，π)之间，所以sin
α＞0.
(4)正确．根据正切线的作法知，正切线相同的两个角的终边在同一条直线上．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin
α＋cos
α＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选B．因为sin
α＝y＝－，cos
α＝x＝，
所以sin
α＋cos
α＝－＋＝－.
3．已知sin
α＝，cos
α＝－，则角α所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：B
4．若sin
θ＜cos
θ，且sin
θ·cos
θ＜0，则θ是第________象限角．
解析：由条件可知：cos
θ＞0＞sin
θ，则θ为第四象限角．
答案：四
用三角函数的定义求三角函数值
已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin
α，cos
α的值．
【解】 设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为
P(x0，y0)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝2x0，,x＋y＝1，,x0≥0，))
解得即P，
所以sin
α＝y0＝，cos
α＝x0＝.
本例中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解：(1)若α终边在第一象限内，解答过程同本例．
(2)若α终边在第三象限内，设点P(a，2a)(a＜0)是其终边上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝－a(a＜0)，
所以sin
α＝＝＝－，
cos
α＝＝＝－.
综上可知，sin
α＝±，
cos
α＝±.
(1)利用定义求三角函数值的关键是确定角的终边上任一点的坐标及该点到原点的距离．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
1.已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解：由已知可得：
OP0＝＝5.
sin
α＝＝＝－；
cos
α＝＝＝－；
tan
α＝＝＝.
三角函数值符号的判定
(1)确定下列三角函数值的符号．
①cos(－250°);
②sin
；
③tan
245°.
(2)若sin
θtan
θ＜0，试确定θ所在象限．
【解】 (1)①因为－250°是第二象限角，
所以cos(－250°)＜0；
②因为是第三象限角，所以sin
＜0；
③因为245°是第三象限角，
所以tan
245°＞0.
(2)因为sin
θtan
θ＜0，
所以sin
θ＞0，tan
θ＜0或sin
θ＜0，tan
θ＞0.
当sin
θ＞0，tan
θ＜0时，θ是第二象限角；
当sin
θ＜0，tan
θ＞0时，θ是第三象限角．
综上所述，θ是第二或第三象限角．
(1)对于用已知角α的终边所在象限来判断角α的相应函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来处理．
(2)由三角函数值的符号确定角α的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
2.已知cos
α＜0，tan
α＜0.
(1)求角α的集合；
(2)试判断sin，cos，tan的符号．
解：(1)因为cos
α＜0，
所以角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
因为tan
α＜0，所以角α的终边可能位于第二或第四象限．
所以角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为
.
(2)因为＋2kπ＜α＜π＋2kπ(k∈Z)，
所以＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)，
所以是第一象限角．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ＜＜π＋2nπ(n∈Z)，
所以是第三象限角．
综上所述，角的终边落在第一象限或第三象限．
当是第一象限角时，sin＞0，cos＞0，tan＞0；
当是第三象限角时，sin＜0，cos＜0，tan＞0.
三角函数线的简单应用
(1)函数y＝的定义域为________．
(2)求函数y＝lg(1－cos
x)＋的定义域．
【解】 (1)要使有意义，则必须满足2sin
x＋1≥0，即sin
x≥－，结合三角函数线(如图所示)知x的取值范围是－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
故填(k∈Z)．
(2)要使函数有意义，
则所以－≤cos
x＜，
如图所示，
所以x∈∪
(k∈Z)．
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围．
(2)在应用三角函数线时，可根据这样一句话来理解：角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值，写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求．
3.求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(1－4cos2x)．
解：(1)如图所示，
因为2sin
x－≥0，所以sin
x≥，
所以x∈(k∈Z)．
即所求定义域为
.
(2)如图所示，
因为1－4cos2x>0，
所以cos2x<，
所以－x<，
所以x∈∪
(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)．
即所求定义域为
.
1．任意角三角函数的定义
(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．
(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)在终边上的位置无关，而由角α的终边位置决定．
(3)要明确sin
α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
2．三角函数线
(1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值．
(2)三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒．为此，我们规定凡由原点出发的线段，以原点为起点；不从原点出发的线段，以三角函数线与坐标轴的交点为起点．
(3)三角函数线的画法：
①作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
②作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.
(4)三角函数线的主要作用：
①解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小．
②是以后学习三角函数图象与性质的基础．
已知sin＝，cos＝－，试确定θ是第几象限角．
【解】 由已知易得是第二象限角．
因为sin＝＜＝sinπ，结合三角函数线得2kπ＋＜＜2kπ＋π(k∈Z)，所以4kπ＋＜θ＜4kπ＋2π(k∈Z)，所以θ是第四象限角．
(1)由sin＝，cos＝－，知是第二象限角，忽略给出了具体函数值这一隐含着范围的条件，没有进一步缩小的范围而出错．故而得出错误结果θ是第三象限角或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．
(2)确定角的范围，不仅要结合正、余弦函数值的符号，还要结合角的具体函数值缩小角的范围．
1．若cos
α＝－，且角α的终边经过点P(x，2)，则P点的横坐标x是( )
A．2
B．±2
C．－2
D．－2
解析：选D．r＝，由题意得＝－，所以x＝－2.故选D．
2．若角α是第三象限角，则点P(2，sin
α)所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D．由α是第三象限角知，sin
α<0，因此P(2，sin
α)在第四象限，故选D．
3．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos
α＝－，则x的值为________．
解析：P(－x，－6)，设OP＝r，
则r＝，
所以cos
α＝＝
.
而cos
α＝－，
所以＝－，解得x＝.
答案：
4．若点P在角的终边上，且OP＝2，则点P的坐标是________．
解析：由三角函数定义知点P坐标为，即(－1，)．
答案：(－1，)
[学生用书P81(单独成册)])
[A 基础达标]
1．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选A．因为tan
60°＝，所以＝，故选A．
2．如果α的终边过点(2sin
30°，－2cos
30°)，那么sin
α＝( )
A．
B．－
C．
D．－
解析：选D．依题意可知点(2sin
30°，－2cos
30°)即(1，－)，则r＝＝2，
因此sin
α＝＝－.
3．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPB．OM>0>MP
C．OMD．MP>0>OM
解析：选D．因为是第二象限角，
所以sin>0，cos<0，
所以MP>0，OM<0，
所以MP>0>OM.
4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cos
α＝－，则m＝( )
A．8
B．－8
C．4
D．－4
解析：选B．由题意得r＝|OP|＝＝，故cos
α＝＝－，解得m＝－8.
5．函数y＝＋＋的值域是( )
A．{－1，0，1，3}
B．{－1，0，3}
C．{－1，3}
D．{－1，1}
解析：选C．当x是第一象限角时，y＝3；
当x是第二象限角时，y＝－1；
当x是第三象限角时，y＝－1；
当x是第四象限角时，y＝－1.
故函数y＝＋＋的值域是{－1，3}．
6．已知角α的终边在直线y＝－2x上，则sin
α＋cos
α的值为________．
解析：设角α的终边上任一点P(k，－2k)(k≠0)，
则r＝＝＝|k|.
当k>0时，r＝|k|＝k，
所以sin
α＝＝＝－，
cos
α＝＝＝，
所以sin
α＋cos
α＝－；
当k<0时，
r＝|k|＝－k，
所以sin
α＝＝＝，
cos
α＝＝＝－，
所以sin
α＋cos
α＝.
综上所述，可得sin
α＋cos
α＝±.
答案：±
7．若A是第三象限角，且＝－sin，则是第________象限角．
解析：因为A是第三象限角，
所以2kπ＋π＜A＜2kπ＋(k∈Z)，
所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，
所以是第二、四象限角．
又因为＝－sin，
所以sin＜0，所以是第四象限角．
答案：四
8．若－＜α＜－，则sin
α，cos
α，tan
α的大小关系是________．
解析：如图，在单位圆中，作出－＜α＜－内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．由图知，有向线段MP＜OM＜AT，即sin
α＜cos
α＜tan
α.
答案：sin
α＜cos
α＜tan
α.
9．已知角α的终边与函数y＝x的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值．
解：函数y＝x的图象是过原点和第一、三象限的直线，
因此α的终边在第一或第三象限．
当α的终边在第一象限时，在终边上取点P(2，3)，则r＝＝，于是sin
α＝＝，cos
α＝＝，tan
α＝；
当α的终边在第三象限时，在终边上取点P′(－2，－3)，则r′＝＝，于是sin
α＝－＝－，cos
α＝－＝－，tan
α＝＝.
10．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝lg(sin
2x)＋.
解：(1)要使函数有意义，则tan
x有意义且
sin
x≠0.
由tan
x有意义，得x≠＋kπ(k∈Z)，①
由sin
x≠0，得x≠kπ(k∈Z)，②
由①②，得x≠(k∈Z)．
故原函数的定义域为.
(2)要使函数有意义，则sin
x·tan
x≥0，有sin
x和tan
x同号或sin
x＝0或tan
x＝0.
当sin
x与tan
x同正，则x为第一象限角，即2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)．当sin
x与tan
x同负，则x为第四象限角，即－＋2kπ＜x＜2kπ(k∈Z)．当sin
x＝0或tan
x＝0，则x＝kπ(k∈Z)．故原函数的定义域为
{x
或x＝(2k＋1)π，k∈Z}．
(3)要使函数有意义，则
由①，得2kπ＜2x＜π＋2kπ(k∈Z)，
即kπ＜x＜＋kπ(k∈Z)．
由②，得－3≤x≤3.
故原函数的定义域为
.
[B 能力提升]
1．已知α是第三象限角，且cos>0，则的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D．由α是第三象限角知：2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)．
所以kπ＋<因此，当k是偶数时，是第二象限角；
当k是奇数时，是第四象限角．
又cos
>0，
因此是第四象限角，
故选D．
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析：因为点P(tan
α，cos
α)在第三象限，所以tan
α＜0，cos
α＜0，所以角α的终边在第二象限．
答案：二
3．若已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos
θ＝x，问能否求出sin
θ，cos
θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
解：由题意，得r＝OP＝，
则cos
θ＝＝
.
因为cos
θ＝x，
所以＝x.
因为x≠0，所以x＝1或x＝－1.
当x＝1时，点P的坐标为(1，3)，角θ为第一象限角，此时，sin
θ＝＝，cos
θ＝；
当x＝－1时，点P的坐标为(－1，3)，角θ为第二象限角，此时，sin
θ＝，cos
θ＝－.
4．(选做题)若0<α<β<，试比较β－sin
β与α－sin
α的大小．
解：如图，在单位圆中，
sin
α＝MP，sin
β＝NQ，弧的长为α，弧的长为β，则弧的长为β－α.
过P作PR⊥QN于R，
连结PQ，则MP＝NR.
所以RQ＝sin
β－sin
α所以β－sin
β>α－sin
α.
PAGE
11．1.2 弧度制
1.了解弧度制的意义． 2.能正确的将弧度与角度互化． 3.掌握弧长公式和扇形面积公式．
1．角度制
规定周角的为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
2．弧度制
(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1
rad．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．
(2)弧度数
①正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．
②角α的弧度数的绝对值|α|＝(其中l是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r为圆半径)．
3．角度与弧度之间的互化及关系
(1)度化弧度：360°＝2π
rad，180°＝π
rad，1°＝
rad≈0.017
45
rad.
(2)弧度化度：2π
rad＝360°，π
rad＝180°，1
rad＝≈57.30°.
4．扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式：l＝|α|·r，(r为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝，r＝.
(2)面积公式：S扇形＝l·r(r为扇形半径，l为扇形的弧长)，两个变形：S扇形＝|α|·r2，S扇形＝(α为扇形圆心角的弧度数)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度指的是1度的角．( )
(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )
解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角．
(2)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝，故其圆心角是直角．
答案：(1)× (2)√
2.弧度化为角度是( )
A．278°
B．280°
C．288°
D．318°
答案：C
3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是( )
A．
B．π
C．
D．
答案：C
4．(1)18°＝________rad；(2)π＝________．
答案：(1) (2)54°
角度与弧度的互化
(1)将下列各角度化成弧度：
①1
080°，②－750°；
(2)将下列各弧度化成角度：
①－，②.
【解】 (1)①1
080°＝1
080×
rad＝6π
rad，
②－750°＝－750×
rad＝－
rad.
(2)①－
rad＝－×＝－140°，
②
rad＝×＝.
角度制与弧度制的互化原则
(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．
(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×＝.
1.将下列角度与弧度进行互化．
①20°＝________；
②－15°＝________；
③－π＝________．
解析：①20°＝20×＝.
②－15°＝－15×＝－.
③－π＝－π×＝－396°.
答案： － －396°
终边相同的角和区域角的弧度制表示
(1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来
，并指出它们各自所在的象限；
(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－
是不是第二象限角．
【解】 (1)因为－570°＝－＝－4π＋，
750°＝＝4π＋.
所以α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈.
所以终边落在第二象限的所有角可表示为
，
而－＝－4π＋∈，
所以－是第二象限角．
熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k值．
[注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2kπ－60°(k∈Z)这种写法是不正确的．
2.(1)在区间(0，2π)内，与－终边相同的角是( )
A．
B．
C．
D．
(2)①把－1
480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与角终边相同的角．
解：(1)选D．因为－＝－8π＋，
则－与终边相同，选D．
(2)①因为－1
480°＝－1
480×
rad
＝－π
rad，
又－π＝－10π＋π，
其中α＝π，所以－1
480°＝π－10π.
②终边与角相同的角为θ＝＋2kπ(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝；
当k＝1时，θ＝，
所以在[0，4π]中与角终边相同的角为，.
弧长与扇形面积公式的应用
已知一扇形的圆心角是α，半径是r.
(1)若α＝60°，r＝10
cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？
【解】 (1)设弧长为l，弓形的面积为S弓．
因为α＝60°＝，r＝10
cm，
所以l＝αr＝π(cm)，
所以S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102＝
50(cm2)．
(2)由已知2r＋l＝c，所以r＝(l所以S＝rl＝··l＝(cl－l2)
＝－＋，
所以当l＝时，Smax＝，
此时α＝＝＝2，
所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值.
(1)求扇形的弧长和面积
①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lr＝αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．
②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
(2)扇形周长及面积的最值问题
①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.
②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.
3.(1)在半径为12
cm的圆上，有一条弧的长是18
cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．
(2)已知一扇形的周长为40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则
α＝＝＝(rad)，该扇形面积为S＝lr＝×18×12＝108(cm2)．
(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，
所以l＝40－2r，
所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100.
所以当半径r＝10
cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100
cm2，这时θ＝＝＝2
rad.
“度”与“弧度”的区别与联系
区别
(1)定义不同(2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制
联系
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形圆心角的弧度数．
【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，
依题意有
①代入②得r2－5r＋4＝0，
解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1
cm时，l＝8
cm，
此时θ＝8
rad>2π
rad(舍去)；
当r＝4
cm时，l＝2
cm，
此时θ＝＝(rad)．
有关扇形的弧长l，圆心角α，面积S的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l＝|α|r，S＝lr＝|α|r2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．
1．1
920°转化为弧度数为( )
A．
B．
C．π
D．π
解析：选D．因为1°＝，
所以1
920°＝1
920·＝.
2．在半径为8
cm的圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A．π
cm
B．π
cm
C．π
cm
D．π
cm
解析：选A．根据弧长公式，得l＝×8＝
(cm)．
3．一钟表的分针长为5
cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm.
解析：经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×＝－π，则l＝|α|r＝5×π＝π(cm)．
答案：π
[学生用书P79(单独成册)])
[A 基础达标]
1.对应的角度为( )
A．75°
B．125°
C．135°
D．155°
解析：选C．由于1
rad＝°，
所以＝π×°＝135°，
故选C．
2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选D．150°＝150×＝，故与150°角终边相同的角的集合为
.
3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )
A．
B．
C．
D．
解析：选C．设圆内接正方形的边长为a，则该圆的直径为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角α＝＝＝，故选C．
4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A．
π
B．－π
C．
π
D．－π
解析：选B．显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的圆心角大小不变
B．扇形的圆心角增大到原来的2倍
C．扇形的圆心角增大到原来的4倍
D．扇形的圆心角减小到原来的一半
解析：选A．设扇形原来的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则变化后半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，所以α＝，β＝＝＝α，即扇形的圆心角大小不变．
6．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．
解析：A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，
所以A＝＝，
B＝＝，C＝.
答案：，，
7．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20
min所走的圆弧长是
m，则这座大钟分针的长度为________
m.
解析：因为分针20
min转过的角为－，所以由l＝|α|r，
得r＝＝＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5
m.
答案：0.5
8．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2
km，一列火车用30
km/h的速度通过，10
s内转过的弧度为________．
解析：10
s内列车转过的圆形弧长为×30＝(km)．
转过的角α＝＝(弧度)．
答案：
9．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？
解：设弧长为l，所对圆心角为α，则l＋2r＝πr，
即l＝(π－2)r.
因为|α|＝＝π－2，
所以α的弧度数是π－2，
从而S扇形＝lr＝(π－2)r2.
10．设集合A＝，
B＝{x|x2≤36}，试求集合A∩B．
解：由集合A＝
，
可知A＝…∪∪
∪∪
∪∪….由B＝{x|x2≤36}，可得B＝{x|－6≤x≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．
可得集合A∩B＝∪
∪∪
∪.
[B 能力提升]
1．设角α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以OP2为终边的角的集合是( )
A．{β|β＝k·2π＋α，k∈Z}
B．{β|β＝(2k＋1)·π＋α，k∈Z}
C．{β|β＝k·2π＋＋α，k∈Z}
D．{β|β＝k·2π＋π＋α，k∈Z}
解析：选C．依题意，射线OP1所对应的角γ满足α＋γ＝k1·2π＋π，k1∈Z，① 射线OP2所对应的角β满足γ＋β＝k2·2π－，k2∈Z，②
②－①得β－α＝(k2－k1)·2π－π，即β＝k·2π＋＋α，k∈Z.
2．如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，则
(1)P，Q第一次相遇时所用的时间为________．
(2)P，Q点各自走过的弧长为________，________．
解析：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒，
则t·＋t·＝2π，
解得t＝4.
所以第一次相遇时所用的时间是4秒，
第一次相遇时点P已经运动到角·4＝π的终边与圆的交点位置，点Q已经运动到角－的终边与圆的交点位置，所以点P走过的弧长为π×4＝π，
点Q走过的弧长为×4＝π×4＝π.
答案：(1)4秒 (2)π π
3．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)因为120°＝π＝π，
所以l＝|α|·r＝6×π＝4π，
所以的长为4π.
(2)因为S扇形OAB＝
lr＝×4π×6＝12π，
如图所示有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cos
30°×3＝9.(D为AB中点)
所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
4．(选做题)将一条绳索绕在半径为40
cm的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B的位置向上提升100
cm，那么需要多长时间才能完成？
解：如图，设将物体向上提升100
cm，需要的时间为t
s.
当BB′＝100
cm时，
的长是100
cm，所对的圆心角∠AOA′＝＝(rad)．
因为轮子每分钟匀速旋转6圈，
所以每秒匀速转过＝(rad)．
于是t
s转过t
rad，
所以t＝，
得t＝≈4(s)．
PAGE
11．1.1 任意角
1.了解角的定义． 2.理解任意角、象限角的概念． 3.掌握终边相同的角的表示方法．
1．角的概念
(1)角的定义：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边(如图)．
(2)正角、负角和零角
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．
(3)象限角和轴线角
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角．
2．终边相同的角的关系
(1)角β与角α终边相同?β＝k·360°＋α，k∈Z.
(2)与角α终边相同的角的集合为：{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)第一象限角都是锐角．( )
(2)钝角是第二象限的角．( )
解析：(1)错误．如－330°是第一象限角，但它是一个负角．
(2)正确．钝角是大于90°且小于180°的角，所以是第二象限的角．
答案：(1)× (2)√
2．2
020°是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：C
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析：选A．由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．
答案：－25° 395°
角的概念的推广
下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中正确的结论为________(填序号)．
【解析】 ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正确；
④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
【答案】 ②
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
1.(1)下列说法正确的是________．(填序号)
①零角的始边和终边重合；
②始边和终边重合的角是零角；
③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°；
④绝对值最小的角是零角．
(2)如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．
解析：(1)根据角的概念可知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．
(2)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°.
答案：(1)①③④ (2)60°
终边相同的角
(1)已知α＝－1
910°.
①把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
②求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
(2)在与角10
030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
①最大的负角；
②[360°，720°)的角．
【解】 (1)①因为－1
910°÷360°＝－6余250°，
所以－1
910°＝－6×360°＋250°，
所以β＝250°，
从而α＝－6×360°＋250°是第三象限角．
②令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到适合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
(2)①与10
030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10
030°(k∈Z)，由－360°030°<0°，得－10
390°030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
②由360°≤k·360°＋10
030°<720°，得－9
670°≤k·360°<－9
310°，解得k＝－26，
故所求的角为β＝670°.
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同的角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；
②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；
③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
2.写出终边落在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．
解：由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
所以S中适合－360°≤β＜720°的元素是
－2×180°＋135°＝－225°；－1×180°＋135°＝－45°；
0×180°＋135°＝135°；1×180°＋135°＝315°；
2×180°＋135°＝495°；3×180°＋135°＝675°.
区域角的表示
已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}．
(1)试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；
(2)求A∩B．
【解】 (1)如图所示：
集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内，
集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内．
(2)集合A∩B中的角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内，
所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°，k∈Z}．
区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的－360°到360°范围内的角α、β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；
(3)再加上起始、终止边界对应角α、β出现的k倍的周期，即得区域角集合．
3.如图(1)、图(2)、图(3)所示，写出终边落在阴影处(包括边界)的角的集合．
解：(1)由图(1)可知，角的集合为
{α|－40°＋k×360°≤α≤50°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图(2)可知，角的集合为
{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}∪{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
(3)由图(3)可知，角的集合为
{α|60°＋k×360°≤α≤315°＋k×360°，k∈Z}．
1．角的三个要素
顶点、始边、终边．角可以是任意大小的．
2．各象限角的表示
第一象限角：S＝{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限角：S＝{α|90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限角：S＝{α|180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限角：S＝{α|270°＋k·360°＜α＜360°＋k·360°，k∈Z}．
3．对终边相同的角及集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解
(1)k是整数，这个条件不能漏掉．
(2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)．
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
下列说法中正确的序号是________．
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②第二象限角必是钝角；
③不相等的角终边一定不相同；
④若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α和β终边相同．
【解析】 90°的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；460°的角是第二象限角，但它不是钝角；390°角和30°角不相等，但终边相同，故①，②，③均不正确．对于④，由终边相同的角的概念可知正确．
【答案】 ④
(1)若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限．若忽视此点，则易错填①.
(2)解决好此类问题应注意以下三点：
①弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容；
②弄清钝角和象限角的区别；
③对角的认识不能仅仅局限于0°～360°.
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )
A．45°
B．90°
C．180°
D．270°
解析：选B．根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
2．下列各角中与330°角终边相同的角是( )
A．510°
B．150°
C．－150°
D．－390°
解析：选D．－390°＝330°－720°，所以与330°角终边相同的角是－390°.
3．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°.
解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，
所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，
所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
[学生用书P77(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列角的终边位于第二象限的是( )
A．420°
B．860°
C．1
060°
D．1
260°
解析：选B．420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；
860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；
1
060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；
1
260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B．
2．与1
303°终边相同的角是( )
A．763°
B．493°
C．－137°
D．－47°
解析：选C．因为1
303°＝4×360°－137°，
所以与1
303°终边相同的角是－137°.
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
解析：选C．令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
解析：选C．特例法，取α＝30°，可知C正确．故选C．
5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上
B．x轴的非正半轴上
C．x轴上
D．y轴的非负半轴上
解析：选A．因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上．
6．设集合M＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，N＝{α|－180°＜α＜180°}，则M∩N等于________．
解析：当k＝0时，
α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°；
当k＝－1时，α＝－126°.
所以M∩N＝{－36°，54°，－126°，144°}．
答案：{－36°，54°，－126°，144°}
7．如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么角α与角β的关系为________．
解析：由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，
β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．
将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°，即α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)．
答案：α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
8.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是______________．
解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，－1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．
答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {－45°，315°}
9．在[0°，360°)范围内，找出与－1
240°角终边相同的角，并判断它是第几象限角．
解：因为－1
240°＝－4×360°＋200°，所以在[0°，360°)范围内与－1
240°角终边相同的角是200°角．又200°角是第三象限角，所以－1
240°角也是第三象限角．
10．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：(1)因为角β的终边在直线x－y＝0上，且直线x－y＝0的倾斜角为60°，
所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．
(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，
取k＝－2，得β＝－300°，
取k＝－1，得β＝－120°，
取k＝0，得β＝60°，
取k＝1，得β＝240°，
取k＝2，得β＝420°，
取k＝3，得β＝600°.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.
[B 能力提升]
1．若α是第二象限角，那么和2α都不是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：选B．由α是第二象限角可知是第一或第三象限角，2α是第三或第四象限角，所以和2α都不是第二象限角．
2．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．
解析：大链轮转动一周，小链轮转＝2.4周，角度为2.4×360°＝864°.
答案：864°
3．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．
(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
(3)求A∩B．
解：(1)角α终边所在区域为如图所示阴影部分(不含边界)．
(2)角β终边所在区域为如图所示阴影部分(不含边界)．
(3)由(1)(2)知A∩B＝{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋55°，k∈Z}．
4.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1
s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2
s到达第三象限，经过14
s后又回到出发点A，求角θ并判定其终边所在的象限．
解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，
则θ＝，k∈Z.又180°<2θ＋45°<270°，
即67.5°<θ<112.5°，
则67.5°<<112.5°，k∈Z，
所以k＝3或k＝4.故θ＝或θ＝.
易知0°<<90°，90°<<180°，
故角θ的终边在第一或第二象限．
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