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高中数学
苏教版
必修5
第1章 解三角形
1.1 正弦定理
2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1正弦定理课件+学案(6份打包)苏教版必修5
文档属性
名称
2019_2020学年高中数学第1章解三角形1.1正弦定理课件+学案(6份打包)苏教版必修5
格式
zip
文件大小
11.3MB
资源类型
教案
版本资源
苏教版
科目
数学
更新时间
2020-06-29 21:25:42
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文档简介
(共30张PPT)
第1章 解三角形
第1章 解三角形
本部分内容讲解结束
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第1章
DIYI
ZHANG
解三角形
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破1.1 正弦定理(1)
1.了解正弦定理的推理过程. 2.理解正弦定理及其变形的基本应用. 3.掌握运用正弦定理解斜三角形.
4.会用正弦定理判断三角形的形状.
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等,即:===2R(a,b,c分别表示△ABC中角A、B、C所对边的长,R为△ABC的外接圆半径).
2.解三角形
(1)把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
3.正弦定理的变形公式
设△ABC的外接圆的半径为R,则有
===2R.
(1)a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C;
(2)=,=,=;
(3)===;
(4)a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C.
1.判断下列关于正弦定理的命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正弦定理适用于任意三角形.( )
(2)在△ABC中,等式bsin
A=asin
B总能成立.( )
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则此三角形有唯一解.( )
解析:(1)正确.正弦定理适用于任意三角形.
(2)正确.由正弦定理知=,即bsin
A=asin
B.
(3)错误.在△ABC中,已知a,b,A,此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况,具体情况由a,b,A的值来定.
答案:(1)√ (2)√ (3)×
2.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=________.
解析:由正弦定理得=,
所以AC==2.
答案:2
3.在△ABC中,若a=3,b=,A=,则C的大小为________.
解析:由正弦定理得=,
所以sin
B=.又a>b,
所以A>B,
所以B=,所以C=π-=.
答案:
4.在△ABC中,若a∶b∶c=3∶4∶5,则=________.
解析:由条件得==,
所以sin
A=sin
C,
同理可得sin
B=sin
C.
所以==.
答案:
已知任意两角及一边解三角形[学生用书P1]
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos
A=,sin
B=,a=1,则b=________.
【解析】 因为A为△ABC的内角,
且cos
A=,
所以sin
A=,又a=1,sin
B=,
由正弦定理得b===×=.
【答案】
已知三角形的任意两角和一边解三角形的基本思路
(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求出第三边.
(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.
1.
在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.
解:根据三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°,
根据正弦定理得:
b====,
c===
==+1.
已知两边和其中一边的对角解三角形[学生用书P2]
在△ABC中,c=,C=,a=2,求A,B,b.
【解】 因为=,
所以sin
A===.
因为c>a,所以C>A.
所以A=,
所以B=π--=,
所以b===+1.
已知两边a,b及其中一边a的对角A,由正弦定理=,求另一边b的对角B,此对角B可有一解、两解或无解三种情况,其判断依据是大边对大角、小边对小角,然后再求角C,最后由正弦定理=,求第三边c.
2.
根据下列条件解三角形.
(1)a=2,b=,A=45°;
(2)a=5,b=2,B=120°.
解:(1)由=,
得sin
B====.
因为a>b,
所以A>B,
所以B为锐角,
所以B=30°,
所以C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°,
所以c==
==+1,
所以B=30°,C=105°,c=+1.
(2)由=,
得sin
A===>1,
因此A不存在,故此题无解.
利用正弦定理判定三角形的形状[学生用书P2]
在△ABC中,若sin
A=2sin
Bcos
C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.
【解】 法一:因为sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理得a2=b2+c2,所以A是直角,B+C=90°,
所以2sin
Bcos
C=2sin
Bcos(90°-B)=2sin2B=sin
A=1,
所以sin
B=.
因为0°
所以B=45°,C=45°,
所以△ABC是等腰直角三角形.
法二:因为sin2A=sin2B+sin2C,
所以a2=b2+c2,所以A是直角.
因为A=180°-(B+C),sin
A=2sin
Bcos
C,
所以sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=2sin
Bcos
C,
所以sin(B-C)=0.
又-90°
所以B-C=0,所以B=C,
所以△ABC是等腰直角三角形.
若将题设中的“sin
A=2sin
Bcos
C”改为“bsin
B=csin
C”,其他条件不变,试判断△ABC的形状.
解:由正弦定理===2R,
得sin
A=,sin
B=,sin
C=.
因为bsin
B=csin
C,sin2A=sin2B+sin2C,
所以b·=c·,=+,
所以b2=c2,a2=b2+c2,
所以b=c,A=90°.
所以△ABC为等腰直角三角形.
利用正弦定理判定三角形形状的两条途径
(1)化边为角:将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,进而确定三角形的形状.转化公式为a=2Rsin
A,b=2Rsin
B,c=2Rsin
C.
(2)化角为边:将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系,如a=b,a2+b2=c2等,进而确定三角形的形状.转化公式为sin
A=,sin
B=,sin
C=.
3.在△ABC中,已知3b=2asin
B,且cos
B=cos
C,角A是锐角,则△ABC的形状是________.
解析:由3b=2asin
B,
得=,
根据正弦定理=,
得=,即sin
A=.
又A是锐角,所以A=60°.
又cos
B=cos
C,且B,C都为三角形的内角,所以B=C.
故△ABC为等边三角形.
答案:等边三角形
1.对正弦定理的理解
(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦的连等式.
(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
2.三角形解的个数讨论
已知两边和其中一边的对角(已知a,b和A)解斜三角形,除了用前面讲过的数形结合方法判断解的个数外,还可以从代数的角度来考虑.由正弦定理求得sin
B=,再进行讨论:(1)若sin
B>1,则问题无解.(2)若sin
B=1,则B=;当a
B<1,当a≥b时,A≥B,则B为锐角,问题有唯一解;当a
在△ABC中,已知a=2,b=2,A=60°,则B=________.
[解析] 由正弦定理,得
sin
B=b=2×=.
因为0°<B<180°,
所以B=30°或150°.
又因为b<a,根据三角形中大边对大角可知B<A,
所以B=150°不符合条件,舍去.
所以B=30°.
[答案] 30°
(1)由sin
B=,得B=30°或150°,而忽视b=2<a=2,从而易出错.
(2)在△ABC中,已知两边和其中一边的对角解三角形时,可先用正弦定理求出另一边的对角,此时解的个数不确定,应注意讨论,再利用A+B+C=180°求得第三个角,进而求出第三边.
1.在△ABC中,若(sin
A+sin
B)(sin
A-sin
B)=sin2C,则△ABC是________三角形.
解析:由已知得sin2A-sin2B=sin2C,根据正弦定理知a2-b2=c2,故b2+c2=a2.所以△ABC是直角三角形.
答案:直角
2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=________.
解析:把A=,a=1,b=代入正弦定理,解得sin
B=.因为b>a,所以B>A,结合题意可知B=或.
答案:或
3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且A=30°,B=45°,a=2,则b=________.
解析:根据题意,由于A=30°,B=45°,a=2,则可知=,所以b===2,故可知b=2.
答案:2
, [学生用书P69(单独成册)])
[A 基础达标]
1.在△ABC中,a=7,c=5,则sin
A∶sin
C的值是________.
解析:由正弦定理得sin
A=,sin
C=,
所以sin
A∶sin
C=∶=a∶c=7∶5.
答案:7∶5
2.在△ABC中,A=30°,a=3,则△ABC的外接圆半径是________.
解析:△ABC的外接圆直径2R===6,
所以半径R为3.
答案:3
3.在△ABC中,sin
A∶sin
B∶sin
C=5∶6∶7,且三角形的周长为36,则其三边长分别为________.
解析:由正弦定理,可得a∶b∶c=5∶6∶7.从而a=10,b=12,c=14.
答案:10,12,14
4.在△ABC中,b=1,c=,C=,则a=__________.
解析:由正弦定理,得=,
所以sin
B=.
因为C为钝角,所以B必为锐角,所以B=,
所以A=π--=,
所以A=B,所以a=b=1.
答案:1
5.△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足csin
A=acos
C,则角C=________.
解析:由csin
A=acos
C结合正弦定理可得
sin
Csin
A=sin
Acos
C,且sin
A≠0,所以tan
C=1,C∈(0,π),故C=.
答案:
6.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin
Asin
B+bcos2A=a,则=__________.
解析:由正弦定理sin2Asin
B+sin
B·cos2A=sin
A,即sin
B·(sin2A+cos2A)=sin
A.
所以sin
B=sin
A,所以==.
答案:
7.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于________.
解析:由三角形内角和定理知:A=75°,由边角关系知B所对的边b为最小边,由正弦定理=得b===.
答案:
8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,sin
B+cos
B=,则角A的大小为________.
解析:因为sin
B+cos
B=sin=,所以sin=1.又0<B<π,所以B=.由正弦定理,
得sin
A===.
又a<b,所以A<B,所以A=.
答案:
9.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹边的长是1,求最小边长.
解:设△ABC中,A=45°,B=60°,
则C=180°-(A+B)=75°.
因为C>B>A,所以最小边为a.
又因为c=1,由正弦定理得,
a===-1,所以最小边长为-1.
10.在锐角三角形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求:
(1)B的范围;
(2)的范围.
解:(1)在锐角三角形ABC中,
0°<A<90°,0°<B<90°,0°<C<90°,
即?30°<B<45°.
(2)由正弦定理知
===2cos
B∈(,),
故所求的范围是(,).
[B 能力提升]
1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1+=,则角A的大小为__________.
解析:由1+=可得
1+=,
由正弦定理可得1+=整理得
=,
所以sin(A+B)=2sin
Ccos
A,
所以cos
A=,
又因为0
所以A=.
答案:
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cos
C=______.
解析:由正弦定理=及8b=5c,C=2B,可得cos
B=,
所以cos
C=cos
2B=2cos2B-1=2×-1=.
答案:
3.在△ABC中,a=3,b=5,sin
A=,则sin
B=________.
解析:在△ABC中,由正弦定理=,
得sin
B===.
答案:
4.(选做题)在△ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos
C=1-cos
2C.
(1)试确定△ABC的形状;
(2)求的取值范围.
解:(1)在△ABC中,设其外接圆半径为R,
根据正弦定理得,
sin
A=,sin
B=,sin
C=,
代入=,
得=,
所以b2-a2=ab.①
因为cos(A-B)+cos
C=1-cos
2C,
所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,
所以sin
Asin
B=sin2C.
由正弦定理,得·=,
所以ab=c2.②
把②代入①得,b2-a2=c2,
即a2+c2=b2.
所以△ABC是直角三角形.
(2)由(1)问知B=,所以A+C=,
所以C=-A.
所以sin
C=sin=cos
A.
根据正弦定理,得
==sin
A+cos
A=sin.
因为ac
所以<sin<1,
所以1<sin<,
即的取值范围是(1,
).
PAGE
1(共21张PPT)
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应用案·巩固提升
巧练·跟踪·验证(共30张PPT)
第1章 解三角形
第1章 解三角形
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预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破1.1 正弦定理(2)
1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能. 2.理解三角形面积公式及解斜三角形.
3.掌握把实际问题转化成解三角形问题.
, [学生用书P3])
1.三角形中常用的结论
(1)A+B=π-C,=-.
(2)在三角形中,大边对大角,反之亦然.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
2.三角形面积公式
(1)S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高).
(2)S=absin
C=bcsin
A=acsin
B
.
1.在△ABC中,A=30°,AB=2,BC=1,则△ABC的面积为________.
解析:由=,知sin
C=1,则C=90°,
所以B=60°,从而S△ABC=AB·BC·sin
B=.
答案:
2.若△ABC中,cos
A=,cos
B=,则cos
C=________.
解析:由cos
A=得sin
A=;
由cos
B=得sin
B=.
所以cos
C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)
=-
=-=.
答案:
3.若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于________.
解析:由于S△ABC=,BC=2,C=60°,
所以=×2·AC·,
所以AC=2,
所以△ABC为正三角形,
所以AB=2.
答案:2
三角形面积公式的应用[学生用书P4]
在△ABC中,已知B=30°,AB=2,AC=2.求△ABC的面积.
【解】 由正弦定理,得sin
C==,
又AB·sin
B<AC<AB,
故该三角形有两解:
C=60°或120°,所以当C=60°时,A=90°,
S△ABC=AB·AC=2;
当C=120°时,A=30°,
S△ABC=AB·AC·sin
A=.
所以△ABC的面积为2或.
把本例中的B=30°改为B=45°,AB=2
改为AB=,其他条件不变,求△ABC的面积.
解:由正弦定理=,
得=,则sin
C=,
又AC
>AB,故该三角形有一解,且C为锐角,cos
C=,由sin
A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=×+×=,
则S△ABC=AB·AC·sin
A=××2×=.
三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式,其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角.
1.在△ABC中,a=2,A=30°,C=45°,则△ABC的面积S△ABC等于________.
解析:b===+,
所以S△ABC=absin
C=(+)×=+1.
答案:+1
正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]
如图所示,D是直角三角形ABC的斜边BC上的一点,且AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.
(1)求证:sin
α+cos
2β=0;
(2)若AC=DC,求β的值.
【解】 (1)证明:因为AB=AD,所以∠ADB=∠ABD=β.又因为α=-∠BAD=-(π-2β)=2β-,
所以sin
α=sin=-cos
2β,
即sin
α+cos
2β=0.
(2)在△ADC中,由正弦定理得=,
即=,
即=,所以sin
β=sin
α.
由(1)知sin
α=-cos
2β,
所以sin
β=-cos
2β=-(1-2sin2β),
即2sin2β-sin
β-=0.
解得sin
β=或-.
因为0<β<,所以sin
β=,所以β=.
(1)先找出α与β之间的关系,再取正弦即得要证明的结论.
(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系,再利用(1)的结论将其化简,最后求得sin
β的值,从而求出角β.
2.如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC,ED,则sin∠CED=________.
解析:由题意得EB=EA+AB=2,则在Rt△EBC中,EC===.在△EDC中,∠EDC=∠EDA+∠ADC=+=,由正弦定理得===,
所以sin∠CED=·sin∠EDC=·sin=.
答案:
正弦定理的实际应用[学生用书P5]
为了求底部不能到达的水塔AB的高,如图,在地面上引一条基线CD=a,这条基线延长后不过塔底,若测得∠ACB=α,∠BCD=β,∠BDC=γ,求水塔AB的高.
【解】 在△BCD中,==,
所以BC=,在Rt△ABC中,AB=BC·tan
α
=.
根据具体问题画出符合题意的示意图,把角、距离在示意图中表示出来,借助图形审题.在三角形中,利用正弦定理解决问题.
3.在埃及,有许多金字塔,经过几千年的风化蚀食,有不少已经损坏了.考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了),A=50°,B=55°,AB=120
m,则此金字塔的高约为________米.(sin
50°≈0.766,sin
55°≈0.819,精确到1米)
解析:先分别从A,B出发延长断边,确定交点C,
则C=180°-A-B=75°,
AC=·sin
B=×sin
55°≈101.7.设高为h,则h=AC·sin
A=101.7×sin
50°≈78米.
答案:78
1.三角形中的诱导公式
sin(A+B)=sin
C,cos(A+B)=-cos
C,
tan(A+B)=-tan
C,sin=cos,
cos=sin.
2.三角形中边角转化的等价关系
a>b>c?A>B>C?sin
A>sin
B>sin
C.
3.三角形面积公式
S=(a+b+c)r(r为三角形内切圆半径).
在△ABC中,若C=3B,求的取值范围.
[解] 由正弦定理可知
==
=cos
2B+2cos2B=4cos2B-1.
又因为A+B+C=180°,C=3B,
所以0°
B<1,
所以1<4cos2B-1<3,
故1<<3.
即的取值范围是(1,3).
(1)错因:在解决有关三角形问题时,经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误.本题隐含条件0°<4B<180°,即0°
(2)防范:①注意隐含条件,记住三角形中的常用结论,理清三角形中基本量的关系,②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为求函数的值域或最值的问题.
1.在△ABC中,B=60°,b=7,a=14,则A=________.
解析:由正弦定理得sin
A=,
所以A=45°或135°,
又B=60°,b>a,所以B>A,
即A<60°,故A=45°.
答案:45°
2.如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=45°,则圆O的面积等于________.
解析:因为2R==4,所以R=2.所以S=πR2=8π.
答案:8π
3.在△ABC中,a=2bcos
C,则△ABC的形状为________三角形.
解析:由已知,可得2Rsin
A=2·2Rsin
B·cos
C,
即sin(B+C)=2sin
Bcos
C,
所以sin
Bcos
C-cos
Bsin
C=0,
sin(B-C)=0,所以B=C,
即△ABC为等腰三角形.
答案:等腰
, [学生用书P71(单独成册)])
[A 基础达标]
1.在△ABC中,A∶B∶C=4∶1∶1,则a∶b∶c等于________.
解析:由条件知A=,B=C=,
a∶b∶c=sin
A∶sin
B∶sin
C=∶1∶1.
答案:∶1∶1
2.在△ABC中,已知B=45°,c=2,b=,则A的值是________.
解析:由正弦定理,得sin
C=,从而C=60°或120°,故A=15°或75°.
答案:15°或75°
3.在△ABC中,=,则此三角形为________三角形.
解析:由正弦定理得=,
所以=.
所以sin
Bcos
C-sin
Ccos
B=0.
所以sin(B-C)=0.
所以B=C.
所以△ABC为等腰三角形.
答案:等腰
4.△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos
2B+3cos(A+C)+2=0,b=,则c∶sin
C等于________.
解析:由题意得cos
2B-3cos
B+2=0,
即2cos2B-3cos
B+1=0,
解得cos
B=或cos
B=1(舍去),
所以sin
B=,由正弦定理得===2.
答案:2
5.如图,△ABC是半径为R的⊙O的内接正三角形,则△ABC的边长为________,△OBC的外接圆半径为________.
解析:因为=2R,所以AB=R.
设△OBC外接圆半径为x,
=2x,x==R.
答案:R R
6.在△ABC中,若a=csin
A,sin
C=2sin
Asin
B,则△ABC的形状为________三角形.
解析:由已知,2Rsin
A=2Rsin
Csin
A,
因为sin
A≠0,
所以sin
C=1,C=90°,
又sin
C=2sin
Asin
B=2sin
Acos
A,
所以sin
2A=1,2A=90°,A=45°,
即△ABC为等腰直角三角形.
答案:等腰直角
7.海上A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是________.
解析:如图,在△ABC中,C=180°-(B+A)=45°,
由正弦定理,可得=,
所以BC=×10=5(海里).
答案:5
海里
8.在△ABC中,sin
A=,a=10,则边长c的取值范围是________.
解析:因为==,
所以c=sin
C.
所以0
答案:
9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知=,A+3C=π.
(1)求cos
C的值;(2)若b=3,求△ABC的面积.
解:(1)因为A+B+C=π,A+3C=π,
所以B=2C.
又由正弦定理=,
得=,=,
化简得,cos
C=.
(2)由(1)知B=2C,
所以cos
B=cos
2C=2cos2C-1=2×-1=-.
又因为C∈(0,π),
所以sin
C===.
所以sin
B=sin
2C=2sin
Ccos
C=2××=.
因为A+B+C=π.
所以sin
A=sin(B+C)=sin
Bcos
C+cos
Bsin
C=×+×=.
因为=,b=3,所以c=.
所以△ABC的面积S=bcsin
A=×3××=.
10.在△ABC中,已知2B=A+C,b=1,求a+c的范围.
解:由已知,B=60°,b=1,
所以△ABC外接圆半径R==.
a+c=2R(sin
A+sin
C)
=2R[sin
A+sin(120°-A)]
=2××sin(A+30°)
=2sin(A+30°).
因为0°
所以a+c的取值范围为(1,2].
[B 能力提升]
1.已知锐角三角形ABC中,边a,b是方程x2-2x+2=0的两根,角A、B满足2sin(A+B)-=0,则△ABC的面积=______.
解析:因为a,b是方程x2-2x+2=0的两根,根据根与系数的关系得ab=2,由2sin(A+B)-=0得sin(A+B)=.因为△ABC为锐角三角形,所以A+B=120°,C=60°.所以S△ABC=absin
C=×2sin
60°=.
答案:
2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600
m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.
解析:由题意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600
m,
故由正弦定理得=,
解得BC=300
m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan
30°=300×=100(m).
答案:100
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,ccos
A=b,则△ABC的形状为________.
解析:因为ccos
A=b,
所以sin
Ccos
A=sin
B.
而sin
B=sin(A+C)=sin
Acos
C+cos
Asin
C,
所以sin
Acos
C=0.
因为0°
A>0,
所以cos
C=0,且0°
所以C=90°,即△ABC是角C为直角的直角三角形.
答案:直角三角形
4.
(选做题)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1
km处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约
km有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12
km的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟,检查员开始收不到信号,并至少持续多少时间该考点才算合格?
解:如图,考点为A,检查开始处为B,设公路上C、D两点到考点的距离为1
km.
在△ABC中,AB=,AC=1,∠ABC=30°,
由正弦定理,得sin∠ACB=·AB=,
所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),
所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1,
在△ACD中,AC=AD,∠ACD=60°,
所以△ACD为等边三角形,所以CD=1.
因为×60=5(min),
所以在BC上需5
min,CD上需5
min.最长需要5
min检查员开始收不到信号,并至少持续5
min才算合格.
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同课章节目录
第1章 解三角形
1.1 正弦定理
1.2 余弦定理
1.3 正弦定理、余弦定理的应用
第2章 数列
2.1 数列的概念
2.2 等差数列
2.3 等比数列
第3章 不等式
3.1 不等关系
3.2 一元二次不等式
3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
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