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第1章 解三角形
第1章 解三角形
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解惑·探究·突破1．2 余弦定理(1)
1.掌握余弦定理及其证明方法． 2.会用余弦定理解决两类问题：“已知三边”“已知两边夹角”解三角形．
3．会用余弦定理判断三角形的形状．
, [学生用书P6])
1．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
2．余弦定理的推论
cos
A＝，cos
B＝，
cos
C＝．
3．运用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题
(1)已知三边，求三角．
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
1．判断下列关于余弦定理的命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形．( )
(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．( )
解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形．
(2)正确．当a2＞b2＋c2时，
cos
A＝＜0.
因为0＜A＜π，故A一定为钝角，则△ABC为钝角三角形．
(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．
答案：(1)√ (2)√ (3)×
2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为________．
解析：设三角形的另一边长为c.由余弦定理得：
c＝ ＝＝2.
答案：2
3．在△ABC中，acos
A＋bcos
B＝ccos
C，则△ABC的形状是________．
解析：因为acos
A＋bcos
B＝ccos
C，
所以a×＋b×＝c×，
整理得＝0，
即＝0，
所以b2＝a2＋c2或a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
已知两边与一角解三角形[学生用书P6]
(1)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．
(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos
C＝，则BC＝________．
【解析】 (1)由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos
120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．
(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，
所以BC2－9BC＋20＝0，
解得BC＝4或5.
【答案】 (1)1 (2)4或5
已知两边与一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理或余弦定理求解．
1.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB等于________．
解析：法一：在△ABC中，根据余弦定理，
即BC2＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cos
60°，
得()2＝AB2＋22－2AB×2×cos
60°，
整理得AB2－2AB＋1＝0，
解得AB＝1.
法二：在△ABC中，根据正弦定理，
得＝，即＝，
解得sin
B＝1，
因为B∈(0°，180°)，
所以B＝90°，所以AB＝＝1.
答案：1
已知三边(三边关系)解三角形[学生用书P6]
在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各角的度数．
【解】 由已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理，得
cos
A＝＝＝，
所以A＝45°.
cos
B＝
＝
＝，
所以B＝60°.
所以C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
2.在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角大小为______．
解析：因为c
所以最小角为C.
所以cos
C＝＝＝，
所以C＝.
答案：
判断三角形的形状[学生用书P7]
在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，2cos
Asin
B＝sin
C，试判断△ABC的形状．
【解】 法一：(化角为边)由正弦定理，得＝，
又2cos
Asin
B＝sin
C，
所以cos
A＝＝.
又由余弦定理的推论cos
A＝，
得＝，
即b2＋c2－a2＝c2，所以b2＝a2，所以a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，
由a＝b，得4b2－c2＝3b2，所以b2＝c2，所以b＝c，
所以a＝b＝c.故△ABC是等边三角形．
法二：(化边为角)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理的推论得cos
C＝＝，所以C＝60°.
又2cos
Asin
B＝sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，
即sin(A－B)＝0，所以A＝B，所以A＝B＝C＝60°，
所以△ABC是等边三角形.
将本例中已知条件改为“若cos2＝”，试判断△ABC的形状．
解：法一：在△ABC中，由cos2＝，得＝，所以cos
A＝，由余弦定理，＝，
所以b2＋c2－a2＝2b2，即c2＝a2＋b2，故△ABC是直角三角形．
法二：在△ABC中，设其外接圆半径为R，
由正弦定理得，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C，
由cos2
＝，得cos
A＝，
所以cos
A＝，sin
B＝sin
Ccos
A，
又因为B＝π－(A＋C)，sin(A＋C)＝sin
Ccos
A，
所以sin
Acos
C＝0，
又A，C是三角形的内角，
所以cos
C＝0，C＝，△ABC为直角三角形．
判断三角形形状的常用方法：①由正、余弦定理化角为边，利用代数运算求出三边的关系；②由正、余弦定理化边为角，通过恒等变形及内角和定理得到内角的关系，从而判断三角形的形状．
3.在△ABC中，若(a－ccos
B)sin
B＝(b－ccos
A)·sin
A，判断△ABC的形状．
解：法一：由正弦定理及余弦定理，
知原等式可化为
b＝a，
整理，得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：由正弦定理，原等式可化为
(sin
A－sin
Ccos
B)sin
B＝(sin
B－sin
Ccos
A)sin
A，
所以sin
Bcos
B＝sin
Acos
A，
所以sin
2B＝sin
2A，
所以2B＝2A或2B＋2A＝π，
所以A＝B或A＋B＝，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1．对余弦定理的理解
(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可做到知三求一．
(4)定理特例：当夹角为90°时(例如C＝90°)，则定理变为c2＝a2＋b2.这就是直角三角形中的勾股定理．余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
2．利用余弦定理解三角形的注意点
余弦定理中边长是平方的关系，因此，利用余弦定理求边长，实质是解一元二次方程，如已知a，b，A，由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos
A，即c2－(2bcos
A)c＋(b2－a2)＝0，则边长c的值即为方程的根，由于根的个数不确定，解题时，应根据已知条件对方程的根进行取舍．
在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝________．
[解析] 由余弦定理，
得c2＝a2＋b2－2abcos
C
＝4＋8－2×2×2×＝8－4.
所以c＝－，又由正弦定理得
sin
A＝＝，
又因为b>a，所以B>A.
又因为0°所以A＝30°.
[答案] 30°
(1)此题要注意到已知条件b＝2>a＝2，这一隐含条件，如果忽略了这一条件，会出现在求得sin
A＝时，得到A＝30°或150°，这样就出现了150°这一增解导致不得分．
(2)在利用正、余弦定理解三角形时，一定要准确分析题中的已知条件和求解的关系，挖掘其中的隐含条件，防止出现漏解或增解．
1．在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝________．
解析：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos
B＝1＋4－2＝3，所以b＝.
答案：
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos
A＝，则b＝________．
解析：由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos
A，
因为cos
A＝，所以3b2－8b－3＝0，所以b＝3.
答案：3
3．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos
120°，
即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.
故S△ABC＝AB·BCsin
120°＝×5×3×＝.
答案：
, [学生用书P73(单独成册)])
[A 基础达标]
1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是________．
解析：设中间角为θ，则cos
θ＝＝，
θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．
答案：120°
2．在△ABC中，若a＝6，b＝6，A＝30°，则c＝________．
解析：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，得c2－18c＋72＝0，从而c＝6或12.
答案：6或12
3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．
解析：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，则cos
C＝＝－.
又因为角C为△ABC的内角，所以C＝.
答案：
4．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝__________．
解析：在△ABC中，∠A＝，
所以a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2＋bc.
因为a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，
所以b2＋bc－2c2＝0，
所以(b＋2c)(b－c)＝0，
所以b－c＝0，所以b＝c，
所以＝1.
答案：1
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos
C＝4csin
A，已知△ABC的面积S＝bcsin
A＝10，b＝4，则a的值为________．
解析：由3acos
C＝4csin
A，得＝.又由正弦定理＝，得＝?tan
C＝.
由S＝bcsin
A＝10，b＝4?csin
A＝5.由tan
C＝?sin
C＝.又根据正弦定理，得a＝＝＝.
答案：
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos
B＝________．
解析：因为b2＝ac，且c＝2a，由余弦定理，得cos
B＝＝＝.
答案：
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2＝b2＋c2，则的值为________．
解析：因为a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2－c2.所以cos
B＝＝＝.所以＝＝.
答案：
8．在△ABC中，若acos
B＝bcos
A，则△ABC的形状是________三角形．
解析：由余弦定理，可得a·＝b·，即a2＋c2－b2＝b2＋c2－a2，从而a＝b.故△ABC为等腰三角形．
答案：等腰
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tan
C＝3.
(1)求cos
C；
(2)若·＝，且a＋b＝9，求c.
解：(1)因为tan
C＝3，所以＝3.
又因为sin2C＋cos2C＝1，解得cos
C＝±.
因为tan
C>0，所以C是锐角．所以cos
C＝.
(2)因为·＝，所以ab·cos
C＝.所以ab＝20.
又因为a＋b＝9，所以a2＋2ab＋b2＝81.所以a2＋b2＝41.
所以c2＝a2＋b2－2abcos
C＝36.所以c＝6.
10．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos
Bcos
C，试判断△ABC的形状．
解：法一：化角为边．
因为b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos
Bcos
C，
所以b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos
Bcos
C.
根据余弦定理的推论可得
b2＋c2－b2·－c2·
＝2bc··，
即b2＋c2＝＝a2，
所以△ABC为直角三角形．
法二：化边为角．
因为b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos
Bcos
C，
由正弦定理得sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝
2sin
Bsin
Ccos
Bcos
C，即sin
Bsin
C＝cos
Bcos
C，cos(B＋C)＝0，
所以B＋C＝90°，所以△ABC为直角三角形．
[B 能力提升]
1．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当a2＋c2≥b2＋ac时，角B的取值范围为________．
解析：cos
B＝≥，又B∈(0，π)，
故B∈.
答案：
2．在△ABC中，若acos2＋ccos2＝b，那么a，b，c的关系是________．
解析：cos2＝，cos2＝，
代入已知等式得：
a＋c＋acos
C＋ccos
A＝3b，
所以a＋c＋a·＋c·＝3b，
整理得a＋c＝2b.
答案：a＋c＝2b
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos
A＋accos
B＋abcos
C的值是__________．
解析：因为cos
A＝，
所以bccos
A＝(b2＋c2－a2)．
同理accos
B＝(a2＋c2－b2)，
abcos
C＝(a2＋b2－c2)，
所以bccos
A＋accos
B＋abcos
C＝(a2＋b2＋c2)＝.
答案：
4．(选做题)在△ABC中，已知AB＝，cos∠ABC＝，AC边上的中线BD＝，求sin
A的值．
解：如图，设E为BC的中点，连结DE，则DE∥AB，且DE＝AB＝，
cos∠BED＝－cos∠ABC(∠BED与∠ABC互补)．
设BE＝x，在△BDE中，利用余弦定理得：
BD2＝BE2＋ED2－2BE·ED·cos∠BED，
即5＝x2＋－2x··，
解得：x＝1，x＝－(舍去)．
故BC＝2，从而AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝，
即AC＝.
又sin∠ABC＝，
故＝，所以sin
A＝.
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解惑·探究·突破1．2 余弦定理(2)
1.掌握余弦定理在几何问题、实际问题中的运用． 2.初步体会正弦定理和余弦定理的综合运用．
, [学生用书P8])
1．正弦定理
＝＝＝2R.
2．正弦定理的几个变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C．
(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝．
(3)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C．
(4)asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A，
＝，＝，＝．
3．余弦定理及其变形
a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
cos
A＝，
cos
B＝，
cos
C＝．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式S＝absin
C适合求任意三角形的面积．( )
(2)三角形中已知三边无法求其面积．( )
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积．( )
解析：(1)正确，S＝absin
C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正弦值，进而求面积．
(3)正确，已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边和一边的对角，可求得第三边和两个角，再求面积．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝______．
解析：由余弦定理得：
c＝
＝＝7.
答案：7
3．在△ABC中，已知BC＝1，B＝，则△ABC的面积为，则AC的长为________．
解析：由三角形面积公式得acsin
B＝，解得c＝4，再由余弦定理得b2＝1＋16－2×1×4×＝13，
所以AC的长为.
答案：
余弦定理在几何图形中的运用[学生用书P8]
如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
【解】 设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即142＝x2＋102－20xcos
60°，
所以x2－10x－96＝0，
所以x＝16(x＝－6舍去)，
即BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理＝，
所以BC＝＝8.
余弦定理在几何图形中的应用，要注意结合图形，有时要利用图形性质求解．
1.
如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin
C的值为________．
解析：设AB＝c，则AD＝c，BD＝，BC＝，
在△ABD中，由余弦定理得cos
A＝＝，
则sin
A＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝＝，
解得sin
C＝.
答案：
余弦定理的实际应用[学生用书P9]
在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．
【解】 法一：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.
所以AD＝CD＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
由正弦定理得＝，
所以BD＝CD·＝a·＝a.
在△ADB中，由余弦定理得
AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos
∠ADB
＝a2＋－2×a·a·
＝a2，
所以AB＝a.
所以蓝方这两支精锐部队的距离为a.
法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝a.
在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理得＝，
所以BC＝a，
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
45°
＝a2＋a2－2×a·a·＝a2，
所以AB＝a.
所以蓝方这两支精锐部队的距离为a.
日常生活中，测量距离问题通常有两种情况
种类
图示
解决方法
一点不可到达
可测出三角形两个角(A、C)和一边(AC)，直接运用正弦定理求AB
两点均不可到达
可测α、β、θ、φ及CD.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，先把求未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题(如图所示)，然后在△ABC中求解AB
2.如图，某海轮以60海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离．
解：因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos
120°
＝402＋402－2×40×40×＝402×3，
所以BP＝40.
又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11
200，
所以PC＝40
海里．
证明三角恒等式[学生用书P9]
在△ABC中，求证：＝.
【证明】 右边＝
＝·cos
B－·cos
A
＝·－·
＝－
＝＝左边．
所以＝.
在三角形中，涉及边角关系的恒等式，可以考虑用正、余弦定理把角的关系转化为边的关系或统一由边的关系转化为角的关系．
3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求证：acos2＋ccos2＝(a＋b＋c)．
证明：因为sin
B＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C，由正弦定理可得acos
C＋ccos
A＝b，
所以acos2＋ccos2＝(a＋c＋acos
C＋ccos
A)＝(a＋b＋c)．
三角形中的综合问题[学生用书P10]
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解】 (1)由已知及正弦定理得，
2cos
C(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)＝sin
C，
即2cos
Csin(A＋B)＝sin
C，
故2sin
Ccos
C＝sin
C.
可得cos
C＝，
所以C＝.
(2)由已知，absin
C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，
a2＋b2－2abcos
C＝7，
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin
B(tan
A＋tan
C)＝tan
Atan
C.
(1)求证：b2＝ac；
(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
解：(1)证明：在△ABC中，由于sin
B(tan
A＋tan
C)＝tan
Atan
C，所以sin
B＝·，
因此sin
B(sin
Acos
C＋cos
Asin
C)＝sin
Asin
C，
所以sin
Bsin(A＋C)＝sin
Asin
C.
又A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin
B，
因此sin2B＝sin
Asin
C.
由正弦定理得b2＝ac.
(2)因为a＝1，c＝2，
所以b＝，
由余弦定理得cos
B＝＝＝，
因为0B＝＝，
故△ABC的面积S＝acsin
B＝×1×2×＝.
1．余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．
2．在已知两边与其中一边的对角时，即可先用余弦定理求边，再继续求解；也可以先用正弦定理求另一边的对角，再继续求解．而用余弦定理先求第三边的好处是只需保证边为正来判断解的个数．
3．因为余弦定理给出的是三边与一个角的余弦值之间的关系，而余弦值的正负可以决定该角是锐角还是钝角，因此利用余弦定理及其推论来判定三角形的形状时，我们一般是通过计算最大边所对应的最大角的余弦值，即两个小边的平方和与最大边的平方的差的正负，来判断该角是锐角还是钝角．即在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2＜a2＋b2?C为锐角；c2＞a2＋b2?C为钝角．有时也会和正弦定理结合同化为边或同化为角观察．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos
C＋(cos
A－sin
A)cos
B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[解] (1)由已知得－cos(A＋B)＋cos
Acos
B－sin
A·cos
B＝0，即有sin
Asin
B－sin
Acos
B＝0.①
因为sin
A≠0，所以sin
B－
cos
B＝0.又cos
B≠0，
所以tan
B＝.又0(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos
B.
因为a＋c＝1，cos
B＝，
有b2＝3＋.②
又0即有≤b<1.
(1)①根据三角形内角和定理把已知条件转化为角B的一个三角函数是求B的关键．
②结合(1)的结果，应用余弦定理把b2表示成a的函数，根据a的范围求出b的范围是本题的难点也是易错点．
(2)在解决三角形问题时，注意挖掘题目中隐含的条件及边、角范围．同时要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变形．
1．在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶2∶3，则cos
C的值为________．
解析：由正弦定理得：
a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C＝3∶2∶3.
设a＝3x，b＝2x，c＝3x，则
cos
C＝＝＝.
答案：
2．在△ABC中，若a2＝bc，则角A是________．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
解析：cos
A＝＝＝>0.
答案：锐角
3．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c＝________.
解析：a＝4，b＝4，cos
A＝＝，
解得c＝4或c＝8.
答案：4或8
, [学生用书P75(单独成册)])
[A 基础达标]
1．△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________．
解析：cos
C＝，
因为∠C为钝角，
所以cos
C<0，所以a2＋b2－c2<0，
故a2＋b2答案：a2＋b22．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．
解析：因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos
60°＝4＋16＋8＝28，所以|F3|＝2.
答案：2
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为______．
解析：由(a＋b)2－c2＝4，
得a2＋b2－c2＋2ab＝4，①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos
C＝2abcos
60°＝ab，②
将②代入①得，ab＋2ab＝4，即ab＝.
答案：
4．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知，
B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3.
因此AD＝.
答案：
5．已知向量a和b的模分别为2和3，且|a－b|＝，则a，b的夹角为________．
解析：a，b，a－b可构成三角形，由余弦定理，
得cos〈a，b〉＝＝－.
所以〈a，b〉＝π.
答案：π
6．平行四边形ABCD中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是________．
解析：设平行四边形的两邻边AD＝b，AB＝a，
∠BAD＝α，则
a＋b＝9，a2＋b2－2abcos
α＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65，
解得a＝5，b＝4，cos
α＝，
或a＝4，b＝5，cos
α＝，
所以S平行四边形ABCD＝absin
α＝16.
答案：16
7．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积是______．
解析：在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝64＋9－2×8×3×＝49，所以a＝7.设三角形外接圆的半径为R，
由正弦定理得2R＝＝＝，
所以R＝，S＝π×＝.
答案：
8．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．若△ABC的面积为，A＝15°，则＋的值为________．
解析：△ABC的面积S＝bcsin
A＝，
所以2bc＝.
由余弦定理得cos
A＝
＝－＝－＝－sin
A，
所以＋＝＝2(sin
A＋cos
A)＝2sin(A＋45°)＝2sin
60°＝.
答案：
9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc.
求：(1)角A的大小；
(2)的值．
解：(1)因为b2＝ac，且a2－c2＝ac－bc，
所以b2＋c2－a2＝bc.在△ABC中，由余弦定理，得cos
A＝＝＝，所以A＝60°.
(2)在△ABC中，
由正弦定理得sin
B＝.
因为b2＝ac，A＝60°，
所以＝＝sin
60°＝.
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝b，判断△ABC的形状．
解：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，
所以在△ABC中，由余弦定理可得，
cos
B＝＝＝＝＝＝，
所以sin
A＝sin
2B，故A＝2B.
(2)因为a＝b，
所以＝，
由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，
cos
B＝＝＝，
所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.
所以△ABC为直角三角形．
[B 能力提升]
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos
C＝，则最大角的余弦值是________．
解析：先由c2＝a2＋b2－2abcos
C，求出c＝3，所以最大边为b，最大角为B，所以cos
B＝＝－.
答案：－
2．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长为______．
解析：因为cos
C＝＝，
所以sin
C＝.
所以AD＝AC·sin
C＝.
答案：
3．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝，DC＝，则AB＝________．
解析：在△ACD中，AD＝2，AC＝，DC＝，
由余弦定理得：cos∠ADC＝＝＝－，
所以∠ADC＝135°，∠ADB＝45°，
在△ABD中，∠B＝60°，AD＝2，
由正弦定理得＝，
即＝，
解之得AB＝.
答案：
4．(选做题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin
Asin
B＝sin
C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan
B.
解：(1)证明：根据正弦定理，
可设＝＝＝k(k>0)．
则a＝ksin
A，b＝ksin
B，c＝ksin
C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
所以sin
Asin
B＝sin
C.
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，
根据余弦定理，有
cos
A＝＝，
所以sin
A＝＝.
由第一问，知sin
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin
B＝cos
B＋sin
B，故tan
B＝＝4.
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