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第1章 解三角形
第1章 解三角形
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研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破1．3 正弦定理、余弦定理的应用
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、最值探求有关的实际问题．
2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题．
, [学生用书P11])
1．实际问题中的有关术语、名称
(1)仰角和俯角
测量时，以水平线为基准，视线在水平线上方所成的角叫做仰角；视线在水平线下方所成的角叫做俯角．(如图)
(2)方向角与方位角
①指北或指南的方向线与目标方向线所成的水平角(一般指锐角)叫做方向角．目标方向线的方向一般用“某偏某多少度”来表示．前一个“某”是“北”或“南”，后一个“某”是“东”或“西”．如图，OA、OB、OC、OD的方向角分别表示：北偏东60°、北偏西75°、南偏西15°、南偏东40°.
②指北的方向线顺时针转到目标方向线为止的水平角，叫方位角．
(3)水平距离、垂直距离、坡面距离、坡度和坡角
如图所示，BC代表水平距离，AC代表垂直距离，AB代表坡面距离．
坡度＝.
坡面与水平面的夹角α叫做坡角．α为锐角．
记坡度为i，坡角为α，水平距离为x，垂直距离为y，则它们的关系如下：i＝＝tan
α.
2．解三角形应用题的一般思路
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(
)
(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．(
)
(3)方位角和方向角是一样的．(
)
解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长．
(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得．
(3)错误．方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)．
答案：(1)× (2)× (3)×
2．如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，则A，B两点之间的距离为______米．
解析：在△ABC中，BC＝50米，
∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，
所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠BCA＝180°－105°－45°＝30°.
由正弦定理＝，
得AB＝
＝＝
＝50.
答案：50
3．如图，A，B是海平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD＝________
m.
解析：在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.
由＝，得AD＝＝
＝800(＋1)(m)．
因为CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，
所以CD＝AD＝800(＋1)
m.
答案：800(＋1)
测量距离问题[学生用书P12]
如图所示，在河岸上可以看到河对岸的两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40
m的P，Q两点，测得∠MPN＝75°，∠NPQ＝45°，∠MQP＝30°，∠MQN＝45°，试求这两个目标物M，N之间的距离．
【解】 在△PQN
中，PQ＝40，∠PQN＝30°＋45°＝75°，∠NPQ＝45°，
所以∠PNQ＝180°－75°－45°＝60°.
根据正弦定理＝，
得＝.
所以NQ＝＝.
同理，在△PQM
中，MQ＝＝
＝40.
在△MNQ中，根据余弦定理得MN2＝MQ2＋NQ2－2MQ·NQ·cos∠MQN＝，所以MN＝m.
故这两个目标物M，N之间的距离为m.
正、余弦定理交汇求距离的两个关键点
(1)画示意图，弄清题目条件．根据题意画图研究问题中所涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的．
(2)选准入手点．找出已知边长的三角形，结合已知条件选准“可解三角形”，并判断是选用正弦定理，还是选用余弦定理来求解．
1.如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北α角方向的OB.位于该市的某大学M与市中心O的距离OM＝3km，且∠AOM＝β.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tan
α＝2，cos
β＝，AO＝15
km.
(1)求大学M与站A的距离AM；
(2)求铁路AB段的长．
解：(1)在△AOM中，AO＝15，∠AOM＝β且cos
β＝，
OM＝3，
由余弦定理得，
AM2＝OA2＋OM2－2OA·OM·cos∠AOM
＝(3)2＋152－2×3×15×
＝13×9＋15×15－2×3×15×3
＝72.
所以AM＝6，即大学M与站A的距离AM为6
km.
(2)因为cos
β＝，且β为锐角，
所以sin
β＝，
在△AOM中，由正弦定理得，＝，
即＝，
所以sin∠MAO＝，
所以∠MAO＝，
所以∠ABO＝α－，
因为tan
α＝2，
所以sin
α＝，cos
α＝，
所以sin∠ABO＝sin＝，又∠AOB＝π－α，
所以sin∠
AOB＝sin
(π－α)＝，
在△AOB中，AO＝15，
由正弦定理得，＝，
即＝，所以AB＝30，
即铁路AB段的长AB为30
km.
测量高度问题[学生用书P12]
在平地上有A，B两点，A点在山CD的正东，B点在山的东南，而且B点在A点的南偏西30°的300米的地方，在A点测得山顶C的仰角是30°，求山高．
【解】 如图所示，山高为
CD，AB＝300.由题意知∠ADB＝45°，∠DAC＝30°，∠DAB＝60°，
所以∠ABD＝180°－(45°＋60°)＝75°.
在△
ABD中，由正弦定理
＝，
得＝，
所以AD＝＝150(1＋)(米)．
在Rt△ADC中，CD＝AD·tan
30°＝150(1＋)×
＝50(3＋)＝150＋50(米)．
所以山高为150＋50米．
解决测量高度问题时要注意的两个问题
(1)要清楚仰角与俯角的区别及联系．
(2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．
2.一轮船要通过一座跨江大桥，驾驶员在A处测得桥拱上端D的仰角为8°，轮船向前航行200
m后到B，又测得桥拱上端D的仰角为26°，若轮船驾驶舱离水面20
m，轮船最高处距离驾驶舱上方有30
m．问轮船能否通过这座跨江大桥？(sin
18°≈0.309
0，sin
154°≈0.438
4，sin
8°≈0.139
2，精确到0.1
m)
解：
如图，∠DAB＝8°，∠DBC＝26°，AB＝200
m.
＝?AD＝·sin
154°≈283.8(m)．DC＝AD·sin
8°≈39.5(m)．
故海轮能通过这座跨江大桥．
测量角度问题[学生用书P13]
某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时，求台风移动的方向．
【解】 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意知AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)×10.
在△ADC中，
因为DC2＝AD2＋AC2，
所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝.
所以∠BAC＝30°.
又因为B位于A南偏东60°方向，60°＋30°＋90°＝180°，
所以D位于A的正北方向．
又因为∠ADC＝45°，
所以台风移动的方向为向量的方向，
即北偏西45°方向．
测量角度问题的解题思路
(1)通过认真审题，结合已知条件画出示意图．
(2)确定所求角在示意图中对应的可解三角形．
(3)把已知条件中的方向角、方位角、距离等，借助平面几何和立体几何的相关知识，转化成该三角形中的边和角(至少有一边)．
(4)利用正弦定理或余弦定理求解．
3.甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin
θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)
解：设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，那么在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，
由余弦定理得：
(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，
128t2－60t－27＝0，
解得t＝或t＝－(舍去)，所以AC＝21(海里)，BC＝15(海里)，
根据正弦定理，得
sin∠BAC＝＝，
cos∠BAC＝＝.
又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，
所以θ＝45°－∠BAC，
sin
θ＝sin(45°－∠BAC)
＝sin
45°cos∠BAC－cos
45°sin∠BAC
＝.
1．测量距离的常见情形
(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法．
(2)测量平面上两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为求三角形的边长的问题．然后把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正、余弦定理解决．
2．测量高度时常见的三种数学模型及其特征
(1)有以下三种数学模型．
底部可到达
底部不可到达
解直角三角形
解直角三角形
解一般三角形
(2)特征．
①底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形．
②底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．
③底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面．此类问题中观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”．
3．测量角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等．解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步．
1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为________m.
解析：由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，
＝，
即AB＝＝＝4.
答案：4
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝________．
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
所以△ADC为等腰三角形．
所以AC＝DC＝100米，
在Rt△ABC中，AB＝ACsin
60°＝50
米．
答案：50
米
3．如图，位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船，该船接到观测站通知后立即前往B处救助，则sin∠ACB＝__________．
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
120°＝2
800，所以BC＝20.由正弦定理，得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.
答案：
4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46
m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin
67°≈0.92，cos
67°≈0.39，sin
37°≈0.60，cos
37°≈0.80，≈1.73)
解析：根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)．
答案：60
, [学生用书P77(单独成册)])
[A 基础达标]
1．有一山坡，倾斜角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与斜坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为________米．
解析：如图，
h＝BCsin
30°
＝(ABsin
30°)·sin
30°＝100，
所以AB＝400.
答案：400
2．有一条与两岸平行的河流，水速为1
m/s，小船速度为m/s，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________方向行驶．
解析：如图，小船从A处过河，则设小船行驶的方向与岸成α，则因为水速为1
m/s，小船的速度为
m/s，则α＝45°，小船的方向与水速成180°－45°＝135°.
答案：135°
3．在某塔塔底所在水平面上一点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔基沿直线行走30
m后，测得塔顶的仰角为2θ，再沿直线向塔基行进30
m后，又测得塔顶仰角为4θ，则塔高为________m.
解析：如图，BC＝CP＝30，BP＝AB＝30，
由余弦定理可得∠BCP＝120°.
所以∠PCD＝60°.
所以PD＝15.
答案：15
4．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8海里．此船的航速是__________海里/小时．
解析：在△ABS中，易知∠BAS＝30°，
∠ASB＝45°，且边BS＝8，
利用正弦定理可得＝，
即＝，得AB＝16，
又因为从A到B匀速航行时间为半个小时，
所以速度应为＝32(海里/小时)．
答案：32
5.
如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3
mm，BC＝2
mm，AB＝
mm，则∠ACB＝________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得
cos∠ACB＝＝－.
因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.
答案：
6．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．
解析：在△BCD中，
∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10(米)．
由正弦定理，得BC＝＝20(米)．
在Rt△ABC中，
AB＝BCsin
60°＝20×＝30(米)．
所以升旗速度v＝＝＝0.6(米/秒)．
答案：0.6
7.
CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝π，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________米．
解析：在△ABC中，AB＝BC＝400米，
∠ABC＝，所以AC＝AB＝400米，∠BAC＝.
所以∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝－＝.
所以在△CAD中，由余弦定理，得
CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD
＝4002＋2502－2×400×250×cos＝122
500.
所以CD＝350米．
答案：350
8．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1
km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，则B，D的距离为______(计算结果精确到0.01
km，≈1.414，≈2.449)．
解析：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，BD＝BA，
在△ABC中，
＝，
即AB＝＝，
因此，BD＝≈0.33
km.
故B，D的距离约为0.33
km.
答案：0.33
km
9．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°.若此舰不改变航行的方向继续前进，问此舰有没有触礁的危险？
解：过点B
作BD⊥AE交AE于D，
由已知，AC＝8，∠ABD＝75°，∠CBD＝60°，在Rt△ABD中，
AD＝BD·tan∠ABD＝BD·tan
75°，
在Rt△CBD中，
CD＝BD·tan∠CBD＝BD·tan
60°，
AD－CD＝BD(tan
75°－tan
60°)＝AC＝8，
BD＝＝4＞3.8.
因此该军舰没有触礁的危险．
10．一艘海轮从A处出发，沿北偏东75°的方向航行67.5
n
mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0
n
mile后到达海岛C.如果下次航行从A出发直接到达C，那么此船应该沿怎样的方向航行，需航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01
n
mile，cos
137°≈－0.731
4，sin
137°≈0.682
0，sin
19°≈0.325
5)
解：在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°.
AC＝
＝≈113.16.
sin∠CAB＝＝≈0.325
5.
所以∠CAB≈19.0°，75°－∠CAB＝56.0°.
所以此船应沿北偏东约56.0°方向航行，需航行113.16
n
mile.
[B 能力提升]
1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100
m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________
m.
解析：设水柱的高度是h
m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝
h，根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos
60°，即h2＋50h－5
000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50
m.
答案：50
2．一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12
n
mile的海面上有一走私船正以10
n
mile/h的速度沿南偏东75°方向逃窜．缉私艇的速度为14
n
mile/h，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追．则追缉所需的时间是______小时，α角的正弦值为______．
解析：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°.
所以(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos
120°，
整理得，4x2－5x－6＝0，
所以x＝2，AB＝28，BC＝20.
在△ABC中，
由正弦定理得，
sin
α＝＝.
故追缉所需时间为2小时，α角的正弦值为.
答案：2
3．如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝20
m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB＝60°，则旗杆的高度约为______(保留小数点后一位)．
解析：设旗杆的高度为h，
由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.
在Rt△AOP中，OA＝＝h.
在Rt△BOP中，OB＝＝h.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos
60°，
即202＝(h)2＋h2－2h×h×.
所以h2＝≈176.4，
所以h≈13.3(m)．
所以旗杆的高度约为13.3
m.
答案：13.3
m
4．(选做题)空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266
m，计算气球的高度．
解：如图，设CD＝x，
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
所以AC＝CD＝x.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
所以CB＝＝x.
在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°，
由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，
所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，
所以x＝38(m)．
所以气球的高度为38
m.
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