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第2章 数 列
第2章 数 列
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第2章
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ZHANG
数列
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破2．1 数 列
1.了解数列的概念及分类． 2.理解数列与函数的关系． 3.掌握数列的表示方法．
1．数列及其相关概念
(1)数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的每个数都叫做这个数列的项，第1项通常也叫做首项，若是有穷数列，最后一项叫做末项．
(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，….简记为.
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．数列的表示方法
通项公式法、列表法、图象法．
4．数列的分类
分类标准
名称
含义
例子
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
1，2，3，4，…，100
无穷数列
项数无限的数列
1，4，9，…，n2，…
按项的变化趋势
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
3，4，5，…，n＋2
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
1，，，…，
常数列
各项都相等的数列
6，6，6，6，…
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
1，－2，3，－4，…
5．数列与函数的关系
在数列{an}中，对于每一个正整数n(或n∈{1，2，…，k})，都有一个数an与之对应，因此，数列可以看成以正整数集N
(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1，2，3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….
6．数列的图象
数列用图象来表示，可以以序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，数列的图象是一系列孤立的点，从数列的图象可以直观地看出数列的变化情况．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，1，1，…是无穷数列．( )
(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．( )
(3)有些数列没有通项公式．( )
解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．
(2)错误，虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．
(3)正确，某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项．
解析：an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.
答案：24
3．数列{an}满足an＝log2(n2＋3)－2，则log23是这个数列的第________项．
解析：令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.
答案：3
4．数列1，2，，，，…中的第26项为________．
解析：因为a1＝1＝，a2＝2＝，
a3＝，a4＝，a5＝，
所以an＝，
所以a26＝＝＝2.
答案：2
数列的概念[学生用书P19]
下列叙述正确的是________．
①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；
②数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列；
③数列的第k项是1＋；
④数列0，2，4，6，8，…可表示为an＝2n(n∈N
)．
【解析】 对于①，{1，3，5，7}是集合；
对于②，是两个不同的数列，排列顺序不同；
对于③，ak＝＝1＋；
对于④，an＝2(n－1)(n∈N
)．
【答案】 ③
(1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有穷的或是无穷的．
(2)判断数列单调性的方法：
①若数列{an}满足an
②若数列{an}满足an>an＋1，则是递减数列．
③若数列{an}满足an＝an＋1，则是常数列．
1.下列各组元素能构成数列吗？如果能构成数列，判断是有穷数列，还是无穷数列，并说明理由．
(1)3，，1，2，8，9；
(2)自然数集；
(3)－3，－1，1，x，5，7，y，11.
解：(1)能构成数列，且是有穷数列．
(2)能构成数列，且是无穷数列，形式如：0，1，2，3，….
(3)当x，y代表数时表示数列，此时是有穷数列，当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定次序排列组成的．
由数列的前几项写出数列的通项公式[学生用书P19]
写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)3，5，9，17；(2)，，，；
(3)－1，，－，；(4)0，1，0，1；
(5)9，99，999，9
999.
【解】 (1)3＝2＋1，5＝4＋1＝22＋1，9＝8＋1＝23＋1，17＝16＋1＝24＋1，通项公式an＝2n＋1.
(2)根据题意分析可知：分子为2的倍数，
即为2n，分母比分子的平方小1，
所以an＝.
(3)该数列各项的符号是负正交替变化的，
其绝对值为，，，，
故an＝(－1)n·.
(4)该数列前4项可以写成，，，，
再归纳为，，，，
所以an＝.
(5)因为9＝101－1，99＝102－1，999＝103－1，9
999＝104－1，所以an＝10n－1.
用观察法求数列通项公式的注意事项
给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n和n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
2.写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)－1，，－，；
(2)1，2，3，4；
(3)，，，.
解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：
an＝(－1)n·.
(2)1＝1＋，
2＝2＋，
3＝3＋，
4＝4＋，
…，
故an＝n＋(n∈N
)．
(3)＝＝1－，
＝＝1－，
＝＝1－，
＝＝1－，
…，
故an＝＝1－(n∈N
)．
通项公式的简单应用[学生用书P20]
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
【解】 (1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60.
(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，
所以68不是该数列的项．
若本例中的条件不变，
(1)试写出该数列的第3项和第8项；
(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？
解：(1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，
a8＝3×82－28×8＝－32.
(2)令3n2－28n＝20，
解得n＝10或n＝－(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
3.已知数列{an}的通项公式是an＝n2－12n＋34.
(1)此数列中有没有相等的项？为什么？
(2)n为何值时，an随n的增大而增大？n为何值时，an随n的增大而减小？
(3)试问该数列中是否存在最小项？若存在，是第几项？若不存在，说明理由．
解：设f(x)＝x2－12x＋34，点(n，an)(n∈N
)是该函数图象上的点，而函数f(x)的对称轴为x＝6.
(1)法一：根据上述分析，数列中的第1项与第11项，第2项与第10项，第3项与第9项，第4项与第8项，以及第5项和第7项分别相等．
法二：设有an＝am，(n，m∈N
且n≠m)，
即n2－12n＋34＝m2－12m＋34，
所以(n－m)(n＋m－12)＝0.
因为n≠m，所以n＋m＝12.又n，m∈N
，n≠m，
所以
以下同法一．
(2)法一：当1≤n≤6且n∈N
时，an随n的增大而减小，当n≥6且n∈N
时，an随n的增大而增大．
法二：要使an随着n的增大而增大，
则只要有an＋1>an，n∈N
即可，也就是：
(n＋1)2－12(n＋1)＋34>n2－12n＋34，
化简得2n>11，即n>，
所以n＝6，7，8，9，….
同理当an＋1＜an且n∈N
时，an随n的增大而减小，
此时n<，所以n＝5，4，3，2，1.
综上可知n≥6且n∈N
时，an随n的增大而增大；
n<6且n∈N
时，an随n的增大而减小．
(3)法一：由(2)的法一可知，n＝6时，an最小．
法二：要使an最小，只要
即?≤n≤，
n∈N
.所以n＝6，故当n＝6时，an最小．
1．对数列概念的两点认识
(1)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
(2)次序对一个数列来说相当重要，几个不同的数由于它们的次序不相同，可构成不同的数列．显然，数列与数集有本质的区别．
2．数列的项的三个性质
(1)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与这些数的排列顺序有关．
3．解读数列的通项公式
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N
或它的有限子集{1，2，3，…，n}为定义域的函数解析式．
(2)和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
(3)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
已知数列中，an＝n2－kn(n∈N
)，且单调递增，则k的取值范围是________．
[解析] 由题意知，an＋1－an＝2n＋1－k，
又{an}单调递增，
故2n＋1－k＞0恒成立，
分离变量得k＜2n＋1(n∈N
)，
故k＜3，即k的取值范围是(－∞，3)．
[答案] (－∞，3)
(1)an＝n2－kn是关于n的二次函数，定义域为N
，解题中容易忽略这一条件，把数列误认为函数y＝x2－kx求解．
(2)在解题过程中既要考虑数列{an}是递增数列，又要考虑n的值是正整数，不可盲目地把数列等同于函数．
1．数列中的第4项是________．
解析：第4项为4＋24＝20.
答案：20
2．已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项．
解析：令＝8，得n＝11.
答案：11
3．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x的值是________．
解析：观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.
答案：13
4．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，则a2n＝________，＝________．
解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．
因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
＝＝.
答案：3－4n
, [学生用书P83(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为________．
解析：当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
答案：1，0，1，0
2．在数列，，2，，…，2，…中，2是它的第________项．
解析：将数列化为，，，，…，，…，则2是该数列中的第7项．
答案：7
3．观察数列各项的特点，用适当的数填空．
1，，________，2，，________，，则它的一个通项公式为________．
解析：数列的已知项中含有根号，所以尝试着把各项写成根式的形式：，，________，，，________，，可观察出需填的两项分别是，，通项公式为an＝.
答案： an＝
4．函数y＝2x，当x依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列是________．
解析：该数列的通项公式为an＝2n，当n依次取1，2，3，…时对应的数列为2，4，8，…，2n，….
答案：2，4，8，…，2n，…
5．若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项．
解析：由＝n－2可知，an＝n2－2n.令n2－2n＝15，
得n＝5.
答案：5
6．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为__________．
解析：由an＝19－2n>0，得n<.
因为n∈N
，所以n≤9.
答案：9
7．某次环法自行车比赛有10个分站赛，由于参赛者的体能差异，在第1站结束时剩下710人，第2站结束时剩下700人，第3站结束时剩下680人，第4站结束时剩下650人，…，按这一规律比赛下去，到大赛结束时还剩下________人．
解析：设第n站结束时所剩下的人数为an，写出数列{an}的每一项：a1＝710，a2＝700，a3＝680，a4＝650，a5＝610，a6＝560，a7＝500，a8＝430，a9＝350，a10＝260，从而到大赛结束时还剩下260人．
答案：260
8．数列{an}中，已知an＝(－1)n＋a(a为常数)，且a1＋a4＝3a2，则a100＝________．
解析：因为an＝(－1)n＋a，
所以a1＝(－1)1＋a＝a－1，a4＝(－1)4＋a＝a＋1，
a2＝(－1)2＋a＝a＋1，
所以a－1＋a＋1＝3(a＋1)，
所以a＝－3，
所以an＝(－1)n－3，
所以a100＝(－1)100－3＝－2.
答案：－2
9．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，，3，；
(2)a，b，a，b；
(3)0，，，.
解：(1)注意到各项当n为奇数时an＝n，
当n为偶数时an＝(或an＝n－1)，
因而有an＝(或an＝n(－1)n－1)．
(2)注意到各项当n为奇数时an＝a，
当n为偶数时an＝b，
因而有an＝.
(3)各项分子为n2－n，分母为n2＋1，
因而有an＝.
10．在数列{an}中，a1＝3，a17＝67，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2
016；
(3)2
017是否为数列{an}中的项？若是，为第几项？
解：(1)设an＝kn＋b(k≠0)．
由a1＝3，且a17＝67，得
，解之得k＝4且b＝－1.
所以an＝4n－1.
(2)易得a2
016＝4×2
016－1＝8
063.
(3)令2
017＝4n－1，
得n＝＝?N
，
所以2
017不是数列{an}中的项．
[B 能力提升]
1．已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2)，且a1＝1，则＝________．
解析：依次解出a2＝2，a3＝，a4＝3，a5＝，
于是＝.
答案：
2．已知数列{an}的前4项为11，102，1
003，10
004，则它的一个通项公式为________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1
003＝103＋3，10
004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
3．已知数列{an}的通项公式是关于正整数n的一次函数，若函数图象上有两个点A(1，－2)，B(10，25)，求a5.
解：法一：设an＝pn＋q，则
解得p＝3，
q＝－5，所以an＝3n－5，所以a5＝10.
法二：因为一次函数的图象是直线，
而同一条直线的斜率相等，设C(5，a5)，
所以kAB＝kBC，
即＝，解得a5＝10.
4．(选做题)已知数列.
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；
(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．
解：(1)设an＝f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300.
此方程无正整数解，
所以不是该数列中的项．
(3)证明：因为an＝＝1－，
又n∈N
，所以0<1－<1，所以0所以数列中的各项都在区间(0，1)内．
(4)令所以所以
所以当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间内有数列中的项，且只有一项为a2＝.
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