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第2章 数 列
第2章 数 列
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研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破2．2.1 等差数列的概念
1.理解等差数列的概念． 2.理解等差中项的概念． 3.能够利用等差数列的定义去解决一些问题．
[学生用书P21])
1．等差数列的定义
(1)前提条件：①从第二项起；②每一项与它的前一项的差等于同一个常数．
(2)结论：这个数列是等差数列．
(3)相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示．
2．等差中项
(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．
(2)结论：A叫做a，b的等差中项．
(3)满足的关系式：2A＝a＋b．
3．等差数列的判定方法
(1)利用定义：若an＋1－an＝d(常数)，n∈N
?{an}为等差数列．
(2)借助等差中项：若2an＝an－1＋an＋1(n≥2)?{an}为等差数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．
(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________．
解析：(－3)－(－6)＝3，故d＝3.
答案：3
3．下列数列：
①0，0，0，0；
②0，1，2，3，4；
③1，3，5，7，9；
④0，1，2，3，….
其中一定是等差数列的有________个．
解析：①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．
答案：3
4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于______．
解析：因为三内角A、B、C成等差数列，
所以2B＝A＋C，
又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.
答案：60°
等差数列的判断[学生用书P22]
判断下列数列是否是等差数列．
(1)an＝4n－3；(2)an＝n2＋n.
【解】 (1)因为an＋1－an＝[4(n＋1)－3]－(4n－3)＝4，
所以{an}是首项为1，公差为4的等差数列．
(2)法一：由an＝n2＋n可得a1＝2，a2＝6，a3＝12.
因为a2－a1≠a3－a2，所以{an}不是等差数列．
法二：an＋1－an＝[(n＋1)2＋(n＋1)]－(n2＋n)＝2n＋2.
因为2n＋2的值与n有关，不是一个常数，所以{an}不是等差数列．
判断数列是等差数列的基本方法
(1)要证一个数列是等差数列，可以运用定义证明，即证an＋1－an＝d(其中d是与n无关的常数)，n∈N
成立即可．
(2)要证一个数列不是等差数列，既可以运用定义证明，也可以通过举出反例加以说明．举反例时只需举出一个反例即可，不必逐一说明．
1.设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N
都有2bn＝an＋an＋1，且a＝bn·bn＋1.求证：{}是等差数列．
证明：由a＝bn·bn＋1，得an＋1＝，
所以an＝.代入2bn＝an＋an＋1，
得2bn＝＋.
所以2＝＋.
所以{}是等差数列．
等差数列定义的运用[学生用书P22]
已知三个数成等差数列，它们的和为3，它们的平方和为11，求这个等差数列．
【解】 法一：设第一个数为a1，公差为d，由已知条件得
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（a1＋d）＋（a1＋2d）＝3，,a＋（a1＋d）2＋（a1＋2d）2＝11，))
即eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，①,3a＋6a1·d＋5d2＝11，②))
将d＝1－a1代入②式，
并化简得a－2a1－3＝0，
解得a1＝－1或a1＝3.
从而d＝2或d＝－2.
故所求等差数列为－1，1，3或3，1，－1.
法二：设所求数列为a－d，a，a＋d，由已知条件，得
解得所以
故所求等差数列为－1，1，3或3，1，－1.
在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…(公差为d)；偶数个数成等差，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…(公差为2d)．
2.已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数．
解：设这三个数依次是a－d，a，a＋d，
则由题意可知，(a－d)＋a＋(a＋d)＝12，得a＝4.
由(a－d)·a·(a＋d)＝48，得d＝±2，
所以所求的三个数是2，4，6或6，4，2.
等差中项问题[学生用书P23]
在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
【解】 因为－1，a，b，c，7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项，
则b＝＝3，
又a是－1与3的等差中项，
所以a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
所以c＝＝5.
所以该数列为－1，1，3，5，7.
等差中项的应用
若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项?A＝.
3.若三个数5＋2，m，5－2成等差数列，则m＝________．
解析：因为5＋2，m，5－2成等差数列，
所以5＋2＋5－2＝2m，
所以m＝5.
答案：5
1．对等差数列概念的理解
(1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中的“与前一项的差”相吻合；其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证数列中各项均与其前面一项作差．
(2)定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两层：其一，作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二，强调这两项必须相邻．
(3)定义中要求“同一个常数”，否则这个数列不是等差数列．
2．对等差中项的两点说明
(1)在等差数列中除首末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项．
(2)如果an－an－1＝an＋1－an(n≥2)，则该数列{an}为等差数列，反之亦然．所以2an＝an－1＋an＋1(n≥2)?数列{an}为等差数列，这是判断一个数列是否为等差数列的一种方法．
已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．
[解] 因为an＝an－1＋2(n≥3)，
所以an－an－1＝2(常数)．
又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，
而a2－a1＝0≠a3－a2，
所以数列{an}不是等差数列．
(1)等差数列定义中从第2项起每一项与前一项的差为同一个常数，“从第2项起”及“同一常数”往往被忽视．
(2)对于等差数列概念的理解要注意理解准确是an＋1－an＝d对于n∈N
恒成立或an－an－1＝d对于n∈N
且n≥2恒成立，而证明不是等差数列，只要举出一个反例即可．
1．已知等差数列{an}中，a2＝2，a4＝－2，则它的公差为________．
解析：由等差数列的定义得a4－a2＝2d＝(－2)－2＝－4，所以d＝－2.
答案：－2
2．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为________．
解析：＝＝＝.
答案：
3．在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝________．
解析：由已知得，解得d＝±1.
答案：±1
4．已知等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则ca1，ca2，ca3，…，can(c为常数，且c≠0)是公差为__________的等差数列．
解析：can－can－1＝c(an－an－1)＝cd.
答案：cd
, [学生用书P85(单独成册)])
[A 基础达标]
1．等差数列{an}中，a3＝2，a5＝7，则a7＝________．
解析：因为{an}是等差数列，由定义知a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，a5－a4＝d，所以d＝＝，a7＝2＋4×＝12.
答案：12
2．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________．
解析：根据题意及等差数列的定义得，
a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，
所以a1＝1.又a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，
所以d＝－.
答案：－
3．已知a和2b的等差中项为5，2a和b的等差中项为4，则a和b的等差中项为________．
解析：由题意可知，a＋2b＝10，2a＋b＝8，
相加得3a＋3b＝18，
所以＝3，
所以a，b的等差中项为3.
答案：3
4．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
又Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．
答案：1或2
5．等差数列的相邻4项是a＋1，a＋3，b，a＋b，那么a＋b＝________．
解析：设公差为d，所以d＝a＋3－(a＋1)＝2，所以a＋b－b＝a＝2，b＝7，a＋b＝9.
答案：9
6．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．
解析：设等差数列的公差为d，
则a3＝a1＋2d＝7，a5－a2＝3d＝6.
所以d＝2，a1＝3，
所以a6＝a1＋5d＝13.
答案：13
7．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．
解析：a1＝4，a3＝12，所以d＝＝4.
答案：4
8．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a3的值为________．
解析：因为2an＋1－2an＝1，所以an＋1－an＝.
所以数列{an}是以为公差的等差数列．所以a3＝a1＋2d＝2＋2×＝3.
答案：3
9．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，则x的值为多少？
解：由log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列，得2log3(2x－1)＝log32＋log3(2x＋11)．
所以(2x－1)2＝2·(2x＋11)，
化简，得(2x)2－4·2x－21＝0.
解得2x＝7或2x＝－3(舍去)，故x＝log27.
10．已知数列{an}满足：an＝(n≥2，n∈N
)，数列是不是等差数列？说明理由．
解：由题意可得，
＝＝＋(n≥2)，
即－＝(n≥2)．
根据等差数列的定义可知数列是等差数列．
[B 能力提升]
1．若△ABC的三边a，b，c成等差数列，并且a2，b2，c2也成等差数列，则a∶b∶c＝________．
解析：由已知
消去b，知(a－c)2＝0，
所以a＝c，从而2a＝2b，
所以a＝b，即a＝b＝c.
故a∶b∶c＝1∶1∶1.
答案：1∶1∶1
2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为______．
解析：设最上面一节的容积为a1，公差为d，则有
即
解得则a5＝，
故第5节的容积为升．
答案：升
3．若三个数a－4，a＋2，26－2a适当排列后构成递增等差数列，则a＝________．
解析：显然a－4＜a＋2，
①若a－4，a＋2，26－2a成等差数列，
则(a－4)＋(26－2a)＝2(a＋2)，
所以a＝6，相应的等差数列为2，8，14.
②若a－4，26－2a，a＋2成等差数列，
则(a－4)＋(a＋2)＝2(26－2a)，
所以a＝9，相应的等差数列为5，8，11.
③若26－2a，a－4，a＋2成等差数列，
则(26－2a)＋(a＋2)＝2(a－4)，
所以a＝12，相应的等差数列为2，8，14.
答案：6或9或12
4．(选做题)已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n＞1)，记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
证明：bn＋1－bn＝－
＝－＝－
＝＝.
又b1＝＝，
所以数列{bn}是首项为，
公差为的等差数列．
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巧练·跟踪·验证(共32张PPT)
第2章 数 列
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解惑·探究·突破2．2.2 等差数列的通项公式
1.掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题．
2．理解等差数列的性质，能熟练运用等差数列的性质解决有关问题．
[学生用书P24])
1．等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，其中a1为首项，d为公差．
2．等差数列的常用性质
{an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．
(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N
)时，am＋an＝2ak.
(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．( )
(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列．( )
(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N
都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等．( )
解析：(1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．
(2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．
(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N
都有2an＋1＝an＋an＋2成立．
(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________．
解析：因为a1＝4，d＝－2，所以an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.
答案：6－2n
3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．
解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
答案：180
等差数列的通项公式及其应用[学生用书P24]
(1)2
016是等差数列4，6，8，…的第______项．
(2)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2，则数列{an}的通项公式为________．
【解析】 (1)因为此等差数列的公差d＝2，
所以an＝4＋(n－1)×2，an＝2n＋2，即2
016＝2n＋2，
所以n＝1
007.
(2)由已知有
即
解得a1＝－2，d＝3.
(3)因为a1＝1，an＋1－an＝2，
所以a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－an－1＝2.
将以上各式等号两边分别相加，
得(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝2(n－1)，即an－a1＝2(n－1)．
又因为a1＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
答案：(1)1
007 (2)－2 3 (3)an＝2n－1
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1.已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：设该数列的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N
，
所以153是所给数列的第45项．
等差数列的性质及应用[学生用书P25]
(1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)法一：因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，
所以a60＝a15＋3d，得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝24.
法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
a60＝a15＋45d，
所以20＝8＋45d，所以d＝，
a75＝a15＋60d＝8＋60×＝24.
(2)因为a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，
所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5.
所以a2＋a6＝10，且a2a6＝9.
所以a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根．
所以或
若a2＝1，a6＝9，则d＝＝2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－3.
若a2＝9，a6＝1，
则d＝＝－2，
所以an＝a2＋(n－2)d＝13－2n.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－3或an＝13－2n.
本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15.
解：法一：因为a5，a10，a15成等差数列，
所以a5＋a15＝2a10.
所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32.
法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d，
所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝.
所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32.
等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N
)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
2.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________．
解析：法一：因为a1＋a3＋a5＝105，
即3a3＝105，解得a3＝35，
同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33，
因为d＝＝＝－2.
所以a20＝a4＋(20－4)d＝33＋16×(－2)＝1.
法二：由a1＋a3＋a5＝105，得
a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝3a1＋6d＝105，
由a2＋a4＋a6＝99，
得a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝3a1＋9d＝99，
所以解得
所以a20＝39＋(20－1)×(－2)＝1.
法三：因为a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，
所以(a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5)
＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d＝99－105＝－6，
解得d＝－2，又a1＋a3＋a5＝105得
a3＝35，a20＝a3＋(20－3)d＝35＋17×(－2)＝1.
答案：1
1．等差数列的通项公式
(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．
(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的函数．
(4)等差数列的通项公式的变形
对于任意正整数m，n∈N
有：
an＝am＋(n－m)d体现了等差数列中任意两项之间的关系，公式d＝体现了由等差数列中的任意两项均可以求公差．
2．应用等差数列的性质时，应注意以下两点
(1){an}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，反之也成立．
(2)等差数列{an}中，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq不一定成立．
3．若{an}是公差为d的等差数列，则
(1){c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
(2){can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
(3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为2d的等差数列；
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a11＝－26，a51＝54，求a14的值．你能判断该数列从第几项开始为正数吗？
[解] 由等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d，
列方程组
解得
所以a14＝－46＋13×2＝－20.
所以an＝－46＋(n－1)×2＝2n－48.
令an≥0，得2n－48≥0?n≥24，
所以从第25项开始，各项为正数．
(1)忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，误认为n＝24也满足条件．
(2)由通项公式计算时，易把公式写成an＝a1＋nd，导致结果错误．
(3)等差数列通项公式中有a1，an，n，d四个量，知三求一，一定要准确应用公式．
1．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89的项数为______．
解析：因为a1＝1，d＝－1－1＝－2，
所以an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46.
答案：46
2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________．
解析：因为a7＋a9＝2a8＝16，故a8＝8.
在等差数列中，a4，a8，a12成等差数列，
所以a12＝2a8－a4＝16－1＝15.
答案：15
3．在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是第________项．
解析：因为{an}是等差数列，首项是40，其公差d＝37－40＝－3，
所以此数列的通项公式为
an＝40＋(n－1)×(－3)＝－3n＋43.
令an＝－3n＋43＜0，解得n＞，
由于要求的是等差数列40，37，34，…中第一个负数项，
故应求n＞时的最小正整数，所以n取值为15.
答案：15
4．一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2
m，以后每秒都比前一秒多滑行4
m，又知离地前一秒滑行了58
m，则这架飞机起飞所用的时间为________秒．
解析：飞机每秒滑行的距离组成等差数列，记为{an}，其中a1＝2，d＝4，an＝58，代入等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得2＋4(n－1)＝58，
所以n＝15(秒)．
答案：15
, [学生用书P86(单独成册)])
[A 基础达标]
1．在数列{an}中，a1＝3，an＋1－an＝1(n∈N
)，则an＝________．
解析：由题意可得d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.
答案：n＋2
2．等差数列{an}中，a2＝3，a6＝11，则a12＝________．
解析：a6－a2＝4d＝11－3＝8，d＝2，所以a12＝a6＋6d＝11＋6×2＝23.
答案：23
3．已知等差数列的前三项为a－1，a＋1，2a＋3，则这个数列的通项公式是________．
解析：由题意得a＋1－(a－1)＝2a＋3－(a＋1)，得a＝0，
所以数列是首项为－1，公差为2的等差数列，
所以an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3.
答案：an＝2n－3
4．{an}为等差数列，若a3＋a11＝10，则a6＋a7＋a8＝________．
解析：因为a3＋a11＝a6＋a8＝2a7＝10，
所以a6＋a7＋a8＝(a3＋a11)＝15.
答案：15
5．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，
则
解得或
所以这三个数为－1，3，7或7，3，－1.
所以这三个数的积为－21.
答案：－21
6．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝__________．
解析：因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，
所以a8＝8，即m＝8.
答案：8
7．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝________．
解析：因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，
即q－p＝(p－q)d，因为p≠q，所以d＝－1.
所以ap＋q＝ap＋(p＋q－p)d＝q＋q×(－1)＝0.
答案：0
8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.
答案：5
9．已知函数f(x)＝(a，b为常数，a≠0)满足f(2)＝1，且f(x)＝x有惟一解．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若记xn＝f(xn－1)，且x1＝1，xn＞0，求xn.
解：(1)f(2)＝1?＝1，即2a＋b＝2.①
f(x)＝x?＝x，
即ax2＋bx－x＝0有惟一解，
则Δ＝(b－1)2＝0，所以b＝1.②
②代入①得a＝，故f(x)＝＝.
(2)当n＝1时，x2＝f(x1)＝＝.
当n≥2时，xn＝f(xn－1)＝，
由已知xn＞0，则＝＝＋，
即－＝.
又因为－＝－1＝，
故是首项为1，公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝，故xn＝.
10．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a1＝2，a3＝10.若bn＝an－30，求数列{bn}的通项公式．
解：由题意，知an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，故数列{an}为等差数列．
又a1＝2，a3＝10，
所以公差d＝＝4，
所以an＝4n－2，从而bn＝an－30＝2n－31.
[B 能力提升]
1．设首项为－20的数列{an}为等差数列，且恰从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是________．
解析：由已知得
解得从而d的取值范围是.
答案：
2．数列{an}中，a1＝1，a2＝，且＋＝，则an＝________．
解析：因为＋＝，
所以数列为等差数列，
又＝1，公差d＝－＝－1＝，
所以通项公式＝＋(n－1)d＝1＋(n－1)×＝，
所以an＝.
答案：
3．数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(，
)在直线x－y－＝0上，则an＝________.
解析：将点(，)代入直线方程，得－＝.
由等差数列定义知{}是以为首项，为公差的等差数列．故＝＋(n－1)＝n.所以an＝3n2.
答案：3n2
4．(选做题)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N
)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2
016.
解：(1)证明：因为xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N
)，
所以＝＝＋，
所以－＝(n≥2且n∈N
)，所以是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
所以＝＝.
所以x2
016＝.
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第2章 数 列
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预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破2．2.3 等差数列的前n项和
1.掌握等差数列的求和公式在解题中的运用． 2.理解等差数列前n项和公式的性质并会简单运用．
3．初步体会等差数列前n项和公式在实际问题中的运用．
, [学生用书P26])
1．数列前n项和Sn与an的关系
(1)Sn的记法：数列{an}中，前n项的和记为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an.
(2)an与Sn的关系：若数列的前n项和为Sn，则通项公式an＝
2．等差数列的前n项和公式
(1)公式1：Sn＝．
(2)公式2：Sn＝na1＋d．
3．倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末两项等距离两项之和等于首末两项之和，可采用正着写和与倒着写和的两个式子相加，就得到数列{an}的前n项和．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．( )
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.( )
解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又因为a1＝S1＝3，
所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
答案：(1)√ (2)× (3)×
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________．
解析：因为a1＝1，d＝1，
所以Sn＝n＋×1＝
＝＝.
答案：
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知得4a1＋×d＝20，
即4×＋d＝20，
解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
答案：48
4．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝________．
解析：法一：因为{an}是等差数列，设其公差为d，
所以S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3.
又因为a10＝8，所以所以
所以a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.
法二：因为{an}是等差数列，
所以S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，所以a5＝3.
在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.
答案：98
与等差数列前n项和Sn有关的基本运算[学生用书P26]
在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
【解】 (1)由题意，得＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
所以d＝－.
(2)由已知，得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又因为a8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.
(3)由
得
解方程组得或
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
1.已知等差数列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d；
(3)S5＝24，求a2＋a4.
解：(1)因为Sm＝m×＋×＝－15，
整理，得m2－7m－60＝0，
解得m＝12或m＝－5(舍去)，
所以am＝a12＝＋(12－1)×＝－4.
(2)由Sn＝＝＝－1
022，
得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，
即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.
(3)法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，
则S5＝5a1＋d＝24，
得5a1＋10d＝24，a1＋2d＝.
所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×＝.
法二：由S5＝＝24，
得a1＋a5＝.
所以a2＋a4＝a1＋a5＝.
等差数列前n项和性质的应用[学生用书P27]
等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
【解】 法一：设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②整理得d＝－，
代入①，得a1＝，所以S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110×
＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
法二：设Sn＝an2＋bn.
因为S10＝100，S100＝10，
所以解得
所以Sn＝－n2＋n.
所以S110＝－×1102＋×110＝－110.
法三：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列，设其公差为D，则此数列前10项的和为10S10＋·D＝S100＝10，解得D＝－22，
所以S110－S100＝S10＋(11－1)D
＝100＋10×(－22)
＝－120.
所以S110＝－120＋S100＝－110.
法四：因为S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100
＝＝，
又S100－S10＝10－100＝－90，所以a1＋a110＝－2.
所以S110＝＝－110.
法五：由Sn＝na1＋·d，
得＝a1＋(n－1)·.
所以可建立n与的函数关系，则点是直线y＝·(x－1)＋a1上的一串点，即这些点共线，从而每两点连线的斜率相等，
所以点(10，10)、、共线，
所以＝，解得S110＝－110.
本题运用了等差数列前n项和性质：Sn＝An2＋Bn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，使运算简化，同时也要注意应用函数思想．
2.一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之和的比为32∶27，则公差为________．
解析：?
由S偶－S奇＝6d?d＝5.
答案：5
等差数列前n项和的最值问题[学生用书P27]
已知等差数列{an}，且满足an＝40－4n，前多少项的和最大，最大值为多少？
【解】 法一：(函数法)因为an＝40－4n，
所以a1＝40－4＝36，
所以Sn＝＝·n＝－2n2＋38n
＝－2＋
＝－2＋.
令n－＝0，则n＝＝9.5，且n∈N
，
所以当n＝9或n＝10时，Sn最大，
所以Sn的最大值为S9＝S10＝－2＋＝180.
法二：(通项法)因为an＝40－4n，
所以a1＝40－4＝36，
a2＝40－4×2＝32，
所以d＝32－36＝－4<0，
数列{an}为递减数列．
令有
所以即9≤n≤10.
所以当n＝9或n＝10时，Sn最大．
所以Sn的最大值为S9＝S10＝×10＝×10＝180.
若本例中an＝40－4n变为an＝2n－14，求该数列前n项和Sn的最小值．
解：法一：因为an＝2n－14，所以a1＝－12，d＝2.
所以a1
所以当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
易求S6＝S7＝－42，
所以(Sn)min＝－42.
法二：因为an＝2n－14，
所以a1＝－12.
所以Sn＝＝n2－13n＝－.
所以当n＝6或n＝7时，
Sn最小，且(Sn)min＝－42.
求等差数列前n项和Sn的最值常用的两种方法
(1)运用配方法．将Sn＝n2＋n配方．转化为二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决．
(2)根据项的正负来定．若a1>0，d<0，则数列的所有正数项之和最大；若a1<0，d>0，则数列的所有负数项之和最小．
3.若等差数列5，4，3，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的项数n的值．
解：法一：根据等差数列前n项和的公式可求得
Sn＝＝－＋，
所以Sn最大时，n＝7或8.又S7＝S8＝20.
故Sn最大时，n＝7或8.
法二：由题意知，等差数列5，4，3…的公差
d＝－，所以an＝5＋(n－1)×＝，
令an＝0，得n＝8，
又因为d＝－<0，
所以{an}是一个递减数列．
所以n＝7或n＝8时，
Sn取得最大值．
等差数列前n项和公式的实际应用[学生用书P27]
某市在某年4月份发生疫情．据资料统计，4月1日，该市的新感染者为20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者多10人．由于该市各部门通力合作，采取隔离措施(还没有特效药问世)，使疫情的传播得到了控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者少8人，到4月30日止，该市在这30天内感染该病的患者共有2
196人．问：4月几日该市新感染该病的人数最多？并求这一天的新感染人数．
【解】 设从4月1日起的第n(n∈N
，1≤n≤30)天，感染此病的新患者人数最多．则从4月1日到4月n日，每天的新患者人数构成一个等差数列，这个数列的首项为20，公差为10，所以，前n天的感染者总人数就是这个数列的前n项和Sn＝20n＋×10＝5n2＋15n；从4月n＋1日开始，至4月30日，每天新感染人数也构成一个等差数列，其首项为20＋10(n－1)－8＝10n＋2，项数为30－n，公差为－8.
故这后30－n天的新感染人数为
T30－n＝(30－n)(10n＋2)＋×(－8)
＝－14n2＋534n－3
420.
从而，这个月的感染者总人数为
Sn＋T30－n＝5n2＋15n＋(－14n2＋534n－3
420)＝2
196.
化简得n2－61n＋624＝0，
解得n＝13或48，
因为n∈N
，1≤n≤30，所以n＝13.
即该市4月13日的新感染者人数最多，
这一天的新感染人数为20＋(13－1)×10＝140人．
本题是一道等差数列求和的应用题，首先要根据问题给出的已知条件建立数学模型，此题是把每天新感染人数的变化规律抽象为两个等差数列问题，再用等差数列的求和公式来解决．
4.沙尘暴是由于土地沙漠化引起的，根据调查，某县2011年已有一定面积的沙漠，以后每年被沙漠化的土地面积相同；该县从2012年起在沙漠上植树，改造沙漠为林地，以后每年都比上一年多植相同面积的树木，据统计，沙漠面积及每年植树面积(单位：亩)如下表：
年份
沙漠面积
每年植树面积
2012
25
200
1
000
2013
24
000
1
400
问：到哪一年底可以将所有沙漠改造完？
解：设2011年有沙漠m亩，以后每年被沙漠化的土地面积有y亩，从2012年起在沙漠上每年植树面积构成等差数列为{an}，a1＝1
000，a2＝1
400，公差d＝400，
则第n年底植树面积为
Tn＝1
000n＋×400＝200n2＋800n.
则第n年底沙漠总面积为
Sn＝m＋ny－Tn＝m＋ny－200n2－800n.
所以解得
所以Sn＝－200n2－600n＋26
000，
由Sn≤0，得Sn＝－200n2－600n＋26
000≤0，
即n2＋3n－130≥0，
解得n≥10或n≤－13(舍去)．
故到2021年年底可以将所有沙漠改造完．
1．等差数列前n项和公式的特点
(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．
(2)当已知首项、末项和项数时，用公式1较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式2较好．
(3)等差数列的五个基本量包含于三个公式(两个前n项和公式、一个通项公式)中，简称“五量三式”知其中三个量可求另外两个量，共有10种情形，进行基本量计算时，一要注意选用公式，其中已知an，Sn，d求a1和n时需选两个公式联立方程组求解，二要恰当运用等差数列的性质进行转化和快速计算．
(4)当公差不为零时，等差数列的通用公式是关于n的一次函数，前n项和公式是关于n的没有常数项的二次函数，因此前n项和必有最大值或最小值．
2．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.
(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝.
在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.求{|an|}的前n项和．
[解] 记{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn.
由a10＝23，a25＝－22可得a1＝50，d＝－3.
当n≤17，n∈N
时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn
＝na1＋d＝－n2＋n，
当n≥18，n∈N
时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an
＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S17－Sn
＝2－
＝n2－n＋884.
所以当n≤17，n∈N
时，
{|an|}的前n项和为－n2＋n，
当n≥18，n∈N
时，
{|an|}的前n项和为n2－n＋884.
综上可知Tn＝
对于带有绝对值号的数列求和问题，应先弄清n取什么值时an＞0或an＜0，然后求解，因此本类型题的易错点在于对n在什么范围内取值时an＞0或an＜0的讨论．
1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝________．
解析：因为{an}是等差数列，
所以a2＋a4＝2a3＝1＋5，所以a3＝3，
所以S5＝＝＝5a3＝5×3＝15.
答案：15
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝__________．
解析：由题意知a1＝2，
由S3＝3a1＋×d＝12，
解得d＝2，
所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12.
答案：12
3．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
由已知得
解得
所以S6＝6a1＋×6×5d＝36＋15×(－2)＝6.
答案：6
4．在递减等差数列{an}中，若a1＋a100＝0，则其前n项和Sn取最大值时的n的值为________．
解析：因为a1＋a100＝a50＋a51＝0，
且d<0，所以a50>0，a51<0，
所以当n＝50时，Sn取最大值．
答案：50
, [学生用书P88(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，则{an}的前n项和Sn＝________．
解析：a1＝2×1＋1＝3，
Sn＝＝＝n2＋2n.
答案：n2＋2n
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________．
解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由6S5－5S3＝5知，6×(5a1＋10d)－5(3a1＋3d)＝5，得3(a1＋3d)＝1，
所以a4＝.
答案：
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．
解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
答案：45
4．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了19层瓦片，则该斜面共铺了________块瓦片．
解析：由题可知，每一层所铺瓦片数由上至下依次构成一个等差数列，设为{an}，则a1＝21，d＝1，n＝19.
所以S19＝＝570，即该斜面共铺了570块瓦片．
答案：570
5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时满足，所以d＝2A.
答案：2A
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝________．
解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
答案：14
7．某工厂去年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，则去年全年总产值为________万元．
解析：法一：设第一个月产值为a1万元，每月产值增长d万元，则解得
所以全年产值为＝200(万元)．
法二：季度产值也按等差数列增长，且此时的公差为(60－20)－20＝20，所以全年总产值为＝200(万元)．
答案：200
8．已知等差数列{an}共有20项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为112，则公差d＝________．
解析：依题意：S偶－S奇＝10d＝112－132＝－20，
所以d＝－2.
答案：－2
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值．
解：(1)设{an}的公差为d.
则
解得a1＝－9，d＝3，
所以an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)
＝－，
所以当n＝3或4时，
前n项的和取得最小值为－18.
[B 能力提升]
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________．
解析：an＝2n－30，令an<0，得n<15，
即在数列{an}中，前14项均为负数，
所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)
＝－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.
答案：190
2．在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为________．
解析：由题意得a1＋2d＝－a1－8d，
所以a1＝－5d＞0，
所以Sn＝na1＋d＝－5nd＋d
＝－d，
又因为d＜0，n∈N
，
所以当n＝5或6时，Sn取最大值．
答案：5或6
3．等差数列{an}的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为________．
解析：由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝124，
an＋an－1＋an－2＋an－3＝156，
所以4(a1＋an)＝280，所以a1＋an＝70.
又Sn＝＝×70＝210，
所以n＝6.
答案：6
4．(选做题)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
因为a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，
所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，所以a3所以a3＝9，a4＝13.
所以所以
所以an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
所以bn＝＝.
所以b1＝，b2＝，b3＝.
因为{bn}是等差数列，
所以2b2＝b1＋b3，
所以2c2＋c＝0，
所以c＝－(c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，
所以c＝－.
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