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第2章 数 列
第2章 数 列
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研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破2．3.1 等比数列的概念
1.理解等比数列的概念． 2.理解等比中项的概念． 3.能够利用等比数列的定义去解决一些问题．
, [学生用书P29])
1．等比数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．
(2)表达式：＝q(q为常数，q≠0)．
2．等比中项
如果a，G，b这三个数成等比数列，则G叫做a和b的等比中项，G＝±．
3．等比数列的判定方法
(1)定义法：对于数列{an}，若＝q(q为常数，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比中项法：对于数列{an}，若anan＋2＝a(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N
)，则数列{an}是等比数列．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )
(3)常数列一定为等比数列．( )
(4)任何两个数都有等比中项．( )
解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．
(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．
(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．
(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列数列为等比数列的序号是________．
①2，22，3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.
解析：≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．
答案：②
3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________．
解析：由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①
a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②
所以②÷①得q3＝，所以q＝.
答案：
4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________．
解析：由等比数列定义知＝＝＝q.
所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，
a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，
a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.
答案：－729
等比数列的判定[学生用书P29]
观察下面几个数列，判断是不是等比数列．
(1)数列1，2，6，18，54；
(2)数列{an}中，已知＝2，＝2；
(3)常数列a，a，…，a；
(4)数列{an}中，＝q(q为常数，q≠0)，其中n∈N
.
【解】 (1)不符合等比数列的定义，故不是等比数列．
(2)不一定是等比数列，当数列只有三项时，它是等比数列；当数列多于3项时，不一定也等于2，故它不一定是等比数列．
(3)不一定是等比数列．当a＝0时，无意义，不是等比数列；当a≠0时，＝1(常数)，数列是等比数列．
(4)是等比数列．等比数列的定义用符号表示就是＝q(q为常数，q≠0)(n∈N
)．
(1)关于等比数列
①定义中“同一个常数”非常重要，切不可丢掉．
②常数列是等差数列，但不一定是等比数列，各项都为0的常数列，不是等比数列；各项都不为0的常数列，是等比数列．
③定义给出了等比数列任意相邻两项的递推关系：＝q(q为常数，q≠0，n∈N
)，即an＋1＝anq(n∈N
)，注意an＋1与an的顺序．
(2)判断等比数列
①紧扣定义，是判断一个数列是不是等比数列的通法；
②举反例法是否定结论常用的方法．
1.在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N
)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
证明：法一：因为an>0，
所以an＋3>0.
又因为an＋1＝2an＋3，
所以＝＝＝2.
所以数列{an＋3}是首项为a1＋3，
公比为2的等比数列．
法二：因为an>0，所以an＋3>0.
又因为an＋1＝2an＋3，
所以an＋2＝4an＋9.
所以(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)
＝(2an＋6)2
＝(an＋1＋3)2.
即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，
所以数列{an＋3}是等比数列．
等比数列定义的应用[学生用书P30]
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
【解】 法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，(a≠0)，
由条件得
解得或
所以，当a＝4，d＝4时，
所求四个数为0，4，8，16；
当a＝9，d＝－6时，
所求四个数为15，9，3，1.
故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，
由条件得
解得或
当a＝8，q＝2时，
所求四个数为0，4，8，16；
当a＝3，q＝时，所求四个数为15，9，3，1.
法三：设这四个数依次为x，y，12－y，16－x.
则
解得或
当x＝0，y＝4时，所求四个数为0，4，8，16；
当x＝15，y＝9时，所求四个数为15，9，3，1.
综上可得这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1.
若三个数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.类比，若三个数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
2.已知三个数成等比数列，若三个数的积为125，三个数的和为31，求此三个数．
解：设这三个数为，x，xq，根据题意，
得
解得或
所以所求的三个数为
1，5，25或25，5，1.
等比中项问题[学生用书P30]
等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
【解】 由题意知a3是a1和a9的等比中项，
所以a＝a1a9，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得a1＝d，
所以＝＝.
(1)理解等比中项时应注意
①如果G是a和b的等比中项，那么＝，即G2＝ab；
②两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项即G＝±.
(2)运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．同时等比中项在解决问题时常起到桥梁作用．
3.若a，b，c成等比数列，试证：－(ab＋bc)是b2＋a2与b2＋c2的一个等比中项．
证明：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.
从而[－(ab＋bc)]2＝b2(a＋c)2＝ac(a＋c)2.
(a2＋b2)(b2＋c2)＝(a2＋ac)(ac＋c2)
＝a(a＋c)·c(a＋c)
＝ac(a＋c)2，
于是[－(ab＋bc)]2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，
即－(ab＋bc)是a2＋b2与b2＋c2的一个等比中项．
1．对等比数列概念的理解
(1)定义中“从第二项起”这一前提条件有两层含义：
其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中的“与它的前一项的比”相吻合；
其二：定义包括首项这一基本量，且必须从第二项起保证数列中各项均与其前面一项作商．
(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比前面的项；其二强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是等比数列．
2．对等比中项的两点说明
(1)如果ab>0，则a，b的等比中项有两个，为±；如果ab<0，则a，b没有等比中项．
(2)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如a＝G＝b＝0.
给出下列四个命题：
①数列{an}满足an＋1＝qan，则{an}为等比数列；
②数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1，则{an}为等比数列；
③常数列{an}既是等差数列，又是等比数列；
④数列{an}：1，1，2，6，24，…由于＝1是常数，＝2是常数，＝3是常数，＝4是常数，…，所以{an}是等比数列．
其中错误命题的序号是________．
[解析] 对概念的理解停留在表象上．{an}为等比数列隐含了an≠0，q≠0，而在①②③中都可能有an＝0或q＝0，所以①②③全错，④显然错．
[答案] ①②③④
要弄清数学概念的内涵和外延．等比数列首先能作比例，要求各项不为0，其次比值是一个不变的相等的常数．
1．下列关于“等比中项”的说法中，正确的是________(填序号)．
①任何两个实数都有等比中项；
②两个正数的等比中项必是正数；
③两个负数的等比中项不存在；
④同号不为零的两数必存在互为相反数的两个等比中项．
解析：①一正数、一负数没有等比中项；
②两个正数的等比中项有两个，它们一正、一负；
③两个负数a，b的等比中项为±；
所以①、②、③错误，易知④正确．
答案：④
2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是________．
解析：由a(1－a)≠0得a≠0且a≠1.
答案：a≠0且a≠1
3．若－1，a，b，8成等比数列，则a＋b＝________.
解析：由已知得
解得所以a＋b＝－2.
答案：－2
, [学生用书P90(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列说法中正确的有________(填序号)．
①一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；
②一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列；
③一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于常数，这个数列就叫等比数列；
④一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫等比数列．
解析：由等比数列的定义知④正确．
答案：④
2．4＋与4－的等比中项是________．
解析：设它们的等比中项为A，
则A2＝(4＋)·(4－)＝13，所以A＝±.
答案：±
3．若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则该数列是________．
答案：非零的常数列
4．下列数列中，一定是等比数列的个数是________．
①－1，－2，－4，－8；②1，－，3，－3；③3，3，3，3；④b，b，b，b.
解析：①②③为等比数列，④只有b≠0时，方为等比数列，故一定是等比数列的个数有3个．
答案：3
5．在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是________．
解析：设这两个正数为x，y，由题意可得
解得(舍去)或
所以x＋y＝＝11.
答案：11
6．已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c__________等差数列，________等比数列．(填“成”或“不成”)
解析：a＝log23，b＝log26，c＝log212，
因为2log26＝log236＝log23＋log212，
所以2b＝a＋c，所以a，b，c成等差数列．
但(log26)2≠log23·log212，所以a，b，c不成等比数列．
答案：成 不成
7．如果a，b，c成等比数列，那么函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是________．
解析：因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，
所以b2－4ac＝－3ac<0，所以f(x)的图象与x轴没有交点．
答案：0
8．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为________．
解析：设这个数为x，
则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，
所以这三个数为45，75，125，
公比q为＝.
答案：
9．已知三个数成等比数列，其和为26，其平方和为1
092，求这三个数．
解：设这三个数为，a，aq，由已知可得
所以
由＝q2＋＋2，得＝＋1，
解得a＝－8，q＝－4或－.
所以这三个数为2，－8，32或32，－8，2.
10．数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列．
证明：由已知得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
故＝＝
＝＝2，所以数列{bn}是等比数列．
[B 能力提升]
1．{an}，{bn}都是等比数列，那么下列正确的序号是______．
①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列；
②{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列；
③{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列；
④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列．
解析：{an＋bn}不一定是等比数列，如an＝1，bn＝－1，因为an＋bn＝0，所以{an＋bn}不是等比数列．设{an}，{bn}的公比分别为p，q，因为＝·＝pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列．
答案：③
2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad＝________．
解析：由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，得b＝1，c＝2.
又a，b，c，d成等比数列，即a，1，2，d成等比数列，
所以d＝4，a＝，故ad＝4×＝2.
答案：2
3．等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是________．
解析：因为a＝a1·a5，
所以(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)．
所以d2＝2a1d，而d≠0，
所以d＝2a1＝2.
所以S10＝10×1＋×2＝100.
答案：100
4．(选做题)某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第3个月的产量比原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？
解：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x－d，x，x＋d(d>0)，则实际上3个月生产微机台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25.
由题意得
解得x＝90，d＝10.
故有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)
＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，
即该厂第一季度实际生产微机305台．
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第2章 数 列
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解惑·探究·突破2．3.2 等比数列的通项公式
1.掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题．
2．理解等比数列的性质，能熟练运用等比数列的性质解决有关问题．
, [学生用书P31])
1．等比数列的通项公式
(1)通项公式：设数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1．
(2)通项公式的变形：设an，am分别是等比数列{an}的第n项和第m项，数列{an}的公比为q，则an＝amqn－m(m，n∈N
)．
2．等比数列的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1)an＝amqn－m(m，n∈N
)；
(2)若m＋n＝s＋t＝2k(m，n，s，t，k∈N
)，
则am·an＝as·at＝a；
(3){c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列；
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5)若{bn}是公比为q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q2的等比数列．
1．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝________，an＝________．
解析：a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.
答案：24 3×2n－1
2．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________．
解析：因为a7＝a5q2，
所以q2＝.
所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.
答案：9
3．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．
解析：因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.
答案：25
等比数列的通项公式及其应用[学生用书P32]
已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
【解】 (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0
得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝.
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．因为方程组中含有指数式，通常采用相除消元法求a1和q.
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法具有一定的技巧性，能简化运算．
1.(1)若等比数列{an}的前三项分别为5，－15，45，则第5项是________．
(2)已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，则n＝________．
解析：(1)因为a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，
所以a5＝405.
(2)因为
由，得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，所以32×＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
答案：(1)405 (2)6
等比数列的性质及应用[学生用书P32]
已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9.
【解】 法一：根据等比数列的性质得
a2·a10＝a3·a9＝a，
由a2·a6·a10＝1得a＝1，故a6＝1，
所以a3·a9＝a＝1.
法二：根据等比数列的通项公式得：
a2·a6·a10＝(a1q)(a1q5)(a1q9)＝a·q15＝(a1q5)3＝1，所以a1q5＝1，所以a3·a9＝(a1q2)(a1q8)＝(a1q5)2＝1.
解决此类问题时，应用等比数列的性质，会简化运算过程．要注重领会整体思想，观察整体特征，找到它们的内在联系，选取合适的方法．
2.(1)已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7.
(2)已知{an}为等比数列，a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q.
解：(1)法一：相除得q8＝9.
所以q4＝3，所以a7＝a3·q4＝9.
法二：因为a＝a3a11＝81，所以a7＝±9，
又a7＝a3q4＝3q4>0，所以a7＝9.
(2)因为a2·a8＝36＝a3·a7，
而a3＋a7＝15，
所以a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.
所以q4＝＝4或，所以q＝±或q＝±.
1．用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，还可以改写为an＝qn，当q>0且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝·qn是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上一些孤立的点．
2．等比数列的通项公式与指数函数
(1)等比数列的通项公式an＝a1·qn－1可以看作是指数型函数y＝cqx.
(2)等比数列增减性：
①当q>1，a1>0或0②当q>1，a1<0或00时，等比数列{an}是递减数列．
③当q＝1时，等比数列{an}是常数列．
④当q<0时，等比数列{an}是摆动数列．
已知{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，求{an}的通项公式．
[解] 因为(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，
所以(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
因为an>0，所以an＋1＋an>0，所以＝，
即an＋1＝an，所以an＝an－1＝·an－2
＝··…··a1＝··…···1＝，所以数列{an}的通项公式为an＝.
(1)本题易出现以下错解：
因为(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，
即(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
因为an>0，所以an＋1＋an>0，所以(n＋1)an＋1＝nan，
所以＝，所以{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
所以数列{an}的通项公式为an＝.
以上错解中不是常数，不能作为等比数列的公比．
(2)由＝q得{an}为等比数列中的q必须是一个非零常数．
1．在等比数列{an}中，a5＝8，a7＝2，且该数列的各项都为正数，则通项公式an＝________．
解析：由已知得得
因为an>0，所以所以an＝128×＝.
答案：
2．在等比数列{an}中，若a6＝6，a9＝9，则a3＝________．
解析：因为a9＝a6q3，所以9＝6q3，解得q3＝.
所以a3＝a6q－3＝＝4.
答案：4
3．在等比数列{an}中，a3a5a7a9a11＝243，则eq
\f(a,a11)＝________．
解析：因为a3a11＝a5a9＝a，
由a3a5a7a9a11＝243，
得a＝35，所以a7＝3，所以eq
\f(a,a11)＝＝a7＝3.
答案：3
4．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－，则这三个数依次为________．
解析：设这三个数分别为，a，aq，
则
解得a＝1，q＝－，
所以这三个数依次为－，1，－.
答案：－，1，－
, [学生用书P91(单独成册)])
[A 基础达标]
1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则{an}的通项公式为________．
解析：由等比数列的定义可知{an}是等比数列，且q＝2，所以an＝2n.
答案：an＝2n
2．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程2x2＋7x＋6＝0的两个根，则a1a3a5a7a9＝________．
解析：因为a3，a7是方程2x2＋7x＋6＝0的两根，
所以a3a7＝3>0，a3＋a7＝－<0，
所以a3<0，a7<0，
所以a5＝a3q2<0，
又a＝a3a7＝3，所以a5＝－，
所以a1a3a5a7a9＝a＝－9.
答案：－9
3．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．
解析：因为a3＝3，a10＝384，设公比为q(q≠0)，
所以a10＝a3·q7，即384＝3·q7，所以q＝2，a1＝，
即等比数列{an}的通项公式为
an＝a1·qn－1＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
4．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为________．
解析：因为a4a6＝a，所以a4a5a6＝a＝3，
解得a5＝3.
因为a1a9＝a2a8＝a，
所以log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9
＝log3(a1a2a8a9)＝log3a＝log33＝.
答案：
5．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________．
解析：法一：由题意得
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，,a5a6＝a1q4×a1q5＝aq9＝－8，))
所以或
所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
法二：由解得或
所以或所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
答案：－7
6．数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________．
解析：因为bn＝，且b10·b11＝2，
又{bn}是等比数列，
所以b1·b20＝b2·b19＝…＝b10·b11＝2，
则··…＝b1b2b3…b20＝210，即＝1
024，
从而a21＝1
024a1＝1
024.
答案：1
024
7．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________．
解析：由等比数列的性质得a3a11＝a，所以a＝4a7.因为a7≠0，所以a7＝4，所以b7＝a7＝4.
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
答案：8
8．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．
解析：设此三数为3，a，b，
则
解得或所以这个未知数为3或27.
答案：3或27
9．已知数列{an}中a＝4an，a1＝1，an>0，求其通项公式．
解：因为an>0，对a＝4an，两边取对数，
得2log2an＋1＝log2an＋2.
令bn＝log2an，则2bn＋1＝bn＋2，即2(bn＋1－2)＝bn－2.
令Cn＝bn－2，则Cn＋1＝Cn，且a1＝1，
所以b1＝0，C1＝－2，
所以{Cn}为等比数列，
所以Cn＝－2＝－22－n.
所以bn＝2－，an＝22－22－n.
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1知，a1＋1＝2，这时an＋1≠0，
所以＝2(n∈N
)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)得an＋1＝2·2n－1＝2n，
所以an＝2n－1.
[B 能力提升]
1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．
解析：设轿车每年的价值构成数列{an}，根据题意分析可知数列{an}是首项为36，公比为0.9的等比数列，
则an＝36×(0.9)n－1，
根据题意有an≤18，则36×(0.9)n－1≤18，
即(0.9)n≤0.45，
因为y＝(0.9)n关于n单调递减，又|0.97－0.45|>|0.98－0.45|，故n＝8.
答案：8
2．已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为______________．
解析：由题意设此四个数分别为，b，bq，a，则b3＝－8，解得b＝－2，q与a可通过解方程组求出，
即为或
所以此四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.
答案：1，－2，4，10或－，－2，－5，－8
3．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝1－an，求an.
解：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝1－an－
＝－an＋an－1，
则an＝an－1，所以＝，
所以数列{an}为等比数列．
令n＝1，则S1＝1－a1，
即a1＝1－a1，
所以a1＝，所以an＝×.
4．(选做题)若数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，
可得an＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N
)，
两式相减，得an＋1－an＝2an，
所以an＋1＝3an(n≥2，n∈N
)．
因为a2＝2S1＋1＝3，
所以a2＝3a1.
故数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an＝3n－1.
(2)设数列{bn}的公差为d，由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，所以(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.
解得d1＝2，d2＝－10.
因为等差数列{bn}的各项为正数，所以d>0，所以d＝2，所以b1＝3.
所以Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
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第2章 数 列
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预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破2．3.3 等比数列的前n项和
1.掌握等比数列的求和公式在解题中的运用． 2.理解等比数列前n项和公式的性质并会简单运用．
3．初步体会等比数列前n项和公式在实际问题中的运用．
, [学生用书P33])
1．等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、末项与公比
公式
Sn＝
Sn＝
2．等比数列前n项和公式的性质
已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm；
(2)若Sm，S2m－Sm，S3m－S2m均不为0，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列；
(3)若{an}共2k(k∈N
)项，则＝q.
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( )
(3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N
)，则此数列一定是等比数列．( )
解析：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na.
(3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝(q≠0且q≠1)变形为Sn＝－qn(q≠0且q≠1)，若令a＝，则和式可变形为Sn＝a－aqn.
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________．
解析：S5＝＝＝31.
答案：31
3．数列，，，，…的前10项的和S10＝________．
解析：S10＝＋＋＋…＋＋，
则S10＝＋＋…＋＋.
两式相减得，S10＝＋＋＋…＋－＝－，所以S10＝.
答案：
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
解析：去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a·＝11(1.15－1)a.
答案：11(1.15－1)a
与等比数列前n项和Sn有关的基本运算[学生用书P33]
(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
(2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
【解析】 (1)因为
a1＝2，an＋1＝2an，
所以数列{an}是首项为2，
公比为2的等比数列．
又因为
Sn＝126，
所以＝126，所以n＝6.
(2)设等比数列的公比为q，
则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q3＝9，,a·q3＝8，))
解得或
又{an}为递增数列，
所以
所以Sn＝＝2n－1.
【答案】 (1)6 (2)2n－1
在本例(2)条件下，求数列的前n项和Tn.
解：由本例解析知数列的首项为1，公比为，
则Tn＝＝2－.
等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．
1.(1)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
由a2＋a4＝20得a1q(1＋q2)＝20.①
由a3＋a5＝40得a1q2(1＋q2)＝40.②
由①②解得q＝2，a1＝2.
故Sn＝＝＝2n＋1－2.
故填2和2n＋1－2.
(2)设{an}的公比为q，
由题设得
解得或
当a1＝3，q＝2时，
an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；
当a1＝2，q＝3时，
an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
等比数列前n项和性质的应用[学生用书P34]
在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30.
【解】 法一：设公比为q，
因为S10＝10，S20＝30，
所以q≠1.
所以
②÷①得1＋q10＝3，
所以q10＝2.
将q10＝2代入①得＝－10，
所以S30＝＝－10(1－23)＝70.
法二：因为S10＝a1＋a2＋…＋a10，
S20－S10＝a11＋a12＋…＋a20＝a1q10＋a2q10＋…＋a10q10＝q10S10，
S30－S20＝a21＋a22＋…＋a30＝a1q20＋a2q20＋…＋a10q20＝q20S10，
所以S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，公比为q10.
所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，
因为S10＝10，S20＝30.所以(30－10)2＝10(S30－30)，
所以S30＝70.
法三：因为S10＝10，S20＝30，
所以S20＝S10＋a11＋a12＋…＋a20
＝S10＋a1q10＋a2q10＋…＋a10q10
＝S10＋q10S10＝10(1＋q10)＝30，
所以q10＝2，
所以S30＝S20＋a21＋a22＋…＋a30
＝S10＋q10S10＋q20S10＝10(1＋q10＋q20)
＝70.
等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…成等比数列，这一性质可直接应用，其中各项均不为0.
2.已知数列{an}为等比数列，前n项的和为Sn，若Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解：法一：{an}是等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
即122＝48(S3n－60)，
解得S3n＝63.
法二：由题意，知q≠1，
因为?
得S3n＝＝64×＝63.
等比数列前n项和公式的实际应用[学生用书P34]
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出第n年总投入an和总收入bn关于n的表达式；
(2)第4年旅游业的总收入是否超过总投入？
【解】 (1)第一年投入为800万元，
第二年投入为800万元，
第n年的投入为800万元．
所以，n年内的总投入为：
an＝800＋800＋…＋800
＝4
000－4
000；
第一年旅游业收入为400万元，
第二年旅游业收入为400万元，
第n年旅游业收入为400万元．
所以n年内的旅游业总收入为
bn＝400＋400＋…＋400
＝1
600－1
600.
(2)因为b4－a4＝1
600×－4
000×＝－55.35<0，
所以第4年旅游业的总收入没有超过总投入．
解决数列应用题的思路和方法
(1)认真审题准确理解题意，明确问题是属于等差数列问题还是属于等比数列问题，要确定a1与项数n的实际意义，同时要搞清是求an还是求Sn.
(2)抓住题目中的主要数量关系，联想数学知识和方法，恰当引入参数变量，将文字语言转化为数学语言，将数量关系用数学式子表达出来．
(3)将已知和所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
3.购买一件售价为5
000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金)，那么每期应付款多少？(精确到0.1元，1.0085≈1.040
6)
解：法一：设每月应付款x元，购买1个月后的欠款数为5
000×1.008－x；购买2个月后的欠款数为(5
000×1.008－x)×1.008－x，即5
000×1.0082－1.008x－x；购买3个月后的欠款数为(5
000×1.0082－1.008x－x)×1.008－x，即5
000×1.0083－1.0082x－1.008x－x；…；
购买5个月后的欠款数为
5
000×1.0085－1.0084x－1.0083x－1.0082x－1.008x－x，
由题意知5
000×1.0085－1.0084x－1.0083x－1.0082x－1.008x－x＝0.
即x＋1.008x＋1.0082x＋1.0083x＋1.0084x＝5
000×1.0085.
整理得x·＝5
000×1.0085，
则x＝≈1
025.2(元)，
即每期应付款约1
025.2元．
法二：设每月应付款x元，那么最后一次付款时(即商品购买5个月后)付款金额的本利和为(x＋1.008x＋1.0082x＋1.0083x＋1.0084x)元；
另外，5
000元的商品在购买5个月后的本利和为5
000×1.0085元．
根据题意，得x＋1.008x＋1.0082x＋1.0083x＋1.0084x＝5
000×1.0085.
以下同法一．
1．在运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意对公比q的讨论(q＝1或q≠1)．
2．当q≠1时，若已知a1及q，则用公式Sn＝较好
；若已知an，则用公式Sn＝较好．
3．等比数列前n项和公式的函数特征
(1)从函数的观点看等比数列{an}的前n项和与n之间的关系
①当q＝1时，Sn＝na1，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上的一群孤立的点；
②当q≠1时，Sn＝＝－·qn.设A＝，则Sn＝A－Aqn.此时，数列{Sn}的图象是函数y＝A－Aqx图象上的一群孤立的点．
(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列．
求和：＋＋…＋(xy≠0)．
[解] 设Sn＝＋＋…＋，
则Sn＝(x＋x2＋…＋xn)＋.
当x＝1，y＝1时，Sn＝2n.
当x＝1，y≠1时，
Sn＝n＋＝n＋.
当x≠1，y＝1时，
Sn＝＋n.
当x≠1，y≠1时，
Sn＝＋.
(1)式子中由两项组成，显然不是等比数列，如果将括号去掉且重新组合，会得x＋x2＋…＋xn，与＋＋…＋两个等比数列的前n项和，它们的公比x，是否是1不确定，故需分x＝1且y＝1或x＝1，y≠1或x≠1，y＝1或x≠1，y≠1四种情况进行讨论．
(2)在使用等比数列前n项和公式时，首先判断q是否为1，当q与1的大小不确定时，要分类讨论．因此分类讨论思想在等比数列求和中经常应用，应该注意体会和感悟．
1．等比数列，，，…的前10项和为________．
解析：因为数列，，，…是首项为，公比为的等比数列，所以S10＝＝.
答案：
2．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________.
解析：a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，
两式联立解得q＝2或，而q为整数，
所以q＝2，a1＝2，代入公式求得S8＝＝510.
答案：510
3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)等于________．
解析：由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树
2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，
令2n＋1－2≥100，则
2n＋1≥102，
又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，
所以n≥6，即n的最小值为6.
答案：6
4．设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，则{an}的通项公式为________．
解析：由题设知a1≠0，Sn＝，
则
由②得1－q4＝5(1－q2)，所以(q2－4)(q2－1)＝0，
所以(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，
因为q＜1，解得q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，
通项公式an＝2×(－1)n－1；
当q＝－2时，代入①得a1＝，
通项公式an＝×(－2)n－1.
综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1.
当q＝－2时，an＝×(－2)n－1.
答案：an＝2×(－1)n－1或an＝×(－2)n－1
, [学生用书P93(单独成册)])
[A 基础达标]
1．若等比数列{an}的公比q＝2，首项a1＝2，则Sn＝________．
解析：Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
2．等比数列{an}中，a1＝2，前3项和S3＝26，则公比q为________．
解析：由S3＝a1(1＋q＋q2)＝2(1＋q＋q2)＝26，
得q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4.
答案：3或－4
3．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
解析：因为a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且q＞1，
所以a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，
因此S6＝＝63.
答案：63
4．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知：＝q＝，
所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
5．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．
解析：由题意可知q＝2.设该数列为a1，a2，…，a2n，则an＋an＋1＝24.
又a1＝1，所以qn－1＋qn＝24，
即2n－1＋2n＝24，
解得n＝4，故项数为8.
答案：8
6．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．
解析：若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，＝.
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
其前5项和为T5＝＝.
答案：
7．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
解析：等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1，2a1－1，4a1－6.
因为S1，S2，S4成等比数列，
所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，
解方程得a1＝－.
答案：－
8．用一批砖砌墙，第一层(底层)用去全部砖块的一半多1块，第二层用去余下的一半多1块……依此类推，如果到第八层砌完后恰好将砖块全部用完，那么砖块共有________块．
解析：设砖块数为S，第i层的砖块数为ai(i＝1，2，…，8)．由题意，a1＝＋1，a2＝＋1＝＋，…，a8＝＋，且a1＋a2＋…＋a8＝S.
从而S＝＋＋…＋
＝＋
＝S＋2.
解得S＝＝510.
答案：510
9．在数列{an}和{bn}中，若a1＝2，且对任意的自然数n，3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，求数列{bn}的前n项的和Tn.
解：由题设可知数列{an}是首项为2，公比为的等比数列，
则an＝2·，
又2bn＝an＋an＋1＝2·＋2·，
所以bn＝＋＝4·.
又＝＝(n≥2)，
所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，
所以Tn＝＝2.
10．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种纯获利更多？(取1.0510≈1.629，1.310≈13.786，1.510≈57.665)
解：(1)甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9＝≈42.62(万元)．
银行贷款本息：10×(1＋5%)10≈16.29(万元)，
故甲方案纯获利：42.62－16.29＝26.33(万元)．
(2)乙方案获利：
1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5)
＝10×1＋×0.5＝32.50(万元)，
银行本息和：1.05×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)9]
＝1.05×≈13.21(万元)．
故乙方案纯获利：32.50－13.21＝19.29(万元)．
综上，甲方案纯获利更多．
[B 能力提升]
1．设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为________．
解析：an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.
答案：2n＋1－n－2
2．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
解析：因为Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，
所以Sn－Sn＋1＝Sn＋2－Sn，
即－an＋1＝an＋2＋an＋1.
所以an＋2＝－2an＋1.
所以q＝＝－2.
答案：－2
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________．
解析：＝3，故q≠1，
所以×＝1＋q3＝3，即q3＝2.
所以＝×＝＝.
答案：
4．(选做题)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4，且满足an＋2＝an＋1－an(n∈N
)．
(1)设bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由递推式an＋2＝an＋1－an，得
an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，即bn＋1＝bn，
又b1＝a2－a1＝4－1＝3，
所以数列{bn}是以3为首项，为公比的等比数列．
(2)由数列{bn}是以3为首项，为公比的等比数列，
得数列{bn}的通项公式为bn＝3.
又bn＝an＋1－an，即an＋1－an＝3，
则a2－a1＝3，a3－a2＝3，…，an－an－1＝3，
各式相加，得an－a1＝3＋3＋…＋3n－2＝3×＝9－9，
所以数列{an}的通项公式是an＝10－9.
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