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第2章 数 列
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定义
有穷数列
分类
无穷数列
列表法
通项公式
一般数列
表示方法}解析法
递推公式
图象法
递增数列
单调性
递减数列
常数列
数列
性质
其他
摆动数列
定义域
函数特性
数
图象
定义
列的实际应用
通项公式]性质}应用
等差数列
等差中项
定义
性
质
等差数列的前n项和
公式推导与
特殊数列
应
定义
基本运算}用
通项公式性质应用
等比数列
等比中项
定义
等比数列的前n项和
公式推导
性质与应
基本运算用
》知识网络体系构建
理清脉络·宏观把握
知识要点·易错提醒
温故知新·夯实基础
专题突破·链接高考
聚焦考点·拓展升华
[巩固提升训练]章末复习提升课
[学生用书P39])
, [学生用书P40])
1．数列的概念及表示方法
(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．
(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．
(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．
2．等差与等比数列
项目
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，通常用字母d表示
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，通常用字母q表示
递推关系
an＋1－an＝d
＝q
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
an＝a1qn－1
an＝am＋(n－m)d
an＝amqn－m
中项
若三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，且A＝
前n项和公式
Sn＝＝na1＋d
Sn＝＝(q≠1)Sn＝na1(q＝1)
判断方法
定义法
an＋1－an是同一个常数
是同一个常数
中项法
an＋an＋2＝2an＋1
anan＋2＝a
通项公式法
an＝pn＋q
an＝pqn
Sn的形式
当d≠0时，Sn是不含常数项的二次函数
当q≠1时，Sn中只有qn与常数项，且系数互为相反数
性质
下标性质
m、n、p、q∈N
且m＋n＝p＋q
am＋an＝ap＋aq
am·an＝ap·aq
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…
成等差数列
当公比q≠－1时成等比数列
1．辨明等差(比)数列的定义
等差(比)数列的定义中都强调从第2项开始，每一项与前一项的差(比)，是同一常数．利用定义法证明等差(比)数列时，要特别注意n的取值范围．
2．“数清”数列的项数
在解答数列问题时，及时准确地“数清”数列的项数是必不可少的，在数项数时，要把握数列的项的构成规律，找准数列的通项公式的特点并找准项数．如果把数列的项数弄错了，将会前功尽弃．
3．注意分类讨论
(1)应用an＝解题时，应注意分类讨论的应用，即要注意分n＝1和n≥2两种情况进行讨论．
(2)等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，解题时常因忽略这点而致误．
,
[学生用书P41])
等差、等比数列的判定
设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N
.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列．
[解] (1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.
(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，
得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，
即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
因为
4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，
所以4an＋2＋an＝4an＋1，
所以＝
＝
＝＝，
所以数列是以a2－a1＝1为首项，
为公比的等比数列．
数列的通项公式的求法
1．定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．
2．已知Sn求an
若已知数列的前n项和公式Sn＝g(n)或前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．
3．由递推公式求数列的通项公式
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．
4．待定系数法(构造法)
求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．
(1)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n，n≥1，则数列{an}的通项公式为________．
[解析] (1)因为3S1，2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3.化简，得＝3，即等比数列{an}的公比q＝3，故an＝1×3n－1＝3n－1.
(2)当n＝1时，a1＝S1，所以a1＝2a1－1，即a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2(an－an－1)＋2×(－1)n，
所以an＝2an－1＋2×(－1)n－1，
所以an＋(－1)n＝2，
所以数列是首项为a1－＝，公比q＝2的等比数列，所以an＋(－1)n＝×2n－1，
所以an＝.
[答案] (1)3n－1 (2)an＝[2n－1＋2(－1)n－1]
等差数列、等比数列的性质及应用
等差数列和等比数列作为两类特殊数列，有很多性质，如：
(1)若a，A，b成等差数列，则2A＝a＋b或A＝；
(2)两等差数列{an}，{bn}及其前n项和Sn，Tn之间的关系为＝；
(3)设等差数列{an}的前n项和为A，紧接着n项的和为B，再紧接着n项的和为C，…，则A，B，C，…成等差数列；
(4)若{an}为等比数列，则{kan}(k≠0)也为等比数列；
(5)若a1，a2，a3，…排列的一列数{an}为等比数列，则按a1，a3，a5，…排列的一列数也为等比数列．
有时巧妙地应用这些性质可以简化计算．
设各项均为正数的无穷数列{an}，{bn}满足如下条件：对于任意正整数n，都有an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列，求证：数列{}是等差数列．
[证明] 由已知得bn＝(an＋an＋1)，
an＋1＝(n∈N
)，
所以bn＝(＋)
＝(＋)．
所以＝(＋)(n≥2)，
所以{}是等差数列．
数列求和
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．
一般常见的求和方法有：
(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；
(2)分组求和法；
(3)错位相减法；
(4)倒序相加法；
(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(6)并项求和法．一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N
)，且－＝，S6＝63.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若对任意的n∈N
，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．
[解] (1)设数列{an}的公比为q.由已知，
有－＝，
解得q＝2，
或q＝－1.又由S6＝a1·＝63，
知q≠－1，所以a1·＝63，
得a1＝1.所以an＝2n－1.
(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，
即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．
设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则
T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝
＝2n2.
1．数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则2
047是这个数列的第________项．
解析：由2n－1＝2
047，
所以2n＝2
048，所以n＝11.
答案：11
2．若等差数列{an}满足：a2＋a9＝a6，则S9＝________．
解析：由a2＋a9＝a6，
得a1＋d＋a1＋8d＝a1＋5d，
所以a1＋4d＝0，即a5＝0，
所以S9＝9a5＝0.
答案：0
3．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝________．
解析：由已知得a3＋a5－(a2＋a4)＝6，
所以2d＝6，
即d＝3，所以a1＝－4，
所以S10＝10×(－4)＋×3＝95.
答案：95
4．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得＝，
所以1＋q＝3.解得q＝2.
答案：2
5．已知数列{an}的通项公式an＝2n－6(n∈N
)．
(1)求证{an}是等差数列；
(2)若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列{bn}的通项公式bn.
解：(1)证明：当n≥2时，an－an－1＝(2n－6)－[2(n－1)－6]＝2，为常数，所以数列{an}是等差数列．
(2)由题意知，等比数列{bn}中，b1＝a2＝－2，b2＝a5＝4，公比q＝＝－2.所以等比数列{bn}的通项公式bn＝b1·qn－1＝(－2)·(－2)n－1＝(－2)n.
6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N
)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；
(3)令cn＝(n∈N
)，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
(2)an＝＋＋＋…＋(n≥1)，①
an＋1＝＋＋＋…＋＋，②
②－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
故bn＝2(3n＋1)(n∈N
)．
(3)因为cn＝＝n(3n＋1)＝n·3n＋n，
所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③
则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④
③－④得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1
＝－n×3n＋1，Hn＝.
所以数列{cn}的前n项和Tn＝＋.
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1(共32张PPT)
章末综合检测(二)
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[学生用书P97(单独成册)]
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式an＝________．
解析：由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是an＝2n＋1.
答案：2n＋1
2．数列{an}满足a1＝1，an＝(n≥2)，则a5的值为________．
解析：依题意an>0且n≥2时，＝1＋，
即－＝1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以＝1＋(5－1)×1＝5，所以a5＝.
答案：
3．各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5＝________．
解析：由a2＝1－a1，a4＝9－a3，
得a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，所以＝9＝q2，
因为数列的各项都为正数，所以q＝3，＝q＝3，所以a4＋a5＝27.
答案：27
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2(n∈N
)，则an＝________．
解析：当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2.所以an＝2an－2an－1，所以＝2.又a1＝2，所以an＝2n.
答案：2n
5．已知数列{an}，a1＝2，an＋1－2an＝0，bn＝log2an，则数列{bn}的前10项和为________．
解析：在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0，即＝2，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以an＝2×2n－1＝2n.
所以bn＝log22n＝n.
则数列{bn}的前10项和为1＋2＋…＋10＝55.
答案：55
6．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N
，则S10的值为________．
解析：由题意得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，
解得a1＝20.
S10＝10a1＋×(－2)＝110.
答案：110
7．已知等差数列{an}，前n项和用Sn表示，若2a5＋3a7＋2a9＝14，则S13＝________．
解析：因为a5＋a9＝2a7，
所以2a5＋3a7＋2a9＝7a7＝14，所以a7＝2，
所以S13＝＝a7×13＝26.
答案：26
8．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项为________．
解析：据题意知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，
an－4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝146，
又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝a5＋an－4，
所以a1＋an＝36.
又Sn＝n(a1＋an)＝234，
所以n＝13，所以a1＋a13＝2a7＝36，所以a7＝18.
答案：18
9．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且点P(an，an＋1)(n∈N
)在直线x－y＋1＝0上，则＋＋＋…＋＝________．
解析：依题意有an－an＋1＋1＝0，即an＋1－an＝1，所以{an}是等差数列，且an＝1＋(n－1)＝n，于是Sn＝，
所以＝＝2，所以＋＋＋…＋
＝2＝.
答案：
10．已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N
)且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值为________．
解析：由1＋log3an＝log3an＋1(n∈N
)，得an＋1＝3an，即数列{an}是公比为3的等比数列．设等比数列{an}的公比为q，又a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝log[q3(a2＋a4＋a6)]＝log(33×9)＝－5.
答案：－5
11．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________．
解析：由题意，知4S2＝S1＋3S3.
①当q＝1时，4×2a1＝a1＋3×3a1.
即8a1＝10a1，a1＝0不符合题意，所以q≠1.
②当q≠1时，应有4×＝＋3×，化简得3q2－4q＋1＝0即(3q－1)(q－1)＝0，
因为q≠1，所以q＝.
答案：
12．已知{an}是等差数列，a4＝－20，a16＝16，则|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝________．
解析：a16－a4＝12d＝36，所以d＝3，an＝3n－32.
所以当n≤10时，an<0，当n≥11时，an>0.
|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝－(a1＋a2＋…＋a10)＋(a11＋a12＋…＋a20)＝(a20－a10)＋(a19－a9)＋…＋(a11－a1)＝100d＝300.
答案：300
13．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝______．
解析：因为ak是a1与a2k的等比中项，
所以a＝a1a2k，
即[9d＋(k－1)d]2＝9d[9d＋(2k－1)d]，
化简得k2－2k－8＝0，
即(k＋2)(k－4)＝0，
因为k∈N
，所以k＝4.
答案：4
14．某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价：由于首层与顶层均为复式结构，因此首层价格为a1元/m2，顶层由于景观好价格为a2元/m2，第二层价格为a元/m2，从第三层开始每层在前一层价格上加价元/m2，则该商品房各层的平均价格为________．
解析：设第二层的价格到第二十二层的价格构成数列{bn}，则{bn}是等差数列，b1＝a，公差d＝，共21项，
所以其和为S21＝21a＋·＝23.1a，
故平均价格为(a1＋a2＋23.1a)元/m2.
答案：(a1＋a2＋23.1a)元/m2
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an＝log4bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)设an＝a1＋(n－1)d，
则解得a1＝1，d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)依题意得bn＝4an＝42n－1，
因为＝＝16，
所以{bn}是首项为b1＝41＝4，
公比为16的等比数列，
所以{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．
16．(本小题满分14分)等差数列{an}中，前三项分别为x，2x，5x－4，前n项和为Sn，且Sk＝2
550.
(1)求x和k的值；
(2)求T＝＋＋＋…＋的值．
解：(1)由4x＝x＋5x－4，得x＝2，
所以an＝2n，Sn＝n(n＋1)，
所以k(k＋1)＝2
550，得k＝50.
(2)因为Sn＝n(n＋1)，
所以＝＝－，
所以T＝＋＋…＋
＝1－＝.
17．(本小题满分14分)已知数列{log2(an－1)}(n∈N
)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋＜1.
解：(1)设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9，得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，
则d＝1.所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.
(2)证明：因为＝＝，
所以＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＝1－＜1.
18．(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式．
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d.
由即
可解得
所以bn＝3n＋1.
(2)由第一问知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得
－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]
＝3×[4＋－(n＋1)×2n＋2]
＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
19．(本小题满分16分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元．
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
解：(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.则有a1＝a，当n≥2时，
an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]＝(n－1)a，
所以an＝
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝a＋a·＋a·＋…＋a·
＝a
＝a(n∈N
)．
(2)易知bn＜3a，所以乙超市将被甲超市收购，
由bn＜an，得a＜(n－1)a.
所以n＋4＞7，所以n≥7，
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
20．(本小题满分16分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝nan＋an－c(c是常数，n∈N
)，a2＝6.
(1)求c的值及数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，若2Tn＞m－2对任意n∈N
恒成立，求正整数m的最大值．
解：(1)因为Sn＝nan＋an－c，
所以当n＝1时，S1＝a1＋a1－c，
解得a1＝2c.
当n＝2时，S2＝a2＋a2－c，即a1＋a2＝a2＋a2－c.
解得a2＝3c，所以3c＝6，
解得c＝2.则a1＝4，
数列{an}的公差d＝a2－a1＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.
(2)因为bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋①，
Tn＝＋＋＋…＋②，
由①－②可得
Tn＝＋＋＋＋…＋－
＝1－－，
所以Tn＝2－.
因为Tn＋1－Tn＝－＝＞0，
所以数列{Tn}单调递增，T1最小，最小值为.
所以2×＞m－2.所以m＜3，
故正整数m的最大值为2.
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