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第3章 不等式
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第3章
DI
SAN
ZHANG
不等式
预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破3．1 不等关系
1.了解日常生活中存在的不等关系． 2.理解不等式的性质及应用．
3．掌握在具体的实际问题中归纳出数学模型及应用不等式的性质解题．
1．不等式的定义
(1)不等号有：<，≤，>，≥或≠．
(2)定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式．
(3)不等式所表示的关系是不等关系．
2．实数的运算性质
(1)两实数a，b的大小与它们差的符号的关系
如果a－b>0，那么a>b
如果a>b，那么a－b>0
如果a－b<0，那么a
如果a如果a－b＝0，那么a＝b
如果a＝b，那么a－b＝0
(2)比较两实数a，b大小的依据
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系(即差a－b的符号)．
3．不等式的性质
性质1(对称性)：如果a>b，那么bb，即a>b?b性质2(传递性)：如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c.
性质3(可加性)：如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质4(可乘性)：如果a>b，c>0，那么ac>bc，如果a>b，c<0，那么ac性质5(加法法则)：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
性质6(乘法法则)：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
性质7(乘方法则)：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥1)．
性质8(开方法则)：如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2)．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(2)若a(3)若a>b，则ac>bc一定成立．( )
(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
解析：(1)正确．不等式x≥2表示x>2或x＝2，即x不小于2.
(2)正确．不等式a≤b表示a(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立．
(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b.
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是________．
解析：因为a＋b>0，b<0，所以a>－b>0，－a所以a>－b>0>b>－a，
即a>－b>b>－a.
答案：a>－b>b>－a
3．设a，b∈R，当a>b和>同时成立时，a，b必须满足的条件是________．
解析：由－＝>0，及b－a<0知ab<0，又a>b，所以b<0答案：b<04．当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系为________．
解析：因为x3－(x2－x＋1)
＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)
＝(x－1)(x2＋1)．
又因为x＞1，
故(x－1)(x2＋1)＞0，所以x3－(x2－x＋1)＞0，
即x3＞x2－x＋1.
答案：x3＞x2－x＋1
用不等式(组)表示不等关系[学生用书P43]
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1
t需消耗A种矿石10
t、B种矿石5
t、煤4
t；生产乙种产品1
t需消耗A种矿石4
t、B种矿石4
t、煤9
t．工厂现有A种矿石300
t、B种矿石200
t、煤360
t，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
【解】 设工厂可以生产甲、乙两种产品分别为x
t，y
t.
由题意知，有如下不等关系：
(1)消耗A种矿石总量不超过300
t；
(2)消耗B种矿石总量不超过200
t；
(3)煤的消耗量不超过360
t；
(4)甲、乙两种产品数量均为非负数．
所以列不等式组为
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路
①读懂题意，找准不等式所联系的量．
②用适当的不等号连接．
③多个不等关系用不等式组表示．
(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
1.(1)雷电的温度大约是28
000
℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t
℃，那么t应满足的关系式是________．
(2)A、B两种药片的有效成分如下表所示：
成分药片
阿司匹林(mg)
小苏打(mg)
可待因(mg)
A(1片)
2
5
1
B(1片)
1
7
6
若要求至少提供12
mg阿司匹林，70
mg小苏打和28
mg可待因，则两种药片的数量应满足怎样的不等关系？用不等式(组)的形式表示出来．
解：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5
t<28
000.
故填4.5
t<28
000.
(2)设提供A药片x片，B药片y片，
由题意可得：
数(式)大小的比较[学生用书P44]
已知a>0，试比较a与的大小．
【解】 因为a－＝＝，
因为a>0，所以当a>1时，
>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；当0 若a<0，试比较a与的大小．
解：因为a－＝＝，
所以当a<－1时，
<0，有a<；
当a＝－1时，
＝0，有a＝；
当－1>0，有a>.
综上，当a<－1时，a<；
当a＝－1时，a＝；
当－1.
(1)作差法比较大小的步骤及变形方法
①作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．
②变形的方法：a.因式分解；b.配方；c.通分；d.对数与指数的运算性质；e.分母或分子有理化；f.分类讨论．
(2)作商法比较大小的步骤及适用范围
①作商法比较大小的三个步骤：
a．作商变形；
b．与1比较大小；
c．得出结论．
②作商法比较大小的适用范围：
a．要比较的两个数同号；
b．比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时，常用作商法．
2.已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解：(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
因为x＜1，
所以x－1＜0.
又＋＞0，
所以(x－1)＜0.
所以x3－1＜2x2－2x.
不等式性质的应用[学生用书P45]
已知－6＜a＜8，2＜b＜3，分别求2a＋b，a－b，的取值范围．
【解】 因为－6＜a＜8，2＜b＜3，
所以－12＜2a＜16，
所以－10＜2a＋b＜19.
又因为－3＜－b＜－2，
所以－9＜a－b＜6.又＜＜，
(1)当0≤a＜8时，0≤＜4；
(2)当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
由(1)(2)得－3＜＜4.
解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错，同时在变形过程中要准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．
3.若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
证明：因为bc－ad≥0，
所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，
所以＋1≤＋1，
所以≤.
1．a≥b和a≤b的含义
(1)不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．
(2)不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a2．应用不等式的性质时需注意的问题
(1)在应用性质2时，要正确处理带等号的情况．
(2)在应用性质4时，要特别注意“乘数的符号”，例如当c≠0时，有a>b?ac2>bc2；若无c≠0这个条件，则a>b?ac2>bc2就是错误的，当c＝0时，ac2＝bc2.
(3)在应用性质5时，要特别注意两个不等式必须是同向的．
(4)在应用性质6时，不仅要注意两个不等式必须是同向的，而且要求同为正数．
(5)在应用性质7和8时，一方面要注意a>b>0，另一方面要注意n的取值．例如：当n＝－1，a＝3，b＝2时，若用性质7，则会出现“3－1>2－1，即>”的错误．
一报刊亭摊主从报社买进某种报纸的价格是每份0.2元，卖出的价格是每份0.3
元，卖不掉的报纸以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有20天每天可卖出400份报纸，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进的份数必须相同．试计算他应该每天从报社买进多少份报纸，才能使一个月所得利润超过600元？试用不等式表示这一问题，不需解答．
[解] 设每天从报社买进x份报纸(250≤x≤400)，则每月销量为(20x＋10×250)份，退回报社[10(x－250)]份．
卖出的报纸每份可赚得0.1元，退回的报纸每份损失0.12元．
每月获得的利润为0.1×(20x＋10×250)－0.12×10×(x－250)＝0.8x＋550，
所以0.8x＋550＞600(250≤x≤400)．
(1)利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，常常因忽略题目中的隐含条件而导致错误．
(2)①全面正确地理解题意、合理地列出不等关系．
②关注应用问题的实际意义及约束条件，是正确解题的关键．
1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示为________．
解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，
所以
答案：
2．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a解析：由<<0，得a<0，b<0，
故a＋b<0且ab>0，
所以a＋b由<<0，得>，两边同乘|ab|，
得
|b|>|a|，故②错误；
由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，
那么a>b，故③错误．
答案：1
3．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)(填“>”“<”或“＝”)
.
解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，
所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
答案：<
, [学生用书P101(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列表述正确的序号是________．
①某人月收入x不高于2
000元可表示为“x＜2
000”；
②小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮表示为“x＞y”；
③某变量x至少是a可表示为“x≥a”；
④某变量y不超过a可表示为“y≥a”．
解析：对于①，x应满足x≤2
000，故①错误；对于②，x，y应满足x＜y，故②错误；③正确；对于④，y与a的关系应表示为y≤a，故④错误．
答案：③
2．已知a∈R，则a2＋2与2a的大小关系是________．
解析：作差比较．因为(a2＋2)－2a＝(a－1)2＋1>0，
所以a2＋2>2a.
答案：a2＋2>2a
3．用不等式表示出如图所示函数图象之间的关系为：________．
解析：g(x)的图象恒在f(x)的图象的上方，即g(x)＝x2＋1的函数值总是大于f(x)＝的函数值，故不等关系为x2＋1>(或g(x)>f(x))．
答案：x2＋1>(或g(x)>f(x))
4．已知0解析：因为0所以1＋a>0，1＋b>0，1－ab>0，
所以M－N＝＋＝>0，
即M>N.
答案：M>N
5．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，其中能得出<成立的是________．
解析：由<，可得－<0，即<0，
故①②④可推出<.
答案：①②④
6．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就相应减少2
000
本，若把提价后杂志的定价设为x元，表示销售的总收入仍不低于20万元的不等式为________(不用化简)．
解析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.
答案：x≥20
7．一辆汽车原来每天行驶x
km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
解析：①原来每天行驶x
km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2
200
km”，
写成不等式为8(x＋19)>2
200.
②若每天行驶(x－12)km，
则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，
写成不等式为8x>9(x－12)．
答案：8(x＋19)>2
200 8x>9(x－12)
8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是__________(用区间表示)．
解析：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)，
则(λ＋μ)x＋(λ－μ)y＝2x－3y，
所以解得
所以z＝－(x＋y)＋(x－y)．
因为－1≤x＋y≤4，
所以－2≤－(x＋y)≤.①
因为2≤x－y≤3，
所以5≤(x－y)≤.②
①＋②得，3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
所以z的取值范围是[3，8]．
答案：[3，8]
9．(1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)若－1解：(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(3x2＋1)．
因为x≤1，所以x－1≤0.
又3x2＋1>0，所以(x－1)(3x2＋1)≤0，
所以3x3≤3x2－x＋1.
(2)因为－1－b>0，
所以a2>b2>0.
因为a即0>>，
所以a2>b2>>.
10．(1)已知a(2)已知a>b，<，求证：ab>0.
证明：(1)由于－＝＝，
因为a所以b＋a<0，b－a>0，ab>0，
所以<0，
故<.
(2)因为<，所以－<0，即<0，
而a>b，所以b－a<0，所以ab>0.
[B 能力提升]
1．若规定＝ad－bc，则与的大小关系为________．(a，b∈R，且a≠b)
解析：－＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0(因为a≠b)，所以>.
答案：>
2．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤>，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x>y，a>b.因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，所以a－x＝b－y，因此①不成立；
又因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by，因此③不成立；
又因为＝＝－1，＝＝－1，所以＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
3．已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
解：f(x)＝m，f(a)＝m，
f(b)＝m.
由a>b>1，知a－1>b－1>0.
所以<，所以1＋<1＋.
(1)当m>0时，mf(a)(2)当m＝0时，f(a)＝f(b)＝0.
(3)当m<0时，m>m，
f(a)>f(b)．
综上所述，当m>0时，f(a)当m＝0时，f(a)＝f(b)；
当m<0时，f(a)>f(b)．
4．(选做题)设f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解：法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是得，解得，
所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．
法二：由，
得，
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．
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应用案·巩固提升
巧练·跟踪·验证