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第3章 不等式
第3章 不等式
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解惑·探究·突破第1课时 一元二次不等式及其解法(一)
1.了解一元二次不等式的有关概念． 2.理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系．
3．掌握一元二次不等式的基本解法，并能解决一些实际问题．
, [学生用书P46])
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )
(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1
(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.( )
解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．
(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.
(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．设集合M＝{x|x2－x＜0}，N＝{x|x2＜4}，则M∪N＝________．
解析：M＝{x|x2－x＜0}＝{x|0＜x＜1}，
N＝{x|x2＜4}＝{x|－2＜x＜2}．
故M∪N＝{x|－2＜x＜2}．
答案：{x|－2＜x＜2}
3．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．
解析：由x2－2x－5＞2x，得x2－4x－5＞0，
因为x2－4x－5＝0的两根为－1，5，
故x2－4x－5＞0的解集为{x|x＜－1或x＞5}．
答案：{x|x＞5或x＜－1}
4．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________．
解析：原不等式变形为3x2－5x＋4＜0.
因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4＜0的解集为?.
答案：?
解不含参数的一元二次不等式[学生用书P46]
解下列不等式．
(1)2x2＋5x－3<0；
(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；
(4)－x2＋6x－10>0.
【解】
(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象．如图所示，用阴影部分描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.
因为Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，
得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图所示，
由图可得原不等式的解集为
.
(3)因为Δ＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝.
作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图所示，由图可得原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，因为Δ＝－4<0，
所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次项系数1>0，
所以原不等式的解集为?.
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
1.求下列不等式的解集．
(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－x2＋8x－3>0；
(3)x2－4x－5≤0；(4)－4x2＋18x－≥0；
(5)－2x2＋3x－2<0.
解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(4)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(5)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
含参数的一元二次不等式的解法[学生用书P47]
解关于x的不等式x2－x＋1<0.
【解】 原不等式可化为(x－a)<0.
(1)若a>，即－11，此时，原不等式的解集为；
(2)若a＝，即a＝－1或a＝1，此时，原不等式的解集为?；
(3)若a<，即01时，原不等式的解集为；当a＝－1或a＝1时，原不等式的解集为?；当0含参数不等式中对参数进行讨论的标准
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．简记为“一a、二Δ、三两根大小”．
(4)最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
2.解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R，a>0)．
解：因为a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，解(x－1)<0，得③当01，解(x－1)<0，
得1综上所述，
当0当a＝1时，原不等式的解集为?；
当a>1时，原不等式的解集为.
三个“二次”关系的应用[学生用书P47]
若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
【解】 由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0)．
即x2＋x＋1<0，
化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3 若本例变为：已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20的解集．
解：由题意知即
代入不等式cx2－bx＋a>0，
得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．
即6x2＋5x＋1<0，
解得－所以所求不等式的解集为.
应用三个“二次”之间关系解题的策略
(1)当已知某一元二次不等式的解集时，首先应注意判断该一元二次不等式对应的二次函数的图象的开口方向、与x轴的交点坐标等信息；然后根据一元二次不等式的解集，确定对应一元二次方程根的情况；最后由根的情况列出参数所满足的等式(或不等式)，进而求值(或范围)．
(2)解决这类问题一般情况是灵活运用根与系数的关系．
3.已知关于x的不等式x＞ax2＋的解集为{x|2＜x＜b}，求a，b的值．
解：原不等式可化为ax2－x＋＜0，
因其解集为{x|2＜x＜b}．
由根与系数的关系，
有2＋b＝，2b＝.
解得a＝，b＝6.
1．一元二次不等式概念的理解
(1)可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数．
(2)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．
(3)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．
2．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系
(1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c>0(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
(2)从方程的角度看
设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x10(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立，由图象可知，关于这类问题只需考虑开口方向和判别式即可，而不必利用最值转化的思路求解．
解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
[解] 原不等式可变形为ax2＋(a－2)x－2≥0，
(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
(2)当a≠0时，原不等式可变形为(ax－2)(x＋1)≥0，方程(ax－2)(x＋1)＝0的解为x1＝，x2＝－1.
①当a>0时，>－1，
所以原不等式的解集为；
②当a<0时，
a．当－2所以原不等式的解集为；
b．当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
c．当a<－2时，>－1，
所以原不等式的解集为.
综上：当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，原不等式的解集为；
当－2原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，原不等式的解集为.
含有参数的一元二次不等式，因为含有参数，便大大增加了问题的复杂程度．分类讨论是解决这类问题的主要方法，确定分类讨论的标准时，要着重处理好以下三点：
(1)讨论的“时刻”，即在什么时候才开始进行讨论．要求转化必到位，过早或过晚讨论都会使问题更加复杂化．
(2)讨论的“点”，即以哪个量为标准进行讨论．若把握不好这个“点”，问题就不能顺利解决．
(3)考虑要周到，即讨论对象的各种情况都要加以分析，给出结论．
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为________．
解析：因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为.
答案：
2．不等式－2x2＋x＋1<0的解集是________．
解析：由2x2－x－1>0，
得(x－1)(2x＋1)>0，
解得x>1或x<－，
从而得原不等式的解集为∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
3．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为________．
解析：因为a<－1，
所以a(x－a)<0?(x－a)·>0.
又a<－1，
所以>a，
所以x>或x答案：
4．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，则ax2－bx＋c＞0的解集为________．
解析：由题意，－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a＜0，故
解得a＝c，b＝c.
所以不等式ax2－bx＋c＞0即为2x2－5x＋2＜0，
解得＜x＜2，
即不等式ax2－bx＋c＞0的解集为.
答案：
, [学生用书P103(单独成册)])
[A 基础达标]
1．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；
③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是________．
解析：①显然不可能；
②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；
③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；
④中不等式可化2x2－3x＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
答案：③
2．不等式－3x2＋x－6≤0的解集为________．
解析：原不等式可化为3x2－x＋6≥0，
Δ＝1－4×3×6<0，所以不等式的解集为R.
答案：R
3．不等式组的解集为________．
解析：原不等式组可化为
解得0答案：{x|04．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．
解析：由题意－，－是方程ax2－bx－1＝0的两实根，
所以解得
所以x2－bx－a<0?x2－5x＋6<0?2答案：(2，3)
5．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为________．
解析：由a⊙b＝ab＋2a＋b，得
x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，
所以－2＜x＜1.
答案：(－2，1)
6．设0(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为________．
解析：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a>1时，答案：(1，3)
7．如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f(－1)，f(2)，f(5)的大小关系是________．
解析：由ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，知a>0，且－2，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，
所以?
所以f(x)＝ax2－2ax－8a＝a(x＋2)(x－4)，
因为a>0，
所以f(x)的图象开口向上．
又对称轴为x＝1，
f(x)的图象如图所示，
由图可得f(2)答案：f(2)8．已知方程mx2－2(m＋2)x＋(m＋5)＝0有两个不同的正根，则m的取值范围是________．
解析：当m＝0时，显然不符合题意．
当m≠0时，原方程?x2－x＋＝0.
设f(x)＝x2－x＋，
由题意有解之得0答案：(－∞，－5)∪(0，4)
9．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2＞0；
(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；
(3)x2－2x＋3＞0.
解：(1)原不等式可化为2x2－3x－2＜0，
所以(2x＋1)(x－2)＜0，
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
所以(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，
故原不等式的解集是R.
10．解关于x的不等式：x2－(m＋m2)x＋m3<0.
解：原不等式化为(x－m)(x－m2)<0.
(1)当m<0或m>1时，
m2>m，解集为(m，m2)；
(2)当m＝0或m＝1时，m2＝m，解集为?；
(3)当0综上所述，当m<0或m>1时，
原不等式的解集为(m，m2)；
当m＝0或m＝1时，原不等式的解集为?；
当0[B 能力提升]
1．若关于x的不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1解析：因为不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|1所以1，m是方程x2－3x＋t＝0的两根，
所以，解得.
所以t＋m＝4.
答案：4
2．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．
解析：由题意解得<[x]<，又[x]表示不大于x的最大整数，所以[x]的取值为2，3，4，5，6，7，故2≤x<8.
答案：[2，8)
3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝求f(x)的值域．
解：由x＜g(x)，得x＜x2－2，则x＜－1或x＞2；
由x≥g(x)，得x≥x2－2，则－1≤x≤2.
因此f(x)＝
即f(x)＝
因为当x＜－1时，y＞2；
当x＞2时，y＞8.
所以当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，y>2.
当－1≤x≤2时，－≤y≤0.
所以当x∈[－1，2]时，－≤y≤0.
综上可知，函数f(x)的值域为∪(2，＋∞)．
4．(选做题)已知不等式mx2＋nx－<0的解集为.
(1)求m，n的值；
(2)解关于x的不等式：(2a－1－x)(x＋m)>0，其中a是实数．
解：(1)由不等式mx2＋nx－<0的解集为，得方程mx2＋nx－＝0的两根为－，2，且m<0，则
解得m＝－1，n＝.
(2)由第一问知，不等式可化为(2a－1－x)(x－1)>0，
即[x－(2a－1)](x－1)<0，
而方程[x－(2a－1)](x－1)＝0的两根为x1＝2a－1，x2＝1，
①当2a－1<1，即a<1时，原不等式的解集为{x|2a－1②当2a－1＝1，即a＝1时，原不等式的解集为?；
③当2a－1>1，即a>1时，原不等式的解集为{x|1综上，当a＞1时，原不等式的解集为{x|1＜x＜2a－1}，
当a＝1时，原不等式的解集为?，
当a＜1时，原不等式的解集为{x|2a－1＜x＜1}．
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应用案·巩固提升
巧练·跟踪·验证(共33张PPT)
第3章 不等式
第3章 不等式
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预习案,自生学习
研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破第2课时 一元二次不等式及其解法(二)
1.进一步理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程之间的联系． 2.掌握分式不等式的基本解法．
3．能用一元二次不等式解决一些实际问题． 4.掌握有关一元二次不等式恒成立问题的处理方法．
, [学生用书P49])
1．分式不等式的四种形式及解题思路
(1)>0?f(x)g(x)>0；
(2)<0?f(x)g(x)<0；
(3)≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或f(x)＝0；
(4)≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或f(x)＝0.
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
a＝0
b＝0，c>0
b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a
f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a
1．不等式≥5的解集是________．
解析：原不等式?≥?≤0?
解得0答案：
2．已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：因为x2－ax＋2a>0在R上恒成立，
所以Δ＝a2－4×2a<0，
所以0答案：(0，8)
3.
在如图所示的锐角三角形空地中，
欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分),
则其边长x(单位：m)的取值范围是________．
解析：设矩形高为y，由三角形相似得：
＝，且x>0，y>0，x<40，y<40，xy≥300，
整理得y＋x＝40，
将y＝40－x代入xy≥300，
整理得x2－40x＋300≤0，
解得10≤x≤30.
答案：[10，30]
简单的分式不等式的解法[学生用书P49]
(1)不等式≤0的解集为________．
(2)不等式≤3的解集是________．
【解析】 (1)≤0?
?－(2)原不等式等价于－3≤0?≤0?≥0?x(2x－1)≥0，且x≠0.解得x≥或x<0.
【答案】 (1)
(2)
(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．
(2)>0?(ax＋b)(cx＋d)>0.
(3)≥0?
(4)在解分式不等式时，易错点为不分类讨论分母的符号直接去分母．
1.解下列不等式：
(1)≥0； (2)>1.
解：(1)原不等式等价于
解得x≤1或x>2，
所以原不等式的解集为{x|x≤1或x>2}．
(2)原不等式可改写为＋1<0，
即<0，
所以(6x－4)(4x－3)<0，
所以所以原不等式的解集为.
恒成立问题[学生用书P50]
若不等式<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 因为x2－8x＋20＝(x－4)2＋4>0，
所以原不等式同解于mx2－mx－1<0.
要使原不等式对一切x∈R恒成立，
只需mx2－mx－1<0恒成立即可．
①当m＝0时，mx2－mx－1＝－1<0恒成立；
②当m≠0时，则需
即－4所以实数m的取值范围为(－4，0]．
解决这类问题时，先把已知条件等价转化为一元二次不等式的形式，再利用不等式的解集为R(或恒成立)的条件求解．
2.已知函数y＝(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围．
解：由题意可得，关于x的不等式(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3>0对一切x∈R恒成立．
(1)当k2＋4k－5＝0，即k＝－5或k＝1时，若k＝－5，则24x＋3>0不可能恒成立；若k＝1，则3>0恒成立．故k＝1.
(2)当k2＋4k－5≠0时，
则应有
即解得1综上所述，实数k的取值范围是[1，19)．
一元二次不等式的实际应用[学生用书P50]
国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【解】 设税率调低后的“税收总收入”为y元，则
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0＜x<8)．依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0＜x<8，
即x的取值范围是0＜x≤2.
解不等式应用题的步骤
3.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1
000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－60x2＋20x＋200(0(2)为使本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即
解不等式组，
得0所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0设关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问题(此时Δ＝b2－4ac)．
(1)方程f(x)＝0在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是
(2)方程f(x)＝0有一根大于k，另一根小于k的条件是f(k)<0.
(3)方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有两个实根的条件是
(4)方程f(x)＝0有一根小于k1，另一根大于k2且k1 函数y＝的定义域是R，则实数k的取值范围为________．
[解析] 由题意知，kx2＋4kx＋(k＋3)≥0的解集为R.
(1)当k＝0时，不等式为3≥0，成立．①
(2)当k≠0时，kx2＋4kx＋(k＋3)≥0的解集为R等价于函数y＝kx2＋4kx＋(k＋3)的图象与x轴至多有一个公共点，且图象上的其他点总在x轴上方，
所以
解得0综上，实数k的取值范围是[0，1]．
[答案] [0，1]
(1)若在①处忽视对二次项系数的讨论，则会漏掉k＝0的情况，从而错填(0，1]．
(2)二次项系数含参数时要分系数为正、系数为零、系数为负三种情况进行讨论，尤其是当系数为零时，一元一次不等式要注意单独验证．如本例中当k＝0时，不等式为3≥0，成立．因此，k＝0符合题目要求．
1．不等式≥0的解集为________．
解析：因为≥0?
??x<－或x≥.
所以原不等式的解集为.
答案：
2．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
所以f(x)在x∈[0，1]上单调递减，
所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－3.
所以要使x2－4x≥m对于任意x∈[0，1]恒成立，
则需m≤－3.
答案：(－∞，－3]
3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3
000＋20x－0.1x2(0解析：y－25x＝－0.1x2－5x＋3
000≤0，所以x2＋50x－30
000≥0，得x≤－200(舍去)或x≥150，
又因为0答案：150
, [学生用书P105(单独成册)])
[A 基础达标]
1．不等式<0的解集是________．
解析：不等式<0等价于(x－4)>0，所以不等式的解集是.
答案：
2．若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________．
解析：由>0得(x－a)(x＋1)>0，而解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，从而a＝4.
答案：4
3．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．
解析：A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(－3)＝6a＋8>0，根据对称性可知，要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a<.
答案：
4．已知关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是________．
解析：因为ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a＝b>0，所以>0?>0，所以x<－1或x>2.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
5.
设全集I是实数集R.M＝{x|x2>4}与N＝
都是I的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为________．
解析：全集I是实数集R.M＝{x|x2>4}＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，?IM＝[－2，2]，N＝＝(1，3]，阴影部分所表示的集合为N∩?IM＝{x|1答案：{x|16．在R上定义运算：AB＝A(1－B)，若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：(x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，所以－x2＋x＋a2－a<1，即x2－x－a2＋a＋1>0对x∈R恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，所以(2a－3)(2a＋1)<0，即－答案：－7．关于x的方程＋x＋m－1＝0有一个正实数根和一个负实数根，则实数m的取值范围是________．
解析：若方程＋x＋m－1＝0有一个正实根和一个负实根，则有或
所以0＜m＜1.
答案：(0，1)
8．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P＝150－2x，生产x件所需成本为C＝50＋30x元，要使日获利不少于1
300元，则该厂日产量应在________范围之内(件)．
解析：由题意得：(150－2x)x－(50＋30x)≥1
300，
化简得：x2－60x＋675≤0，
解得15≤x≤45，且x为整数．
答案：{x|15≤x≤45，x∈N
}
9．已知不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．
解：法一：x2－2mx－1＝0的判别式Δ＝4m2＋4>0恒成立．所以函数f(x)＝x2－2mx－1的图象开口向上，且与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，x1x2＝－1，即x1与x2异号，故要使不等式x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，则必须使方程x2－2mx－1＝0的正根小于1，f(1)＝1－2m－1>0，得m的取值范围是(－∞，0)．
法二：由原不等式得2mx又1≤x≤3，得m<.(
)
设f(x)＝，x∈[1，3]．
要使(
)式恒成立，只需m可证f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数，
因此f(x)min＝f(1)＝0，
所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
10．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
解：设这批台灯的销售价格定为x元，
则[30－(x－15)×2]·x>400，
即x2－30x＋200<0，
因为方程x2－30x＋200＝0的两根为x1＝10，x2＝20，
所以x2－30x＋200<0的解集为{x|10又因为x≥15，所以15≤x<20.
故应将这批台灯的销售价格制定在15元到20元之间(包括15元但不包括20元)，才能使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．
[B 能力提升]
1．设a≠0，对于函数f(x)＝log3(ax2－x＋a)，若定义域为R，则实数a的取值范围为________．
解析：若函数f(x)的定义域为R，则不等式ax2－x＋a>0对任意x∈R均成立．
所以解得a>.
所以a的取值范围为.
答案：
2．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
解析：依题意，－1和2都是方程ax2＋bx＋c＝0的根，且a<0.
因此，即
于是，不等式＋c>bx可化为－2a>－ax.
因为a<0，所以－2<－x，即<0，
当x＝1时，不等式不成立；
当x≠1时，得x<0.所以，
所求不等式的解集为{x|x<0}．
答案：{x|x<0}
3．设函数f(x)＝mx2－mx－1.对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：法一：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
就要使m＋m－6<0，x∈[1，3]．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m>0时，g(x)是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6.
所以7m－6<0，解得m<.所以0当m＝0时，－6<0恒成立．
当m<0时，g(x)在[1，3]上是减函数．
所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得m<6，所以m<0.
综上所述，m<.
法二：f(x)<－m＋5?mx2－mx－1<－m＋5?m(x2－x＋1)－6<0，
因为x2－x＋1＝＋>0，所以m<.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围为.
4．(选做题)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系用图中的两条线段表示．该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t的关系式为Q(t)＝－t＋40.
(1)根据提供的图象，写出商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．
解：(1)当0由图象知45＝25k＋20，
得k＝1，所以P＝t＋20；
当25≤t≤30时，设P＝k1t＋b，由图象可知
解得k1＝－1，b＝100.此时P＝－t＋100.
综上，P(t)＝
(2)当0＝(t＋20)·(－t＋40)＝－(t－10)2＋900，
当t＝10(天)时，y的最大值为900；
当25≤t≤30时，日销售金额y＝(－t＋100)(－t＋40)
＝(t－40)(t－100)＝t2－140t＋4
000＝(t－70)2－900，
易知y在t∈[25，30]上递减，y在[25，30]上的最大值在t＝25时取到，此最大值为1
125.
综上，在第25天时，日销售金额最大，最大值为1
125元．
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