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第3章 不等式
第3章 不等式
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研读·思考·尝试
探究案·讲练叵动
解惑·探究·突破3．3.1 二元一次不等式表示的平面区域
3．3.2 二元一次不等式组表示的平面区域
1.了解不等关系，并抽象出二元一次不等式(组)． 2.理解满足二元一次不等式的数对(x，y)表示的平面区域，理解二元一次不等式组的几何意义． 3.掌握应用平面区域表示二元一次不等式组的方法．
[学生用书P51])
1．二元一次不等式(组)的概念
(1)含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式；
(2)由二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组．
2．平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界；
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．
3．二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定
(1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都相同．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．若直线不过原点，特殊点(x0，y0)取原点．即“线定界，点定域”．
(3)每一个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分，就是二元一次不等式组所表示的区域．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．( )
(2)点(1，2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．( )
(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．( )
(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式．( )
(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域．( )
解析：(1)错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，表示的区域是直线x＝的右侧(不包括边界)．
(2)错误．把点(1，2)代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点(1，2)在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．
(3)错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．
(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如也称为二元一次不等式组．
(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2．直线x＋2y－1＝0右上方的平面区域可用不等式____________表示．
解析：用右上方特殊点(1，1)代入x＋2y－1得结果为2>0.所以所求为x＋2y－1>0.
答案：x＋2y－1>0
3．不等式组所表示的平面区域的面积是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域，它是一个底边长为5，高为4的三角形区域，其面积S＝×5×4＝10.
答案：10
4．已知点A(1，0)，B(－2，m)，若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．
解析：因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A(1，0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>－.
答案：
二元一次不等式表示的平面区域[学生用书P52]
画出不等式x－2y＋4>0表示的平面区域．
【解】 先作出直线x－2y＋4＝0，
因为这条直线上的点不满足
x－2y＋4>0，
所以画成虚线．
取原点(0，0)，
代入x－2y＋4得0－2×0＋4>0，
所以原点在x－2y＋4>0表示的平面区域内．
所以不等式x－2y＋4>0表示的平面区域如图阴影部分所示．
画出不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域．
解：设F(x，y)
＝x－2y＋4，画出直线x－2y＋4＝0，
因为F(0，0)＝0－2×0＋4＝4＞0，
所以x－2y＋4＞0表示的区域为含(0，0)的一侧，因此所求平面区域如图阴影部分所示，包括边界．
画二元一次不等式表示的区域，一般可先将不等式化为Ax＋By＋C>0(A>0)的形式，再按直线定边界，特殊点定区域两步进行，也可用观察法，注意直线的虚实和特殊点的选择．
1.画出不等式y>2x表示的平面区域．
解：设F(x，y)＝y－2x，
画出直线y－2x＝0，
因为F(1，0)＝0－2×1＝－2＜0，
所以y－2x＞0(即y＞2x)表示的区域为不含(1，0)的一侧，因此所求平面区域如图阴影部分所示，不包括边界．
二元一次不等式组表示的平面区域[学生用书P53]
已知不等式组
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)求不等式组所表示的平面区域的面积．
【解】 (1)不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x>0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y>0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
(2)如图所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S＝×4×3＝6.
在本例条件下，求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．
解：
如图，当x＝1时，
代入4x＋3y≤12，得y≤，
所以整点为(1，2)，(1，1)．
当x＝2时，
代入4x＋3y≤12，得y≤，
所以整点为(2，1)．
所以区域内整点共有3个，其坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1)．
(1)画二元一次不等式组表示平面区域的一般步骤
(2)求平面区域面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．
①若画出的平面区域是规则的，则直接利用面积公式求解．
②若平面区域是不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分成几个规则图形求解．
2.画出不等式组所表示的平面区域．
解：如图，在平面直角坐标系内画出直线l1：2x－y－2＝0(实线)，l2：x－2y＋3＝0(虚线)，l3：x＋y＋1＝0(虚线)．
将原点(0，0)的坐标代入各不等式中，确定各不等式表示的区域，不等式组表示的平面区域是它们的公共部分，如图阴影部分所示．
由平面区域写出对应的二元一次不等式组[学生用书P53]
在△ABC中，A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC(包含边界)内部所对应的二元一次不等式组．
【解】 如图，直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)．
直线AC的方程为2x＋y－5＝0，
直线BC的方程为x－y＋2＝0，
把(0，0)代入2x＋y－5＝－5<0，
所以AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
把(0，0)代入x＋2y－1＝－1<0，而(0，0)不在三角形区域内．
所以AB右上方的区域为x＋2y－1>0.
同理BC右下方的区域为x－y＋2>0.
又因为包含边界，
所以不等式组应为
解决此类题目应先求出区域各边界对应的直线方程，根据区域的虚实确定各个不等式中是否有等号，然后在区域内(或外)找一个点，将坐标代入直线方程的左边，确定不等号方向，进而求出相对应的各个不等式，从而列出表示给定区域的二元一次不等式组．
3.用不等式组表示以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形内部(不含边界)的平面区域．
解：因为△ABC的三个顶点坐标分别为A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)，所以直线AB的方程为7x－5y－23＝0，直线BC的方程为4x＋y＋10＝0，直线AC的方程为x＋7y－11＝0.
因为原点O(0，0)在区域内，
把x＝0，y＝0代入7x－5y－23得－23<0；
把x＝0，y＝0代入4x＋y＋10得10>0；
把x＝0，y＝0代入x＋7y－11得－11<0.
所以以A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形内部的平面区域可以用不等式组
表示．
用二元一次不等式组表示实际问题[学生用书P54]
一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
品种
电力/千瓦时
煤/t
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160千瓦时的用电额度，每天用煤不得超过150
t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．
【解】 设每天分别生产甲、乙两种产品x
t和y
t，
生产x
t甲产品和y
t乙产品的用电量是(2x＋8y)千瓦时，根据条件，有2x＋8y≤160；
用煤量为(3x＋5y)t，根据条件，有3x＋5y≤150；
用工人数为(5x＋2y)人，根据条件，有5x＋2y≤200；
另外，还有x≥0，y≥0.
综上所述，x，y应满足以下不等式组
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)．
用二元一次不等式组表示实际问题的步骤
(1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示．
(2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来．
(3)由实际问题中有关的限制条件及问题中所有量均有实际意义的限制条件写出所有的不等式．
(4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来．
4.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：
规格类型钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示需截两种钢板张数的取值范围．
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则：
用图形表示以上限制条件，得到如图的平面区域(阴影中整点部分)．
1．准确把握二元一次不等式的解集
二元一次不等式的解集是满足此二元一次不等式的变量x和y的取值所构成的有序数对(x，y)的集合．有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标．于是，二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点的集合．
2．二元一次不等式组表示的平面区域的理解
(1)含义．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(2)画法．不等式组表示的平面区域的画法依然采用“直线定界，特殊点定域”的方式．在作直线的过程中，作图要规范，相对的位置要准确，用特殊点代入Ax＋By＋C定域时，若C≠0，则一般选取(0，0)代入；当C＝0时，一般选取点(1，0)或(0，1)．
如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是________．
[解析] 不等式y≤2x＋1表示直线y＝2x＋1右下方的平面区域及直线上的点；不等式x＋2y>4表示直线x＋2y＝4右上方的平面区域；所以这两个平面区域的公共部分就是所表示的平面区域．
[答案]
(1)易出现结果忽略了y＝2x＋1为实线．
(2)画不等式(组)表示的平面区域时，直线作图要精确，上方下方要分清，边界虚实不混淆；写平面区域对应的不等式(组)时，边界虚实要分清．
1．给出下列各点：A(1，－3)，B(2，0)，C(3，1)，D(0，－2)，其中在不等式3x－2y<6表示的平面区域内的是________．
解析：将各个点的坐标代入3x－2y，计算结果与6比较，符合3x－2y<6的即为所求的点．
答案：D
2．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6<0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6<0，解得t>.
答案：
3．若点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是________．
解析：由题意知2×(－2)－3b＋5＜0，
所以b＞.
答案：
4．平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的形状是________．
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
, [学生用书P107(单独成册)])
[A 基础达标]
1．不等式x＋2y－6<0表示的平面区域在直线x＋2y－6＝0的①左下方；②左上方；③右上方；④右下方，其中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
解析：将原点(0，0)代入x＋2y－6得0＋2×0－6<0，而原点在直线x＋2y－6＝0的左下方，故不等式x＋2y－6<0表示的平面区域在直线x＋2y－6＝0的左下方．
答案：①
2．不等式x－3y≥0表示的平面区域是________．(填序号)
解析：取测试点(1，0)，排除①③；由边界线x－3y＝0可排除②，故填④.
答案：④
3．已知点A(0，0)，B(1，1)，C，则在不等式3x＋2y－1≥0表示的平面区域内的点是________．
解析：注意点C在边界上，亦满足题意．
答案：B，C
4．若点(－2，m)在直线2x－3y＋6＝0的下方区域，则实数m的取值范围为________．
解析：将直线方程写成y＝x＋2，所以直线的下方区域可用不等式y
答案：
5．在平面直角坐标系中，若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为________．
解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则A(1，0)，B(0，1)，C(1，1＋a)，且a>－1.
因为S△ABC＝2，
所以(1＋a)×1＝2，所以a＝3.
答案：3
6．不等式组表示的平面区域的面积为________．
解析：画出不等式组表示的平面区域，它是一个三角形截去一角，容易求得其面积为.
答案：
7．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有________个．
解析：
画出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
因为直线2x＋y－10＝0过点A(5，0)，且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，故只有一个公共点(5，0)．
答案：1
8．若以原点为圆心的圆全部在不等式组
表示的平面区域内，则圆的面积的最大值为________．
解析：因为原点到直线x－3y＋6＝0，2x＋y－4＝0，3x＋4y＋9＝0的距离分别为，，，且<<，所以以原点为圆心，为半径的圆是所给平面区域内面积最大的圆，其面积为π＝.
答案：
9．画出不等式组所表示的平面区域．
解：先画出直线2x＋y－4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x＋y－4＝0左下方的区域内的点(0，0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x＋y－4≤0表示直线2x＋y－4＝0及其左下方的区域．
同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x＞2y表示直线x＝2y右下方的区域，不等式y≥0表示x轴及其上方的区域．
取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
10．某工厂制造A型电子装置45台，B型电子装置55台，需用薄钢板为每台装置配一个外壳．已知薄钢板的面积有两种规格：甲种每张可做A，B两型电子装置外壳分别为3个和5个；乙种每张可做A，B两型电子装置外壳各6个．请用平面区域表示需用甲、乙两种薄钢板张数的取值范围．
解：由题意可列表如下，
甲
乙
A
3
6
B
5
6
设用甲种钢板x张，乙种钢板y张．
由题意得，则其平面区域如图阴影部分中的整点所示．
[B 能力提升]
1．当直线ax＋y＋b＝0从两点P(1，1)，Q(2，1)之间通过时，则实数a，b满足的关系式为________．
解析：因为直线ax＋y＋b＝0从P，Q两点间通过，所以P，Q两点分居直线ax＋y＋b＝0的两侧，所以(a＋1＋b)(2a＋1＋b)<0，即(a＋b＋1)(2a＋b＋1)<0，这就是实数a，b所满足的关系式．
答案：(a＋b＋1)(2a＋b＋1)＜0
2．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．
解析：区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0，1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．
由方程组解得A(1，0)．
由方程组解得B(2，3)．
所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.
答案：
3．某市政府准备投资1
200万元筹办一所中学．经调查，班级数量以20至30个班为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元和58万元．将办学规模(初、高中班的班级数量)在直角坐标系中表示出来．
解：设初中x个班，高中y个班，此时办学所需资金为(28x＋58y)万元，市政府准备投资1
200万元，则28x＋58y≤1
200，班级数量是非负整数，且要满足20≤x＋y≤30，
即满足
所以，办学规模应是图中阴影部分的整数点所表示的班级数量．
4．(选做题)已知不等式组表示的平面区域是Q.
(1)求Q的面积S；
(2)若点M(t，1)在平面区域Q内，求整数t的取值的集合．
解：
(1)作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形(如图阴影部分所示)．
由解得A(4，－4)；
由解得B(4，12)；
由解得C(－4，4)．
于是可得AB＝16，AB边上的高d＝8.所以S＝×16×8＝64.
(2)由已知得即
亦即得t＝－1，0，1，2，3，4.
故整数t的取值的集合是{－1，0，1，2，3，4}．
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第3章 不等式
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解惑·探究·突破第1课时 简单的线性规划问题
1.了解线性规划的意义． 2.掌握简单的二元线性规划问题的解法．
, [学生用书P55])
线性规划的有关概念
名称
定义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(方程)组
线性约束条件
由变量x，y组成的一次不等式(方程)组
目标函数
关于x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称线性规划问题
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)可行域是一个封闭的区域．( )
(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．( )
(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．( )
(4)线性规划问题一定存在最优解．( )
解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的.
(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．
(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．
(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若则z＝x－y的最大值为________．
解析：根据
题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1，0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.
答案：1
3．已知x，y满足且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝________．
解析：当直线z＝2x＋4y经过两直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4(－3－k)，解得k＝0.
答案：0
4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么PO的最小值等于________，最大值等于________．
解析：如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为＝，最长为＝.
答案：
求线性目标函数的最大(小)值[学生用书P55]
(1)若x，y满足则2x＋y的最大值为________．
(2)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
【解析】 (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，
由解得故当目标函数z＝2x＋y经过点A(1，2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋2＝4.
(2)
法一：(通性通法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3，4)时，zmin＝3－2×4＝－5.
法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3，4)，(1，2)，(3，0)，依次代入目标函数可求得zmin＝－5.
【答案】 (1)4 (2)－5
解线性规划问题的基本步骤
(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(2)移：在线性目标函数所表示的一族平行线中，用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(3)求：通过解方程组求出最优解．
(4)答：根据所求得的最优解得出答案．
1.已知x，y满足求z＝3x＋y的最大值和最小值．
解：作出已知不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由于目标函数为z＝3x＋y，令3x＋y＝0，作直线l0：3x＋y＝0.
平行移动直线l0至直线l，从图形中不难发现，当直线l经过平面区域内的点B时，直线所对应的z值最小；当直线l经过平面区域内的点A时，直线所对应的z值最大．
解方程组得点B的坐标为(0，1)，
所以zmin＝3×0＋1＝1.解方程组得点A的坐标为(4，2)，所以zmax＝3×4＋2＝14.
故满足条件的z的最大值为14，最小值为1.
求非线性目标函数的最值[学生用书P56]
设实数x，y满足求的最大值．
【解】 如图，
画出不等式组表示的平面区域ABC，
令u＝，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为u，则u＝.由图形可知，当直线l经过可行域内的点C时，u最大，
由得C，
所以umax＝，所以＝.
非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)解决非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线的斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．
(2)常见代数式的几何意义主要有：
①
表示点(x，y)与原点(0，0)的距离；
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
②表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
2.已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
解：作出可行域如图阴影部分所示，并求出顶点的坐标A(1，3)、B(3，1)、C(7，9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点P(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方MP2，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是MN2＝.
(2)z＝2·表示可行域内任一点P(x，y)与定点Q连线的斜率kQP的两倍，因为kQA＝，kQB＝，故z的范围为.
已知目标函数的最值求参数问题[学生用书P56]
设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为________．
【解析】 作出可行域．
把目标函数化为y＝－x＋，显然只有y＝－x＋在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，由得A，代入目标函数，即＋＝4，解得m＝3.
【答案】 3
根据目标函数的最值求参数的解题思路
采用数形结合法，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取得最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围．
3.已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3，1)处取得最大值，求实数a的取值范围．
解：由约束条件画出可行域，如图所示，
点C的坐标为(3，1)．
因为目标函数仅在点C(3，1)处取得最大值，
所以－a1.
所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
1．准确理解线性规划的有关概念
(1)线性约束条件包括两点：一是关于变量x，y的不等式(或等式)，二是次数为1.
(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x，y的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．
(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的平面区域(或其内部一些点)，可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域．
2．b的符号对目标函数z＝ax＋by(b≠0)函数值的变化趋势的影响
将函数z＝ax＋by(b≠0)变形为y＝－x＋，它表示斜率为－，在y轴上的截距为，并随z变化的一族平行直线．
(1)把直线l0：ax＋by＝0向上平移时，在y轴上的截距逐渐增大．
当b>0时，z的值逐渐增大；当b<0时，z的值逐渐减小．
(2)把直线l0：ax＋by＝0向下平移时，在y轴上的截距逐渐减小．
当b>0时，z的值逐渐减小；当b<0时，z的值逐渐增大．
设实数x，y满足不等式组
(1)画出点(x，y)所在平面区域；
(2)设a>－1，在(1)所求的区域内，求函数z＝y－ax的最大值和最小值．
[解] (1)已知不等式组等价于
或
从而得点(x，y)所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边界)．其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.
(2)z表示直线l：y－ax＝z在y轴上的截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．
因为a>－1，所以当直线l过顶点C时，z最大．
因为C点的坐标为(－3，7)．所以z的最大值为7＋3a.
如果－12，那么当直线l过顶点B(3，1)时，z最小，最小值为1－3a.
(1)去掉绝对值号时，容易漏掉2x－3＜0时的情况．另外，当a＞－1时，在求z＝y－ax的最值时，不去进一步讨论，导致失分．
(2)求解参数与斜率有关的问题时，可先作出线性约束条件所表示的平面区域，充分利用斜率的特征加以转化，一般情况下需分类讨论，如本题中可将条件a>－1分为－12两种情况分别求目标函数的最小值，经讨论求解的结果才是完整的答案．
1．若0≤x≤1，0≤y≤2，且2y－x≥1，则z＝2y－2x＋4的最小值为________．
解析：画出可行域(图略)，易知z＝2y－2x＋4的最小值在点(1，1)处取到，zmin＝4.
答案：4
2．已知实数x，y满足则z＝2x－y的取值范围是________．
解析：可行域如图阴影部分所示，
线性目标函数为z＝2x－y，zmax＝2×5－3＝7，
zmin＝2×(－1)－3＝－5.
答案：[－5，7]
3．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝________．
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1，1)，
所以|AB|＝|CD|＝＝3.
答案：3
, [学生用书P109(单独成册)])
[A 基础达标]
1．给出下列命题：
①线性规划中的最优解指的是可行域中使目标函数取得最大值或最小值的变量x和y的值；
②线性规划中的最优解指的是目标函数的最大值或最小值；
③线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域；
④线性规划中的最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
答案：①④
2．已知1≤a≤2，－1≤b≤3，则2a＋b的取值范围是________．
解析：在平面直角坐标系aOb中画出可行域(图略)，可得目标函数z＝2a＋b的最小值和最大值分别为1与7，故2a＋b的取值范围是[1，7]．
答案：[1，7]
3．若x，y满足约束条件则的最大值为________．
解析：画出可行域如图阴影所示，因为
表示过点(x，y)与原点(0，0)的直线的斜率，
所以点(x，y)在点A处时最大．
由得
所以A(1，3)．所以的最大值为3.
答案：3
4．满足约束条件并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．
解析：可行域(如图所示)是四边形OABC及其内部的区域．作出l0：6x＋8y＝0即3x＋4y＝0，平移直线l0到l的位置，由图形知，当l过点C(0，5)时，z取得最大值．
答案：(0，5)
5．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是________．
解析：作出可行域(图略)，直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，即－4答案：(－4，2)
6．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出满足条件的可行域(如图阴影部分所示)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是AO2.由得
A(1，2)，所以AO2＝5.
答案：5
7．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
答案：－10
8．已知x，y满足约束条件如果是z＝ax－y取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是________．
解析：画出可行域如图阴影部分所示，将目标函数化为直线的斜截式方程y＝ax－z，当目标函数的斜率大于等于3y－x＝2的斜率时，直线y＝ax－z在点
处截距最小，即a≥时，是目标函数z＝ax－y取得最大值时的最优解．
答案：
9．设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
解：画出满足条件的可行域如图所示，
(1)x2＋y2＝u(除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，
u最大；取(0，0)时，u最小．
又C(3，8)，所以umax＝73，umin＝0.
(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)与定点D(5，0)连线的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3，8)，B(3，－3)，所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
10．已知f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0，1]，若f(x)≤1恒成立，求a＋b的最大值．
解：因为f(x)≤1在[0，1]上恒成立，所以即将a，b对应为平面aOb上的点(a，b)，则其表示的平面区域如图阴影部分所示，其中A，求a＋b的最大值转化为在约束条件下，目标函数z＝a＋b的最值的线性规划问题，作直线a＋b＝0，并且平移使它通过可行域内的A点，
此时z＝a＋b取得最大值为.
[B 能力提升]
1．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(0，－3)，
B(3，－1)，C(0，2)，显然在点B处x2＋y2取得最大值10.
答案：10
2．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________．
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.
答案：－2
3．已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
解析：不等式组所表示的平面区域是以点(0，2)，(1，0)，(2，3)为顶点的三角形及其内部，如图所示．因为原点到直线2x＋y－2＝0的距离为，所以(x2＋y2)min＝，又当(x，y)取点(2，3)时，x2＋y2取得最大值13，故x2＋y2的取值范围是.
答案：
4．(选做题)已知x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝2x＋y的最大值和最小值．
(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值．
解：作出可行域如图所示．
(1)作直线l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A点时，z取最小值；当平移直线过可行域内的B点时，z取得最大值．
解
得A.解得B(5，3)．
所以zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋＝.
(2)易知a>0.一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线z＝ax＋y与直线3x＋5y＝30重合时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．
又kBC＝－，所以－a＝－，
所以a＝.
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应用案·巩固提升
巧练·跟踪·验证第2课时 简单线性规划的应用
会从实际情景中抽象出简单线性规划问题并解决问题．
, [学生用书P58])
应用线性规划解决实际问题的类型
1．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值为________．
解析：作出可行域(如图阴影部分所示)．作出直线l：2x＋3y＝0.
平移直线l到l′的位置，使其通过可行域中的A点(如图)．
这时直线在y轴上的截距最小，z取得最小值．
解方程组
得最优解
即A(1，1)，
所以z最小＝2×1＋3×1＝5.
答案：5
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为________．
解析：作出可行域(如图阴影部分所示)．
作出直线l：2x＋3y＝0.
平移直线l至l′的位置，使其通过可行域中的A点(如图)，这时直线在y轴上的截距最大，z取得最大值．
解方程组得最优解即A(3，1)，
所以z最大＝2×3＋3×1＋1＝10.
答案：10
3．完成一项装修工程，请木工需付工资每人每天50元，请瓦工需付工资每人每天40元．现有工人工资预算每天2
000元，设请木工x人，请瓦工y人，则请工人的约束条件是________．
答案：
4．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1
600元/辆和2
400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．
解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，
则
画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z＝1
600x＋2
400y在点(5，12)处取得最小值zmin＝36
800元．
答案：36
800
线性规划的实际应用问题[学生用书P58]
某家具厂有方木料90
m3，五合板600
m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要木料0.1
m3，五合板2
m2，生产每个书橱需要木料0.2
m3，五合板1
m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少；
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少；
(3)怎样安排生产可使所获利润最大．
【解】 设生产书桌x张，生产书橱y个，利润为z元，则目标函数为z＝80x＋120y，根据题意知，
约束条件为即
画出可行域如图所示，
(1)若只生产书桌，则y＝0，
此时目标函数z＝80x，
由图可知zmax＝80×300＝24
000，
即只生产书桌，可获利润24
000元．
(2)若只生产书橱，则x＝0，
此时目标函数z＝120y，
由图可知zmax＝120×450＝54
000，
即只生产书橱，可获利润54
000元．
(3)作直线l：80x＋120y＝0，并平移直线l，
由图可知，当直线l过点C时，z取得最大值，
解得C(100，400)，
所以zmax＝80×100＋120×400＝56
000，即生产100张书桌，400个书橱，可获得最大利润．
解答此类问题，在按解决线性规划实际问题的步骤进行解题时，应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．
(3)结合实际问题，判断未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等．
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．
(5)图对于解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
1.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，
甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数为z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，这组平行直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组
得
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
因为7＞0，所以当x＝4，y＝6时，
z取得最大值．
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
线性规划中的最优整数解问题[学生用书P59]
某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)
【解】 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件、y件，获取的利润为z百元，
则z＝2x＋y，
满足
作出可行域，如图中阴影的整点部分：
由图可得O(0，0)，A(0，3)，B(2，3)，
C，D(4，0)．
平移直线y＝－2x＋z，当直线过(3，2)或(4，0)时z有最大值．
即工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大．
本例中，若将甲种家电的利润改为“100元”，乙种家电的利润改为“200元”，又如何求解？
解：设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x件，y件，获取的利润为z百元，则z＝x＋2y，满足目标函数变形为y＝－x＋，
由可行域知当目标函数过点B(2，3)时目标函数取最大值，即工厂每天制造甲种家电2件，乙种家电3件时利润最大，Wmax＝8(百元)．
(1)对于整数解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点，而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图象，则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
(2)对于整点问题，一定要通过平移考察目标函数的变化，从而确定最优整数解．
2.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱．
货物
每箱体积/m3
每箱质量/kg
每箱利润/百元
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运能力限制数
24
13
解：设甲货物托运x箱，乙货物托运y箱，利润为z，
由题意得
z＝20x＋10y，作出可行域如图所示，作直线l：20x＋10y＝0，当直线z＝20x＋10y经过可行域上的点A时，z最大，又A(4.8，0)不是整点，解方程组得点B(4，1)为整点．所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润．
(1)解答线性规划应用题的一般步骤
①审题；②转化；③求解；④作答．
(2)作图应尽可能准确，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优解．
(3)线性规划解决的常见问题
①物资调配问题；
②产品安排问题；
③合理下料问题；
④产品配方问题；
⑤方案设计问题．
(4)寻找整点最优解的两个方法
①平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整数解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．
②调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
解决线性规划实际应用问题的常见错误
(1)不能准确地理解题中条件的含义，如“不超过”“至少”等线性约束条件而出现失误．
(2)最优解的找法由于作图不规范而不准确．
(3)最优解为“整点”时不会寻找“最优整数解”．处理此类问题时，一是要规范作图，尤其是边界实虚要分清，二是寻找最优整数解时可记住“整点在整线上”(整线：形如x＝k或y＝k，k∈Z)．
1．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1，a2千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为b1，b2千克，甲，乙产品每千克可获利润分别为d1，d2元，月初一次性购进原料A，B分别为c1，c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大？在这个问题中，设全月生产甲，乙两种产品分别为x，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为________．
解析：由题设和本题的限制条件可得，另外容易遗漏的限制条件是x≥0，y≥0.
答案：
2．一农民有基本农田2亩，根据往年经验，若种水稻，则每季每亩产量为400公斤；若种花生，则每季每亩产量为100公斤，但水稻成本较高，每季每亩240元，而花生只需80元，且花生每公斤卖5元，稻米每公斤卖3元，现该农民手头有400元，那么获得最大收益为________元．
解析：设该农民种x亩水稻，y亩花生时能获得利润z元，则即z＝960x＋420y，
作出可行域如图阴影部分所示，
将目标函数变形为y＝－x＋，作出直线y＝－x，在可行域内平移直线y＝－x，
可知当直线过点B时，z有最大值，
由解得B，
故当x＝1.5，y＝0.5时，zmax＝1
650
元，
故该农民种1.5亩水稻，0.5亩花生时，能获得最大利润，最大利润为1
650元．
答案：1
650
3．某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在A，B，C，D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙分别在各种设备上需要加工的台时数如下：
设备产品
A
B
C
D
甲
2
1
4
0
乙
2
2
0
4
已知各设备在计划期内有效台时数分别为12，8，16，12(1台设备工作1小时称为1台时)，该厂每生产一件甲产品可得到利润2元，每生产一件乙产品可得到利润3元，若要获得最大利润，则生产甲产品和乙产品的件数分别为________．
解析：设在计划期内生产甲产品x件，乙产品y件，则由题意得约束条件为即
作出可行域如图阴影部分所示，目标函数为z＝2x＋3y，由图可知当直线z＝2x＋3y经过点A时，z有最大值，解得即安排生产甲产品4件，乙产品2件时，利润最大．
答案：4，2
, [学生用书P111(单独成册)])
[A 基础达标]
1．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有________种．
解析：设购买软件x片，磁盘y盒，
则
画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示中的整点部分．
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．
答案：7
2．某服装制造商有10
m2的棉布料，10
m2的羊毛料和6
m2的丝绸料，做一套男装需要1
m2的棉布料，2
m2的羊毛料和1
m2的丝绸料，做一套女装需要1
m2的棉布料，1
m2的羊毛料和1
m2的丝绸料，做一套男装的纯收益是20元，做一套女装的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产男装x套，女装y套，利润为z元，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为________．
答案：， z＝20x＋40y
3．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数分别为________．
解析：设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，
则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．
答案：3件，3件
4．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．
解析：设对
项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，
则
目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，
代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.
答案：31.2
5．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为________．
解析：设购买甲商品x件，乙商品y件，所赚钱数为z元，则目标函数为z＝x＋1.8y，约束条件为
作出可行域如图所示，由z＝x＋1.8y，得y＝－x＋，斜率为－>－，所以，由图可知直线过点A时，z取得最大值．又x，y∈N，所以点A不是最优解．点(0，7)，(2，6)，(9，2)都在可行域内，逐一验证可得，当x＝2，y＝6时，z取得最大值．
答案：2，6
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
解析：设购买
铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，
则
目标函数z＝3x＋6y，
由得记P(1，2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z＝3x＋6y过点P(1，2)时，z取到最小值，且最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案：15
7．某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台需花3万日元及人民币50元的维护费；第二种机器每台需花5万日元及人民币20元的维护费．第一种机器的年利润每台有9万日元，第二种机器的年利润每台有6万日元，但政府核准的外汇日元为135万元，并且公司的总维护费不得超过1
800元，为了使年利润达到最大值，第一种机器应购买________台，第二种机器应购买________台．
解析：设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，总的年利润为z万日元，则
目标函数为z＝9x＋6y.
不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整点．
当直线z＝9x＋6y经过点M，即到达l1位置时，z取得最大值，但题目要求x，y均为自然数，故进行调整，调整到与M邻近的整数点(33，7)，此时z＝9x＋6y取得最大值，即第一种机器购买33台，第二种机器购买7台获得年利润最大．
答案：33 7
8．某公司计划用不超过50万元的资金投资A，B两个项目，根据市场调查与项目论证，A，B项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A项目________万元，投资B项目________万元．
解析：设投资者对A，B两个项目的投资分别为x，y万元，则由题意得约束条件为
即
投资者获得的利润设为z，
则有z＝0.8x＋0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B时，z取得最大值．解得B(10，40)．所以，当x＝10，y＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元．
答案：10 40
9．某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：
产品A(件)
产品B(件)
研制成本、搭载费用之和(万元)
20
30
计划最大投资金额300万元
产品质量(千克)
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益(万元)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
解：设“神十一”宇宙飞船搭载产品A，B的件数分别为x，y，最大收益为z，则目标函数为z＝80x＋60y，根据题意可知，
约束条件为
即
作出可行域如图阴影部分中的整点所示，
作出直线l：80x＋60y＝0，并平移直线l，由图可知，当直线过点M时，z取得最大值，解得M(9，4)，所以zmax＝80×9＋60×4＝960，即搭载A产品9件，B产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5
min，生产一个骑兵需7
min，生产一个伞兵需4
min，已知总生产时间不超过10
h．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为
整理得
目标函数为W＝2x＋3y＋300，
作出可行域如图所示．初始直线l0：2x＋3y＝0，平移初始直线经过点A时，W有最大值，
由
得
最优解为A(50，50)，所以Wmax＝550(元)．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．
[B 能力提升]
1．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5
kg，乙材料1
kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5
kg，乙材料0.3
kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2
100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150
kg，乙材料90
kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2
100x＋900y，线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2
100×60＋900×100＝216
000(元)．
答案：216
000
2．有一批铜管，长为4
000
cm，要截成500
cm和600
cm两种毛坯料，且这两种毛坯料数量之比大于，若要截得数量最多，截取方案种数为________．
解析：设截得500
cm的毛坯料x根，截得600
cm的毛坯料y根，由题意，线性约束条件为
即
作出可行域如图所示，目标函数为z＝x＋y.令z＝0,
得直线l：x＋y＝0，则直线z＝x＋y表示一族与直线l平行的直线．由图可知，当直线z＝x＋y经过点B(8，0)时，z最大，此时x＋y＝8，但x，y均为正整数，故(8，0)不是最优解．平移直线z＝x＋y，令x＋y＝7在可行域内逐一验证，可知点(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)均为最优解，故有5种截取方案．
答案：5
3．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
单位产品所需资金(百元)
月资金供应量(百元)
空调机
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力(工资)
5
10
110
单位利润
6
8
试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？
解：设生产空调机x台，洗衣机y台，则30x＋20y≤300，5x＋10y≤110，x，y∈N，即利润z＝6x＋8y.
作出可行域如图阴影部分所示．
由图可知当直线6x＋8y＝z经过可行域内点A时，z取最大值，由得
此时zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)．
故生产空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9
600元．
4．(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，
这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组
得点M的坐标为(20，24)．
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
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第3章 不等式
第3章 不等式
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应用案·巩固提升
巧练·跟踪·验证
50
1N(?162
32
25
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