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第3章 不等式
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不等式有关概念
不等用不等式表示不等关系
关系
比较法
实数的运算性质
不等式的性质
用一元二次方程的根、
元二次函数的图象、一元
次不等式的解之间的关
系求解
一元二次不等式的解法
「含有参数的一元二次不等
次不等
式的解法
式及其
解法
元二次方程根的分布
元二次不等式的应用
不等式
实际应用问题
次不等二元一次不等式(组)与平面区域
式(组)
相关概念
与简单
简单的线性规划
的线性
二元线性规划
问题中,最优
规划间(简单线性规划在实际生活中的应用解的求法
基本不等式:若a≥0,b≥0,则a+b≥2ab,当且仅当
a=b时,等号成立
基本不
正数x,y,若x+y=s(定值),则当x=y时,积
基本不等
xy取得最大值
式与最大
4
小)值
正数x,y,若xy=以(定值),则当x=y时,和xy
取得最小值2
》知识网络体系构建
理清脉络·宏观把握
知识要点·易错提醒
温故知新·夯实基础
专题突破·链接高考
聚焦考点·拓展升华
[巩固提升训练]章末复习提升课
, [学生用书P65])
, [学生用书P66])
1．不等式的基本性质
(1)a>b?b
b；(2)a>b，b>c?a>c；
(3)a>b，c>0?ac>bc；(4)a>b?a＋c>b＋c；
(5)a>b，c<0?acb，c>d?a＋c>b＋d；
(7)a>b>0，c>d>0?ac>bd；
(8)a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)；
(9)a>b>0?>(n∈N，n≥2)．
2．二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．
(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数．当B>0时，①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．
3．求目标函数最优解的两种方法
(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；
(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．
,
[学生用书P66])
不等式的基本性质及应用
不等式的性质是本章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据，应予以特别重视，应熟练掌握和运用不等式的性质．比较两个实数或代数式的大小常常用比较法中的作差法，而这又归纳为对差式进行变形并判断差的符号，这又必然归结到实数运算的符号法则．
已知a>b>c，试比较a2b＋b2c＋c2a与ab2＋bc2＋ca2的大小．
[解] 法一：(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)
＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)]
＝(ab－ca)(a－b)＋(bc－ca)(b－c)
＝a(b－c)(a－b)＋c(b－a)(b－c)
＝(a－b)(b－c)(a－c)，
因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>0，
所以(a－b)(b－c)(a－c)>0，
故a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.
法二：(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝[b(a2＋bc)＋c2a]－[ab2＋c(bc＋a2)]
＝(a2＋bc)(b－c)＋a(c2－b2)
＝(b－c)[(a2＋bc)－a(b＋c)]
＝(a－b)(b－c)(a－c)．
下同法一．
不等式恒成立问题
对于不等式恒成立求参数范围问题的常见类型及解法有以下几种：
(1)变更主元法
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般把已知取值范围的变量看作主元．
(2)分离参数法
若f(a)＜g(x)恒成立，则f(a)＜g(x)min.
若f(a)＞g(x)恒成立，则f(a)＞g(x)max.
(3)二次函数法
根据图象，结合二次项系数，对称轴，判别式及区间端点函数值符号列出不等式组求解，但要注意分类讨论．
(4)数形结合法
将恒成立的不等式化成f(x)>g(x)型，在同一坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，利用不等式与函数的关系，将恒成立问题通过函数图象转化为不等式(组)求解．
设f(x)＝mx2－mx－6＋m，
(1)若对于m∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．
[解] (1)依题意，设g(m)＝(x2－x＋1)m－6，
则g(m)为关于m的一次函数，且一次项系数x2－x＋1＝＋＞0，
所以g(m)在[－2，2]上递增，
所以欲使f(x)＜0恒成立，
需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0，
解得－1＜x＜2.
(2)法一：要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在[1，3]上恒成立，
则有m＜在[1，3]上恒成立，
而当x∈[1，3]时，
＝≥＝，
所以m＜＝，
因此m的取值范围是.
法二：①当m＝0时，f(x)＝－6<0对x∈[1，3]恒成立，所以m＝0.
②当m≠0时f(x)的图象的对称轴为x＝，
若m>0，则f(x)在[1，3]上单调递增，
要使f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，
只需f(3)<0即7m－6<0，
所以0若m<0，则f(x)在[1，3]上单调递减，
要使f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，
只需f(1)<0即m<6，所以m<0.
综上可知m的取值范围是.
简单的线性规划问题
近年来线性规划的一些基本运算问题成为出题的热点，该部分所涉及的知识大多都是基础知识，属于中低档题目．线性规划的应用题也是高考的热点，关注“线性规划”问题的各种“变式”：诸如求面积、距离、参数取值的问题经常出现，①“可行域”由不等式和方程共同确定(为线段或射线)，②“约束条件”由二次方程的“区间根”间接提供，③“约束条件”非线性．
求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值时，只需把直线ax＋by＝0向上(或向下)平行移动，所对应的z随之增大(b>0)或减少(b<0)，找出最优解即可，在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解步骤为：
①作出可行域；
②作出直线l0：ax＋by＝0；
③确定l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；
④解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最小值或最大值．
某公司计划2017年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3
000x＋2
000y.
上述二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
即可行域，如图所示．
作直线l：3
000x＋2
000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值．
联立
解得
所以点M的坐标为(100，200)．
所以zmax＝3
000x＋2
000y＝700
000(元)．
故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
基本不等式的综合运用
基本不F等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，在解决数学问题和实际问题中应用广泛．
(1)基本不等式通常用来求最值：一般用a＋b≥2(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问题．用ab≤解“定和求积，积最大”问题．
(2)在实际运用中，经常涉及函数f(x)＝x＋(k>0)．一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等，构造定值条件的方法和对等号能否成立的验证．如果验证等号不成立，则用基本不等式求最值失效，应立刻改用函数的单调性求解．
(1)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．
(2)若x>－1，则f(x)＝的最小值为________．
[解析] (1)＝－＝(a－1，1)，
＝－＝(－b－1，2)，
因为与共线，
所以2(a－1)＋b＋1＝0，
即2a＋b＝1.
因为a>0，b>0，
所以＋＝(2a＋b)＝4＋＋
≥4＋2＝8，
当且仅当＝，
即b＝2a＝时等号成立．
所以＋的最小值为8.
(2)因为x>－1，
所以x＋1>0，
f(x)＝＝
＝
＝(x＋1)＋＋5，
所以f(x)＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，
即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时，f(x)min＝9.
[答案] (1)8 (2)9
1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是__________．(填序号)
①a＋c≥b－c；②ac>bc；③>0；④(a－b)c2≥0.
解析：因为a>b，所以a－b>0.又c2≥0，所以(a－b)c2≥0.
答案：④
2．设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值为________．
解析：画出可行域如图阴影部分中的整点，令3x＋4y＝z，y＝－x＋，过x轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y＝－x＋过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时zmin＝3×4＋4＝16.
答案：16
3．要挖一个面积为432
m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽为3
m，4
m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的两边长分别为________．
解析：设鱼池的相邻两边长分别为x
m，y
m，
因为鱼池的面积为432
m2，
所以xy＝432，
又鱼池周围两侧分别留出宽为3
m，4
m的堤堰，
所以占地总面积为
S＝(x＋6)(y＋8)＝xy＋6y＋8x＋48＝480＋8x＋6y≥480＋2＝768，
当且仅当8x＝6y时，等号成立，
联立
解得x＝18，y＝24.
答案：18
m，24
m
4．若实数x，y满足求的取值范围．
解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(不包括y轴)，
表示点(x，y)与坐标原点所连直线的斜率，
当点(x，y)在边界x－y＋1＝0(x>0)的上侧移动时，
>1.故的取值范围是(1，＋∞)．
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章末综合检测(三)
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[学生用书P117(单独成册)]
(时间：120分钟，满分：160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|2x－1<1}，则A∩B＝________．
解析：A＝{x|(x＋3)(x－1)>0}＝{x|x<－3或x>1}，B＝{x|x<1}，
所以A∩B＝(－∞，－3)．
答案：(－∞，－3)
2．已知不等式：①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)；③a2＋b2≥2(a－b－1)(a，b∈R)．其中正确的不等式是________．(填序号)
解析：x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0，a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以①③恒成立，但a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2·(a＋b)不恒大于等于0，故②不恒成立．
答案：①③
3．已知a，b，c∈R，那么下列说法中正确的是________．(填序号)
①若>，则a>b；
②若a3>b3且ab<0，则>；
③若a2>b2且ab>0，则<.
解析：对于①，若c<0，则①不成立；对于②，若a3>b3且ab<0，则②对；对于③，若a答案：②
4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值为________．
解析：因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，所以方程ax2＋bx＋2＝0的两根分别为x1＝－，x2＝，所以
所以a＝－12，b＝－2，所以a－b＝－10.
答案：－10
5．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是________．
解析：由－4＜b＜2，得0≤|b|＜4，则－4＜－|b|≤0，则－3＜a－|b|＜3.
答案：(－3，3)
6．若关于x的不等式(m＋1)x2－mx＋m－1>0的解集为?，则实数m的取值范围是________．
解析：当m＋1＝0即m＝－1时，不等式为x－2>0，
所以x>2，解集不为?.当m＋1≠0即m≠－1时，
由题意有
所以
所以m≤－.
答案：
7．点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是__________．
解析：由条件知，m>0，n>0，m＋n＝1，
所以mn≤＝，
当且仅当m＝n＝时取等号，
log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2.
答案：－2
8．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件与货价p元/件之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋30x元，则该厂日产量为__________时，日获利不少于1
300元．
解析：由题意，得(160－2x)x－(500＋30x)≥1
300，
化简得x2－65x＋900≤0，
解之得20≤x≤45.
因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1
300元．
答案：20件至45件
9．设x，y满足约束条件则z＝x－2y的取值范围为________．
解析：作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，
作直线x－2y＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A时，z＝x－2y取最大值；当直线过点B时，z＝x－2y取最小值．
由得B(1，2)，
由得A(3，0)．
所以zmax＝3－2×0＝3，zmin＝1－2×2＝－3，所以z∈[－3，3]．
答案：[－3，3]
10．设a>0，b>0，且ab－a－b－1≥0，则a＋b的取值范围为________．
解析：因为ab－a－b－1≥0，所以a＋b＋1≤ab≤.令a＋b＝t，则t＋1≤，
即t2－4t－4≥0，解得t≥2＋2或t≤2－2，
又t＝a＋b>0，故t≥2＋2.
答案：[2＋2，＋∞)
11．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________．
解析：因为a＞0，b＞0，由－－≤0，得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.
答案：16
12．若不等式x2－4x＋m<0的解集为空集，则不等式x2－(m＋3)x＋3m<0的解集是________．
解析：由题意，知方程x2－4x＋m＝0的判别式Δ＝(－4)2－4m≤0，解得m≥4，又x2－(m＋3)x＋3m<0等价于(x－3)(x－m)<0，所以3答案：(3，m)
13．已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．
解析：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
答案：2或－1
14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，且x>0，y>0，则x＋y的最大值是________．
解析：由x2＋y2＋xy＝1，可得(x＋y)2－xy＝1，
所以(x＋y)2－1＝xy，由于xy≤，
所以(x＋y)2－1≤，因此(x＋y)2≤，
因为x>0，y>0，所以x＋y≤，即x＋y的最大值是.
答案：
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
解不等式组
解：≤1?≤0?x∈[－2，6)，
2x2－x－1>0?(2x＋1)(x－1)>0?x∈∪(1，＋∞)，
所以原不等式组的解集为x∈∪(1，6)．
16．(本小题满分14分)已知函数y＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
解：(1)因为函数y＝的定义域为R，
所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
①当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上可知，a的取值范围是[0，1]．
(2)由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，所以①当1－a>a，即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a1－a当0≤a<时，为(a，1－a)；当a＝时，为?；
当17．(本小题满分14分)某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费共计约0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算？(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)
解：设使用x年平均费用最少，由于“年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此汽车使用x年总维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
此时＝，解得x＝10或－10(舍去)，即当使用10年时年平均费用y最小．即这种汽车使用10年报废最合算．
18．(本小题满分16分)某人上午7点乘摩托艇以v
n
mile/h(4≤v≤20)的速度从A港出发到相距50
n
mile的B港去，然后乘汽车以w
km/h(30≤w≤100)的速度自B港向相距300
km的C市驶去，应该在同一天下午4点至9点到达C市．设乘汽车、摩托艇所花时间分别为x，y
h，如果已知所要经费p＝100＋3(5－x)＋2(8－y)(元)，那么v，w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
解：由题设知v＝，w＝，4≤v≤20，30≤w≤100，所以4≤≤20，30≤≤100.故可得3≤x≤10，≤y≤.
又由于乘汽车、摩托艇所需时间之和x＋y应在9个小时到14个小时之间，即9≤x＋y≤14，于是可得约束条件为
而目标函数p＝100＋3(5－x)＋2(8－y)，
即p＝－3x－2y＋131.
令131－p＝z，则z＝3x＋2y.显然，当z最大时，p最小．作出可行域(如图所示)，作直线l0：3x＋2y＝0，平移l0至l的位置，使其经过可行域中的点A(10，4)时，z取得最大值，即当x＝10，y＝4时，p最小，此时，v＝12.5，w＝30，pmin＝93.
所以当v＝12.5
n
mile/h，w＝30
km/h，走得最经济，此时需花费93元．
19．(本小题满分16分)
设x，y满足约束条件
(1)画出不等式组表示的平面区域，并求出该平面区域的面积；
(2)若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为4，求＋的最小值．
解：(1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
联立
得点C坐标为(4，6)，平面区域的面积
S＝S矩形OECF－S△ACE－S△BCF
＝24－6－8＝10.
(2)当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4，6)时，
目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值4，
即4a＋6b＝4，
即a＋b＝1.
所以＋＝＝2＋＋≥4，
所以＋的最小值为4(当且仅当a＝，b＝时取到)．
20．(本小题满分16分)规定：max{a，b，c}与min{a，b，c}分别表示a，b，c中的最大数与最小数，若正系数二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，试证：
(1)max{a，b，c}≥f(1)；
(2)min{a，b，c}≤f(1)．
证明：由题意知a，b，c>0，f(1)＝a＋b＋c，
Δ＝b2－4ac≥0.
(1)若b≥f(1)，结论显然成立；
下面证明当b记f(1)＝a＋b＋c＝d.由b2－4ac≥0，可知ac≤而a＋c＝d－b>d，所以a2＋d2>a2＋ac＝a(a＋c)>ad，即>0，解得ad.若ad，c>d，即c>f(1)．
因此，必有a>f(1)或b≥f(1)或c>f(1)，于是max{a，b，c}≥f(1)．
(2)若a≤f(1)，结论显然成立；
下面证明当a>f(1)时，结论也成立．
因为b＋c＝d－acd，
所以c＋整理为<0，
解得c因此，必有a≤f(1)或c于是min{a，b，c}≤f(1)．
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