高一数学（人教B版）直线与平面垂直的判定与性质-课件（42张PPT）

(共42张PPT)
高一年级
数学
直线与平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直的定义：如果直线
与平面内过它们公共
点的所有直线都垂直，我们就说直线与平面
互相垂直.
记作：
直线叫做平面的垂线，平面
叫做直线的垂面，
它们唯一的公共点叫做垂足.
由定义可知：
m
l
知识回顾
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
图形语言：
符号语言：
l
m
n
线线垂直
线面垂直
知识回顾
问题1：在平面内，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条是否也垂直于这条直线？
思考探究
问题1：在平面内，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条是否也垂直于这条直线？
问题2:
在空间中，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条是否也垂直于这条直线？
思考探究
问题1：在平面内，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，则另一条是否也垂直于这条直线？
问题2:
在空间中，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条是否也垂直于这条直线？
问题3：在空间中，如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条是否也垂直于这个平面？
l
m
思考探究
证明：如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：
，
求证：
证明：如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：
，
求证：
证明：如果两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
证明：设
是
内的任意一条直线，因为
所以
，又因为
，所以
，
因为
是
内的任意一条直线，
由直线与平面垂直的定义知
.
问题4：在平面内，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
思考探究
问题4：在平面内，垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
问题5：在空间中，垂直于同一个平面的两条直线是否平行？
l
m
思考探究
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
图形语言：
l
m
符号语言：
证明：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
l
m
已知：
求证：
O
l
m
a
证明：假设
不平行于
，设
，过
作
，
因为
，所以
，
，
与
能确定一个平面，
记为
，设
，由
可知
所以在平面
内，过点
有两条不同的直线都与直线
垂直，
得出矛盾.因此假设不成立，所以
.
如图所示，一条直线
和平面
相交，但不垂直，这条直线叫这个
平面的斜线，斜线和平面的交点
叫做斜足，线段称为平面
线段.
过垂足和斜足的直线
叫做斜线在这个平面上的射影．
斜线和射影所成的锐角
叫做这条直线和平面所成的角．
l
A
O
P
斜足
斜线
射影
垂线
l
A
O
P
B
如图所示，从点
引平面
的两条斜线段
、
可知:
例1
如图在三棱锥
中，
，且
，
，求三棱锥的体积.
O
S
C
B
A
解：设
在底面的射影为
，则由
有
即
为
的外心，
又因为
是直角三角形，所以
是
的中点.
因为
，所以
．
又因为
是直角三角形，
从而
．
因此所求体积为
．
O
S
C
B
A
例1
如图在三棱锥
中，
，且
，
，求三棱锥的体积.
O
S
C
B
A
变式1：在例1的条件下，求证：
.
例1
如图在三棱锥
中，
，且
，
，求三棱锥的体积.
O
S
C
B
A
变式1：在例1的条件下，求证：
.
证明：由例1知，所以
.
又因为
，所以
，
所以
故
例1
如图在三棱锥
中，
，且
，
，求三棱锥的体积.
变式2：在例1中
在底面的射影为
，若
分别是
的
中点，试判断
与平面
是否垂直；
O
S
C
B
A
E
F
例1
如图在三棱锥
中，
，且
，
，求三棱锥的体积.
变式2：在例1中
在底面的射影为
，若
分别是
的
中点，试判断
与平面
是否垂直；
O
S
C
B
A
E
F
判断：
.
因为
分别是
的中点，所以
，
已证
，所以
.
例1
如图在三棱锥
中，
，且
，
，求三棱锥的体积.
O
S
C
B
A
E
F
变式3：在变式2的条件下，有人说“
，
所以
”，对吗？
例1
如图在三棱锥
中，
，且
，
，求三棱锥的体积.
O
S
C
B
A
E
F
变式3：在变式2的条件下，有人说“
，
所以
”，对吗？
不对，因为
，不是两条相交直线，
不满足线面垂直判定定理的条件，所以不正确.
线面垂直
线线垂直
l
C
B
A
例2
已知如图，
是平面
的斜线，
为斜足，
，
为垂足，
，且
．
求证：
．
l
C
B
A
例2
已知如图，
是平面
的斜线，
为斜足，
，
为垂足，
，且
．
求证：
．
证明：因为
，所以
，
又
．且，所以，
而且，所以
练习1
如图，在四棱锥
中，
，
四边形
是菱形．
求证：（1）
；
（2）
．
D
C
B
A
P
线面垂直的定义、线面垂直的判定定理综合运用
练习1
如图，在四棱锥
中，
，
四边形
是菱形．
求证：（1）
；
D
C
B
A
P
（1）证明：因为四边形
是菱形，
所以
．
因为
，
所以
．
又
，所以
．
练习1
如图，在四棱锥
中，
，
四边形
是菱形．
求证：（2）
．
D
C
B
A
P
（2）证明：由（1）知
，
因为
，所以
．
练习2
如图，
，四边形
为矩形，
，点
是
的中点，点
是
上动点．
（1）求三棱锥
的体积；
（2）证明：无论点
在边
的何处，都有
．
A
P
F
E
C
B
D
练习2
如图，
，四边形
为矩形，
，点
是
的中点，点
是
上动点．
（1）求三棱锥
的体积；
A
P
F
E
C
B
D
（1）解：
练习2
如图，
，四边形
为矩形，
，点
是
的中点，点
是
上动点．
（2）证明：无论点
在边
的何处，都有
．
A
P
F
E
C
B
D
（2）证明：因为
，故
，
又
，故
，所以
；
中，
，点
是
的中点，
故
，所以
，
故无论点
在边
的何处，都有
．
例题3
如图，在正四棱柱
中，
是
的中点．
（1）求证：
；
（2）若
，求
的值．
A
E
C
B
D
A1
B1
D1
C1
例题3
如图，在正四棱柱
中，
是
的中点．
（1）求证：
；
（1）证明：连接
．
因为
是正四棱柱，
所以
，所以
，
且
所以
，所以
．
A
E
C
B
D
A1
B1
D1
C1
例题3
如图，在正四棱柱
中，
是
的中点．
（2）若
，求
的值．
A
E
C
B
D
A1
B1
D1
C1
（2）解：连接
．因为
，
所以
．因为
，
所以
，因而
，
所以
．因此可得
，
所以
，即
．
故
．
例题4
将两块三角板按图甲方式拼好，其中
，
．现将三角板
沿
折起，
使
在平面
上的射影
恰好落在
上，如图乙．
（1）求证：
；
（2）求证：
为
中点．
关注折叠问题中变与不变的量
A
C
D
甲
B
O
A
C
B
D
乙
（1）证明：
在平面
上的射影
恰好落在
上，
所以
，所以
．
又
所以
，
所以
（1）求证：
．
A
C
D
甲
B
O
A
C
B
D
乙
（2）证明：在
中，
，得
在
中，
，得
．
由（1）知
，所以
．
由勾股定理得
又
，所以
为
的中点．
（2）求证：
为
中点．
O
A
C
B
D
乙
作业1
如图，在底面是直角梯形的四棱锥
中，
（1）求四棱锥
的体积；
（2）求证：
．
S
A
C
B
D
作业2
如图，在四棱柱
中，
，
（1）求证：；
（2）若
，判断直线
与平面
是否垂直?
并说明理由．
B1
A1
D1
C1
A
C
B
D
1、线面垂直的判定定理
2、线面垂直的性质定理
3、体会转化思想：线面垂直?线线垂直
课堂小结
高一年级
数学
直线与平面垂直的判定与性质