高一数学（人教B版）-空间中的平行和垂直的综合应用(二)-课件（55张PPT）

(共55张PPT)
高一年级
数学
空间中平行和垂直的综合应用(二)
上节课，我们借助不同类型的空间几何体，例如，从棱柱、棱锥及其他组合体中观察线面位置关系，结合有关定理，进行证明或者计算.
这节课，我们将聚焦于不同呈现形式的问题，继续探究空间中的平行和垂直关系，进一步提升解题能力.
【学习聚焦】
【问题聚焦】
类型一
空间点、线、面位置关系的判断
类型二
空间平行、垂直关系的证明
类型三
折叠问题
类型四
空间位置关系的探索性问题
空间点、线、面位置关系的判断
【类型一】
空间平行、垂直关系判断的主要方法有：
借助定理进行证明
借助常见几何体的性质进行判断
反证法
空间点、线、面位置关系的判断
【类型一】
例1：如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
空间点、线、面位置关系的判断
【类型一】
例1解答：如上左图所示，连接CD，易证
，由正方体的性质可证
所以
，再由线面平行的判定定理可证
，所以，排除B.
同理，在C选项的图里，
，可证
；在D选项的图里，
，可证
,所以排除C，D.
所以选A
.（如上右图所示，BC的中点为O，连接OQ，则
，易知AB和平面MNQ有交点）
?
空间点、线、面位置关系的判断
【类型一】
练习1：如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B两点），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：
①
②
③
④
其中正确的命题序号是
　　　　　　　　　　　
空间点、线、面位置关系的判断
【类型一】
答案：②
④
练1解答：因为O在AB上，M在PB上，所以
，故①错;
因为MO是
的中位线，所以
，
易证
，故②正确;
因为OC不一定垂直AB，所以③错;因为
，所以
,因为AB是圆O的直径，所以
，又
，所以
，
，所以
，故④正确
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、以及空间平行、垂直关系的判定定理和性质定理进行判断，同时借助特殊几何体如正方体、长方体、直棱柱、正棱锥等几何模型的性质挖掘隐含条件.
【类型一方法小结】
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
例2：如图，在四棱锥P－ABCD中，
，点E为棱PB的中点．
(1)若PB＝PD，求证：
；
(2)求证：
.
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
例2：如图，在四棱锥P－ABCD中，
，点E为棱PB的中点．
(1)若PB＝PD，求证：
；
例2解答：
证明：　(1)取BD的中点O，连接CO，PO，
因为CD＝CB，所以
为等腰三角形，
所以
.
因为PB＝PD，所以
为等腰三角形，
所以
.又
，
所以
.
所以
.
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
例2：如图，在四棱锥P－ABCD中，
，点E为棱PB的中点．
(2)求证：
.
例2解答：
证明：(2)由E为PB的中点，连接EO，则
，
由
，可得
，
所以
，
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
练2：如图，三棱柱
的各棱长均为2，
，E，F分别为棱
的中点．
(1)求证：
；
(2)
与线段AB交于点M，指出点M的位置，说明理由．
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
练2：如图，三棱柱
的各棱长均为2，
，E，F分别为棱
的中点．
(1)求证：
；
BE∥FG
练2解答
(1)证明　取
的中点G，连接EG，FG，
∵点E为
的中点，∴EG
,且EG＝
，
∵F为BC中点，
∴
且
，
∴
BF∥EG且BF＝EG.所以四边形BFGE是平行四边形，
所以BE∥FG，又BE
平面
，FG
平面
，
所以直线BE∥平面
.
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
练2：如图，三棱柱
的各棱长均为2，
，E，F分别为棱
的中点．
(2)
与线段AB交于点M，指出点M的位置，说明理由．
AC∥FM
练2解答：(2)　M为棱AB的中点．
理由如下：
因为AC∥
，
平面
，
平面
，
所以直线AC∥平面
，
又平面
∩平面ABC＝FM，
所以AC∥FM.
又F为棱BC的中点，所以M为棱AB的中点．
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
空间平行、垂直关系的证明
【类型二】
证明平行关系的核心任务是证明线线平行：
证明线线平行常用的方法：
公理4：两直线同时和第三条直线平行，这两条直线平行
平行四边形对边平行
利用三角形的中位线定理（或线段成比例）证明线线平行
利用线面平行、面面平行的性质定理证明线线平行
【类型二方法小结】
证明垂直关系的核心任务是证明线线垂直：
证明线线垂直常用的方法：
勾股定理
长方形邻边互相垂直，菱形对角线互相垂直
等腰三角形底边中线即高线的性质
利用线面垂直的定义，要证线线垂直，只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面即可
【类型二方法小结】
折叠问题
【类型三】
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的点、线、面位置关系和数量关系，有的发生了改变，有的没有改变，所以，确认折叠前后的“不变”和“改变”是什么，是解决问题的关键．
例3：如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将
沿线段DE折起到
的位置，如图2所示．
折叠问题
【类型三】
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得
？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
例3：如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将
沿线段DE折起到
的位置，如图2所示．
折叠问题
【类型三】
(1)求证：
；
例3解答：
(1)证明　折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以
，
所以折叠后，
，又
，
所以
.
例3：如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将
沿线段DE折起到
的位置，如图2所示．
折叠问题
【类型三】
(2)求证：
；
例3解答：
(2)证明　因为四边形AECD为菱形，所以
.
又点E为AB的中点，所以
，
所以四边形DEBC为平行四边形，所以
.
又由(1)得，
，所以
.
因为
，所以
.
例3：如图1，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为AB中点．将
沿线段DE折起到
的位置，如图2所示．
折叠问题
【类型三】
(3)在线段PD，BC上是否分别存在点M，N，使得
？若存在，请指出点M，N的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
例3解答：
(3)解　存在满足条件的点M，N，且M，N分别是PD和BC的中点．
如图，分别取PD和BC的中点M，N.连接EN，PN，MF，CM.
因为四边形DEBC为平行四边形，所以
，
所以四边形ENCF为平行四边形，所以
.
在
中，M，F分别为PD，DE的中点，所以
.
又
，
，所以
.
练3：在梯形ABCD中(如图1)，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝2，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得
，得到空间几何体(如图2)．
折叠问题
【类型三】
(1)证明：
；
(2)求三棱锥E－ACD的体积．
练3：在梯形ABCD中(如图1)，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝2，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得
，得到空间几何体(如图2)．
折叠问题
【类型三】
(1)证明：
；
练3解答：(1)证明　连接BE交AF于点O，取AC的中点H，连接OH，DH，则OH是
的中位线，
所以
，
由已知得
，
所以
，
所以四边形DEOH为平行四边形，
，
又因为
，
所以
.
练3：在梯形ABCD中(如图1)，AB∥CD，AB＝2，CD＝5，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝2，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得
，得到空间几何体(如图2)．
折叠问题
【类型三】
(2)求三棱锥E－ACD的体积．
练3解答：(2)解　由已知得，四边形ABFE为正方形，且边长为2，
则
，由已知
，
，
，
又
，
，
，则四边形DEFC是直角梯形，
又
，
所以
，所以AE是三棱锥A－DEC的高，
【类型三方法小结】
解决翻折问题的关键，就是要认真审题，分析清楚翻折前后位置关系以及数量关系的改变和不变，根据这些，去完成翻折后生成的几何体中的证明和计算.
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，这类问题的一般设问方式是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由”.解决这类问题，一般根据设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果得到了合乎情理的结论就肯定假设，得到了矛盾就否定假设。
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
例4：直棱柱
底面ABCD是直角梯形，
，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：
；
(2)
上是否存一点P，使得DP与
以及
都平行？证明你的结论.
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
例4：直棱柱
底面ABCD是直角梯形，
，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：
；
B
A
D
C
例4解答：证明
(1)直棱柱
中，
，
∴
，又∵
AB=2AD=2CD=2，由平面几何及余弦定理
∴
又
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
例4：直棱柱
底面ABCD是直角梯形，
，AB＝2AD＝2CD＝2.
(2)
上是否存一点P，使得DP与
与
都平行？证明你的结论.
P
例4解答：(2)存在点P，P为
的中点。
证明：由P为
的中点，有
又
∴
四边形
为平行四边形，从而
又
同理，
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
P
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
练4：如图在三棱锥P-ABC中，
.设D，E分别为PA，AC中点
（1）求证：
（2）求证：
（3）试问：在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由.
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
练4：如图在三棱锥P-ABC中，
.设D，E分别为PA，AC中点
（1）求证：
（2）求证：
练4解答：(1)因为点E是AC中点，点D为PA中点所以DE为三角形PAC的中位线，所以
，又因为
，所以
(2)因为
又
，所以
，
,所以
,又因为
，且
，所以
【类型四】
空间位置关系的探索性问题
练4：如图在三棱锥P-ABC中，
.设D，E分别为PA，AC中点
（3）试问：在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由.
练4解答：(3)答
当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行
取AB中点F，连接EF，DF，由（1）可知
DE
平面PBC因为点E是AC中点，点F为AB的中点所以EF为
的中位线，所以
，又因为
，所以
又因为
所以
，所以
内的任一条直线都与
平行
【类型四方法小结】
对于存在判断型问题，解题的策略一般为：
先假设存在
猜想某个特殊位置会满足条件，然后再尝试证明
利用条件推理论证说明存在
1.如图，四棱锥P-ABCD中，
，底面ABCD是正方形，则下列结论：
①
②
③
④
其中正确的结论序号是
【课后练习】
2.如图,在平行四边形ABCM中,
AB＝AC＝3,
.以AC为折痕将
折起,使点M到达点D的位置,且
.
(1)证明：
；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点,且BP＝DQ＝
,求三棱锥Q-?ABP的体积．
【课后练习】
3.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点，将
沿AM折起，使得平面ADM
平面ABCM，点O是线段AM的中点
(1)求证：
(2)求证：
(3)过D点是否存在一条直线
,同时满足以下两个条件：
平面BCD
请说明理由
【课后练习】
【课后小结】
处理空间平行和垂直关系，经常要把问题转化成基本的线线关系，根据定理的要求找齐线线关系的条件，完成判断或者证明
处理平面图形的折叠问题，要根据折叠前后的改变量和不变量完成证明或者计算
处理探索性或者存在性问题，要从不同的角度找到问题的突破口，既可以从条件入手，也可以从结论入手，把问题转化成常规的证明或者计算
高一年级
数学
空间中平行和垂直的综合应用(二)
主讲人
黄
悦
北师大二附中