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第18讲-同角函数基本关系与诱导公式
1、
考情分析
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan
α；
2.能利用定义推导出诱导公式.
2、
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos
α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan
α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；sin
α＝tan
α·cos
α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
3、
经典例题
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 公式的直接运用
【例1－1】已知α∈，且sin
α＝－，则cos
α＝( )
A.－
B.
C.±
D.
【解析】 因为α∈，且sin
α＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cos
α＝－＝－＝－.
角度2 关于sin
α，cos
α的齐次式问题
【例1－2】
已知＝－1，求下列各式的值.
(1)；
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2.
【解析】 由已知得tan
α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
角度3 “sin
α±cos
α，sin
αcos
α”之间的关系
【例1－3】
已知x∈(－π，0)，sin
x＋cos
x＝.
(1)求sin
x－cos
x的值；
(2)求的值.
【解析】 (1)由sin
x＋cos
x＝，
平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
所以(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.
由x∈(－π，0)，知sin
x<0，又sin
x＋cos
x>0，
所以cos
x>0，则sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
(2)＝
＝＝＝－.
规律方法 1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用＝tan
α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin
α＋cos
α，sin
αcos
α，sin
α－cos
α这三个式子，利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式的应用
【例2-1】
(1)设f(α)＝(1＋2sin
α≠0)，则f＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.
【解析】 (1)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝.
(2)∵cos＝cos
＝－cos＝－a，
sin＝sin＝a，
∴cos＋sin＝－a＋a＝0.
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos
α.
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
【例3】
(1)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝( )
A.
B.±
C.±
D.
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 (1)∵α∈，sin＝，
∴cos
α＝，sin
α＝－，tan
α＝＝－2.
∴tan(π＋2α)＝tan
2α＝＝＝.
(2)由已知得
消去sin
β，得tan
α＝3，
∴sin
α＝3cos
α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin
α＝(α为锐角).
(3)已知－πx＝－.
①求sin
x－cos
x的值；
②求的值.
【解析】 ①由已知，得sin
x＋cos
x＝，
两边平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2
x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
∵(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝，
由－πx<0，
又sin
xcos
x＝－<0，
∴cos
x>0，∴sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
②＝
＝
＝＝－.
规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.
[方法技巧]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan
x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin
xcos
x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)和积转换法：如利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋)＝tan
等.
3.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
4.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
4、
课时作业
1．（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
所以，即
因为，所以，
所以，即
又，所以，即解得或
因为，所以
2．（2020·福建省高三其他（文））若则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】sinx＝3sin（x-）＝﹣3cosx，
解得：tanx＝﹣3，
所以：cosxcos（x）＝﹣sinxcosx==，
3．（2020·广东省高三其他（文））若，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
【答案】D
【解析】因为
所以.
4．（2020·湖南省高一月考）已知为第三象限角，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵为第三象限角
∴
∵
∴
5．（2020·渭南市尚德中学高一月考）中，，，则为（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】A
【解析】中，，则，
由，所以，
即，所以为锐角，
由，则，
.
6．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，，则的化简结果为（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】B
【解析】，，故为第三象限角，.
7．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））在中，,则的值为（
）
A．
B．
C．
D．±
【答案】B
【解析】因为在中，,所以，因此，
又，
所以.
8．（2020·开鲁县第一中学高一期中（文））已知
，则（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】，
9．（2020·山西省高三其他（理））若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为，
所以．
10．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
所以
11．（2020·山西省高三其他（文））已知sin（），则sin2x的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设,则，,选C.
12．（2020·湖南省高一月考）化简的结果为（
）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原式.
13．（2020·渭南市尚德中学高一月考）的值为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，故选B.
14．（2020·湖南省高三二模（文））已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
15．（2020·陕西省西安中学高一期中）设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，
，
只需比较的大小，
在上单调递减，
，
16．（多选题）（2020·山东省高一月考）下列化简正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】利用诱导公式，及
A选项：，故A正确；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C不正确；
D选项：，故D不正确
17．（多选题）（2020·湖南省湖南师大附中高二期末）下列命题中为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】A项,当时,则,
又,所以恒成立,命题为真；
B项,因为,所以方程无解,命题为假；
C项,因为对恒成立,则命题错误；
D项,结合指数函数与对数函数在上的图像,命题为真,
18．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列化简正确是（
）
A．
B．
C．
D．
E.若，则
【答案】ABE
【解析】对于A，根据三角函数的诱导公式可知，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
对于E，.
∵
∴，
∴，故E正确.
19．（2020·上海高一期中）若，则______．
【答案】
【解析】因为，
所以，即，
解得.
20．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，则__________.
【答案】
【解析】
21．（2020·上海高一课时练习）化简下列各式：
（1）__________；
（2）________；
（3）________．
【答案】
【解析】（1）；
（2）因为，，，，
所以，原式；
（3）因为，，，
，，，
所以原式.
22．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知关于x的方程的两根为，，.求：
（1）；
（2）m的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．
【解析】由韦达定理可得，.
（1）原式
.
（2）由，
两边平方可得：
，
，.
（3）由可解方程：
，得两根和.
∴或
∵，
∴或.
23．（2020·湖南省高一月考）已知，求：
（1）；
（2）
【解析】（1）
（2）
24．（2020·渭南市尚德中学高一月考）
已知.
（1）化简;
（2）若是第三象限角,且,求的值.
【解析】①=
②
又为第三象限角，，
25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1）
，∴；
（2）原式分子分母同除以得：
原式
．
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精品试卷·第
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第18讲-同角函数基本关系与诱导公式
1、
考情分析
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan
α；
2.能利用定义推导出诱导公式.
2、
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cos__α
cos__α
余弦
cos
α
－cos__α
cos__α
－cos__α
sin__α
－sin__α
正切
tan
α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；sin
α＝tan
α·cos
α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
3、
经典例题
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 公式的直接运用
【例1－1】已知α∈，且sin
α＝－，则cos
α＝( )
A.－
B.
C.±
D.
【解析】 因为α∈，且sin
α＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cos
α＝－＝－＝－.
角度2 关于sin
α，cos
α的齐次式问题
【例1－2】
已知＝－1，求下列各式的值.
(1)；
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2.
【解析】 由已知得tan
α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
角度3 “sin
α±cos
α，sin
αcos
α”之间的关系
【例1－3】
已知x∈(－π，0)，sin
x＋cos
x＝.
(1)求sin
x－cos
x的值；
(2)求的值.
【解析】 (1)由sin
x＋cos
x＝，
平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
所以(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.
由x∈(－π，0)，知sin
x<0，又sin
x＋cos
x>0，
所以cos
x>0，则sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
(2)＝
＝＝＝－.
规律方法 1.同角三角函数关系的用途：根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值，对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用＝tan
α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin
α＋cos
α，sin
αcos
α，sin
α－cos
α这三个式子，利用(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α，可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式的应用
【例2-1】
(1)设f(α)＝(1＋2sin
α≠0)，则f＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.
【解析】 (1)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝.
(2)∵cos＝cos
＝－cos＝－a，
sin＝sin＝a，
∴cos＋sin＝－a＋a＝0.
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos
α.
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
【例3】
(1)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝( )
A.
B.±
C.±
D.
(2)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 (1)∵α∈，sin＝，
∴cos
α＝，sin
α＝－，tan
α＝＝－2.
∴tan(π＋2α)＝tan
2α＝＝＝.
(2)由已知得
消去sin
β，得tan
α＝3，
∴sin
α＝3cos
α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin
α＝(α为锐角).
(3)已知－πx＝－.
①求sin
x－cos
x的值；
②求的值.
【解析】 ①由已知，得sin
x＋cos
x＝，
两边平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2
x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
∵(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝，
由－πx<0，
又sin
xcos
x＝－<0，
∴cos
x>0，∴sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
②＝
＝
＝＝－.
规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如－α与＋α互余等.
[方法技巧]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值、化简的常用方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tan
x＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsin
xcos
x＋ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)和积转换法：如利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ(1＋)＝tan
等.
3.利用诱导公式进行化简求值时，可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
4.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
4、
课时作业
1．（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·福建省高三其他（文））若则(
)
A．
B．
C．
D．
3．（2020·广东省高三其他（文））若，则（
）
A．或
B．
C．或
D．
4．（2020·湖南省高一月考）已知为第三象限角，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·渭南市尚德中学高一月考）中，，，则为（
）
A．
B．或
C．
D．或
6．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，，则的化简结果为（
）
A．
B．
C．
D．以上都不对
7．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））在中，,则的值为（
）
A．
B．
C．
D．±
8．（2020·开鲁县第一中学高一期中（文））已知
，则（
）
A．
B．2
C．
D．
9．（2020·山西省高三其他（理））若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·山西省高三其他（文））已知sin（），则sin2x的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·湖南省高一月考）化简的结果为（
）
A．1
B．
C．
D．
13．（2020·渭南市尚德中学高一月考）的值为
(
)
A．
B．
C．
D．
14．（2020·湖南省高三二模（文））已知，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2020·陕西省西安中学高一期中）设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）（2020·山东省高一月考）下列化简正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）（2020·湖南省湖南师大附中高二期末）下列命题中为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）（2020·全国高一课时练习）下列化简正确是（
）
A．
B．
C．
D．
E.若，则
19．（2020·上海高一期中）若，则______．
20．（2020·山西省平遥中学校高一月考）已知，则__________.
21．（2020·上海高一课时练习）化简下列各式：
（1）__________；
（2）________；
（3）________．
22．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知关于x的方程的两根为，，.求：
（1）；
（2）m的值；
（3）方程的两根及此时θ的值．
23．（2020·湖南省高一月考）已知，求：
（1）；
（2）
24．（2020·渭南市尚德中学高一月考）
已知.
（1）化简;
（2）若是第三象限角,且,求的值.
25．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知
（1）求的值；
（2）求的值．
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