人教版数学九年级上册24．1．3 弧、弦、圆心角课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
24.1
圆的有关性质
24.1.3
弧、弦、圆心角
人教版数学九年级上册
3.
理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
1.
理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.
探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
学习目标
【思考】
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
·
圆心角的概念
探究新知
圆是中心对称图形
.
O
A
B
180°
【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
·
·
O
B
A
·
O
B
A
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
O
A
B
M
1.
圆心角：顶点在圆心的角，如∠AOB
.
3.
圆心角
∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2.
圆心角
∠AOB
所对的弧为
AB.
⌒
弦
练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角
顶点在圆外，不是圆心角
顶点在圆周上，不是圆心角
圆心角
∠AOB＝∠A′OB′
·
O
A
B
A′
B′
如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
得到：
AB
=A＇B＇
圆心角、弧、弦之间的关系
在⊙O中，如果∠AOB=
∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，可得：
在⊙O中，如果∠AOB=
∠COD，
那么，
AB与CD
，弦AB=弦CD
在同圆中探究
⌒
⌒
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO
′
D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O
′
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，可得：
如果∠AOB=∠COD，
那么，AB=CD，
弦AB=弦CD.
⌒
⌒
在等圆中探究
在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒
⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
关系结构图
解：
∵BC=CD=DE
例1
如图，AB是⊙O
的直径，BC=CD=DE.
∠COD=35°，求∠AOE
的度数．
·
A
O
B
C
D
E
考点探究1
利用弧、弦、圆心角的关系求角度
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
×
×
(1)等弦所对的弧相等.
（
）
(2)等弧所对的弦相等.
（
）
(3)圆心角相等，所对的弦相等.
（
）
×
1.
判断正误。
巩固练习
证明：
∴
AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∵
∠ACB=60°，
∴
△ABC是等边三角形
,
AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例2
如图，在⊙O中，
AB=AC
,∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B
C
O
⌒
⌒
∵AB=CD，
⌒
⌒
考点探究2
利用弧、弦、圆心角的关系证明相等
探究新知
2.
填一填.
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，
_______________．
（2）如果
，那么____________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB=
∠COD
∠AOB=
∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
巩固练习
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
解：OE=OF.
1．如果两个圆心角相等，那么
（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
课堂检测
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于
　.
60
°
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（
）
⌒
⌒
A
A.
AB=2CD
⌒
⌒
B.
AB>CD
⌒
⌒
C.
AB⌒
⌒
D.
不能确定
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
⌒
⌒
⌒
⌒
AD=BC
∵
5.如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？
⌒
⌒
解：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
取CD的中点E,连接OE.
那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以
AB=CE=DE
.
CE+DE=2AB，在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB.
⌒
⌒
A
B
C
E
O
易错点拨：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.
⌒
⌒
⌒
⌒
D