教
案
教学基本信息
课题
3.1.2
回归分析的基本思想及其初步应用（2）
学科
数学
学段：
高中
年级
高二
教材
书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3（A版）
出版社：人民教育出版社
出版日期：2009年4月
教学目标及教学重点、难点
一、教学目标
1.
了解回归分析的基本思想方法及其简单应用,
明确建立回归模型的基本步骤.
2.
了解残差分析和指标R2,
会初步应用.
3.
通过本节课的学习，培养应用意识，提升发现问题、解决问题的能力.
二、教学重点、难点
1.教学重点：残差分析和指标R2.
2.教学难点：利用残差和指标R2分析回归模型的拟合效果.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
通过上节课的实例分析,我们对回归分析的基本思想及其应用有了初步的认识，那么结合实例请同学们回顾所学知识：
1.
判断两个变量线性相关的方法.
2.
回归方程的求法.
3.
利用回归方程进行预测.
4.
随机误差.
5.
线性回归模型的完整表达式.
6.
产生随机误差项e的原因.
复习旧知
引出新课
新课
我们知道e是用预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？如何发现数据中的错误?如何衡量模型的拟合效果呢？这就是本节课我们要探究的问题！
（二）、讲解新课
1.残差的定义：
对于样本点（)
,
()
，…，
()而言，它们的随机误差为
,
其估计值为
,
称为相应于点的残差（residual
)．
2.计算残差
计算实例中每个样本点的残差，由残差的定义：
当时，
同理我们得到其他样本点的残差，
编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359体重/kg54.37354.37347.58158.61862.86354.37345.88358.618残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382
3.残差图：以纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图.
通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.
探究1：如何通过残差来分析模型的拟合效果呢？
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
探究2：通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观判断，如何精确判断模型拟合的效果呢？
实际上，我们还可以用指标R2来刻画回归效果.
4.指标R2:
在统计学中，将回归平方和与总偏差平方和的比值叫做决定系数，用R2表示.
即.
注：三者的关系为：回归平方和＝总偏差平方和-残差平方和．
（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即.
（2）残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即.
（3）回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即.
说明：对于已经获取的样本数据，R2表达式中的总偏差平方和为确定的数.因此R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好．R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回归的效果越好（因为R2越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强）．
探究3：相关系数r与指标R2间有什么关系呢?
二者不尽相同，相关系数r可以解释两个变量的相关程度，
但不能解释回归模型的拟合效果．指标R2是解释变量对于预报变量变化的贡献率，利用残差的大小来说明回归模型的拟合效果．此外，只有在简单线性回归模型中，有
R2＝r2．
探究4：用身高预报体重需要注意哪些问题？
（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体．例如，根据女大学生的身高与体重的数据建立的回归方程，不能用来描述女运动员的身高和体重之间的关系．同样，根据生长在南方多雨地区的树木的高与直径的数据建立的回归方程，不能用来描述北方干旱地区的树木的高与直径之间的关系．
（2）我们所建立的回归方程一般都有时间性．
例如，根据20世纪80年代的身高与体重的数据建立的回归方程，不能用来描述现在的身高和体重之间的关系.
（3）样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．例如，根据女大学生的身高和体重的数据建立的回归方程，不能用来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系.（在实例的回归方程中，解释变量x的样本的取值范围为155～170，而用这个方程计算x=70时的y值是不合适的．)
（4）不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．
提出问题，激发学生求知欲
提供解决问题的思路，进而确立解决问题的方案
通过残差的计算，加深对概念的理解
通过残差表，发现样本数据中的可疑数据，使学生体会初步的分析
残差图的引入，能够直观的看出模型拟合的效果，使学生掌握残差分析这一判断模型拟合的效果的方法，同时也解决了课前提出的问题，使同学感受生到探究的快乐、成功的喜悦，同时培养其分析问题、解决问题的能力！
指标R2的引入使我们从数的角度，通过计算来判断模型拟合的效果，这一过程，进行了简单的推理论述，使学生对知识的理解程度化繁为简，流畅自然，同时这一环节也培养了学生逻辑推理、数据分析等核心素养.
使学生区分不同的量在回归分析中各自的作用
结合实例，使同学们注意到，在进行回归分析时，具体问题还需具体分析.
例题
例.
1993年至2002年每年中国人口总数的数据如下表：
年份19931994199519961997年末人数/万人118517119850121121122389123626年份19981999200020012002年末人数/万人124761125786126743127627128453
数据来源：中国统计年鉴，2003.
（1）作年份和人口总数的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应该是什么形式；
（2）建立年份为解释变量，人口总数为预报变量的回归模型，并计算残差；
（3）计算R2，你认为这个模型能较好地刻画年份和人口总数之间的关系吗？请说明理由.
解：（1）将解释变量年份作为横轴，预报变量人口总数作为纵轴绘制散点图如下：
根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系，因此选用线性回归模型建立回归方程.
（2）由线性回归模型的最小二乘法估计量的计算公式得，
从而线性回归方程为.
其残差值计算结果如下表：
年份19931994199519961997年末人数/万人118517119850121121122389123626残差-371.176-149.07911.018168.115294.212年份19981999200020012002年末人数/万人124761125786126743127627128453残差318.309232.40678.503-148.4-433.303
（3）对于（2）中所建立的线性回归方程，由公式
，
计算得，说明在线性回归模型中年份解释了99.4%的人口总数的变化，所以线性回归模型对数据的拟合非常好.
我们也可以通过残差图观察拟合效果:
探究5：你能总结出建立回归模型的基本步骤吗？
(1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量.
(2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）.
(3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程).
(4）按一定规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数.
(5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．
通过对例题的讲解，使学生再一次尝试解决具体问题，并巩固所学知识.
判断变量间是否具有相关关系，培养学生的识图能力.
巩固残差的定义，并熟练残差的求解过程.
从残差分析和指标的角度探究模型的拟合效果问题，学以致用.
意在使学生梳理回归分析的基本思想，并会初步应用.
总结
本节课我们学习了残差的概念，绘制了残差图，因而从图形的角度进行了相应的残差分析，同时，我们也学习了指标R2，这样便可从残差分析和指标的角度探究模型的拟合效果问题.
在此基础上，我们总结了建立回归模型的基本步骤，希望同学们课下进一步整理与巩固，这是今天的作业，同学们再见！
通过课堂小结，理清本节课所学内容.
作业
某厂为了研究生产率与废品率之间的关系，记录了7天的数据，试根据以下数据建立废品率与生产率的回归模型.
生产率/（个?
天-1）1000200030003500400045005000废品率/%5.26.56.88.110.210.313
（1）作生产率和废品率的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应该是什么形式；
（2）建立生产率为解释变量，废品率为预报变量的回归模型，并计算残差；
（3）计算R2，你认为这个模型能较好地刻画生产率和废品率之间的关系吗？请说明理由.
巩固提升(共50张PPT)
回归分析的基本思想及其初步应用(2)
高二年级
数学
从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
一、复习回顾
实例回顾
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，
并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.
1.
判断两个变量是否具有线性相关关系
一、复习回顾
（1）散点图
一、复习回顾
（2）计算相关系数r
1.
判断两个变量是否具有线性相关关系
一、复习回顾
（2）计算相关系数r
1.
判断两个变量是否具有线性相关关系
若
，则变量x
和y
负相关性很强；
若
，则变量x
和y
正相关性很强；
若
或
，则变量x
和y相关性一般；
若
，则变量x
和y
相关性较弱.
代入相关系数公式：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
代入公式：
得到
于是得到身高预报体重的回归方程
2.建立回归方程
一、复习回顾
3.利用回归方程进行预测
一、复习回顾
对于身高172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为
身高172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？
一、复习回顾
4.随机误差：预报值与真实值之间的误差.
5.线性回归模型的完整表达式
一、复习回顾
e为随机误差
一、复习回顾
（1）用线性回归模型近似真实模型所引起的误差
真实模型是客观存在的，通常我们并不知道真实模型到底是什么，可能存在非线性的函数能够更好地描述y与x之间的关系，但是现在却用线性函数来表示这种关系，结果就会产生误差.这种由于模型近似所引起的误差包含在e中.
6.产生随机误差e的原因
一、复习回顾
（2）忽略了某些因素的影响
影响变量y的因素不只变量x一个，可能还包括其他许多因素.例如在描述身高和体重关系的模型中，体重不仅受身高的影响，还会受遗传基因、饮食习惯、生长环境等其他因素的影响，但通常它们每一个因素的影响可能都是比较小的，它们的影响都体现在e中.
6.产生随机误差e的原因
一、复习回顾
（3）观测误差
由于测量工具等原因，得到的y的观测值一般存在误差.例如一个人的体重是确定的数，不同的秤可能会得到不同的观测值，它们与真值之间存在误差，这样的误差也包含在e中.
上面三项误差越小，回归模型的拟合效果越好.
6.产生随机误差e的原因
思考：我们知道
e
是用
预报真实值
y
的随机误差，
它是一个不可观测的量.
如何发现数据中的错误?
如何衡量模型的拟合效果呢？
二、讲授新课
怎样研究随机误差？
二、讲授新课
1.残差定义：
在实际应用中，我们用回归方程
中的
估计
中的
.
由于随机误差
，
所以
是e的估计量．
二、讲授新课
1.残差定义：
对于样本点
而言，它们的随机误差为
,其估计值为
称为相应于点
的残差.
残差等于观测值减预测值
当i=1时，
二、讲授新课
2.计算残差
编号
1
身高/cm
165
体重/kg
48
二、讲授新课
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重
/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
体重
/kg
54.373
残差
-6.373
54.373
2.627
47.581
2.419
58.618
-4.618
62.863
1.137
54.373
6.627
45.883
-2.883
58.618
0.382
二、讲授新课
3.残差图
以纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图.
残差图
O
残差
编号
二、讲授新课
探究1：我们如何通过残差来分析模型的拟合效果呢？
二、讲授新课
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
残差分析
异常点
残差图
O
残差
编号
二、讲授新课
二、讲授新课
探究2：通过残差表或残差图判断模型拟合的效果是直观
判断，如何精确判断模型拟合的效果呢？
二、讲授新课
{
}
}
x
y
o
总偏差
平方和
回归
平方和
残差
平方和
偏差
残差
回归
部分
二、讲授新课
思考：
二、讲授新课
思考：
总偏差平方和=残差平方和+回归平方和
二、讲授新课
三者的关系为：
整理可得：
二、讲授新课
{
}
}
x
y
o
总偏差
平方和
回归
平方和
残差
平方和
二、讲授新课
推导过程
4.
决定系数：R2
回归平方和与总偏差平方和的比值
二、讲授新课
R2?1，说明回归方程拟合的越好；
R2?0，说明回归方程拟合的越差.
4.
决定系数：R2
48
57
50
54
64
61
43
59
-6.373
2.627
2.419
-4.618
1.137
6.627
-2.883
0.382
-6.5
2.5
-4.5
-0.5
9.5
6.5
-11.5
4.5
40.6151
6.9011
5.8516
21.3259
1.2928
43.9171
8.3117
0.1459
42.25
6.25
20.25
0.25
90.25
42.25
132.25
20.25
二、讲授新课
二、讲授新课
代入公式得：
女大学生的身高解释了64％的体重变化
女大学生的体重差异有64％是由身高引起的
二、讲授新课
探究3：在进行回归分析时，相关系数r与指标R2间
有什么关系呢？
二、讲授新课
探究3：在进行回归分析时，相关系数r与指标R2间
有什么关系呢？
r
两个变量的相关程度
R2
回归模型的拟合效果
在含有一个解释变量的线性回归模型中
R2=r2
区别
联系
二、讲授新课
探究4：用身高预报体重需要注意哪些问题？
（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体
例如，根据女大学生的身高与体重的数据建立的回归方程，不能用来描述女运动员的身高和体重之间的关系．同样，根据生长在南方多雨地区的树木的高与直径的数据建立的回归方程，不能用来描述北方干旱地区的
树木的高与直径之间的关系．
二、讲授新课
探究4：用身高预报体重需要注意哪些问题？
（2）我们所建立的回归方程一般都有时间性
例如，根据20世纪80年代的身高与体重的数据建立的回
归方程，不能用来描述现在的身高和体重之间的关系．
二、讲授新课
探究4：用身高预报体重需要注意哪些问题？
（3）样本取值的范围会影响回归方程的适用范围
例如，根据女大学生的身高和体重的数据建立的回归方程，不能用来描述一个人幼儿时期的身高和体重之间的关系.（在实例的回归方程中，解释变量x的样本的取值范围为155～170，而用这个方程计算x=70时的y值是不合适的．)
二、讲授新课
探究4：用身高预报体重需要注意哪些问题？
（4）不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值
事实上，它是预报变量的可能取值的平均值．
三、典例分析
例
1993年至2002年每年中国人口总数的数据如下表：
年份
1993
1994
1995
1996
1997
年末人数/万人
118517
119850
121121
122389
123626
年份
1998
1999
2000
2001
2002
年末人数/万人
124761
125786
126743
127627
128453
数据来源：中国统计年鉴，2003.
三、典例分析
（1）作年份和人口总数的散点图，根据该图猜想
它们之间的关系应该是什么形式；
（2）建立年份为解释变量，人口总数为预报变量
的回归模型，并计算残差；
（3）计算R2，你认为这个模型能较好地刻画年份
和人口总数之间的关系吗？请说明理由.
三、典例分析
解（1）将解释变量年份作为横轴，预报变量人口总数作为纵轴绘制散点图
三、典例分析
解（2）由线性回归模型的最小二乘法估计量的计算公式得
从而线性回归方程为
经过计算我们得到：
年份
1993
1994
1995
1996
1997
年末人数/万人
118517
119850
121121
122389
123626
残差
-371.176
-149.079
11.018
168.115
294.212
年份
1998
1999
2000
2001
2002
年末人数/万人
124761
125786
126743
127627
128453
残差
318.309
232.406
78.503
-148.4
-433.303
三、典例分析
解（3）对于（2）中所建立的线性回归方程，由公式
计算得
说明在线性回归模型中年份解释了99.4%的人口总
数的变化，所以线性回归模型对数据的拟合非常好.
三、典例分析
三、典例分析
残差图
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是
预报变量.
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们
之间的关系（如是否存在线性关系等）.
（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性
关系，则选用线性回归方程）.
探究5：你能总结出建立回归模型的基本步骤吗？
（4）按一定规则（如最小二乘法）估计回归方程中的参数.
（5）得出结果后分析残差图是否有异常（如个别数据对应残差
过大，残差呈现不随机的规律等），若存在异常，则检查
数据是否有误，或模型是否合适等.
探究5：你能总结出建立回归模型的基本步骤吗？
四、课堂小结
1.残差
2.残差图
5.建立回归模型的基本步骤
4.指标R2
3.残差分析
五、课后作业
某厂为了研究生产率与废品率之间的关系，记录了7天的
数据，试根据以下数据建立废品率与生产率的回归模型.
生产率/（个?
天-1）
1000
2000
3000
3500
4000
4500
5000
废品率/%
5.2
6.5
6.8
8.1
10.2
10.3
13
五、课后作业
（1）作生产率和废品率的散点图，根据该图猜想
它们之间的关系应该是什么形式；
（2）建立生产率为解释变量，废品率为预报变量
的回归模型，并计算残差；
（3）计算R2，你认为这个模型能较好地刻画生产
率和废品率之间的关系吗？请说明理由.
