(共41张PPT)
回归分析（2）
高二年级
数学
复习回顾
1.研究两个变量的相关性的步骤：
收集数据
画散点图
相关性检验
不具有线性相关关系
线性相关
求出回归直线方程
应用预测
2.线性回归方程：
复习回顾
设样本点为(x1,y1)，(x2,y2)，
???，
(xn,yn)，线性回归方程为
．
（1）相关系数
3.相关性检验.
复习回顾
相关系数r的性质：
复习回顾
越接近1，线性相关程度越强；
越接近0，线性相关程度越弱．
(2)检验步骤：
①作统计假设：x与y不具有线性相关关系；
②根据小概率0.05与n-2在附表中查出r的一个临界值 ；
③根据样本相关系数计算公式算出r的值；
复习回顾
④作统计推断.
如果
，
表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；如果
，我们没有理由拒绝原来的假设，
这时寻找回归直线方程是毫无意义的．
复习回顾
4.对两个变量进行线性回归分析的过程：
(1)根据所给数据作出散点图；
(2)作相关性检验；
(3)如果线性相关，则求出回归直线方程．
例．某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：
x
1
2
3
5
10
20
30
50
100
200
y
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
典型例题
求出y对x的回归方程．
将上述数据绘制成散点图，如图所示：
y与x之间不具有线性相关关系．
由小概率0.05与n-2=8在附表中查得
；
可算得r
=
-0.468
.
思考：(1)
y与x之间是线性相关关系吗？
，
不妨设变量
，对u与y作相关性检验．
思考：(2)
y与
之间是线性相关关系吗？
解：首先作变量置换
，题目所给的数据变成如下表所示的10对数据：
ui
1
0.5
0.33
0.2
0.1
yi
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
ui
0.05
0.03
0.02
0.01
0.005
yi
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
将上述数据绘制成散点图，如图所示：
u
y
相关性检验：
1.作统计假设
：u与y不具有线性相关关系；
2.由小概率0.05与n-2=8在附表中查得
；
3.使用计算器进行计算：r
=
0.9998
；
4.
，即
，
从而有95%的把握认为u与y之间具有线性相关关系，求y对u的回归直线方程有意义．
最后回代
，可得
这就是题目要求的y对x的回归曲线方程．
它是经过平移的反比例函数图象的一个分支．
可算得
，则
y与x的非线性关系
y与u的线性关系
变量置换
非线性回归分析问题
变量置换
线性回归分析问题
例．设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：
作出这组数的散点图，并通过散点图思考：近似描述y与x的关系，除了用一次函数外，还可以用其他函数吗？
典型例题
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y/cm
0
4
7
9
11
12
13
分析：将上述数据绘制成散点图，如图所示：
图象的形状与函数
的图象很相似．
可以用类似
的表达式来描述y与x的关系．
解：
首先作变量置换
，题目所给的数据变成如下表所示的数据：
ui
1
2
3
4
5
6
7
yi
0
4
7
9
11
12
13
将上述数据绘制成散点图，如图所示：
相关性检验：
1.作统计假设
：u与y不具有线性相关关系；
2.由小概率0.05与n-2=5在附表中查得
；
3.使用计算器进行计算：r
=
0.97；
4.
，即
，
从而有95%的把握认为u与y之间具有线性相关关系，求y对u的回归直线方程有意义．
回代
，
可得
.
这就是y对x的回归曲线方程．
可算得
，则
.
思考：
你还能想到用哪个函数来描述此题中x与y的关系呢？
图象的形状还与函数
的图象很相似．
能否用类似
的表达式来描述y与x的关系?
解：
首先作变量置换
，题目所给的数据变成如下表所示的数据：
vi
0
1.39
2.20
2.77
3.21
3.58
3.89
yi
0
4
7
9
11
12
13
将上述数据绘制成散点图，如图所示：
相关性检验：
1.作统计假设
：v与y不具有线性相关关系；
2.由小概率0.05与n-2=5在附表中查得
；
3.使用计算器进行计算：r
=
0.998；
4.
，即
，
从而有95%的把握认为v与y之间具有线性相关关系，求y对v的回归直线方程有意义．
回代
，
可得
.
这就是y对x的回归曲线方程．
可算得
，
，则
.
作变量置换
作变量置换
r=0.97
r=0.998
线性回归分析
r=0.898
y=a+bx
典型例题
例．电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，测得时间t(s)时的电压U(V)如下所示：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
试对变量t与U作回归分析并求出U对t的回归方程．
提示：电压U随时间t按指数规律衰减，有
分析：
根据题目所给的数据，绘制散点图如下：
分析：
这个例题也是非线性回归分析问题．
通过适当的变量置换，将非线性回归分析问题转化为线性回归分析问题．
解：
由题给的经验公式：
两边取自然对数，得
设
，则有
.
题给数据经变量置换
，变成如下表所示的数据：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v
4.61
4.32
4.01
3.69
3.4
3.00
2.71
2.3
2.3
1.61
1.61
即
将上述t与v的数据绘制成散点图如下图所示：
相关性检验：
1.作统计假设
：t与v不具有线性相关关系；
2.由小概率0.05与n-2=9在附表中查得
；
3.使用计算器进行计算：r
=
-0.995；
4.
，即
，
从而有95%的把握认为t与v之间具有线性相关关系，求v对t的回归直线方程有意义．
由此可得
.
换回原来的变量t与U，
可得
，
即
.
这就是题目要求的U对t的回归曲线方程.
可算得
，
课堂小结
在实践中，两个变量间的关系可能是线性相关，但在很多情况下呈现一种“曲线关系”．对于非线性回归分析问题，我们可以采用适当的变量置换，把问题化为线性回归分析问题，使其得到解决．
课后作业
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响，对近8年的年宣传费
和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
课后作业
46.6
563
6.8
1.6
1469
108.8
其中
.
课后作业
(1)根据散点图判断，y=a+bx与
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)；
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
课后作业
(3)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y-x，根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x=49时，年销售及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
谢谢大家教
案
教学基本信息
课题
回归分析（二）
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3
（B版）
出版社：人民教育出版社出版日期：2007
年
1
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.通过对典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
2.结合实际问题，了解非线性回归问题的解决思路.
3.通过回归分析的学习，提高对现代计算技术与统计方法的应用认识.
4.经历数据处理的过程，培养学生对数据的直观感觉，认识统计方法的直观特点，体会统计方法应用的广泛性.
5.通过对数据的收集、整理和分析，增强学生的社会实践能力，培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学重点、难点：
重点：回归分析的基本思想与方法.
难点：回归分析的初步应用.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习回顾
研究两个变量的相关性的步骤；
线性回归方程的求法；
相关系数和相关性检验的步骤；
对两个变量进行线性回归分析的过程.
通过回顾相关知识，巩固回归分析的基本过程，体会统计思想在实际应用中的作用.
例题讲解
典型例题讲解：
例1.
某种书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：
x123510y10.155.524.082.852.11x203050100200y1.621.411.301.211.15
求出y对x的回归方程.
分析问题：
思考：（1）y与x之间是线性相关关系吗？
通过观察散点图和相关性检验的数据分析，y与x之间不具有线性相关关系.
从散点图上直观的观察可发现，散点的分布形状有些类似于反比例函数，进而思考（2）y与之间是线性相关关系吗？如何对y与作回归分析？可引入一个变量，对y与u作回归分析，若线性相关，可先求出y对u的回归直线方程，再回代，从而得到y对x的回归曲线方程.
这个例题是非线性回归分析问题，
可利用变量置换，将非线性回归分析问题转化为线性回归分析问题.
通过思考y与x是否线性相关，巩固线性回归分析的过程.
通过对例题的分析和解决，了解如何将非线性回归问题转化为线性回归问题，进行线性相关性检验，求出变量置换后的回归直线方程，进而求得回归曲线方程
例题讲解
例2.设设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：
x1491625y047911x3649y1213
作出这组数的散点图，并通过散点图思考：近似描述y与x的关系，除了用一次函数外，还可以用其他函数吗？
分析：（1）从散点图上观察，图像的形状类似于幂函数，所以可以用类似于的表达式来描述y与x的关系.如何对其进行回归分析和求出回归方程呢？需要通过变量置换,将y对x的非线性关系转化为y对u的线性关系.
（2）散点图的形状还类似于对数函数y=lnx,因此，也可以用类似的表达式来描述y与x的关系.具体分析方法和刚才类似.
（3）对比刚才求出的两种回归方程和上次课求出的y对x的线性方程，哪种函数关系能更好的描述本题中y与x的关系？
利用变量置换的方法，将非线性回归分析问题转化为线性回归分析问题，并求出回归曲线方程.
通过对比三个回归回归分析中的相关系数，体会相关系数的大小反应两个变量线性相关的程度.感受如何利用回归分析找到更好的函数关系来描述两个变量的关系，从而可以做出更合理的预测.
例题讲解
电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，测得时间t(s)时的电压U(V)如下所示：
t01234U10075554030t56789U201510105t10U5
试对变量t与U作回归分析并求出U对t的回归方程.
电压U随时间t按指数规律衰减，有
.
分析：本题也是个非线性回归分析问题，但是无法通过直接引入一个变量进行变量置换，所以需要将所给的经验公式进行代数变形，变为线性结构后再进行变量置换，将非线性回归分析问题转化为线性回归分析问题进行解决。变量置换后，可先求出回归直线方程，再置换回原来的变量，之后再将得到的函数关系通过代数变形，变回经验公式的结构。
通过这个例题的解决，进一步理解变量置换的方法，将非线性回归分析问题转化为线性回归分析问题。题目中给的经验公式如果不是线性的结构，可利用代数变形，先变为线性结构，再进行变量置换。
总结
本节课主要通过解决三个实际的问题，体验了回归分析在解决实际问题中的应用，并学会了如何利用线性回归分析的知识，解决非线性回归分析问题。
体会回归分析在实践中的应用
作业
见《学习任务单》
