人教版九年级上册《24．1．2 垂直于弦的直径》课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
24.1
圆的有关性质
24.1.2
垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册
3.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
1.
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
学习目标
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
圆的轴对称性
探究新知
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.
●O
说一说
（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？
B
O
A
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径，
AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
【思考】左图是轴对称图形吗？
满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？
证明：连结OA、OB.
则OA＝OB．
又∵CD⊥AB，
∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.
∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.
B
O
A
C
D
E
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有那些相
等的线段和劣弧?
为什么?
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
理由：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
垂径定理及其推论
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
归纳新知
【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心
；②垂直于弦；
③平分弦；④平分弦所对的优弧
；
⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
一条直线
过圆心
垂直于弦
平分弦
平分线所对的优弧
平分弦所对的劣弧
具备其中两条
其余三条成立
探究新知
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法。
已知:
求证：
①
CD是直径
②
CD⊥AB，垂足为E
③
AE=BE
④
AC=BC
⑤
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明猜想
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
B
D
（2）由垂径定理可得AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，
OE=OE
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
证明举例
⌒
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
证明：
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
探究新知
归纳总结
例1
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,
OE=6cm,则AB=
cm.
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵
OE⊥AB，
∴
AB=2AE=16cm.
16
∴
cm.
考点探究1
垂径定理及其推论的计算
1.
如图，
⊙
O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵
CE⊥AB于D，
∴
设OC=x
cm，则OD=
x-2,根据勾股定理，得
解得
x=5，
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
巩固练习
例2已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
⌒
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⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
考点探究2
利用垂径定理及推论证明相等
平行弦夹的弧相等
探究新知
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
又　∵AC
=
AB
∴
AE
=
AD
∴
四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°
∴四边形ADOE为矩形，AE=
AC,AD=
AB
巩固练习
例3
根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
考点探究3
垂径定理的实际应用
探究新知
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴
AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
∴
AD=
AB=18.5m，
OD=OC-CD=R-7.23.
?
3.
如图a、b,一弓形弦长为
　
cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿
＿
＿＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
巩固练习
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
归纳总结
探究新知
1.
已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
5cm
2.
⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°则弦AC=
.
10
课堂检测
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为
.
14cm或2cm
4.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴
AE－CE＝BE－DE
即
AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.