江西省上饶市横峰中学2020届高三下学期高考适应性考试数学（理）试题（Word版含答案）

横峰中学2020届高三适应性考试
数学（理科）
考试时间：120分钟
选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．设集合，，则(
)
A．
B．
C．
D．
2．已知复数（i为虚数单位，），若，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
3．某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（
）
A．1260
B．1230
C．1200
D．1140
4．已知，则向量在向量上的投影为（
）
A．
B．3
C．4
D．5
5．已知命题“,”的否定是（
）
A．,
B．,
C．,
D．,
6．若实数，满足约束条件则的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．在中，已知，，且边上的高为，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．函数的部分图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，若.且，则的最小值(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知双曲线，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若三角形为锐角三角形，则的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在矩形中，已知，E是的中点，将沿直线翻折成，连接.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则a=（
）
A．2
B．
C．
D．4
已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为
B．
C．
D．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知的展开式中所有项系数和为64，其中实数为常数且，则________.
14．已知且，则______.
15．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则=____.
16．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，以为圆心的圆交直线于、两点（点在点的上方），若，则抛物线的方程是_________.
三、解答题（共70分。解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22、23选做其中一道题）
17．（12分）已知数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：
.
18．（12分）如图，底面是边长为的正方形，⊥平面，∥，，与平面所成的角为．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：
（1）是否有的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；
（2）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望与方差.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点
且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，
直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．
21.（12分）已知函数.
求曲线在处的切线方程；
求证：当时，.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
若时，解不等式；
若的值域是，若恒成立，求k的最大值
横峰中学2020届高三适应性考试
数学（理科）答案
选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
D
A
B
C
B
B
B
C
B
D
填空题：
14.
16.
解答题：
解：（1）因为，①
当时，，②
由①-②得，即，
当时，，，
所以数列为等比数列，其首项为，公比为，
所以；
....................................6分
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
.
因为所以
....................................12分
18.解：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD．
DE⊥AC．
又底面ABCD是正方形，
AC⊥BD，又BD∩DE=D，
AC⊥平面BDE，
又AC?平面ACE，
平面ACE⊥平面BDE．
....................................5分
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为BE与平面ABCD所成的角为45°，
即∠EBD=45°，
DE=BD=AD=，CF=DE=．
A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F（0，3，），
=（﹣3，0，），
=（0，3，），
设平面BEF的一个法向量为
=（，，），
则，即，令=，
则
=（2，4，）．
又AC⊥平面BDE，
=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．
cos＜＞=
=
=
．
∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．
....................................12分
19.解：（1）依题意，得列联表
在线学习时长数学成绩
分
分
合计
小时
15
10
25
小时
5
15
20
合计
20
25
45
∵
∴没有的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”；
....................................6分
（2）从上述列联表中可以看出：
这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为，
则，
∴，.
....................................12分
20.解（1）由已知可得：解得：；
所以椭圆C的方程为：．
....................................4分
（2）因为椭圆C的方程为：，所以，．
设，则，即．
则直线BM的方程为：，令，得；
同理：直线AM的方程为：，令，得．
所以
．
即四边形ABCD的面积为定值2．
....................................12分
解：
（1），，
由题设得，所以曲线在处的切线方程为，即；
....................................4分
（2）令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
，所以函数在上单调递增，
由于曲线在处的切线方程为，，可猜测函数的图象恒在切线的上方.
先证明当时，.
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，所以，
所以存在，使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，即，当且仅当时取等号，
所以当时，，
...................................9分
变形可得，又由于，当且仅当时取等号（证明略），
所以，当且仅当时取等号.
....................................12分
22.解：（1）曲线的普通方程为，
....................................2分
因为，所以，
直线的直角坐标方程为.
....................................5分
（2）点的坐标为，
设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），
联立直线与曲线的方程得.
设对应的参数分别为，则，
所以，
得，且满足，
故直线的倾斜角为或.
....................................10分
23.解：（1）∵，
∴
当时，化为，不等式的解为；
当时，化为，不等式的解为；
当时，化为，所以不等式的解为；
综上所述，不等式的解集为或
....................................5分
（2）∵，
当且仅当时取“=”号
又的值域是，
∵，∵，.∴
∴
∵
（当且仅当，即时取“=”号）
∴，当且仅当时取“=”号.
又恒成立，∴
∴k的最大值是
....................................10分