人教版数学九年级上册22．3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件 （共20张PPT）

(共20张PPT)
人教版数学九年级上册
几何面积最值问题
22.3
实际问题与二次函数
1.掌握几何问题中的相等关系的寻找方法。
2.学会应用函数关系式求图形面积的最值。
3.会应用二次函数的性质解决实际问题。
学习目标
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单位：s）之间的关系式是
h=
30t
-
5t
2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
二次函数与几何图形面积的最值
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h=
30t
-
5t
2
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
探究新知
由于抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点是最低（高）点，当
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小（大）
值
【想一想】
如何求出二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的最小（大）值？
【分析】
小球运动的时间是
3s
时，小球最高;小球运动中的最大高度是
45
m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h=
30t
-
5t
2
解：
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线
y
=
ax2
+
bx
+
c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=
时，二次函数有最小（大）值
.
例1
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1
矩形面积公式是什么？
问题2
如何用l表示另一边？
问题3
面积S的函数关系式是什么？
考点探究
利用二次函数求几何图形的面积的最值
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
解：
场地的面积
S=l(30-l)
即S=-l2+30l
(0即当l是15m时，场地的面积S最大.
矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为
m.
因此，当
时，
S有最大值
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
2.确定自变量的取值范围；
3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值.
方法点拨
变式1
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
问题2
我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3
面积S的函数关系式是什么？
问题1
变式1与例题有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
设垂直于墙的边长为x米
探究新知
问题4
如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
问题5
如何求最值？
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
变式2
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
问题1
变式2与变式1有什么异同？
问题2
可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3
可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
问题4
当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
问题5
如何求自变量的取值范围？
0
＜
x
≤18.
问题6
如何求最值？
由于30
＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
不正确.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
方法点拨
1.
用一段长为15m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形菜园的最大面积是________.
课堂检测
2.如图1，在△ABC中，
∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过
秒，四边形APQC的面积最小.
3
A
B
C
P
Q
图1
3.
如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设DH=x，正方形EFGH的面
积为y，则DG=1-x.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4.
某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，
另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym?．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
解：
即
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
解：
5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),
S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;
当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
解：