第19章矩形、菱形与正方形单元测试卷
选择题(共10小题)
1.下列语句正确的是()
A.对角线相等的四边形是矩形
B.一组邻边相等的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是正方形
D.三个角是直角的四边形是矩形
2.已知矩形ABCD,下列结论错误的是()
B.
AC=BD
C.AC⊥BD
D.∠A+∠C=180°
3.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分,要使它成为矩形,需要添加的条件是()
A.
AB=
CD
B.
AC=
BD
C.
AB=
BC
D,AC⊥BD
4.如图,在菱形ABCD中,AE,AF分别垂直平分BC,CD,垂足分别为E,F,则∠EAF
的度数是()
B.60°
5.已知四边形ABCD,下列说法正确的是()
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形
B.当AD=AB,AB=DC时,四边形ABCD是菱形
C.当AC=BD,AC与BD互相平分时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD,AC⊥BD时
形ABCD是正方形
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是()
A.∠ABC=90°B.AC=BD
C.
OA=OB
D,
OA=AB
7.如图,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E
则AE的长为(
C.4.8
8.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接
若∠DHO=20°,则∠ADC的度数是
A.120°
B.130°
C.140°
9.如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF/BC,分别交AB,CD于
E,F,连接PB、PD,若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为(
A.18
B.16
C.12
10.如图,矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点E从D向C以每秒1个单位的速度运动
以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG.同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每
秒2个单位的速度运动,当点F落在直线MN上,设运动的时间为t,则t的值为()
M
B
3
填空题(共6小题)
11.如图,小聪把一块含有30°角的直角三角尺ABC的两个顶点A,C放在长方形纸片
DEFG的对边上,若AC刚好平分∠BAE,则∠DAC的度数是
12.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,CE⊥AD,且CE=BC,连接BE交对角线AC
于点F,则∠EFC=
B
D
13.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,M是AF和BE的交点,N
是CE和DF的交点.若四边形EMFN是正方形,则AB与BC之间的数量关系是
14.如图所示,直线经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于
点F,DE⊥a于点E.若DE=5,BF=3,则EF的长为
15.如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边
的延长线上.若∠CAE=15°,则CE第19章
矩形、菱形与正方形
单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列语句正确的是
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是正方形
D．三个角是直角的四边形是矩形
2．已知矩形，下列结论错误的是
A．
B．
C．
D．
3．四边形的对角线、互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是
A．
B．
C．
D．
4．如图，在菱形中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，则的度数是
A．
B．
C．
D．
5．已知四边形，下列说法正确的是
A．当，时，四边形是平行四边形
B．当，时，四边形是菱形
C．当，与互相平分时，四边形是矩形
D．当，时，四边形是正方形
6．如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是
A．
B．
C．
D．
7．如图，在菱形中，，对角线．若过点作，垂足为，则的长为
A．4
B．2.4
C．4.8
D．5
8．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
9．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为
A．18
B．16
C．12
D．10
10．如图，矩形中，，，点从向以每秒1个单位的速度运动，以为一边在的左上方作正方形．同时垂直于的直线也从向以每秒2个单位的速度运动，当点落在直线上，设运动的时间为，则的值为
A．
B．
C．4
D．1
二．填空题（共6小题）
11．如图，小聪把一块含有角的直角三角尺的两个顶点，放在长方形纸片的对边上，若刚好平分，则的度数是 ．
12．如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点，则 ．
13．如图，在矩形中，，分别是，的中点，是和的交点，是和的交点．若四边形是正方形，则与之间的数量关系是 ．
14．如图所示，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点．若，，则的长为 ．
15．如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则 ．
16．如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快 后，四边形成为矩形．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分．求证：四边形为菱形．
18．已知：如图，、相交于点，且点是、的中点，点在四边形的形外，且．求证：四边形是矩形．
19．如图，在矩形中，点、在上，且，、相交于点．
求证：．
20．如图，是的边的中点，，，与相交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．
21．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长和对角线的长．
22．如图，矩形，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点．当，时，求的长．
23．如图，在中，，是边上的中线，点是边上一点，过点作，交的延长线于点，连接，．
（1）求证：．
（2）若，求证：四边形是正方形．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列语句正确的是
A．对角线相等的四边形是矩形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是正方形
D．三个角是直角的四边形是矩形
【解答】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，故不符合题意；
、由菱形的定义可知：一组邻边相等的平行四边是菱形，故不符合题意；
、对角线相等平分且垂直的四边形是正方形，故不符合题意；
、三个角是直角的四边形是矩形，故符合题意；
故选：．
2．已知矩形，下列结论错误的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
只有时，，
、、不符合题意，只有符合题意，
故选：．
3．四边形的对角线、互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：需要添加的条件是；理由如下：
四边形的对角线、互相平分，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：．
4．如图，在菱形中，，分别垂直平分，，垂足分别为，，则的度数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接，
垂直平分边，
，
又四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
又垂直平分边，
在四边形中，．
故选：．
5．已知四边形，下列说法正确的是
A．当，时，四边形是平行四边形
B．当，时，四边形是菱形
C．当，与互相平分时，四边形是矩形
D．当，时，四边形是正方形
【解答】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
不正确；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
不正确；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
正确；
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
不正确；
故选：．
6．如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
故、、正确，
故错误的是，
故选：．
7．如图，在菱形中，，对角线．若过点作，垂足为，则的长为
A．4
B．2.4
C．4.8
D．5
【解答】解：连接，交于点，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，
，
，
菱形的面积是，
，
，
，
故选：．
8．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
9．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为
A．18
B．16
C．12
D．10
【解答】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
故选：．
10．如图，矩形中，，，点从向以每秒1个单位的速度运动，以为一边在的左上方作正方形．同时垂直于的直线也从向以每秒2个单位的速度运动，当点落在直线上，设运动的时间为，则的值为
A．
B．
C．4
D．1
【解答】解：过点作，交直线于点，则，如图所示：
四边形为矩形，
，
，
在正方形中，，，
，
，
，
在和中，，
，
，
由题意得：，
解得：，
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．如图，小聪把一块含有角的直角三角尺的两个顶点，放在长方形纸片的对边上，若刚好平分，则的度数是 ．
【解答】解：平分，
，
，
；
故答案为：．
12．如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点，则 105 ．
【解答】解：菱形中，
，，，
是等边三角形
故答案为：
13．如图，在矩形中，，分别是，的中点，是和的交点，是和的交点．若四边形是正方形，则与之间的数量关系是 ．
【解答】解：四边形是矩形，
，，
点是中点，
，且，，
，
四边形是正方形，
，
，
，且，
，，
，，
，
故答案为：．
14．如图所示，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点．若，，则的长为 8 ．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：8
15．如图，已知正方形的边长为4，对角线与相交于点，点在边的延长线上．若，则 ．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16．如图，在矩形中，，点和点分别从点和点出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点和点的速度分别为和，则最快 4 后，四边形成为矩形．
【解答】解；设最快秒，四边形成为矩形，由得
．
解得，
故答案为：4．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分．求证：四边形为菱形．
【解答】证明：，
，
平分．
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
18．已知：如图，、相交于点，且点是、的中点，点在四边形的形外，且．求证：四边形是矩形．
【解答】证明：连接，如图所示：
是、的中点，
，，
四边形是平行四边形，
在中，
为中点，
，
在中，为的中点，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
19．如图，在矩形中，点、在上，且，、相交于点．
求证：．
【解答】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
即，
在和中，，
，
．
20．如图，是的边的中点，，，与相交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说明理由．
【解答】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，
是的边的中点，
，
；
（2）解：当满足是直角三角形，时，四边形是菱形；理由如下：
由（1）得：，，
四边形是平行四边形，
，是的边的中点，
，
四边形是菱形．
21．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长和对角线的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，．
是的垂直平分线
，
在和中，，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：设，则．
在中，由勾股定理得：，
解得：．即，
菱形的周长为．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：，
由（1）得：，
．
22．如图，矩形，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点．当，时，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
，，，
，
，
．
23．如图，在中，，是边上的中线，点是边上一点，过点作，交的延长线于点，连接，．
（1）求证：．
（2）若，求证：四边形是正方形．
【解答】（1）证明：是边上的中线，，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，，
，
四边形是平行四边形，
，是中线，
四边形是菱形，
，，
，
四边形是正方形．
