一次函数与一元一次方程及一元一次不等式

一次函数与一元一次方程及一元一次不等式
上冈实验初级中学 孙炎
一、教材分析
1．地位和作用
本大节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组等的认识之后，从变化和对应的角度，对一次运算进行更深入的讨论，是站在更高起点上的动态分析。通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识，加强知识间的横向和纵向联系，发挥函数的统领作用，构建和发展相互联系的知识体系。本节课的主要内容是对前两小节内容的复习，但不是简单的回顾复习，而是居高临下的进行动态分析，使新旧知识融会贯通，加大学生对已经学习过的相关内容之间联系的认识，进一步体验函数的重要性，提高灵活分析问题和解决问题的能力。
2．教材的重点与难点：
【重点】
应用一次函数、一元一次方程与一元一次不等式解决问题。
【难点】
理解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的内在联系。
二、目标分析：
【知识与技能】
通过具体实例，初步体会和掌握一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系．并能解答关于函数、不等式和方程间的综合性问题，渗透数形结合的数学思想。
【过程与方法】
通过探索一次函数、一元一次不等式、一元一次方程间的联系，进一步加深理解事物是普遍联系的思想内涵，并通过观察、分析、推断与实验等方法探究函数思想中的“变与不变”的思想意义．经历模型化的过程，学会运用比较、归纳、概括等方法对信息进行整理加工，进一步培养学生分析、解决问题和自主探索的能力。
【情感态度与价值观】
经历探索三个“一次”之间的内在联系的过程，感受知识之间的普遍联系，理解等与不等的辩证关系，更好地认识和掌握事物运动和变化的规律。
确立目标的依据：（1）教材编写体系；（2）贯彻新课程理念；
三、学法分析
1、学生自主探索，思考问题，获取知识，掌握方法，真正成为学习的主体。
2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。合作交流的友好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心理体验。
四、教法分析
本节课以启发激励为主，让学生在习题的逐层升华中乐学、会学、善学。
五、教学过程设计
【导疑】：情境设计
某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定质量，那么需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。
根据图象回答下列问题：
⑴求y与x之间的函数关系式；
⑵求旅客最多可免费携带行李的质量；
⑶旅客已买的行李票的费用不超过13元，求他携带的行李质量的范围。
【情境说明】本节课创设的情境是“旅客携带行李问题”，通过生活中的情境，激发学生的求知欲．根据题意，学生不难列出函数关系式；学生既可以利用函数图像解不等式或方程，又可以用不等式或方程研究函数问题，使学生初步体会不等式与方程、函数的内在联系。
【导研】：自主探索
例1、请画出函数y＝－3x＋12的图像，你能利用图像解决下列问题吗？试一试：
⑴不等式－3x＋12＞0的解集。
⑵如果y的值在－6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？
⑶你能用其他方法解决这个问题吗？
【设计说明】让学生自己动手，画出一次函数y＝－3x＋12的图像，从画图的过程中感受从左至右，直线是呈“下降”趋势的．－3x＋12＞0（函数值是正数），即函数的图像在x轴的上方，在这种情形下可以利用图像找出对应的自变量x的取值范围；再由图像找出函数值在－6~6之间的部分，对应地可以找出自变量x的取值范围．本题也可以利用解不等式组的方法求出x的取值范围．通过本题的解决，让学生进一步感受不等式与方程、函数的内在联系。
总结：方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系．当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围。
例2、若函数y1＝－x＋3，y2＝3x－4，当x取何值时，y1＜y2？
【设计说明】根据题意可以解不等式－x＋3＜3x－4；也可以画出这两个一次函数的图像，利用图像求出当直线y1在直线y2下方时对应的自变量x的取值范围，进一步感受不等式与函数的内在联系。
例3、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的
高度y（㎝）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象
提供的信息解答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x的函数关系式；
(2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相同（不考虑都燃尽时
的情况）？
(3)在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
【设计说明】通过生活中的情境，激发学生兴趣．根据题意，学生不难列出蜡烛燃烧时函数关系式；学生既可以利用函数图像解不等式或方程，又可以用不等式或方程研究函数问题，使学生深刻体会不等式与方程、函数的内在联系。
【导练】：练习设计
⒈已知函数y＝－2x＋8，当x 时，y＞4；当y 时，x≤－2。
⒉用画函数图像的方法解不等式：－x＋3＞3x－5。
⒊一次函数y＝－x＋2，y＝x＋b的图像交点在第一象限，求b的取值范围？
【导评】：学习反思
通过本节课学习，我有哪些收获？我还有哪些疑问？我还要如何努力？
方程刻画现实世界数量之间的相等关系，不等式刻画现实世界数量之间的不等关系，函数刻画现实世界数量之间的变化关系．当函数中的一个变量的值确定时，可以利用方程确定另一个变量的值；当已知函数中的某一个变量取值范围时，可以利用不等式（组）确定另一个变量的范围。
导学训练：
⒈已知一次函数y=－2x－3的函数值为－1≤y≤3，则x的取值范围为 。
⒉若直线y=0.5x＋a与y=x－3相交于第三象限，则a的取值范围是 。
⒊已知直线y1=－x－2与y2=－3x＋4，当x 时，直线y1在直线y2的下方。
⒋已知二元一次方程x＋2y=－5，当x取什么值时，y的值是负数？是非负数？
【设计说明】通过课外训练，巩固所学知识，掌握数形结合的思想，进一步理解一元一次不等式和方程、一次函数的内在联系，培养学生分析问题、解决问题的能力。
20
30
y/cm
x/h
25
10
甲
O
2.5
1
2
3
乙