八年级第二学期数学
第19章
矩形、菱形与正方形
单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C．四个角都是直角的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2．在菱形中，对角线与相交于点，再添加一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是
A．
B．
C．
D．
3．已知矩形，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是
A．
B．
C．平分
D．
4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则
A．
B．
C．
D．
5．如图，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在矩形桌面的一个顶点处，桌面的另一个顶点与三角板斜边相交于点，如果，那么的度数为
A．
B．
C．
D．
6．如图，在矩形中，是的中点，，若矩形的周长为36，则的长为
A．6
B．9
C．12
D．4
7．已知四边形中，对角线，相交于点，下列对于四边形的说法中正确的是
A．若，则它是矩形
B．若且，则它是平行四边形
C．若，则它是菱形
D．若，则它是正方形
8．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
9．如图，四边形是菱形，，，于点．则
A．6
B．
C．
D．5
10．如图，平行四边形对角线、交于点，，，过点的直线交于点，交于点当点从点向点移动过程中（点与点、点不重合），四边形的形状变化依次是
A．平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形
B．平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形
C．平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形
D．平行四边形矩形菱形正方形平行四边形
二．填空题（共6小题）
11．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为 ．
12．在矩形中，与相交于点，，那么的度数为
13．如图，四边形是正方形，延长到，使，则的度数是 ．
14．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点为边的中点，连接，已知，则菱形的周长为 （用含的式子表示）．
15．如图，点为正方形内一点，，，联结，那么 度．
16．如图，矩形中，，，点从
开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当
时，四边形也为矩形．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过作，过作，与相交于点．求证：四边形为矩形．
18．如图，在中，，，点、分别是、的中点．求证：四边形是菱形．
19．在矩形中，点在上．，垂足为，．
（1）求证．；
（2）若，且，连结，求的大小和．
20．如图，将平行四边形的边延长到点，使，交边于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接、，若，求证：四边形是矩形．
21．如图，在矩形中，垂直平分．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）已知，，求矩形的周长．
22．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
23．已知：如图，平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接、，当时，求证四边形是正方形．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C．四个角都是直角的平行四边形是正方形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
【解答】解：．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
．由两个全等的直角三角形拼成的四边形是矩形，故错误；
．四个角都是直角的菱形是正方形，故错误；
．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
故选：．
2．在菱形中，对角线与相交于点，再添加一个条件，仍不能判定四边形是矩形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、，则是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误；
、，根据平行四边形的对角线互相平分且，知，对角线相等的平行四边形是矩形可得是矩形，故本选项正确；
、，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确；
、，则，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得是矩形，故本选项正确．
故选：．
3．已知矩形，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是
A．
B．
C．平分
D．
【解答】解：四边形是矩形，，
矩形是正方形；
四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
矩形是正方形；
，
，
四边形是矩形
矩形是正方形；
故选：．
4．如图，在菱形中，，的垂直平分线交于点，点为垂足，连接，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，连接，
在和中，
，，
垂直平分，
，
．
故选：．
5．如图，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在矩形桌面的一个顶点处，桌面的另一个顶点与三角板斜边相交于点，如果，那么的度数为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：四边形为矩形，
，
，
为的外角，且，
．
故选：．
6．如图，在矩形中，是的中点，，若矩形的周长为36，则的长为
A．6
B．9
C．12
D．4
【解答】解四边形是矩形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，
由题意，
，
．
故选：．
7．已知四边形中，对角线，相交于点，下列对于四边形的说法中正确的是
A．若，则它是矩形
B．若且，则它是平行四边形
C．若，则它是菱形
D．若，则它是正方形
【解答】解：、若，那么四边形不一定是矩形；故错误；
、若且，则它是平行四边形；故正确；
、若，那么四边形不一定是菱形；故错误；
、若，那么四边形是矩形；故错误；
故选：．
8．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接．若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，连接，
矩形中，，，
，，
，，
，
中，，
故选：．
9．如图，四边形是菱形，，，于点．则
A．6
B．
C．
D．5
【解答】解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
则，
，
，
，
．
故选：．
10．如图，平行四边形对角线、交于点，，，过点的直线交于点，交于点当点从点向点移动过程中（点与点、点不重合），四边形的形状变化依次是
A．平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形
B．平行四边形矩形平行四边形正方形平行四边形
C．平行四边形菱形平行四边形矩形平行四边形
D．平行四边形矩形菱形正方形平行四边形
【解答】解：点是平行四边形的对角线得交点，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
当时，
平行四边形是菱形
当时，平行四边形是矩形
综上述，当点从点向点移动过程中（点与点、点不重合），四边形的形状变化依次：平行四边形矩形平行四边形菱形平行四边形．
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．矩形的对角线长13，一边长为5，则它的面积为 60 ．
【解答】解对角线长为13，一边长为5，
另一条边长，
；
故答案为：60．
12．在矩形中，与相交于点，，那么的度数为
【解答】解：四边形是矩形，
，
所以．
，
．
故答案为．
13．如图，四边形是正方形，延长到，使，则的度数是 ．
【解答】解：四边形是正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
14．如图，在菱形中，对角线、相交于点，点为边的中点，连接，已知，则菱形的周长为 （用含的式子表示）．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
为的中点，，
，
即，
菱形的周长为，
故答案为：．
15．如图，点为正方形内一点，，，联结，那么 135 度．
【解答】解：四边形为正方形，
，．
，，
，
，
，
．
故答案为：135．
16．如图，矩形中，，，点从
开始沿折线以的速度运动，点从开始沿边以的速度移动，如果点、分别从、同时出发，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，当 4 时，四边形也为矩形．
【解答】解：根据题意，当时，四边形为矩形．此时，，解得．
故答案是：4．
三．解答题（共7小题）
17．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过作，过作，与相交于点．求证：四边形为矩形．
【解答】证明：，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
，
四边形为矩形．
18．如图，在中，，，点、分别是、的中点．求证：四边形是菱形．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
且，且，
，分别为，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
在中，是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是菱形．
19．在矩形中，点在上．，垂足为，．
（1）求证．；
（2）若，且，连结，求的大小和．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
在与中，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，且，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，．
20．如图，将平行四边形的边延长到点，使，交边于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接、，若，求证：四边形是矩形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
由（1）得：四边形为平行四边形，
，，
，
四边形是矩形．
21．如图，在矩形中，垂直平分．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）已知，，求矩形的周长．
【解答】解：（1）四边形是菱形．
在和中，
，，，
所以，
所以．
又因为，，
所以四边形为菱形．
（2）如图，在菱形中，，，
则，．
由勾股定理得．
，
即
所以得．
根据勾股定理可得，有．
由，
故矩形的周长为56．
22．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
是的垂直平分线，
，，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）设，，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积．
23．已知：如图，平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接、，当时，求证四边形是正方形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，．
，．
是的中点，
，
在和中，，
；
（2），
．
又，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是平行四边形，
，．
．
是菱形．
，，
．
菱形是正方形．八年级第二学期数学第19章矩形、菱形与正方形单元测试卷
选择题(共10小题)
1.下列说法正确的是()
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.由两个全等的三角形拼成的四边形是矩形
C.四个角都是直角的平行四边形是正方形
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2.在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形
ABCD是矩形的是()
A.
AB=
AD
B.
OA=OB
C.
AC=BD
D,DC⊥BC
3.已知矩形ABCD,下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是()
A.AC⊥BL
B.
AC=
BD
C.AC平分∠BADD.∠ADB=∠ABD
4.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=1009,AB的垂直平分线交AC于点F,点E为垂足
连接DF,则∠CDF=(
A.50°
5.如图,把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点
C处,桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F,如果∠1=50°,那么∠AFE的度数
为()
A.10
B.20°
C.30°
D.40°
6.如图,在矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD=90°,若矩形的周长为36,则AB的
长为()
A.6
7.已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列对于四边形ABCD的说法中
正确的是()
A.若AC=BD,则它是矩形
B.若AB/CD且AB=CD,则它是平行四边形
若AC⊥BD,则它是菱形
D.若AO=BO=CO=DO,则它是正方形
8.如图,矩形ABCD中,连接AC,延长BC至点E,使BE=AC,连接DE.若∠BAC=40°,
则∠E的度数是()
A.65°
B.60
9.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于点H.则DH=()
C
24
A.6
C
10.如图,平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O,∠ADB=20°,∠ACB=50°,过
点O的直线交AD于点E,交BC于点F当点E从点A向点D移动过程中(点E与点A
点D不重合),四边形AFCE的形状变化依次是()
A.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
二.填空题(共6小题)
11.矩形的对角线长13,一边长为5,则它的面积为
12.在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,∠AOB=46°,那么∠OAD的度数为
13.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到E,使AE=AC,则∠BCE的度数是
14.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E为边BC的中点,连接OE
已知OE=a,则菱形ABCD的周长为(用含a的式子表示)
15.如图,点G为正方形ABCD内一点,AB=AG,∠AGB=70°,联结DG,那么∠BGD=
16.如图,矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点P从A开始沿折线A-B-C-D以
4cm/s的速度运动,点Q从C开始沿CD边以lcm/s的速度移动,如果点P、Q分别从
A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动时间为(s)
时,四边形APQD也为矩形.
