(共12张PPT)
21.2.2二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？
我们来画最简单的二次函数y=x2的图象。
还记得如何用
描点法画一个
函数的图象吗？
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
?
?
?
?
?
?
?
…
9
4
1
0
1
4
9
知识回顾
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
?
?
?
?
?
?
?
…
9
4
1
0
1
4
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
y=x2
例
在同一直角坐标系中，画出二次函数
y=x2
,
y=x2+1,
y=x2-1的图象。
解：列表：
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
y=x2+1
…
…
y=x2-1
…
…
10
5
2
1
2
5
10
8
3
0
-1
0
3
8
新知探究
y=x2+1
10
8
6
4
2
-2
-5
5
x
y
y=x2-1
y=x2
画图步骤
1、列表
2、描点
3、连线
讨论
（1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、
顶点各是什么？
（2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与抛物线y=x2有什么关系？
（3）它们的位置由什么决定的？
答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y轴，顶点分别
是（0，1）（0，-1）。
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=x2
向上
X=0
（０，０）
y=X2+1
向上
X=0
(0，1)
y=x2-1
向上
X=0
(0，-1)
(2)把抛物线y=x2向上移1个单位，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1。
（3）它们的位置是由+1、-1决定的。
猜想
当二次项系数小于零时和二次项系数的绝对值变化时，抛物线将发生怎样的
变化？
答：二次项系数小于零时抛物线的开口向下；二次项系数的绝对值越大开口越小，反之越大。
一般地抛物线y=ax2+k有如
下性质：
1、当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，
2、对称轴是x=0（或y轴），
3、顶点坐标是（0，k），
4、|a|越大开口越小，反之开口越大。
知识梳理
2、课本第12页练习
1、
把抛物线y=2x2向上平移5个单位，会得到哪条
抛物线？向下平移3.4个单位呢？
思考
y=x2和y=-x2的图像有什么关系?
随堂练习
惜时专心苦读是做学问的一个好方法。(共11张PPT)
21.2.3二次函数
的图象和性质
生活中的抛物线
生活中的抛物线
画出函数:
y=
x2
y=x2+1
y=x2-1的图象
y=x2+1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0、1）。
y=x2-1开口向上，对称轴为y轴，顶点是（0、-1）。
y=x2-1
画出函数y=-
x2
y=-
(x+1)2与y=-
(x-1)2
的图象。
1
2
1
2
1
2
抛物线y=-
(x+1)2的开口方向是_____，对称轴是_____，顶点坐标是_______
抛物线y=-
(x-1)2的开口方向是____，对称轴是_______，顶点坐标是________。
1
2
1
2
向下
x=-1
（-1,0）
向下
x=1
（1,0）
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
你知道哪些地方用到了抛物线。
惜时专心苦读是做学问的一个好方法。
二次亟数圖像
在同一直角坐标糸内,画出函数y=x2、y=x2+1、y=x2-1的图像。
10
5
。
y=x2+1
5
5
二次函数圖像比较
在同一直角坐标泉内,画出函数y=2x,y=-2(x+1)2
y=-(x-1)2的图像。
3-2-10123
-4.5-2-0.50
(+12
4
。
Bs.1.2
结束语(共15张PPT)
21.2.4二次函数y=a(x+h)?+k的图象和性质
在同一坐标系中作出二次函数
y=3x2和
y=3(x-1)2的图象．
观察图象,回答问题
?
(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x?,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.
?
二次函数y=3x?,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看．
对称轴仍是平行于y轴的直
线(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
上平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x?,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
开口向上,当
x=1时有最小
值:且最小值=2.
先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?
x=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=3x2类似.
顶点是(1,-2).
二次函数y=3(x-1)2-2的
图象可以看作是抛物线
y=3x2先沿着x轴向右平移
1个单位,再沿直线x=1向
下平移2个单位后得到的.
二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?
开口向上,
当x=1时y有
最小值:且
最小值=
-2.
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x?,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
x=1
我思考，我进步
在同一坐标系中作出二次函数
y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x?和
y=-3(x-1)2的图象
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x?,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=1);增减性与y=
-3x2类似.
顶点分别是
(1,2)和(1,-2).
二次函数y=-3(x-1)2+2与
y=-3(x-1)2+2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向右平移1个
单位,再沿直线x=1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物
线y=-3x?,y=-3(x-1)2有什
么关系?
它的开口方向,对
称轴和顶点坐标分别是什
么?
开口向下,
当x=1时y有
最大值:且
最大值=
2
(或最大值=-2).
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x?,y=-3(x+1)2
y
x=1
对称轴仍是平行于y轴的直线
(x=-1);增减性与y=
-3x2类似.
顶点分别是
(-1,2)和(-1,-2)..
二次函数y=-3(x+1)2+2与
y=-3(x+1)2-2的图象可
以看作是抛物线y=-3x2
先沿着x轴向左平移1个
单位,再沿直线x=-1向上
(或向下)平移2个单位后
得到的.
二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x?,y=-3(x+1)2有什么关系?
它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?
开口向下,
当x=-1时y有
最大值:且
最大值=
2
(或最大值=
-
2).
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
x=1
二次函数y=a(x-h)?+k与y=ax?的关系
一般地,由y=ax?的图象便可得到二次函数y=a(x-h)?+k的图象:y=a(x-h)?+k(a≠0)
的图象可以看成y=ax?的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位
(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
因此,二次函数y=a(x-h)?+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?
2.(1)二次函数y=3(x+1)?的图象与二次函数y=3x?的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系?
2.不同点:
只是位置不同
(1)顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).
(2)对称轴不同:分别是直线x=
h和y轴.
(3)最值不同:分别是k和0.
3.联系:
y=a(x-h)?+k(a≠0)
的图象可以看成y=ax?的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位
(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时,
开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随
x的增大而增大.
a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随
x的增大而减小
.
二次函数y=a(x-h)?+k与y=ax?的关系
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.
2.填写下表:
y=a(x-h)?+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
惜时专心苦读是做学问的一个好方法。(共21张PPT)
21.2.1二次函数
的图象和性质
学习目标
1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；
2、根据函数y=x2和y=-x2的图象，直观地了解它的性质.
你想直观地了解它的性质吗?
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
x
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
x
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
新知探究
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
描点,连线
y=x2
观察图象,回答问题
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.
(3)图象
与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(4)当x<0时,随着x的值增大,y
的值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
当x<0
(在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
减小.
当x>0
(在对称轴的
右侧)时,
y随着x的增大而
增大.
当x=
-2时，y=4
当x=
-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
抛物线y=x2在x轴的
上方(除顶点外),顶点
是它的最低点,开口
向上,并且向上无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最小,最小值是0.
在学中做—在做中学
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
你能根据表格中的数据作出猜想吗？
驶向胜利的彼岸
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x
y=-x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
x
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
驶向胜利的彼岸
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
描点,连线
y=-x2
?
驶向胜利的彼岸
观察图象,回答问题
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2)图象
与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
（3)当x<0时,随着x的值增大,y
的值如何变化？当x>0呢？
（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.
y=-x2
描点,连线
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
二次函数y=
-x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
y
当x<0
(在对称轴的
左侧)时,y随着x的增大而
增大.
当x>0
(在对称轴
的右侧)时,
y随着
x的增大而减小.
y
当x=
-2时,y=
-4
当x=
-1时,y=
-1
当x=1时,y=
-1
当x=
2时,y=
-4
抛物线y=
-x2在x轴的
下方(除顶点外),顶点
是它的最高点,开口
向下,并且向下无限
伸展;当x=0时,函数y
的值最大,最大值是0.
看图说话
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y=x2
y=-x2
x
y
0
y
x
0
?
它们之间有何关系？
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y=
-x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(
除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……
驶向胜利的彼岸
x
0
y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
看图说话
y=x2
y=-x2
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
二次函数y=ax2的性质
我思，我进步
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，-
4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
驶向胜利的彼岸
?
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,
解得a=
-2,所求函数解析式为y=
-2x2.
（2）因为
,所以点B（-1
，-4）
不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2
,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
知道就做别客气
1.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
,在
侧,y随着x的增大而增大；在
侧,y随着x的增大而减小,当x=
时,函数y的值最小,最小值是
,抛物线y=2x2在x轴的
方(除顶点外).
(2)抛物线
在x轴的
方(除顶点外),在对称轴的
左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
驶向胜利的彼岸
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
随堂练习
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
小结
拓展
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
驶向胜利的彼岸
由二次函数y=x2和y=-x2知：
习题
第1,2题
1．说说自己生活中遇到的哪些动物和植物身体的部分轮廓线呈抛物线形状.
2．设正方形的边长为,面积为,试作出S随a的变化而变化的图象.
惜时专心苦读是做学问的一个好方法。(共11张PPT)
21.3.4
y=ax?+bx+c的图象和性质
回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,
因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），
所以
k+b=3
-2k+b=-12
解得
k=5，b=-2
一次函数的解析式为y=5x-2.
知识回顾
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由已知得：
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解方程得：
因此：所求二次函数是：
a=2,
b=-3,
c=5
y=2x2-3x+5
课本P20问题4：
已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
用待定系数法求二次函数的解析式
新知探究
求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a，b，c的值。
由已知条件（如二次函数图像上三个点的坐标）列出关于a，b，c的方程组，并求出a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。
用待定系数法求二次函数的解析式
解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
变式：
已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）
并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
故所求的抛物线解析式为
y=－x2+1
用待定系数法求二次函数的解析式
a-b+c=0
a+b+c=0
c=1
解得
a=-1,
b=0,
c=1
课 堂 练 习
设抛物线为y=a(x-20)2＋16
解：
根据题意可知
∵
点(0，0)在抛物线上，
通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，
方法比较灵活
评价
∴
所求抛物线解析式为
例
有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
应
用
课 堂 小 结
求二次函数解析式的一般方法：
已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式。
已知图象的顶点坐标和图像上任意一点，
通常选择顶点式。
y
x
o
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，
恰当地选用一种函数表达式，
小结：
本节课你有什么收获？还有哪些困惑？
知识梳理
作业：习题21.3第8题
随堂练习
惜时专心苦读是做学问的一个好方法。
