(共12张PPT)
第二十二章 二次函数
教材重难处理
教材重难处理
新知梳理
新知梳理
重难互动探究
重难互动探究
实际问题与二次函数
教材重难处理
?
教材探究3分层分析
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
图22－3－18中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2
m时，水面宽4
m.水面下降1
m，水面宽度增加多少？
图22－3－18
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
［分析］
（1）如何设抛物线表示的二次函数？
（2）水面下降1米的含义是什么？
（3）如何求宽度增加多少？
新
知
梳
理
?
知识点
求解与二次函数相关的实际问题
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
步骤：（1）恰当地建立直角坐标系；
（2）将已知条件转化为点的坐标；
（3）合理地设出所求函数关系式；
（4）代入已知条件或点的坐标求出关系式；
（5）利用关系式求解问题.
重难互动探究
探究问题 以y轴为对称轴建立坐标系
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
例
［教材探究3变式题］
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20
m，拱顶距离水面4
m.
（1）在如图22－3－21所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
图22－3－21
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求d用h表示的函数解析式；
（3）设正常水位时桥下的水深为2
m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18
m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
［解析］
建立适当的平面直角坐标系，以拱桥的最高点为坐标原点，可求出抛物线的解析式及相应的d表示为h的函数解析式等.
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
备选探究问题 以y轴上的某点为出发点建立坐标系
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
图22－3－22
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
图22－3－23
第3课时
建立适当的坐标系解决实际问题
［点评］
在解有关抛物线的问题时，应先求出抛物线的解析式.(共15张PPT)
沪科版九年级上册
的最优化问题
21.4二次函数
当x=2时,y=-1
当x=3时,y=2
2
X=1
0
1
3
x
y
最高点
最低点
●
●
?
亮出你的风采
如果将自变量的范围改为0 学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面
墙，围成一个矩形花坛，如图所示，学校现已备足
可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩
形花坛的面积最大？
活动探究
学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面
墙，围成一个矩形花坛，如图所示，学校现已备足
可以砌100m长的墙的材料，怎样砌法，才能使矩
形花坛的面积最大？
何时面积最大？
(1)与围墙相对的一面墙的长度为:
(2)这时矩形花坛的面积为:
(3)如果设矩形花坛的面积为s，则s与x之间的
函数关系式为:
●设与围墙相邻的每一面墙的长度为x米，那么
怎样确定x的取值范围
二次函数是否有最大值，为什么？如果有最大值，如何求得？
做一做
想一想：
?
即表示当X=25时，s达到最大值1250
所以当与围墙相邻的每一面墙的长度
为25m,与围墙相对的一面墙的长度为50m
时,矩形花坛的面积最大，达到1250㎡.
亮出你的风采
用一根40cm长的小铁丝怎样才能围出一个
最大的长方形？
在日常生活中存在
着许许多多的与数学知
识有关的实际问题。如
：繁华的商业城中很多
人在买卖东西。
如果你去买商品，会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
我们看下面的问题：
某商场经营T恤衫，已知成批购进时
单价是80元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单
价是100元时，销售量是100件，而单价每降低1元,就可以多售出
10件，如何确定销售单
价，可以获利最多
活动探究
销售单价(元)
销售件数(件)
总利润(元)
100
100
100（100-80）
100-1
100+10
110(99-80)
…
…
…
亮出你的风采
解：设总利润为y元，依题意，
答：当销售单价是95元时，可以获得最大利润，
最大利润是2250元
反思：解决此类问题的基本思路是什么？
归纳：
⑴剖析实际问题；
⑵分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系；
⑶用数学的方式建立函数模型表示它们之间的关系；
⑷函数求解；
⑸检验结果的合理性，作答等。
?
亮出你的风采
窗户是一幢建筑最重要的标志之一，我们每个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗户前数星星，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有粗线的长度和）是２１米，怎样设计窗户才能使窗户通过
的光线最多
？
(取
＝３)
亮出你的风采
分析：设AD=xm，窗户通光面积为y㎡
则半圆部分所用材料长为：
A
B
C
D
当X=3.36m时，
y的最大值为35.28㎡
现实世界中普遍存在的所谓“最优化”
问题，如成本最低，利润、产出最大，效
益最好等问题，常常可以归结为函数的最
值问题，通过建立目标函数，确定变
量限制条件，运用数学知识和方
法去解决。
归纳总结：
再
见(共28张PPT)
二次函数的应用
专题：
待定系数法确定二次函数
无坚不摧：一般式
已知二次函数的图象经过A（－1，6），B（1，2），C（2，3）三点，
求这个二次函数的解析式；
求出A、B、C关于x轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数解析式；
求出A、B、C关于y轴对称的点的坐标并求出经过这三点的二次函数解析式；
在同一坐标系内画出这三个二次函数图象；
分析这三条抛物线的对称关系，并观察它们的表达式的区别与联系，你发现了什么？
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，设出一般式y=ax2+bx+c是绝对通用的办法。
因为有三个待定系数，所以要求有三个已知点坐标。
一般地，函数y=f(x)的图象关于x轴对称的图象的解析式是y=-f(x)
一般地，函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式是y=f(-x)
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3）为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3，1），求这个函数的解析式。（要求分别用一般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6，且图象经过点（2，－8），求此二次函数的解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
知道顶点坐标或函数的最值时
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用，但计算量大
顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标；
对称轴再加上两个其它点的坐标；
其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
灵活方便：交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（1，0）两点，又通过点（3，－5），
求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2。
求二次函数的解析式；
设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么时候使用顶点式y=a(x-x1)
(x-x2)比较方便？
知道二次函数图象和x轴的两个交点的坐标时
使用交点式需要多少个条件？
两个交点坐标再加上一个其它条件
其实，交点式同样需要三个条件才能求
求函数最值点和最值的若干方法：
直接代入顶点坐标公式
配方成顶点式
借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x轴两个交点坐标求。
二次函数的交点式
已知二次函数的图象与x轴交于（－2，0）和（1，0）两点，又通过点（3，－5），
求这个二次函数的解析式。
当x为何值时，函数有最值？最值是多少？
求函数最值点和最值的若干方法：
直接代入顶点坐标公式
配方成顶点式
借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-m)2+n
交点式：y=a(x-x1)
(x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是（6,-12），求这个二次函数的解析式。（分别用三种办法来求）
二次函数的应用
专题二：
数形结合法
简单的应用（学会画图）
已知二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2。
求二次函数的解析式；
设此二次函数图象顶点为P，求△ABP的面积
在直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，AC＝5，BC＝4，cos∠ACB＝3/5。
求A、B、C三点坐标；
若二次函数图象经过A、B、C三点，求其解析式；
求二次函数的对称轴和顶点坐标
二次函数的应用
专题：
二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其中m为常数且m≠－1。
最值应用题——面积最大
某工厂为了存放材料，需要围一个周长160米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大。
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？
B
C
D
A
O
最值应用题——面积最大
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120?的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长？
A
D
120?
B
C
最值应用题——路程问题
快艇和轮船分别从A地和C地同时出发，各沿着所指方向航行（如图所示），快艇和轮船的速度分别是每小时40km和每小时16km。已知AC＝145km，经过多少时间，快艇和轮船之间的距离最短？（图中AC⊥CD）
D
C
A
145km
最值应用题——销售问题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t＝－3x＋204。
写出商场卖这种服装每天销售利润y（元）与每件的销售价x（元）间的函数关系式；
通过对所得函数关系式进行配方，指出商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大利润为多少？
最值应用题——运动观点
在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：
运动开始后第几秒时，
△PBQ的面积等于8cm2
设运动开始后第t秒时，
五边形APQCD的面积为Scm2，
写出S与t的函数关系式，
并指出自变量t的取值范围；
t为何值时S最小？求出S的最小值。
Q
P
C
B
A
D
最值应用题——运动观点
在△ABC中，BC＝2，BC边上的高AD＝1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F。
设BP＝x，将S△PEF用x表示；
当P在BC边上什么位置时，S值最大。
D
F
E
P
C
B
A
在取值范围内的函数最值
二次函数的应用
专题：
二次函数综合应用题
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米。由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。
(1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？（精确到0.1米）
O
A
某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围。
将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标。
并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动
员在空中的最高处距水面32/3米，
入水处距池边的距离为4米，同
时，运动员在距水面高度为5米
以前，必须完成规定的翻腾动作，
并调整好入水姿势，否则就会出
现失误。（1）求这条抛物线的解
析式；（2）在某次试跳中，测
得运动员在空中的运动路线是（1）
中的抛物线，且运动员在空中调
整好入水姿势时，距池边的水平
距离为18/5米，问此次跳水会不
会失误？并通过计算说明理由。
解函数应用题的步骤:
设未知数(确定自变量和函数);
找等量关系,列出函数关系式;
化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);
求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
写出结论。
某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额(指每天卖出商品所收到的总金额)为60万元，由于营业性质不同，分配到三个部的售货员的人数也就不等，根据经验，各类商品每1万元营业额所需售货员人数如表（1），每1万元营业额所得利润情况如表（2）。商场将计划日营业额分配给三个经营部，设分配给百货部，服装部和家电部的营业额分别为x，y和z（单位：万元，x、y、z都是整数）。（1）请用含x的代数式分别表示y和z；（2）若商场预计每日的总利润为C（万元），且C满足19≤C≤19.7。问商场应如何分配营业额给三个经营部？各应分别安排多少名售货员？
商品
每1万元营业额所需人数
百货类
5
服装类
4
家电类
2
商品
每1万元营业额所得利润
百货类
0.3万元
服装类
0.5万元
家电类
0.2万元
