人教A版高中数学选修4-5第三讲《柯西不等式》同步测试（Word含答案）

《柯西不等式》同步训练
一．选择题（本大题共12小题）
1．若实数，则的最小值为（
）
A．14
B．
C．29
D．
2．已知，则的最小值是(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知、，，求的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知，，，且，则的最大值为（
）
A．3
B．
C．18
D．9
6．函数的最大值为（
）
A．
B．5
C．4
D．
7．函数
的最大值是(
?
?)
A．
B．
C．3
D．5
8．函数y＝的最大值为（　　）
A．5
B．8
C．10
D．12
9．已知，若，则的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知，均为正数，且，则的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
11．若α,β为锐角,
A．
B．
C．
D．
12．设,,,,,是正数，且++=10,
++=40,
++=20,则=（
）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（本大题共4小题）
13．若，则的最小值为__________
14．已知，，均为非负数，且，则的最小值为______．
15．设为正数，，则的最大值是___________
16．已知，且，则的最小值是______
三．解答题（本大题共6小题）
17.
已知是，，正实数，且.
求的最小值；
求证：.
18.
已知，，均为正数，且，
求证：．
19.
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，求证：.
20.
已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若正数满足，求的最小值．
21.
已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1.
（1）证明：；
（2）证明：.
22.
已知，且满足，
（1）求证：；
（2）求证：．
参考答案
一．选择题：本大题共12小题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
B
B
A
B
C
B
B
A
C
二．填空题:本大题共4小题．
13．
14．2
15．
16．
三．解答题：本大题共6小题.
17.【解析】，
.当且仅当时，等号成立.
又由，，时，等号成立，
即的最小值为.
由柯西不等式可得
即，当且仅当时，等号成立.
又由，，时，等号成立.
成立.
18.【解析】因为，，均为正数，所以，，均为正数，
由柯西不等式得，
当且仅当时，等式成立．
因为，
所以，所以．
19.【解析】（1），
①当时，由，解得；
②当时，由得；
③当时，由得.
综上可得不等式的解集为或.
（2）由，
可知：当时，为减函数，当时，为增函数.
所以当时，取到最小值，所以，即.
因为，
当，时取等号.
即证：.
20.【解析】(1)化简得
①当时，，由即，解得，又，所以；
②当时，，由，即，解得，又，所以；
③当时，，不满足，此时不等式无解；
综上，不等式的解集为．
(2)，所以
∵，∴由柯西不等式：
上式
.
当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.
21.【解析】（1），当且仅当“a=b=c”时取等号；
（2）
，
当且仅当“a=b=c”时取等号.
22.【解析】（1）左边，
由柯西不等式得：
（取等号的条件是），
即所以，原不等式得证．
（2）由于，，设，，，则，
所以，
则
．
由柯西不等式可得：，
（当且仅当时等号成立）
所以，
故（当且仅当时等号），
则原不等式得证．