1.2.2《集合的运算》课件（1）（新人教B版必修1）

(共68张PPT)
1．2.2　集合的运算
知识整合
1．交集
对于两个给定的集合A、B，由属于A又属于B的所有元素所构成的集合，叫做A和B的________，记作________．
2．并集
一般地，对于两个给定的集合A、B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的________，记作A∪B.
3．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果________，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．
特别警示：(1)全集决定了我们所研究的其他集合都是它的子集；(2)全集选择的不同，则运算的结果就有可能不同．
4．补集
如果给定集合A是全集U的一个子集，由________，叫做A在全集U中的补集，记作 UA.
5．交集的运算性质
对于任何集合A、B，有
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝________；
(3)A∩ ＝________；
(4)A∩B________A，A∩B________B；
(5)A∩B＝A ________.
6．并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝________；
(3)A∪ ＝________；
(4)A∪B________A，A∪B________B；
(5)A∪B＝B ________.
7．交集、并集、补集的关系
A∩( UA)＝ ；A∪( UA)＝U.
8．常见结论
(1)A∩B＝A A B；A∪B＝A A B；
(2)A∪( UA)＝U；A∩( UA)＝ .
9．经验公式
(1) U(A∪B)＝( UA)∩( UB)； U(A∩B)＝
( UA)∪( UB)；
(2)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)(其中card(A)表示集合A中的元素的个数)．
对于(1)可理解：“并之补”等于“补之交”，“交之补”等于“补之并”．可通过Venn图加以记忆．
答案：1.交集　A∩B　2.并集
3．所要研究的集合都是某一给定集合的子集
4．U中不属于A的所有元素构成的集合
5．A　 　 　 　A B
6．A　A　 　 　A B
名师解答
1．可否用Venn 图理解A与B的交集及A与B的并集的几种情况？
(1)用Venn图表示A∩B有下列几种情况：(阴影部分为A∩B)
　　　
④A与B相交，有公共元素，但互不包含
⑤A与B分离，无公共元素
(2)用Venn图表示A∪B有下列几种情况：(阴影部分为A∪B)
　　
　
④A与B相交，有公共元素，但互不包含
⑤A与B分离，无公共元素
2．设集合U为全集，集合A，B是全集U的子集，则有以下两个重要结论：
U(A∩B)＝ UA∪ UB
U(A∪B)＝ UA∩ UB.
这两个结论，可否通过Venn图清楚明了地表示出来呢？
(1)用Venn图表示： U(A∩B)＝ UA∪ UB.
(2)用Venn图表示： U(A∪B)＝ UA∩ UB.
深入学习
答案：(1)C　(2)A
分析：注意集合M、P中的元素，确定出M、P，再求M∩P.
(1)解法一：M中x＋1≥0，
∴x≥－1，即M＝{x|x≥－1}．
P中x－3≤0，
∴x≤3，即P＝{x|x≤3}．
∴M∩P＝{x|－1≤x≤3}，故选C.
解法二：∵M∩P的元素不是(x，y)，∴排除A.
比较B与C，取x＝－1，∵－1∈M，－1∈P.
∴－1∈(M∩P)，∴排除B.
比较C与D，取x＝－2，
∵－2 M，∴排除D.故选C.
评析：解法一是直接法，求交集、并集时一般需先具体确定集合再求；解法二是排除法，即抓住选择项之间的差异，采用取特殊值或举反例等办法排除错选择项，达到去伪存真的目的，此法对求解选择题很有效．
评析：本节重点是交集、并集的概念，正确理解概念是进行集合间的交、并运算的关键．
关于定义需注意：
①A∪B中“或”的意义与日常用语中的“或”的意义不尽相同，用它连接的并列成分之间不一定是互相排斥的，“x∈A，或x∈B”包括下列三种情况：①x∈A，但x B；②x∈B，但x A；③x∈A，且x∈B.
②因为并不是任何两个集合总有公共元素，当A与B没有公共元素时，不能说A与B的交集不存在，而应说A∩B＝ .
变式训练 1　集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，已知A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a、m的值．
解：∵A∪B＝A，∴B A.又A∩C＝C，∴C A.
∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}
＝{x|(x－a＋1)(x－1)＝0}，
又∵B A，
∴a－1＝2或a－1＝1.即a＝3或a＝2.
当a＝3时，B＝{1,2}；当a＝2时，B＝{1}．
题型二 集合的运算
【例2】　设U＝R，已知集合A＝{x|－5(3)A∪( UB)；(4)B∩( UA)；(5)( UA)∩
( UB)．
分析：本题是不等式问题，凡不等式中的交、并、补问题，可以画数轴解决．
解：如下图．
(1)A∩B＝{x|0≤x<5}．
(2)A∪B＝{x|－5(3)如下图．
UB＝{x|x<0，或x≥7}，
∴A∪( UB)＝{x|x<5，或x≥7}．
(4)如下图．
UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，
B∩( UA)＝{x|5≤x<7}．
(5)解法一：∵ UB＝{x|x<0，或x≥7}，
UA＝{x|x≤－5，或x≥5}．∴如下图．
( UA)∩( UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}．
解法二：( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)
＝{x|x≤－5，或x≥7}．
评析：(1)数轴法的特点是简单直观，因此，要注意将数轴画出来，只有对数轴的运用达到熟练掌握了，就可以不必画数轴了，但也应在草稿上或自己的头脑中画出数轴，避免出错．
(2)要注意各个端点的画法：能取到端点的值时，用实心的点在数轴上表示；取不到端点的值时，用空心的圈在数轴上表示．
(3)一定要注意A∪ UA＝U，A∩ UA＝ ，从而决定端点的去留．
题型三 利用韦恩图解题
【例3】　已知全集U＝{不大于20的质数}，M、N是U的子集，且满足M∩( UN)＝{3,5}，( UM)∩N＝{7,19}，( UM)∩( UN)＝{2,17}，求M，N.
解：∵M∩( UN)＝{3,5}，
∴3∈M,5∈M,3 N,5 N.
又∵( UM)∩N＝{7,19}，
∴7 M,19 M,7∈N,19∈N.
又∵( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)＝{2,17}，
∴2 M,2 N,17 M,17 N.
由以上分析，画出图．
又∵11 U(M∪N)，
∴11∈M∪N.
∵11 M∩( UN)，
∴11∈N，或11∈M∩N.
又∵11 ( UM)∩N，
∴11∈M，或11∈M∩N.
11既不在M∩( UN)中，同时又不在( UM)∩N中，所以即11∈M∩N.
同理，13∈M∩N.
∴M＝{3,5,11,13}，N＝{7,11,13,19}．
评析：对于一些与数集有关的问题，直接凭空去想，很容易陷入误区，理不清头绪．如果采用韦恩图来分析问题，则题目会变得很直观，很容易理清思路，使问题获解．
变式训练 3　某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求出全班人数．
分析：本题考查集合的运算，解题的关键是把文字语言转化成集合语言，借助于韦恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解．
解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，由题意可知A、B、C 三集合中元素个数分别为27、25、27，A∩B、B∩C、A∩C、A∩B∩C 的元素个数分别为10、7、11、4.
画出韦恩图，如图
可知全班人数为
10＋13＋12＋6＋4＋7＋3＝55(人)．
评析：(1)能正确使用一些集合符号把文字语言转化成集合语言、图形语言是我们把实际问题转化成数学问题的重要一步，它实现了实际问题向数学问题的转化．
(2)一般地，用card(A)、card(B)、card(C)分别表示集合A、B、C 中元素的个数，则有card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(A∩C)＋card(A∩B∩C)．
题型四 利用集合运算性质求参数的取值范围
【例4】　已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|x2－ax－1＋a＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求a、m的取值或取值范围．
分析：可知求集合A，再由A∪B＝A B A，A∩C＝C C A，然后根据方程根的情况进行讨论．
解：A＝{1,3}，B＝{x|(x－1)(x＋1－a)＝0}．
∵A∪B＝A，∴B A.∴a－1＝3，或a－1＝1.
∴a＝4，或a＝2.又A∩C＝C，∴C A.
若C＝ ，则Δ＝m2－4<0，∴－2若1∈C，则12－m＋1＝0，
∴m＝2.此时C＝{1}，A∩C＝C.
评析：分类讨论在中学数学中有着极其重要的地位，在本章应用广泛，本题中易犯的错误是忽略对C≠ 的讨论．
变式训练 4　已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；
(2) ?A∩B，A∩C＝ ，求实数a的值．
分析：集合A，B，C的关系比较明确，从代数角度看，它们分别是方程x2－ax＋a2－19＝0，x2－5x＋6＝0和x2＋2x－8＝0的解集．由于集合A所对应的方程含有字母，因此本题宜先考虑的B，C再由(1)中A∩B＝B∪A，(2)中 ?
A∩B，A∩C＝ 等条件出发，确定a的值．
评析：对于(1)，必须理解A∩B＝A∪B的意义(由A A∩B)＝A∪B B A B，B A∩B＝A∪B A B A，所以A＝B)；对于(2)关键在于抓住空集这个特殊集合的含义和性质，即由 ?A∩B A∩B≠ .
整体探究解读
题型一 集合的运算问题
集合的基本运算广泛地用于函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等知识中，在高考中占有相当重要的地位，要熟练掌握交、并、补的含义及运算性质，学会用Venn图、数轴工具来解决问题．
【例1】　已知集合P＝{x|x＝a2＋4a＋1，a∈R}，Q＝{y|y＝－b2＋2b＋3，b∈R}，求P∩Q和P∪ RQ.
分析：集合P，Q分别是指对应的自变量a，b在实数范围内变化时，函数值的变化范围．
解：因为x＝a2＋4a＋1＝(a＋2)2－3≥－3，所以P＝{x|x≥－3}；
又因为y＝－b2＋2b＋3＝－(b－1)2＋4≤4，所以Q＝{y|y≤4}．
利用数轴表示可知，P∩Q＝{x|－3≤x≤4}(如下图(1))；
又因为 RQ＝{y|y>4}，所以P∪ RQ＝P＝{x|x≥－3}(如下图(2))．
评析：(1)在求集合的交集、并集、补集时，应首先求出各集合．本题中，虽然表示集合元素的字母不同，但它们都是数集．
(2)在求集合的补集时要注意边界．
(3)求数集的交集、并集、补集往往借助于数轴．
【例2】　设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，当a为何值时(1)A∩B＝ ；(2)A∩B≠ ；(3)A∩B＝A；(4)A∪ RB＝ RB.
(2)由补集的定义可知，
A∩B≠ 的反面就是A∩B＝ .
∴当a<－1，或a>2时，A∩B≠ .
(3)∵A∩B＝A，∴A B.
由下图得，a＋3<－1，或a>5.
即a<－4，或a>5时，A∩B＝A.
题型二 解探索性问题
【例3】　已知A＝{(x，y)|x＝n，y＝an＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m∈Z}；C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}，问是否存在实数a，b使得(1)A∩B≠ ，(2)(a，b)∈C同时成立？
分析：假设存在a，b，使得(1)成立，得到a与b的关系后与a2＋b2≤144联立，然后讨论联立的不等式组．
评析：①此解法中“Δ≥0”仅是一个方程有解的必要条件，也就是说Δ≥0只能保证直线与抛物线有公共点，但这个公共点不一定是整数点，进而再利用另一个条件，由于求得的a，b不能使两曲线的交点为整数点，所以符合题意的a，b就不存在了．
②解答探索性数学问题，凡是涉及“是否存在”，“是否具有某种性质”等这一类的未定结论的讨论式探索性问题，我们总是先假定结论成立，进而进行演绎推理，在推导过程中，若出现矛盾，即可否定我们的假设，则问题的另一面成立；如果推导过程流畅，没有受阻，没有矛盾成立，一直能推导到符合已知的真理(公理、定理等)或已知条件，这时我们说假设存在．
题型三 用“正难则反”的策略解题
“正难则反”策略是指某一类问题从正面解决比较困难时，我们可以反面入手解决．这种“正难则反”的解题方法，运用的就是补集思想，设全集为U，求子集A，若直接求A困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.
【例4】　若三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数解，求实数a的取值范围．
分析：此题若从正面入手，需对各种可能情况一一讨论，非常繁琐，若考虑反面，则只有一种情况：三个方程都没有实数解，利用判别式去求解，然后取补集即可．
评析：一般地，如果一个数学问题从正面入手困难可作逆向思考则常可奏效．如含有“至多”、“至少”等条件的题目，不要忘记取其补集．
1．进行集合的运算时应当注意：(1)勿忘对空集情形的讨论；(2)勿忘集合中元素的互异性；(3)对于集合A的补集进行运算，勿忘A必须是全集的子集；(4)对于含参数(或特定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍．
2．在集合运算过程中应力求做到“三化”：
(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？是表示函数的自变量的取值范围，或因变量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集？
(2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．
【例5】　已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠ ，求a的取值范围．
解：由B＝{x|x<0}，A∩B≠ 可知，方程x2－4ax＋2a＋6＝0至少有一个负根，因此本题要分：有两个负根、一负根一零根、一负根一正根这三种情况求解，比较麻烦，这时，我们不妨考虑问题的反面：方程x2－4ax＋2a＋6＝0没有负根的情形．
评析：(1)对于一些解题过程繁琐，难以从正面解决的问题，不妨从问题的反面入手，探求已知和未知的联系，用间接的方法将问题解决，我们称这种解决问题的策略为“正难则反”的策略，其实质是运用了“补集思想”．
(2)由于 UA是A的补集，因此在解题时，遇到比较困难的问题，可以转化为求问题的反面，采用间接的方法将问题解决．
题型四 数学在日常生活中的应用
【例6】　某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63%，三种电器齐全的为25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为 (　　)
A．10% B．12%
C．15% D．27%
答案：A
分析：这是一个小型应用题，把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助Venn图解决．
解：不妨设调查了100户农户，U＝{被调查的100户农户}，A＝{100户中拥有电冰箱的农户}，B＝{100户中拥有电视机的农户}，C＝{100户中拥有洗衣机的农户}，由图知，A∪B∪C的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90.
∴ U(A∪B∪C)的元素个数为100－90＝10.
故选A.
评析：善于用数学中的集合知识解决日常生活中的实际问题，有时可以借助韦恩图．
分析：首先假设这样的a存在，则A∪B＝ 成立，由此推出A＝B＝ ，则一元二次方程的判别式Δ<0，照此计算下去，结果就会显露出来．
评析：本题有两个关键点：其一，由A∪B＝ 得A＝ 且B＝ ，因此，得到由判别式构成的不等式组．其二，不等式组的解法，虽然在后面我们还将专门学习“一元二次不等式解法”，但根据实数的“同号相乘得正，异号相乘得负”的性质，我们现在也能解部分一元二次不等式，但要特别注意何时取交集，何时取并集．
【例8】　我们知道，如果集合A S，那么S的子集A的补集为 SA＝{x|x∈S，且x A}．类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x B}叫做集合A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,6,7,8}，则有A－B＝{1,2,3}，B－A＝{6,7,8}，据此，试回答下列问题：
(1)S是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班全体女同学的集合，求S—A及 SA；
(2)在下图中用阴影表示集合A－B；
(3)如果A－B＝ ，那么集合A与B之间具有怎样的关系？
分析：本题是一道信息题，要求阅读理解题目中给出的信息，并给出解答．考查同学们认知新知识的能力．
解：(1)S－A＝ SA＝{x|x是高一(1)班的全体男同学}．
(2)如下图中阴影部分所示．
(3)A B.