探索三角形相似的条件——两角相等
【学习目标】
1.通过探索与交流，得出两个三角形只要具备两边对应成比例，并且夹角相等的条件，即可判断两个三角形相似的方法；
2.尝试选择判断两个三角形相似的方法，并能灵活解决生活中一些简单的实际问题
【学习重难点】
1.SAS判断三角形相似
【学法指导】自学、探索、小组合作
【学习过程】
【课前预习】
1.回忆三角形全等判定的“SAS”定理内容？
2.什么叫相似三角形？我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？
【学习过程】
如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，,比较∠B和∠B′的大小.由此，你能判断△ABC和△A′B′C′相似吗？为什么？
在上题的条件下，设，改变k的值的大小，再试一试，你能判
断△ABC和△A′B′C′相似吗？
结论：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角
相等，那么这两个三角形相似．
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
几何语言：∵在△ABC和△A′B′C′中，
∠A＝∠A′，，
∴△ABC∽△A′B′C′，
三、例题讲解
例1．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm。
（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD∽△ABC
（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝__时，△AEB∽△ABC；
此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？
例2．已知：如图，AE2=ADAB，且∠ABE=∠ACB.
试说明：（1）△ADE∽△AEB；（2）DE∥BC；（3）△BCE∽△EBD
例3．如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，要使△ABC∽△A′B′C′，
还需要添加什么条件？
【当堂训练】
1．下列条件能判定△ABC∽△A′B′C′的有
（
）
（1）∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A′＝450，A′B′＝16，A′C′＝20
（2）∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B′＝47°，A′B′＝2.8，B′C′＝2.1
（3）∠A＝47°，AB＝2，AC＝3，∠B′＝47°，A′B′＝4，B′C′＝6
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
2.如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能满足△APC∽△ACB的条件是
（
）
A、①②④
B、①③④
C、②③④
D、①②③
第2题
第3题
3.如图,在△ABC中,D在AB上,要说明△ACD∽△ABC相似,已经具备了条件
,还需添加的条件是
，或
或
.
【课后提升】
1.如图的两个三角形是否相似？为什么？
2.如图，矩形ABCD中，AB∶BC=1∶2，点E在AD上，且DE＝3AE，试说明：△ABC∽△EAB；
3.如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB＝4，AM＝1，BN＝0.75，
（1）△ADM与△BMN相似吗？为什么？（2）求∠DMN的度数；
4．如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3，AE=2，BD=4，试说明△ABC∽△ADE，
并求AC、EC的长.
5.已知，如图，在⊿ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD的延长线交于F。试说明⊿ABC∽⊿FCD
6.如图，△ABC中，AB=12，BC=18，AC=15,D为AC上一点，CD=AC，在AB上找一点E，得到△ADE，若图中两个三角形相似，求DE的长.
7.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E。试说明：（1）△ABD∽△CBE；（2）△BDE∽△BAC。
【中考链接】
8.如图，点在⊙O上，，与相交于点，，延长到点，使，连结．（1）证明；（2）试判断直线与⊙O的位置关系，并给出证明．
A
B
C
A′
B′
C′
B″
C″
A
B
C
A′
B′
C′
B″
C″
A
B
C
D
B
E
A
C
A
B
C
A′
B′
C′
A
C
D
B
B
C
P
A
A
B
C
F
E
1
1
3
3
A
E
D
C
B
D
A
M
B
N
C
A
B
C
D
E
A
C
D
O
E
F
B
PAGE两边成比例且夹角相等
学习目标：
1．探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法，并能运用解题；
2．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．
学习重点：掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．
学习难点：1．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法的证明；
2．能恰当地运用判定方法判定三角形是否相似．
学习过程：
复习回顾：
我们学过哪些判定三角形相似的方法？
合作探究：
议一议：
如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，
．
能判断△ABC与△A'B'C'
相似吗？
如果把换成其他数值，再试一试．
已知：
，∠A＝∠A'．求证：△ABC
∽△A'B'C'．
探索三角形相似的条件：
两边_________________________的两个三角形相似．
议一议：
例题分析：
例1、下列条件能判定△ABC∽△A′B′C′的有
（
）
（1）∠A＝45°，AB＝12，AC＝15，∠A′＝450，A′B′＝16，A′C′＝20
（2）∠A＝47°，AB＝1.5，AC＝2，∠B′＝47°，A′B′＝2.8，B′C′＝2.1
（3）∠A＝47°，AB＝2，AC＝3，∠B′＝47°，A′B′＝4，[B′C′＝6
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
例2、如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，能满足△APC∽△ACB的条件是（
）
A、①②④
B、①③④
C、②③④
D、①②③
（例2图）
(例3图)
例3、如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件
，还需添加的条件是
，或
或
。
练一练：
1．如图，在△ABC和
△DEF中，∠B＝∠E，要
使△ABC∽△DEF，需要添加什么条件？
2．如图，△ABC与△A'B'C'
相似吗？有哪些判断方法？
3．如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm．
（1）在AB上取一点D，当AD＝______时，△ACD
∽△ABC；
（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝
时，△AEB
∽△ABC；
此时，BE与DC有怎样的位置关系？为什么？
拓展延伸：
有一池塘，周围都是空地．如果要测量池塘两端A、B间的距离，
你能利用本节所学的知识解决这个问题吗？
小结：
课堂作业：课本习题6．4第8、9题．
课后练习：
1．如图，在△ABC中，点D在边AC上，下列条件中，能判断△BDC与△ABC相似的是
(
)[来源
A．AB·CB=CA·CD
B．AB·CD=BD·BC
C．BC2=AC·DC
D．BD2=CD·DA
2．如图是△ABC，则下列各个三角形中，与△ABC相似的是
(
)
3．如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是
(
)
A．
B．∠B=∠ADE
C．
D．∠C=∠AED
4．下列条件：①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠A′=45°，A′B′=16，A′C′=20；
②∠A=47°，AB=1．5，AC=2，∠B′=47°，A′B′=2．8，B′C′=2．1；
③∠A=47°，AB=2，AC=3，∠B′=47°，A′B′=4，B′C′=6，
其中能判定△ABC与△A′B′C′相似的有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
5．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，当=________时，△AEF∽△BCE．
6．如图，BC平分∠ABD，AB=9，BD=25，当BC=________时，△ABC∽△CBD．
7．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2
cm，则BC=_________cm．
8．如图，零件的外径为25
mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC=OD)量零件的内孔直径AB．若OC：OA=1：2，量得CD=10
mm．则零件的厚度x=_______mm．
三、解答题[来源:Zxxk.Com]
9．如图，在△ABC中，AB=4
cm，AC=2
cm．
(1)在AB上取一点D，当AD=_________cm时，△ACD∽△ABC．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
(2)在AC的延长线上取一点E，当CE=________cm时，△AEB∽△ABC此时BE与DC有怎样的位置关系?为什么?
10．如图，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形相似吗?为什么?
11．已知：如图，AE2=ADAB，且∠ABE=∠ACB。
证明：（1）△ADE∽△AEB；[来源:Zxxk.Com]
（2）DE∥BC；
（3）△BCE∽△EBD。
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．C
5．
6．15
7．4
8．2．5
9．(1)1
(2)6
BE∥DC
理由略
10．相似．设小正方形的边长为1，则，，A1C1=4，A2C2=2，并且∠B1A1C1=∠B2A2C2=135°，所以△A1B1C1∽A2B2C2
B
C
A
B
D
E
B
D
C
A
C
P
A
B
A
PAGE
2平行线分线段成比例定理及应用
教学目标：1.掌握平行线分线段成比例的基本事实，会用平行线分线段成比例解决实际问题；
2.掌握掌握平行线型相似的方法，发展演绎推理能力；
3.经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．
教学重点：探索“见平行，得相似”的相关结论．
教学难点：成比例的线段中对应线段的确定．
教学过程：
一、课前训练
1．下列图形中不一定是相似图形的是
（
）
A．两个等边三角形
B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形
D．两个正方形
2．若△ABC∽△A′B′C′，且，则△ABC与△A′B′C′相似比是
，△A′B′C′与△ABC的相似比是
．
课堂复习提问：相似多边形、相似三角形、相似比的概念
。
（1.教师板书概念；
2.
复习通过概念判断相似多边形。）
二、探索新知
活动一：
1、操作：（1）在练习本上画3条互相平行的直线l1、l2、l3，再画2条直线a、b，使a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，
（2）度量所画图中AB、BC、DE、EF的长度，并计算对应线段的比值，你有什么发现？
（3）投影学生的画图与计算，汇总结果。
2、发现结论
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。（板演课题和结论）
3、对定理的理解：（1）平行线分线段成比例定理的符号语言
（2）如何理解“对应线段”？
（3）“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
例1
如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。
（1）如果AE=7
，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？
（2）如果AB=10
，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
（教师板书，注意引导学生注意线段的对应，加强定理的理解和应用）
活动二：
问题1、如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，试说明△ADE与△ABC相似的理由。
（组织学生积极操作与思考，利用小组合作的方式进行探究）
问题2、平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线、反向延长线相交的情况（由学生思考、解答．
结论：（板书）
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。
基本图形：
A型
A型
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似．
基本图形：
例2、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于点G，（1）图中有几对相似三角形？是哪几对？
（2）与相等吗？为什么?
（教师板书，加强定理、结论的理解和应用）
三、练一练：
1、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是
（
）
A、
1对
B、
2对
C、
3对
D、
4对[来
2、如图，已知l1//l2//l3,
（1）在图（1）中AB
=
5,
BC
=
7
，EF=4，求DE的长。
（2）在图（2）中DE
=
6,
EF
=
7
，AB=5，求AC的长。
2、如图，OC是∠AOB内一条直射线，点D、D/在OC上，过点D、D/分别作OA、OB的垂线，垂足分别为E、E/和F、F/。（1）图中共有几对相似三角形？是哪几对？
（2）与相等吗？为什么？[来源:Zxxk.Com]
（学生独立完成；利用展台学生代表讲评．）
四、小结：
通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？
五、作业：
1．必做题：课本54-55页练习第1、2题；
课本习题6.4第1、7题．
2．选做题：课本习题6.4第2、4题．
符号语言：
在△ABC中，如果DE∥BC，那么△ADE∽△ABC．
符号语言：
如果DE∥BC，
那么△ADE∽△ABC．
A
B
C
D
E
F
（1）
A
B
C
D
E
F
（2）课题：6.4
探索三角形相似的条件
综合
课型：新授课
上课时间：
课程标准相关要求
了解重心的概念，以及重心的画法。
2.教学目标
一、认知目标：
1.
98％知道重心的概念、重心的画法。
2.
92％能利用重心的性质进行计算并解决有关实际问题。
3.
80％会找证明三角形的三条中线交于一点．
二、方法与技能目标：
通过找三角形的重心及性质证明，培养学生的理解与动手能力，体会一题多解、数形结合、分类讨论等数学思想。
三、情感目标：
逐步培养学生的合作意识与自主探究的精神，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用．
教学重难点：
重点：了解重心的概念、重心的画法，能利用重心的性质进行计算并解决有关实际问题
难点：证明三角形的三条中线交于一点。
教学过程
个人复备
一、课前先学（学生在家先学，可借平台微视频）◆【课前先学】◆先学一1.动手操作：（1）用有刻度的直尺画出三角形ABC的三条中线AD、BE、CF；（2）观察上面所画图形，回答问题：三角形ABC的三条中线____________(相交于/不相交于)一点。先学二2.如图：已知AD、CF是△ABC的两条中线，相交于点G,连接BG，并延长BG交AC于点E，说明E是AC的中点。（提示：用面积法进行证明，可用三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形这个结论）步骤1：先说明S△AGB=S△BGC
=S△AGC◆【操作步骤】◆1.学生前天晚上在家先自学课本，了解所学内容，知道相关知识点；2.学生合上书完成先学作业，如有疑惑可先翻书进行自主解决。◆【设计意图】◆1.第一题从学生已有的知识经验出发，主要是让学生通过动手操作进行直观感知，初步感知三角形ABC的三条中线将交于一点.2.第二题在第一题的基础之上，让学生通过推理论证来验证第一题的猜想，让学生体会数学学习的过程及方法.二、早课任务：◆【操作步骤】◆1．早课互阅（3分钟）批改家庭作业和先学作业，错题标注要求：（1）1号2号互批
、3号4号互批
5号6号互批；
（2）安静有序
（3）及时标注2．合作互助（6分钟）1.两两结对，交流先学成果，并互相解决先学中出现的问题.（1号与2号、3号与4号、5号与6号）2.小组组长组织讨论，解决结对讨论的遗留问题.3.要求：将小组解决不了的和错误较多的问题写在问题本上.◆【设计意图】◆组内互说检验学生掌握情况，发现问题，为课堂有争对性的解决问题作好铺垫，使课堂重点明确。学生能解决的问题由学生通过组内互帮进行解决，培养学生合作意识和探究能力。三、感情调节（贯穿教学全过程）课前小游戏规则：1.选一名同学与丁老师PK;2.
5秒钟时间内，用指尖将三角形硬纸板顶起，不晃动。时间到如没有顶起，则算输。3.指尖必须竖直。◆【设计意图】◆通过课前小游戏激发学生的学习兴趣，调动课堂氛围，增强学生课堂参与率，拉近师生之间的关系。四、学生展示先学◆【操作步骤】◆1.学生1分钟小组进行交流先学内容。2.小组派代表上台讲解，其他学生进行提问和指出改进意见。◆【设计意图】◆1.培养孩子们合作意识和语言表达能力，锻炼孩子们的语言表达能力和思维能力，培养他们的自信心。2.第二题让学生进行合作交流，组与组，师与生之间交流此题的不同做法，培养学生的逻辑思维、发散思维、合作意识.例举其中的两种做法，如下：证法1：（根据课本上的提示证明）取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1） ∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=
AB又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=
AB∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD同理可证：CG=2GF，BG=2GE点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。 ∵G是BF的中点，D是BC的中点∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=
FC由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF∴AG=FC，即GD=AG点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）五、重点知识归纳提问◆【操作步骤】◆1.
各组提出先学疑惑，如没有疑惑，教师提问。内容如下：1.三角形的重心是什么？
2.已知M是△ABC
的重心，你能得到哪些结论?◆【设计意图】◆先让学生两两互说再通过教师提问进行检测主要想让学生回顾并掌握先学的几个核心内容，进入重点快，打牢学生的基础。六、◆【课内研学】◆1.如图：已知BE、CF是△ABC的两条中线，相交于点G,连接EF,（1）
说明：△FGE∽△CGB；（2）求：GE:GB2.如图，在Rt△ABC中，∠B=60°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，若BC=6cm，则GE=??????
_________cm。
3.如图，在△ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若△ABC的面积为6cm2，则△CGD的面积为多少?（写过程）?◆【操作步骤】◆1.学生先独立自主进行练习。2.做好的同学进行轻声互说或互帮，再做知者加速的题目。3.学生进行自我批改、订正。4.学生点评做题的关键点，教师总结题目中所包含的数学思想。◆【设计意图】◆第一题主要借助于具体的题目来探索重心的性质（三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。），并总结符号语言，规范书写过程。第二题是在第一题的基础上适当进行了拓展和提升，培养学生的发散思维。第3题主要将面积与重心相结合，培养学生分析问题，解决问题的能力，规范学生的说理过程。七、※【解编创学】※5.每组整理各组员收集的关于重心的资料，请各组用简短精炼的语言或诗歌的形式向大家介绍一下你们组对重心的了解，并举一两个重心在生活中应用的例子。◆【操作步骤】◆1.学生利用周末时间上网收集关于重心的相关介绍，了解重心在生活中有着广泛的应用。2.学生利用早课时间整理收集的资料，互相交流，总结归纳。◆【设计意图】◆1.学生通过收集资料使学生了解重心及性质，从而激发学生的求知欲，教会学生研究问题的方法。2.通过解编创学培养学生合作的意识，让学生认识到数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用．八、◆【拓展提升】◆
1.在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。 ◆【操作步骤】◆1.学生先独立自主进行练习。2.做好的同学进行轻声互说或互帮，再做知者加速的题目。3.学生进行自我批改、订正。4.学生点评做题的关键点，教师总结题目中所包含的数学思想。◆【设计意图】◆1.第一题帮助学生回顾强化重心，运用重心的性质解决相关问题。2.通过拓展与延伸，让学生能综合的运用重心的判定与性质来解决问题，难度较高，培养学生的钻研精神。九、◆【知者加速】◆1.在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后△PBQ与△ABC相似？◆【操作步骤】◆1.学生利用上课空余时间进行练习。2.如有时间学生再完善。◆【设计意图】◆1.课堂要集合每一个学生的特点进行设计，做到因材施教，因人而教，让每一人得到不同层次的发展，此题主要为培优做好准备，让优生能利用好课堂的每一分每一秒去提升自己。2.此环节也是为了创造班级和谐健康的竞争学习氛围，打造你追我赶的态势。十、◆【课堂小结】◆1.从知识方面总结：2.从数学思想和解题技巧方面总结：3.从情感态度方面总结：◆
【设计意图】◆自我反思，交流、归纳总结本节课的内容，提高学生归纳、总结的能力
.
76.4 探索三角形相似的条件（4）
教学目标：
1．掌握“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，并能解决简单的问题；
2．经历两个三角形相似判定的探索过程，体验用类比得出数学结论的过程．
教学重点：掌握“三边成比例的两个三角形相似”．
教学难点：1．“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法的证明；
2．会准确地运用判定方法判定三角形是否相似．
教学过程：
一．复习回顾：
1．判定两个三角形全等有哪些方法？
2．如果要判定两个三角形是否相似，是否一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
3．我们学过哪些判定三角形相似的方法？
二．探索新知：
已知△ABC与△A′B′C′，
，你能判断△ABC和△A′B′C′相似吗？为什么？
议一议：
设，改变的值的大小，
你能判断△ABC和△A′B′C′相似吗？
学&科&网Z&X&X&K]
来源:Zxxk.Com]
结论：
_________________________的两个三角形相似．
三．例题：
如图，已知,试说明∠BAD＝∠CAE.
四．练一练：
1.△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，△ABC与△DEF相似吗？为什么？
2.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，6，8．另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是多少？你有几种答案？
五．小结
六．中午作业：
1．下列四个三角形中，与左图中的三角形相似的是(
)
2．已知△ABC的三边长分别为1、、，△A′B′C′的两边长分别为和．
如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边为
(
)
A．
B．
C．
D．2[来源XK]
3.
根据下列条件：AB＝3，BC＝5，AC＝6，A'B'＝6，B'C'＝10，A'C'＝12．，判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由．
4．在△ABC中，AB：BC：CA=2：3：4．在△A′B′C′中，A′B′=1，C′A′=2，当B′C′为多长时，△ABC∽△A′B′C′．
A
B
C
A′
B′
C′
