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【小升初专题讲义】
第三十二讲
综合应用专题精讲（解析版）
知识要点梳理
鸽巢原理
定义：鸽巢原理又叫抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理。
类型：
吧n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类有2个或2个以上的元素。
吧m个元素任意放入n（n≤m）各集合，则一定有一个集合至少要有k个元素，其中k=（当n能整除m时），或k=[]+1（当n不能整除m时）这里的[]表示不大于的最大整数。
3.解题的步骤:
第一步:分析题意，分清什么是“东西”，什么是“抽屉”。
第二步:制造抽屉。这是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步:运用抽屉原理。
二、植树问题
1.定义:植树问题是指在某个固定图形上，给定点之间的距离或其他条件，在这个图形上最多能分布多少个这样的点的问题。
2.公式:
直线植树问题:计算两端点时，树木数=路线长度÷树木间隔+1
计算一端点时，树木数=路线长度:树木间隔
不计算两端点时，树木数=路线长度÷树木间隔-1
圆周植树问题:树木数=路线长度÷树木间隔
三、鸡兔同笼问题
方法:假设法，方程法，抬脚法，列表法。
假设法解题思路:提出假设一产生差异一分析原因一解决差异。
公式1;(兔的脚数x总只数一总脚数):(兔的脚数一鸡的脚数)=鸡的只数;
总只数-鸡的只数=兔的只数
公式2;(总脚数一鸡的脚数x总只数):(兔的脚数一鸡的脚数)=兔的只数;
总只数-兔的只数=鸡的只数
公式3;(设兔为x只，鸡为总只数-x）
4x
+
2(总只数-想）=总脚数
考点1
鸽巢原理
【例1】
张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少有(
)个孩子。
A.4
B.2
C.3
【精析】把颜色的种类看作“抽屉”，把孩子的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出:孩子的个数至少比颜色的种类多1时，才能至保证少有两个孩子的颜色一样，即3+1=4(个)。
【答案】A
【归纳总结】元素大于抽屉数，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”。
【例2】把56个苹果装在9个袋子里，有一个袋子至少装(
)个苹果。
A.5
B.6
C.7
【精析】把56个苹果装在9个袋子里，将这9个袋子当做9个抽屉,56
÷
9
=6个…2个，即平均每个袋子里装6个后，还余下2个.根据抽屉原理可知，总有一个袋子至少要装6+1=7个，据此即可判断.解:56÷9=6(个)....2(个),6+1
=7(个)。
【答案】
C
【归纳总结】在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1(有余的情况下)。
考点2
植树问题
【例3】
园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵，从第1棵到最后一棵的距离有多远?
【精析】根据题干，此题属于两端都要栽的情况:间隔数=植树棵数一1，由此可以求出从第1棵到最后一棵之间有36一1
=
35个间隔，再乘以6即可解决问题。
【答案】(36一1)
x6=35
x6=210(米)
答:从第一棵到最后一棵的距离是210米。
【归纳总结】两端都要栽时，间隔数=植树棵数-1，由此即可解答。
【例4】一个正方形花坛的周长是120米，在它四周每隔3米放一个花盆，每个角上都有一盆花，每边放多少盆花?
【精析】用正方形的周长除以4，求出每条边的长度，再根据两端都要栽的计算方法:棵数=间隔数+1，进行解答。
【答案】120
÷4
÷
3
+1
=10
+1
=11(棵)
答:每边放11盆花。
【归纳总结】本题关键是求出每条边的长度，再根据棵数=间隔数+1的计算方法进行计算。
考点3
鸡兔同笼
【例5】
松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天当中有几天是雨天?
【精析】一连几天采了112个，平均每天采14个，可以求出采松子的总天数，再用假设法就可以求出雨天的天数。
【答案】采松子的天数:112
÷14
=8(天)假设8天全为晴天，则可采20x8=160(个)雨天的天数:(160一442)÷(20一12)
=
6(天)
答:这几天雨天有6天。
【归纳总结】把两种不同的量假设成同一量，算出总量，和实际总量相比较得出差异。
名题精析
【例】房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共60条，那么有(
)把椅子。
【精析】这是一道典型的简单的鸡兔同笼问题，可用假设法。假设16个都是凳子，得出腿的总数，并求出总差。
【答案】假设16个全是椅子，则
16
x4=64(条)
(64一
60）÷(4一3)
=4(把)
16一4=12(把)
【归纳总结】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论;也可以用方程进行解答。
一、填空题
1.
30只鸽子飞进7个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进(
)只鸽子。
2.在一个正方形花坛的四周种树，四个顶点各种一棵，每边种5棵，共种(
)棵。
3.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有16个头，从下面数，有52个脚，那么鸡有(
)只，兔有
(
)只。
4.
13只鸡放进4个鸡笼里，至少有(
)只鸡要放进同一个鸡笼里。
在100米的人行道两边栽树，每隔4米栽一棵(两端都要栽)需要栽(
)棵树
在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这条马路有(
)。
7一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种（
）棵杨树。
8.全班46人去划船，一共租了9条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，他们租用了(
)条大船。
二、选择题
1一副扑克牌加上大、小王共有54张，至少抽取(
)张牌就一定能保证有两张同色。
A.5
B.6
C.7
D.13
小明要到一栋楼的第巧层上去，他从第一层走到第五层用了100秒，如果用同样的速度走到15层，还要(
)秒。
A.200
8.250
0.300
D.350
3.数学竞赛共10题，做对一题得8分，做错一题(或不做)，倒扣5分，小军得41分，他做错了(
)。
A.3题
B.4题
C.5题
D.
2题
4.强强一次捐款175元，分别是20元和5元的，共有23张，其中5元的有(
)张。
A.4
8.19
C.13
5.有红、黄、蓝袜子各10只，闭着眼睛，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同色，那么至少需要取(
)只袜子。
A.9
B.5
C.16
D.13
6.把56个苹果装在9个袋子里，有一个袋子至少装(
)个苹果。
A.5
B.6
C.7
7一个盒子里有4个白球、3个红球和2个黄球，至少摸出(
)个球才能保证摸出的球一定有两种颜色的球。
A.3
B.4
C.5
8.鸡兔同笼，15个头，40条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比是(
)。
A.3:1
B.3:8
C.
2:
1
D.
8:
3
三、解决问题
1.小红的存钱罐里有1元和5角的硬币32枚，共有20元。则5角的有多少枚?
2.在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
3一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米?
4.商店委托搬运队运送100箱热水瓶，每箱6个。双方商定每箱的运费2.
4元，如果打破一个，这个不但不计运费，并且要赔偿11.
5元，结果搬运队共得运费192.
4元，运送过程中打破了几个热水瓶?
某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。求打碎了几个玻璃杯?
6.育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加，女学生减少，共有710人，本学期男，女学生各有多少人?
一、
1.
5
2.
16
3.
6
4.
4
5.
52
6.
280
7.
250
8.
5
二、
1.
C
2.
B
3.
A
4.
B
5.
D
6.
C
7.
C
8.
C
三、
1.
【解析】假设32枚都是1元的硬币，则共有32元。而现在一共有20元，多算了32-20-12（元）。如果用1枚5角的硬币换1枚1元的硬币，就要多1-0.5-0.5（元），那么看看这12元应该有几个0.5元来换，就有几个5角。列式为12÷0.5，计算即可。
【解析】5角-0.5元，
所以5角的硬币有：
（1×32-20）÷（1-0.5）
-（32-20）÷0.5
-12÷0.5
-24（枚）
答：5角的硬币有24枚。
2.【解析】大桥两边一共挂了202盏彩灯，没变各挂202÷2-101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1-100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100-8米。
3.
【解析】根据题意，把长19-1-18米长的木条锯了5次，可以锯成5+1-6段，所以每根短木条长18÷6-3米。
4.【解析】假设全部安全运到，总运费是240元，比实际多了47.6元，原因在于打破一个不但不给运费还要赔偿11.5元，则打破一个相差11.9元。
2.4×100-240元
（240-192.4）÷（2.4÷6+11.5）-4（个）
答：运送过程中打破了4个热水瓶。
5.【解析】假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费1×1000-1000元，实际上少得1000-920-80元，这说明运输过程中打碎了玻璃杯。每打碎一个，不但不给运费还要赔偿3元，这样玻璃杯厂就少收入1+3-4元。又已求出共少收入80元，所以打破的玻璃杯数为80÷4-20个。
6【解析】假设本学期女学生不是减少，而是增加，半学期应该有750×（1+）-875人，比实际多875-710-165人，这165人是假设女学生也增加多出的人数，而实际女学生减少，所以，这165人对应着女学生的（+）-。
上学期女生：[750×（1+）-710]÷（+）-450（人）
本学期女生：450×（1-）-360（人）
本学期男生：710-360-350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有360人。
一、填空题
1.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有16个头，从下面数，有52个脚，那么鸡有(
)只，兔有(
)只。
2.在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100的有13人，两科都得100分的人有7人，两科至少有一科得100的共有(
)人;全班45人中两科都不得100的有(
)。
3.有5瓶维生素，其中一瓶少了4片。如果用天平至少称(
)次就能找到少药片的那瓶。
4.暗箱中混放着白、红、蓝、黄四种颜色的球各8个，至少需要摸到(
)个球，才能确保从中摸出四个不同色的球。
5.房间里有若干个凳子和椅子，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后共有43条腿(包括每个人的两条腿)，房间里有(
)个人。
6.布袋中装有4个红球、6个白球和8个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋中最少摸(
)个球，肯定有三种颜色的球。
二、解决问题
1.一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子的腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几个椅子和几个凳子?
2.某人以相同的速度沿着一排树跑步，从第1棵跑到第6棵共用了30秒(每两棵树之间的距离相等，树的数量足够多)，如果跑120秒，他应该跑到了第几棵树?
鸡兔同笼，30个头，9条腿，鸡兔相差多少只?
4.从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有25根电线杆。现在改每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不需移动，中间还有多少根不必移动?
一、
1.
6
10
2.
23
22
3.
2
4.
25
5.
8
6.
15
二、
1.【解析】假设法解决问题。
假设16个都是椅子，
16×4-64（条）
（64-60）÷（4-3）-4（个）……凳子
16-4-12（个）……椅子
答：有12个椅子，4个凳子。
2.【解析】120÷[30÷（6-1）]
-120÷6
-20（个间隔）
20+1-21（棵）
答：应该走到第21棵树。
3.【解析】设兔有x只，则鸡有（30-x）只，由题意，得
2（30-x）+4x-96
60-2x+4x-96
2x-36
x-18
鸡：30-18-12（只）
18-12-6（只）
答：鸡兔相差6只。
4.
【解析】45×
（25-1）-45×24-1080（米）（甲、乙两地相距1080米）
[45,60]-180（每隔180米不必移动）
1080÷180-1-5（根）
答：中间还有5根不必移动。
【资料介绍】该资料结合综合应用知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识梳理
模块二
考点精讲
模块三
毕业升学训练
模块三
毕业升学训练参考答案
模块四
冲刺提升
模块四
冲刺提升参考答案
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第三十二讲
综合应用专题精讲（学生版）
知识要点梳理
鸽巢原理
定义：鸽巢原理又叫抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理。
类型：
吧n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类有2个或2个以上的元素。
吧m个元素任意放入n（n≤m）各集合，则一定有一个集合至少要有k个元素，其中k=（当n能整除m时），或k=[]+1（当n不能整除m时）这里的[]表示不大于的最大整数。
3.解题的步骤:
第一步:分析题意，分清什么是“东西”，什么是“抽屉”。
第二步:制造抽屉。这是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步:运用抽屉原理。
二、植树问题
1.定义:植树问题是指在某个固定图形上，给定点之间的距离或其他条件，在这个图形上最多能分布多少个这样的点的问题。
2.公式:
直线植树问题:计算两端点时，树木数=路线长度÷树木间隔+1
计算一端点时，树木数=路线长度:树木间隔
不计算两端点时，树木数=路线长度÷树木间隔-1
圆周植树问题:树木数=路线长度÷树木间隔
三、鸡兔同笼问题
方法:假设法，方程法，抬脚法，列表法。
假设法解题思路:提出假设一产生差异一分析原因一解决差异。
公式1;(兔的脚数x总只数一总脚数):(兔的脚数一鸡的脚数)=鸡的只数;
总只数-鸡的只数=兔的只数
公式2;(总脚数一鸡的脚数x总只数):(兔的脚数一鸡的脚数)=兔的只数;
总只数-兔的只数=鸡的只数
公式3;(设兔为x只，鸡为总只数-x）
4x
+
2(总只数-想）=总脚数
考点1
鸽巢原理
【例1】
张阿姨给孩子买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个孩子的颜色一样，她至少有(
)个孩子。
A.4
B.2
C.3
【例2】把56个苹果装在9个袋子里，有一个袋子至少装(
)个苹果。
A.5
B.6
C.7
考点2
植树问题
【例3】园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵，从第1棵到最后一棵的距离有多远?
【例4】一个正方形花坛的周长是120米，在它四周每隔3米放一个花盆，每个角上都有一盆花，每边放多少盆花?
考点3
鸡兔同笼
【例5】
松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天当中有几天是雨天?
名题精析
【例】房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共60条，那么有(
)把椅子。
一、填空题
1.
30只鸽子飞进7个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进(
)只鸽子。
2.在一个正方形花坛的四周种树，四个顶点各种一棵，每边种5棵，共种(
)棵。
3.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有16个头，从下面数，有52个脚，那么鸡有(
)只，兔有
(
)只。
4.
13只鸡放进4个鸡笼里，至少有(
)只鸡要放进同一个鸡笼里。
在100米的人行道两边栽树，每隔4米栽一棵(两端都要栽)需要栽(
)棵树
在一条马路一边从头至尾植树36棵，每相邻两棵树之间隔8米，这条马路有(
)。
7一个鱼塘的周长是1500米，沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树，需要种（
）棵杨树。
8.全班46人去划船，一共租了9条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，他们租用了(
)条大船。
二、选择题
1一副扑克牌加上大、小王共有54张，至少抽取(
)张牌就一定能保证有两张同色。
A.5
B.6
C.7
D.13
小明要到一栋楼的第巧层上去，他从第一层走到第五层用了100秒，如果用同样的速度走到15层，还要(
)秒。
A.200
8.250
0.300
D.350
3.数学竞赛共10题，做对一题得8分，做错一题(或不做)，倒扣5分，小军得41分，他做错了(
)。
A.3题
B.4题
C.5题
D.
2题
4.强强一次捐款175元，分别是20元和5元的，共有23张，其中5元的有(
)张。
A.4
8.19
C.13
5.有红、黄、蓝袜子各10只，闭着眼睛，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同色，那么至少需要取(
)只袜子。
A.9
B.5
C.16
D.13
6.把56个苹果装在9个袋子里，有一个袋子至少装(
)个苹果。
A.5
B.6
C.7
7一个盒子里有4个白球、3个红球和2个黄球，至少摸出(
)个球才能保证摸出的球一定有两种颜色的球。
A.3
B.4
C.5
8.鸡兔同笼，15个头，40条腿，鸡的只数与兔的只数的最简整数比是(
)。
A.3:1
B.3:8
C.
2:
1
D.
8:
3
三、解决问题
1.小红的存钱罐里有1元和5角的硬币32枚，共有20元。则5角的有多少枚?
2.在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
3一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米?
4.商店委托搬运队运送100箱热水瓶，每箱6个。双方商定每箱的运费2.
4元，如果打破一个，这个不但不计运费，并且要赔偿11.
5元，结果搬运队共得运费192.
4元，运送过程中打破了几个热水瓶?
某玻璃杯厂要为商场运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这个不但不给运费，而且要赔偿3元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费920元。求打碎了几个玻璃杯?
6.育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加，女学生减少，共有710人，本学期男，女学生各有多少人?
一、填空题
1.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有16个头，从下面数，有52个脚，那么鸡有(
)只，兔有(
)只。
2.在一次考试中，某班数学得100分的有17人，语文得100的有13人，两科都得100分的人有7人，两科至少有一科得100的共有(
)人;全班45人中两科都不得100的有(
)。
3.有5瓶维生素，其中一瓶少了4片。如果用天平至少称(
)次就能找到少药片的那瓶。
4.暗箱中混放着白、红、蓝、黄四种颜色的球各8个，至少需要摸到(
)个球，才能确保从中摸出四个不同色的球。
5.房间里有若干个凳子和椅子，每个凳子有3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后共有43条腿(包括每个人的两条腿)，房间里有(
)个人。
6.布袋中装有4个红球、6个白球和8个黑球，它们除颜色外，完全相同，从袋中最少摸(
)个球，肯定有三种颜色的球。
二、解决问题
1.一个房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16个，如果椅子的腿数和凳子腿数加起来共有60条，那么有几个椅子和几个凳子?
2.某人以相同的速度沿着一排树跑步，从第1棵跑到第6棵共用了30秒(每两棵树之间的距离相等，树的数量足够多)，如果跑120秒，他应该跑到了第几棵树?
鸡兔同笼，30个头，9条腿，鸡兔相差多少只?
4.从甲地到乙地原来每隔45米要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有25根电线杆。现在改每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不需移动，中间还有多少根不必移动?
【资料介绍】该资料结合综合应用知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
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