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5.7 三角函数的应用课时作业(四十一) 三角函数的应用
[练基础]
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin
100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A.
B．50
C.
D．100
2．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示．
x
1
2
y
10
000
9
500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A．10
000元 B．9
500元
C．9
000元
D．8
500元
3．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2
s
B．1
s
C.
s
D.
s
4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
5．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________.
6．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin
(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[提能力]
7．(多选)如图，摩天轮的半径为40
m，其中心O点距离地面的高度为50
m，摩天轮按逆时针方向做匀速转动，且20
min转一圈，若摩天轮上点P的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中( )
A．经过10
min点P距离地面10
m
B．若摩天轮转速减半，则其周期变为原来的倍
C．第17
min和第43
min时P点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70
m的时间为min
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有两个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
9．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80
mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
[战疑难]
10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如表所示：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排恰当的训练时间．
课时作业(四十一) 三角函数的应用
1．解析：T＝＝.
答案：A
2．解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10
000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9
500＝9
500，即
所以易得3ω＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又当x＝3时，y＝500sin(3ω＋φ)＋9
500，所以y＝9
000.
答案：C
3．解析：由题意，知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为
s.
答案：C
4．解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
答案：80
5．解析：根据图象，知，两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝.
所以T＝1，则ω＝＝2π.
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
答案：
6．解析：(1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝
s时第一次取得最大值．
7．解析：由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，设出时间为t，由题意：
P(t，h－50)，A＝40，T＝20可得ω＝＝，
故点P离地面的高度h＝40sin＋50，
即t时刻点P离地面的高度h＝40sin＋50，化简得h＝40cost＋50；
当t＝10
min时，h＝10，故A正确；
若摩天轮转速减半，T＝40，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第17
minP点距离地面的高度为h(17)＝40cos＋50＝40cos＋50，
第20
minP点距离地面的高度为h(43)＝40cos＋50＝40cos＋50，
第17
min和第43
min时P点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈，P点距离地面的高度不低于70
m，即
40
cost＋50≥70，
即cos≥，∵0≤t≤20，得0≤≤2π，∴0≤≤或≤≤2π，
解得0≤t≤或≤t≤20，共
min，故D正确．
故选ACD.
答案：ACD
8．解析：由T＝＝4可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x≤1时，函数单调递减；1答案：7
9．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，
所以函数P(t)的周期为min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
t/min
0
P(t)/mmHg
115
140
115
90
115
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80
mmHg相比较，此人血压偏高．
10．解析：(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
不妨令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，
所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－，
所以－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
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