2011年公安三中高二理科数学圆锥曲线测试题

2011年公安三中高二理科数学圆锥曲线测试题
命题人：李玉和 审题人：张广海
一．选择题：
1. 双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为 （ ）
A.（1，3） B.（1，3 C.（3，+∞） D. [3，+∞）
2. 已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，
则该椭圆的离心率为 （ ）
A B C D
4. 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
5. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 （ ）
A． B． C． D．
6. 已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足：，则 （ ）
A．6 B．4 C．2 D．不能确定
7. 直线l是双曲线的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ）
A．2 B． C． D．
8. 直线与椭圆相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得△APB的面积等于3，这样的点P共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9. 方程所表示的曲线是 （ ）
A． 双曲线 B． 抛物线 C． 椭圆 D．不能确定
10. 已知曲线与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B，如果过这两个交点的直线的倾斜角是，则实数a的值是 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题
11. 过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________
12. 有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线x=2为准线；③离心率，则所有这些椭圆的长轴长之和为 .
13. 沿向量 =(m, n)平移椭圆,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线2x－y+6=0上, 则m= 、n= .
14. 定长为6的线段，其端点分别在x轴、y轴上移动，则AB中点的轨迹方程为 ．
15. 从圆外一点向这个圆引切线，则切线方程为
三．解答题（75分）
16. 已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且·=0，|BC|=2|AC|，（1）求椭圆的方程；
（2）如果椭圆上两点P、Q使∠PCQ的平分线垂直AO，则是否存在实数λ,使=λ？
17. 已知圆锥曲线C经过定点P（3，），它的一个焦点为F（1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线交圆锥曲线C于A、B两点，且 |AB|=，求圆锥曲线C和直线的方程。
18. 如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程； （2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.
19. 如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．
20. 已知定点，动点（异于原点）在轴上运动，连接PF，过点作交轴于点，并延长到点，且，.
（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，若且，求直线的斜率的取值范围．
21. 如图,在Rt△ABC中，∠CAB=，AB=2，AC=. 一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变，直线m⊥AB于O，AO=BO.
（1）建立适当的坐标系,求曲线E的方程;
（2）设D为直线m上一点,,过点D引
直线l交曲线E于M、N两点,且保持直线l与AB成角,求
四边形MANB的面积.
答案
16. 解（1）以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系
则A（2，0），设所求椭圆的方程为： =1(0由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,由 =0得AC⊥BC，
∵|BC|=2|AC|，∴|OC|=|AC|，
∴△AOC是等腰直角三角形，∴C的坐标为（1，1），
∵C点在椭圆上
∴ =1,∴b2= ,所求的椭圆方程为 =1 ……………5分
（2）由于∠PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1,
由 得：(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0（*） ……………8分
∵点C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程（*）的一个根，则其另一根为 ,设P（xP,yP）,?Q(xQ,yQ),xP= , 同理xQ= ,
kPQ= ………10分
而由对称性知B(-1,-1),又A（2，0） ∴kAB=
∴kPQ=kAB，∴ 与 共线，且 ≠0,即存在实数λ，使 =λ . ……12分
17. 设圆锥曲线C的离心率为e, P到 的距离为d，则e= …………(1分) ∴圆锥曲线C是抛物线∵ ∴P=2
∴抛物线方程为y2=4x
设 的方程为y=2x+b,A(x1y1),B(x2,y2)
由y=2x+b
y2=4x 消去y，整理得：4x2+4(b－1)x+b2=0
则 x1+x2=－(b－1)
x1x2= ∴|AB|= ……又∵|AB|=
∴1－2b=9, ∴b=－4故直线 的方程为y=2x－4……
综上所述：圆锥曲线C的方程为y2=4x，直线 的方程为y=2x－4
18. 解：（1）
∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分
又
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为 焦距2c=2. ……………5分
∴曲线E的方程为 ………………6分
（2）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
得
设 ……………………8分
，
……………………10分
又当直线GH斜率不存在，方程为
……………………………………12分
19. （1）设 ，直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，由 ，消 得
，解得 ， ，
同理可得 ， ，
（定值）所以直线EF的斜率为定值。
（2）当 时， ，所以直线 的方程为 ，
由 ，得 ，同理可得 ，
设重心 ，则有
消去参数 得
20. (1)设动点 的的坐标为 ，则 ，
，由 得， ，
因此，动点 的轨迹 的方程为 . …………5分
(2)设直线 的方程为 ， 与抛物线交于点 ，则由 ，得 ，又 ，故 .
又 ，
∴ ， ，
∴ 即
解得直线 的斜率 的取值范围是 . ……………………12分
21. （1）以AB、m所在直线分别为x轴、y轴，O为原点建立直角坐标系.
∴动点的轨迹是椭圆，设其半长轴、半短轴长分别为a、b，半焦距为c，则 ∴曲线E方程为
（2）由题设知， ，
由直线l与AB成 角，可设直线方程为 ，代入椭圆方程整理得 设 ， 则
所以，四边形MANB的面积 =
A
B
C
O
m
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