17.1
勾股定理
第2课时
一、教学目标
1．核心素养:
通过探索勾股定理的应用，培养运算能力、逻辑推理能力和应用意识，并逐步渗透模型思想．
2．学习目标
（1）利用勾股定理解决生活中的实际问题.
（2）通过添加辅助线，构造直角三角形利用勾股定理解决问题.
3．学习重点
运用勾股定理解决问题
4．学习难点
如何构造直角三角形利用勾股定理解决问题
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
阅读教材P25，思考：勾股定理在生活中有哪些应用？怎样将生活中的实际问题转化为数学问题？
2．预习自测
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m，AC=20m,求A，B两点间的距离（结果保留根号）
2.如图，在平面直角坐标系中有两点A和B.求这两点之间的距离.
预习自测参考答案
1.
2.
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则.
（2）公式的变形：b2
=
c2-a2
→
b=；
a2
=
c2-b2
→
a
=.
（3）利用勾股定理可解决已知直角三角形的两边长，求第三边的问题.
2．问题探究
问题探究一
利用勾股定理解决实际问题
重点知识★
●活动一
初步应用
例1
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
【知识点：勾股定理的应用，无理数的大小估算；数学思想：模型思想】
详解：根据勾股定理，.
所以，因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.
点拨:此题可看出，木板横着或竖着都不能通过门框，只能试试斜着能否通过.而门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以求出AC，再与木板的宽进行比较，就将此实际问题转化为已知直角三角形的两直角边，求斜边的问题，利用勾股定理轻松求解.
例2
如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
【知识点：勾股定理的应用，无理数的大小估算；数学思想：模型思想】
详解：在Rt△AOB中，根据勾股定理，
所以OB=1.在Rt△COD中，根据勾股定理，，所以OD=，BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子的底端并不是也外移0.5m，而是外移0.7m.
●活动二
尝试自解
例3如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东60o的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30o的方向行驶，若两船同时出发，2小时后两船相距多远？
【知识点：勾股定理的应用；】
分析：根据题意可得∠BAC=90o，分别求出两船行驶的路程，再根据勾股定理求得两船的距离.
问题探究二
构造直角三角形利用勾股定理解决问题
重点、难点知识★▲
●活动一
典例分析
例4：如图，已知∠B=∠D=90o，∠A=60
o，AB=4，CD=2，求四边形ABCD的周长和面积.
【知识点：勾股定理的应用，含30o角直角三角形，二次根式的运算；数学思想：模型思想】
详解：
分别延长AD、BC相交于点E.因为∠A=60
o，所以∠E=30o，所以AE=2AB=8，
根据勾股定理可求BE=.
在Rt△CDE中，
∠E=30o，所以CE=2CD=4，
根据勾股定理可求DE=.所以AD=AE-DE=8，BC=BE-CE=4，所以四边形的周长为AB+BC+CD+AD=4+（4）+2+（8）=.
面积为：ABCD==6.
点拨：仔细观察图形，结合条件，若分别延长AD、BC交于点E，则可以构造出有特殊角的直角三角形，再利用勾股定理即可解答.
●活动二
尝试自解
例5.某市在旧城改造中，计划在市内一块如下图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮每平方米售价为50元，求购买这种草皮需要多少元？
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】
详解：过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D.
因为∠BAC=150o，所以∠DAC=30o.在RtACD中，AC=30m，所以CD=15m.
因为AB=20m，
所以ABCD=×20×15=150m2
所以150×50=7500（元）.答：购买这种草皮需要7500元.
点拨：在三角形中，若三角形的某个内角的度数为一些特殊角度，如30o，60o，120o，150o，通常需要构造出直角三角形，在利用特殊直角三角形的性质和勾股定理解决问题.
3．课堂总结
【知识梳理】
（1）
将实际问题转化为直角三角形模型利用勾股定理来解决.
（2）
利用勾股定理计算时注意二次根式的运算、化简.
【重难点突破】
（1）运用勾股定理时应注意：①确定该三角形是直角三角形；②分清直角边和斜边，若未明确直角边、斜边，则应分类讨论.
（2）有时需要先构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形或将实际问题转化为直角三角形模型来解决.
4．随堂检测
1.
三角形具有稳定性，工人师傅准备给一个长2米，宽1.5米的长方形的对角线订一根木条，则该木条的长为_______.
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】
【参考答案】2.5
【解析】由题可建立直角三角形，已知两直角边分别为2、1.5，则斜边为
=2.5.
2.一场暴雨后，一棵垂直于地面的树在距离地面1米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量，树尖到树根的距离为2米，则树高为_________米.
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】
【参考答案】+1）米
【解析】由题可建立直角三角形，已知两直角边分别为2、1，则斜边为
，则树高（+1）米.
3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45o角，在作业时调整为60o角，则梯子的顶端沿墙面升高了
m.
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：模型思想】
【参考答案】（-）米
【解析】由题可建立两个特殊直角三角形，已知等腰直角三角形的斜边为4m，则直角边为m，含60o的直角三角形的斜边为4m，则两直角边分别为2m、m，原来的高度为m
，现在的高度为m，所以升高了（-）m.
4.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C.
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）确定目的地C在营地A的什么方向.
【知识点：勾股定理的应用，二次根式的运算；】
【参考答案】1000m，30°
【解析】(1)如图，过点B作BE//AD.
∠DAB=∠ABE=60°.
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°,∠CBA=90°，AC===1000(m)
(2)在RtABC中，∵BC=500m,AC=1000m,CAB=30°.
∵∠DAB=60°,DAC=30°，即目的地C在营地A的北偏东30°的方向上.
1
/
517.1
勾股定理
第3课时
一、教学目标
1．核心素养:
通过学习勾股定理的应用，继续培养基本的运算能力和应用意识．
2．学习目标
（1）利用定理证明“一斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等”.
（2）利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段.
（3）利用勾股定理建方程解决较综合的几何问题.
3．学习重点
画出一条线段等于已知长度为无理数的线段，体会方程思想．
4．学习难点
灵活运用勾股定理解决几何问题
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
阅读教材P26－P27，思考：怎样利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段
2．预习自测
1.画一条长度为的线段，可以构造直角边分别为
、
的直角三角形，则斜边长就为.
2．如图，数轴上的点A表示的数为
.
预习自测参考答案
1.
1，1
2.
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）八年级上册我们曾经通过画图得到判定两直角三角形全等的特殊方法是什么？（斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等）
（2）勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则．
（3）已知直角三角形的两直角边分别为a、b，则第三边为c=．
2．问题探究
问题探究一
利用勾股定理证明“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等”
●活动
探求新的证明方法
在学习了勾股定理后，你能证明“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等”的结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证，并证明.
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90o，AB=
AB，AC=
AC.
求证：△ABC
≌△ABC
证明：在Rt△ABC和Rt△ABC中，∠C=∠C=90o，根据勾股定理，得BC=
BC=.又AB=
AB，AC=
ACA，所以BC=
BC.所以：△ABC
≌△ABC.
问题探究二
利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段.
重点知识★
活动一
典例分析
例1：在数轴上画出表示的点.
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：数形结合思想】
详解：以直角边长分别为2、1作直角三角形，则斜边长即为.
由此，可以在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线垂直于OA，并在垂线上截取AB=1，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交在原点右侧点C处，点C即为表示的点.
活动二
反思提炼
作一条长度等于已知无理数的线段的方法不一定唯一，如：，也可以借助于直角边分别为的直角三角形得到，我们一般尽量利用直角边为整数的直角三角形作出.该弧与数轴交在原点左侧的点表示的数即为-.
问题探究三
利用勾股定理建方程解决较综合的几何问题.
重点、难点知识★▲
例2
如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边
上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
【知识点：勾股定理的应用，轴对称的性质；数学思想：方程思想】
分析：若设EC=x
cm
，则EF=DE=（8-
x
）cm，因此只需先把FC或BF求出即可.而BF在Rt△ABF中，且AB=8cm，AF=AD=BC=10cm，则BF可求，问题可解.
详解：∵△ADE与△AFEA关于AE对称，∴AD=AF，DE=DF.∵四边形ABCD是长方形形，∴∠B=∠C=90o.在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，∴BF=cm.∴FC=BC-BF=10-6=4cm.设EC=
x
cm，则EF=DE=（8-
x
）cm.在Rt△ECF中，，解得x
=3.即EC的长为3cm.
3．课堂总结
【知识梳理】
(1)
利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段.如画出表示...的线段
(2)利用勾股定理求线段长时常构建方程求解；
【重难点突破】
(1)
在数轴上表示无理数的关键是：利用勾股定理联想到，即以为直角边长构造直角三角形，则斜边长为.以原点为圆心，为半径作弧，即可在数轴上表示无理数.
（2）利用勾股定理求线段长时常构建方程求解；有时需要先构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形或将实际问题转化为直角三角形模型来解决.
4．随堂检测
1.作长为的线段时，可作一个两直角边分别为_____和____的直角三角形，则此直角三角形的斜边长就是
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：数形结合】
【参考答案】2、3
【思路点拨】构造直角三角形的斜边为，则两直角边的平方和为13.将13分成两个平方数的和即4+9=13，所以，以直角边长分别为2、3作直角三角形，则斜边长即为
2.在数轴作出表示的点.
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：数形结合】
【参考答案】如图
【思路点拨】将10分成两个平方数的和即1+9=10，所以，以直角边长分别为1、3作直角三角形，则斜边长即为.由此，可以在数轴上找出表示-3的点A，过点A作直线垂直于数轴，并在垂线上截取线段AB=
1，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交在原点左侧点C处，点C即为表示-的点.
3.
如图所示，数轴上点A表示的数为_________.
【知识点：勾股定理的应用；数学思想：数形结合】
【参考答案】
【思路点拨】由图根据勾股定理可求以表示-1的点为圆心画的弧的半径为，所以点A表示.
4.在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离为（
）
A.
B.
C.
D.
【知识点：勾股定理的应用，点到直线的距离，二次根式的运算；】
【参考答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=9，BC=12，根据勾股定理可求得AB=15，过点
C作CD⊥AB于点D，则可根据同一三角形的面积不变建方程得
，即=，解得CD=，故选B.
5.若直角三角形两直角边的比是3
:
4，斜边长是20，则此直角三角形的面积为_________.
【知识点：勾股定理的应用，二次根式的应用；数学思想：方程思想】
【参考答案】96
【解析】设直角三角形的两直角边分别为3x、4x，根据勾股定理可建方程为，
解得x=4，则两直角边分别为12、16，所以三角形的面积为.17.1 勾股定理
第1课时
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
这节课是人教2011课标版八年级下车册第十七章第一节《勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习了（三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质、二次根式以及整式运算中的完全平方公式。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习《解直角三角形》奠定基础，在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》，它在生活中的用途很大。
（二）、学生起点分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况，再结合《课程标准》的要求，我制定如下教学目标)
（三）、教学目标分析
【教学目标】
1、知识与技能目标
体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。
2、过程与方法目标
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。发展学生的合情推理、归纳和概括能力。
3、情感态度与价值观目标
通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
（四）、教学重点及难点（根据《课程标准》的要求，以及为学生在今后解决有关几何问题。拟定本节课的教学重点和难点）
【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用
【教学难点】通过面积计算探索勾股定理。
【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，因此形成了难点。
【教具】教师准备：课件
直角三角形
学生准备：四个全等的直角三角形
二、教学方法及教学手段的选择
针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的提出问题，与学生合作交流，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。）
三、学法指导
教师有组织、有目的、有针对性的引导学生并一同参与到学习活动中，鼓励学生采用自主探索与合作交流相结合（其意图是让学生真正成为学习的主人）。
四、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，探索新知；第二环节：猜测结论，获取新知；第三环节：归纳验证，完善新知；第四环节：解决问题，应用新知；第五环节：课堂小结，巩固新知．第六环节：布置作业，拓展新知
（一）：创设情境，引入新课
先让学生阅读教科书第一页的引言。我再讲个小故事,我国著名数学家华罗庚教授在《数学的用场与发展》一文中假设我们宇宙航船到另一个星球上，为什么带“数”和“数形关系”两个图形？（意图是激发学生的探究欲望，让学生感到“有趣”、“有意思”的状态下进入学习过程）。数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号，从而产生了勾股数3、4、5等引入新课（展示课件，并作简单的介绍）让学生听说“勾”与“
股”（展示课件），（意图：形象的说明勾与股，强调：勾与股互相垂直；几何图形中勾、股只适合在直角三角形中，顺便引出弦）.
（二）：探究问题，获取新知
1、特殊图形（等腰直角三角形）
首先我在网格中建立等腰直角三角形，以小三角形的面积为单位1，学生直接看出SA、SB、SC
，并引导学生猜测结论。
通过观察，归纳发现：
结论1
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
意图：这一环节通过图片展示，以直观形象的观察图形，引导学生找到三个正方形面积之间的关系，为下一步用面积计算、验证直角三角形三边关系奠定基础。
2、一般图形（直角三角形）
（1）、验证结论
通过刚才的问题我们发现等腰直角三角形三个正方形面积之间的关系，那么这一结论在一般的直角三角形中是否也存在呢？
（1）观察下面两幅图：
A的面积
B的面积
C的面积
SA＋SB的值
图一
4
9
13
13
图二
16
9
25
25
两图都是勾与股不相等的直角三角形，需要割正方形C才能得到SA、SB、SC，再填表推猜测三者之间存在的关系：SA＋SB=SC得出
结论1
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积
【设计意图】为了突破用面积法证明直角三角形三边关系这一难点，本人先让学生小组合作，互相交流，再引导学生用“割”与“补”的方法计算以斜边为边长的正方形的面积，进而得到直角三角形以三边为边的正方形面积之间的关系。由特殊（的等腰直角三角形）到一般直角三角形的三边关系进行探索，使直角三角形数与形的关系展示得更为直观，更易被学生接受，更有利于难点的突破，为学生归纳结论打下基础，使学生分析和解决问题的能力得到提高，符合学生的认知规律。教材编写时也注重了培养学生的动手操作能力和观察分析问题的能力。
（2）、转换结论
通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形三边之间的关系论吗？（提出设想，让学生讨论）
结论2
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为
c
，
那么
a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
设计意图：先后三次验证“勾股定理”这一结论，使学生从中体会到数形结合和从特殊到一般的数学思想，这一过程也培养了学生严谨、科学的学习态度
（三）归纳验证，完善新知
1、验证命题
小组合作探究：（1）每小组拿出提前剪好的四个直角三角形进行拼图，用所拼的图形观察后画出几何图形进行证明（2）利用赵爽弦图，学生通过合作探讨证明勾股定理
意图：是让学生感受数学中的一题多解，以激发学生的学习兴趣。并且这一过程有利于培养学生严谨、科学的学习态度。
2、勾股史话
设计意图：通过介绍勾股定理的有关研究历史，感受数学文化，体会到祖国数学历史的悠久，增强民族自豪感。
（四）解决问题，应用新知
1、基础训练
（1）、求下图中？所代表的正方形的面积
（2）、求出下图中直角三角形中未知边x的长度
2、现实运用
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.
大树在折断之前高多少米？
?
?
设计意图：训练作业（1）（2）、是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题，体会勾股定理在实际生活中的运用，进一步培养了学生的数学建模。
（五）课堂小结，巩固新知
1、师生小结：今天我们学习了
数学知识：勾股定理和勾股定理的简单计算
经历过程：观察
猜想
探索
归纳
验证
数学思想：特殊到一般，数形结合
2、告诉其他同学，今天我们所学的内容
设计意图：以告诉其他同学形式，让学生积极回顾所学的数学知识。
（六）布置作业，拓展新知
1、教材P28
T1、T2。
2、用其他方法证明勾股定理，整理在作业本上。
3、阅读教材P21至P24及P30
：了解勾股定理的发现及证明过程，了解中国人的伟大和外国人的聪明。
4、查找资料，找寻勾股定理的发展史。
【设计意图】这个作业活动是开放的，它不仅为每个学生搭建了进一步探索和思考数学活动的平台，而且给了他们施展自我才能的舞台。在这个数学活动中，学生是完全自由的学习个体，是学习真正的主人，只要我们相信他们、尊重他们、激励他们，他们的创新潜能就能被充分开发，而这种学习、思考和创新的能力将使他们终身受益。
五、板书设计：
17.1勾股定理1结论1：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积结论2：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为
c
，那么
a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
证明一：四个全等的直角三角形如图拼成边长为（a＋b）的大正方形，中间是边长为c的正方形，则：(a+b)2=4×ab＋c2a2+2ab+b2
=2ab
+c2
a2+b2
=c2证明二：弦图是由四个全等的直角三角形如图拼成边长为c的大正方形，中间是边长为(b-a)的小正方形。则：(b-a)2+4×ab=
c2，化简得：a2+b2
=c2
练习
意图:结构新颖井然，对所授新课要点一目了然
六、教学设计反思
（1）设计理念
依据“学生是学习的主体”这一理念．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.
（2）突出重点、突破难点的策略
本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，割补面积的方法分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．
（3）分层教学
基础训练和现实运用
（4）评价方式
根据新课标的评价理念，在本课主要从以下几个方面对学生学习情况进行评价：
第一，对学生合作交流、积极探究等学习情况进行评价．
第二，通过练习，可有效地评价学生理解和掌握知识的情况．
第三，在“课堂小结”这一环节中，教师可从学生的自由发言和交流中，了解到各个教学目标的达成情况．
第四，通过课后作业的完成情况，进一步了解学生对勾股定理的理解和掌握的程度．
教师根据这些评价结果做出相应的反馈和调节，调整、设计下节课或下阶段的教学内容，以达到尽可能好的教学效果。
图一
图二
B
由正方形的面积公式得：SA=a2
SB=b2
SC
=c2
SA＋SB=SC
C
A
a
c
b
