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第三章
函数与方程单元测试卷（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．（1,1）
B．（2,2）
C．（∞，2）∪（2，+∞）
D．（∞，1）∪（1，+∞）
3．函数，的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
6.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则(
)
A.
B.
C.
D.
7.
已知函数满足，当时，，且，若，，则（
）
A.
B.
C.可能为
D.可正可负
8．设，则下列关系式一定成立的是（
）
9．已知函数,
且在内有且仅有两个不同的零点，
则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
11．湖南)函数的图像与函数的图象的交点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
12．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的
取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，
值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则
14.已知函数的定义域是，函数，若方程有且仅有个不同的实数解，则这个实数解之和为_________.
15．已知函数
其中，若存在实数，使得关于的方程有
三个不同的根，则的取值范围是_________.
16．函数的零点个数是_________．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．已知函数．
（1）求证：函数的图象与轴恒有公共点；
（2）当时，求函数的定义域.
18．（2019·赤峰二中高一月考）
已知函数
，
（Ⅰ）
证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）
求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
19．已知函数．
（1）求f[f（1）]的值；
（2）若f（x）＞1，求x的取值范围；
（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
20．已知函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围.
21．（2019·重庆市云阳江口中学校高一月考）已知函数是上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若关于的方程在区间上恒有解，求实数的取值范围.
22．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．
（1）每台充电桩第几年开始获利？
（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．
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第三章
函数与方程单元测试卷（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】是偶函数且有无数多个零点，为奇函数，既不是奇函数又不是偶函数，
是偶函数但没有零点．故选A．
2．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（
）
A．（1,1）
B．（2,2）
C．（∞，2）∪（2，+∞）
D．（∞，1）∪（1，+∞）
【答案】C
【解析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即，解得或，
故选C．
3．函数，的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C．
4．已知函数，．若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，方程有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结
合图象可知，当直线的斜率大于坐标原点与点的连续的斜率，且小于直线的斜率时符合题意，故选．
5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵，，
，∴零点的区间是．
6.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】：B
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
因为是偶函数，所以，，，
，，
7.
已知函数满足，当时，，且，若，，则（
）
A.
B.
C.可能为
D.可正可负
【答案】：B
【解析】令，变为，所以该函数关于点对称.又因为，所以，则单调递减.
又，，，，所以.
8．设，则下列关系式一定成立的是（
）
【答案】D
【解析】由题，，作出的图像，如图所示，由可知三点位置如图所示，即，又为增函数，故，错误；又，即，故选。
9．已知函数,
且在内有且仅有两个不同的零点，
则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在内有且仅有两个不同的零点就是函数
的图象与函数的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数，和函数的图象，如图，
当直线与和都相交时
；当直线与有两个交点时，
由，消元得，即，
化简得，当，即时直线
与相切，当直线过点
时，，所以，综上实数的取值范围是．
10．已知是定义在上的奇函数，当时，．则函数的零点的集合
为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当时，函数的零点即方程的根，由，解得或3；当
时，由是奇函数得，
即，由得（正根舍去）．
11．湖南)函数的图像与函数的图象的交点个数为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】二次函数的图像开口向上，在轴上方，对称轴为
，；
．所以，从图像上可知交点个数为2．
12．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的
取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】当时，，函数，在上单调递减，函数，
在上单调递增，因为，，，，所以，
，此时与在有一个交点；当时，，函数
，在上单调递减，在上单调递增，此时，在无交点，
要使两个函数的图象有一个交点，需，即，解得．选B．
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13．我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，
值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，，，则
，当时，
，
．
【答案】8；11
【解析】因为，所以，解得．
14.已知函数的定义域是，函数，若方程有且仅有个不同的实数解，则这个实数解之和为_________.
【答案】21
【解析】因为，令，，关于点对称，又方程有且仅有个不同的实数解，所以有一个根为3，其余六个根关于对称。所以则这个实数解之和为
15．已知函数
其中，若存在实数，使得关于的方程有
三个不同的根，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意，当时，，其顶点为；
当时，函数的图象与直线的交点为．
①当，即时，函数的图象如图1所示，此时直线与函数的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；
②当，即时，函数的图象如图2所示，则存在实数满足，使得直线与函数的图象有三个不同的交点，符合题意．综上，的取值范围为．
16．函数的零点个数是_________．
【解析】2
【解析】当时，令，解得；
当时，，∵，∴在上单调递增，因为，，所以函数在有且只有一个零点，所以的零点个数为2．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．已知函数．
（1）求证：函数的图象与轴恒有公共点；
（2）当时，求函数的定义域.
【答案】（1）见解析
；
(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）将因式分解，可得恒过点；（2）函数的定义域即为不等式的的取值的集合，根据二次函数图象的特点，分情况讨论即可.
【详解】（1）因为，则函数的图象与轴恒有公共点；（2）函数的定义域即为不等式的的取值的集合，由可知二次函数的图象开口向上，此时的图象与轴的交点分别为、，当时，时的取值的集合为；当时，时的取值的集合为；当时，时的取值的集合为.综上所述，当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为.
18．（2019·赤峰二中高一月考）
已知函数
，
（Ⅰ）
证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）
求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】：(Ⅰ)
设，且,则
∴ ∴，∴
∴ ∴，即
∴在上是增函数.
(Ⅱ)
由(Ⅰ)可知在上是增函数
∴当时，
∴当时，
综上所述，在上的最大值为，最小值为.
19．已知函数．
（1）求f[f（1）]的值；
（2）若f（x）＞1，求x的取值范围；
（3）判断函数在（-2，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）
（2）（-∞，-2）
（3）增函数，证明见解析
【解析】
（1）f[f（1）]=；
（2）由f（x）＞1得，，化简得，，
∴x＜-2，
∴x的取值范围为（-∞，-2）；
（3），f（x）在（-2，+∞）上是增函数，证明如下：
设x1＞x2＞-2，则：=，
∵x1＞x2＞-2，
∴x1-x2＞0，x1+2＞0，x2+2＞0，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函数．
20．已知函数.
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或或.
【解析】
【分析】（1）将代入,则不等式为,即可得,求解即可；
（2）整理方程为,分别讨论和的情况即可
【详解】
（1）当时,,
∵,
∴,
∴不等式的解集为
（2）∵,
∴,
∴,即
①时,即,检验,符合题意；
②时,
（i）,即时,,此时,符合题意；
（ii）,即时,,,
当是解时,,
当是解时,,
要解集中恰有一个元素,则,
综上,的取值范围为或或
21．（2019·重庆市云阳江口中学校高一月考）已知函数是上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若关于的方程在区间上恒有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性可得，求出，进行检验即可；
（2）关于的方程在区间上恒有解等价于，
即的取值范围是在区间上的值域.
【详解】（1）∵函数是上的奇函数.
∴，∴，
当时，
显然所以f（x）为奇函数，故；
（2），即，
∴，即的取值范围是在区间上的值域，
令，则，
∴，，
，
又在上单调递减，在上单调递增，
∴，即，
∴实数的取值范围.
22．习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台16200元，第一年每台设备的维修保养费用为1100元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益8100元．
（1）每台充电桩第几年开始获利？
（2）每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．
【答案】（1）公司从第3年开始获利；（2）第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元
【解析】
（1）每年的维修保养费用是以1100为首项，400为公差的等差数列，
设第n年时累计利润为f（n），
f（n）=8100n-[1100+1500+…+（400n+700）]-16200
=8100n-n（200n+900）-16200
=-200n2+7200n-16200
=-200（n2-36n+81），
开始获利即f（n）＞0，
∴-200（n2-36n+81）＞0，即n2-36n+81＜0，
解得，
所以公司从第3年开始获利；
（2）每台充电桩年平均利润为
当且仅当，即n=9时，等号成立．
即在第9年时每台充电桩年平均利润最大3600元．
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